Notion de fluides visqueux

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1 Chapitre 5 Notion de fluides visqueux Dans ce chapitre, nous nous proposons de donner quelques notions sur la dnamique des fluides réels. Comme dans le chapitre 4 sur la dnamique des fluides parfaits, nous avons à prendre en compte les efforts intérieurs au fluide, mais nous envisageons d autres tpes d efforts intérieurs que ceux liés à la seule pression. Les fluides réels sont complexes ainsi que les lois pour décrire leur comportement. Notre objectif est modeste : il est centré sur les différences entre fluides parfaits et fluides visqueux, ces derniers étant une sous-classe des fluides réels. De manière plus précise, nous introduisons la notion de fluide visqueux comme exemple de fluides réels. Il s agit d un fluide où, entre les «filets fluides» en mouvement les uns par rapport aux autres, il a du «frottement» ralentissant le mouvement et occasionnant une perte d énergie. 5.1 Le phénomène de viscosité Reprenons, comme dans le chapitre 4, un fluide en mouvement et occupant le volume D 0. On peut écrire la loi fondamentale de la dnamique pour toute partie D de D 0 : {A} = {F e } où {A} est le torseur des quantités d accélération de D et {F e } le torseur des efforts extérieurs appliqués à D. Comme dans le chapitre 4, on introduit des forces volumiques définies dans D, et des forces surfaciques définies sur la surface S limitant D (voir Fig. 5.1-a) : forces volumiques f définies en chaque point intérieur à D ( f est définie par unité de volume), efforts surfaciques T exercés par le milieu extérieur à D sur D, en chaque point de S ( T est une force définie par unité de surface). Le vecteur T modélise les efforts intérieurs au fluide. On admet que ce sont des actions de contact exercées par le milieu extérieur à D sur D. Dans le chapitre 4 sur la dnamique des fluides parfaits, nous avons choisi pour ce vecteur T, le vecteur p n, normal à la surface S et dirigé vers l intérieur de D. Rappelons qu il s agissait d un choix. Cette modélisation est valable pour une très grande part des écoulements industriels, en dehors des zones situées dans un voisinage immédiat des parois, appelées «couches limites» lesquelles seront décrites ultérieurement (paragraphe 5.3.3). Dans ce chapitre, le vecteur T ne sera plus normal à la surface S. Nous prendrons en compte les efforts tangentiels dus aux «frottements» des filets fluides les uns avec les autres. 105

2 106 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX S n u() T p n D Fluide D 0 f O Écoulement cisaillé x (a) (b) Fig. 5.1 Efforts de contact du complémentaire de D sur D Notion de viscosité Les efforts tangentiels, négligés en fluides parfaits, sont dus aux «frottements» des filets fluides les uns avec les autres. Dans ce paragraphe, nous allons les modéliser. De manière plus précise, considérons, dans un repère orthonormé (O; x,, z), un écoulement plan parallèle au plan (O; x, ), stationnaire à lignes de courant parallèles à la direction (O, x). De plus, supposons que la vitesse n évolue que dans la direction de l axe (O, ) (Fig. 5.1-b), c est-à-dire : U = u() e x. Un tel écoulement est dit écoulement cisaillé. Soit S un plan séparant la région D 1 ( < 0 ) de la région D 2 ( > 0 ). Soit S un petit morceau de S. Nous admettons qu au niveau de S, l action F du fluide situé du coté D 2 sur D 1 est (Fig. 5.2-a) : F D2 D 1 = ( p n + τ e x ) S p n : force, par unité de surface, normale à S avec n dirigé de D 1 vers D 2, soit n = e, τ e x : force, par unité de surface, tangente à S, donc parallèle à e x. La force p n S, normale à S est la même que dans la théorie des fluides parfaits : p ne dépend que du point M et est un scalaire positif appelé «effort de pression». La force tangentielle τ S e x est une «force de frottement» qui s oppose au mouvement. Nous adoptons la loi de frottement simple suivante : ( ) du τ = µ, µ > 0 (5.1) d = 0 Commentaires Sur la figure 5.2-b, dessinons le profil des vitesses au voisinage de = 0. Supposons que la vitesse u() est une fonction croissante de. La dérivée du/d est donc positive en = 0. On voit que le fluide dans D 2 va plus vite que dans D 1. Sur (5.1), on voit alors que τ est positif. Sur la figure 5.2-a, nous avons dessiné la force ( p n + τ e x ) exercée sur l unité de surface de S par le fluide situé du coté D 2 sur D 1. Du fait du frottement, le fluide de D 2 entraîne le fluide de D 1. Inversement par le théorème de l action et de la réaction, le fluide de D 1 ralentit le fluide de D 2.

3 5.1. LE PHÉNOMÈNE DE VISCOSITÉ 107 D 2 (b) du/d > 0 D 2 0 τ e x 0 u() S n D 1 x D 1 F (D2 D 1 ) (c) du/d < 0 e O e x x 0 D 2 τ e x (a) Écoulement cisaillé p n D 1 x Fig. 5.2 Efforts de frottement visqueux dans un écoulement cisaillé Sur la figure 5.2-c, dessinons le profil des vitesses au voisinage de = 0 dans le cas où la vitesse u() est une fonction décroissante de. La dérivée du/d est alors négative en = 0. Sur (5.1), on voit alors que τ est négatif. La force ( p n + τ e x ) exercée sur l unité de surface de S par le fluide situé du coté D 2 sur D 1 est dessinée. On voit que le fluide dans D 2 va plus lentement que dans D 1, et du fait du frottement, le fluide de D 2 ralentit le fluide de D 1. Inversement le fluide de D 1 entraîne le fluide de D 2. Coefficient de viscosité Le coefficient µ introduit dans (5.1) est appelé coefficient de viscosité de cisaillement dit aussi coefficient de viscosité dnamique. Il dépend de la nature du fluide, de sa température et éventuellement d autres grandeurs thermodnamiques, mais il ne dépend pas de l écoulement. D après (5.1), le coefficient µ est le rapport d une force par unité de surface par une dérivée en espace d une vitesse. Donc µ a pour dimension [µ] avec : [µ] = (M L T 2 ) L 2 (L T 1 ) L 1 = M L 1 T 1 où M, L et T désignent les dimensions d une masse, d une longueur et d un temps. Dans le sstème international (SI), l unité de la viscosité µ est le «Pascal seconde» (Pa.s) appelé aussi le «Poiseuille» et noté Pl : 1 Pl = 1 kg.m 1.s 1 = 1 Pa.s. On trouve encore, dans certains ouvrages, des tables de valeurs numériques où le coefficient de viscosité µ est exprimé en «Poise» qui est une unité de l ancien sstème d unités «CGS». Le Poise est noté Po : 1 Pl = 10 Po. Dans le paragraphe 5.3, nous retrouverons le nom de Poiseuille dans l étude de certains écoulements (Jean-Louis-Marie Poiseuille, : phsicien et médecin français). Dans de nombreuses formules apparaît le rapport du coefficient de viscosité dnamique µ et de la masse volumique ρ. Ce rapport est appelé coefficient de viscosité cinématique et est

4 108 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX noté ν : ν = µ ρ (5.2) La dimension de ν est : [ν] = M L 1 T 1 /(M L 3 ) = L 2 T 1. Dans le sstème international, l unité pour ν est le m 2 /s, appelé aussi le Stokes et noté St : 1 St = 1 m 2 /s. Tab. 5.1 Quelques valeurs de la viscosité (à 20 C sous la pression atmosphérique normale) viscosité dnamique (en Pa.s) viscosité cinématique (en m 2.s 1 ) Air 18, , Benzène 0, , Eau Ethanol 1, , Glcérol 1, Mercure 1, , Remarque Dans un écoulement cisaillé, tel que celui introduit au début de ce paragraphe, tous les fluides ne vérifient pas la loi de frottement donnée en (5.1). Mais elle est suffisante pour beaucoup de fluides courants tels que l eau, l air,... On dit que ces fluides ont un comportement newtonien. Des fluides tels que le sang, certaines huiles lourdes,... ont des comportements différents, ils sont dits non newtoniens Conditions aux limites Comme conclusion au paragraphe précédent, disons que les filets fluides «rapides» entraînent les filets «lents», et inversement les filets «rapides» freinent les filets «rapides». Ce phénomène est d autant plus accentué que la dérivée du/d est grande (voir formule (5.1)), c est-à-dire que la différence entre «rapides» et «lents» est importante. U 1 U 1 impossible en fluide visqueux couche de mélange U 2 U 2 La discontinuité ne peut se maintenir en fluide visqueux. Fig. 5.3 Une discontinuité de vitesse est impossible en fluide visqueux De manière intuitive, on voit qu il n est pas possible d avoir une discontinuité de la vitesse. En effet, en un tel point du/d serait infini et la force tangentielle d entraînement τ e x serait

5 5.1. LE PHÉNOMÈNE DE VISCOSITÉ 109 infinie : la discontinuité de vitesse ne peut donc pas se maintenir (Fig. 5.3). Le profil de vitesse u() devra être régulier. L objectif de ce paragraphe est de préciser le comportement d un fluide visqueux en mouvement quand il se trouve en contact avec une paroi solide ou bien en contact avec un autre fluide. Condition aux limites sur une paroi solide Le fluide visqueux est en mouvement le long d une paroi solide (Fig. 5.4) au repos. On note n le vecteur unitaire normal à la paroi au point M et dirigé vers le fluide, et U le vecteur vitesse du fluide au point M. La remarque précédente explique la condition aux limites que nous allons choisir d écrire sur la paroi, la viscosité interdisant une discontinuité de vitesse. On admet que la vitesse du fluide U à la paroi est nulle. On dit que le fluide adhère à la paroi, ou avec d autres mots, qu il a adhérence du fluide à la paroi. On rappelle que pour un fluide parfait, il a glissement du fluide le long de la paroi. Il faut bien noter que les conditions aux limites à la paroi, pour un fluide parfait et pour un fluide visqueux sont différentes (voir Fig. 5.4). n M U(M) = 0 U(M) n = 0 M n Paroi au repos Fluide visqueux Paroi au repos Fluide parfait Fig. 5.4 Conditions aux limites sur une paroi immobile Cette condition sur une paroi immobile peut aussi être vue comme un résultat d observation. Un fluide s écoulant le long d une paroi (tel l eau d un fleuve le long d une berge), adhère à la paroi. Il suffit de mettre des très petites particules dans le fluide (ou des feuilles mortes sur la surface du fleuve) et d observer qu elles sont très fortement ralenties dans la zone proche de la paroi et qu elles sont pratiquement immobiles lorsqu elles touchent la paroi. La condition d adhérence s écrit : U = 0 (5.3) Si la paroi possède la vitesse W, alors la condition (5.3) est à remplacer par : U W = 0 Condition aux limites au niveau d une interface Soit maintenant deux fluides visqueux en mouvement et non miscibles, séparés par une surface S (appelée comme dans les chapitres 2 et 4, interface). Pour simplifier, on suppose que S

6 110 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX est immobile. Notons 1 et 2 les deux fluides, M un point de S et n 1 2 le vecteur unitaire, normal à S en M et dirigé de 1 vers 2. Les vitesses en M des fluides 1 et 2 sont notées respectivement U 1 et U 2. On admet que les fluides ont des vitesses parallèles à l interface (comme dans le cas de deux fluides parfaits), et que de plus, les vitesses parallèles à l interface sont égales. On a donc : U 1 n 1 2 = 0, U2 n 1 2 = 0, U1 = U 2 (5.4) 5.2 Le nombre de Renolds Dans beaucoup de situations pratiques, l approximation de fluide parfait est utilisée. Elle est valable si les frottements visqueux sont négligeables. Il faut donc donner un sens au terme «négligeable». Mais auparavant nous introduisons la notion d ordre de grandeur. Définition Deux quantités A et B de mêmes dimensions (et aant donc les mêmes unités) sont dites du même ordre de grandeur si l une d elles n est pas négligeable devant l autre. On note : O(A) = O(B). C est une notion un peu «floue». On admet en général le cadre suivant : A et B sont du même ordre de grandeur O(A) = O(B) 1/10 < A/B < 10. A est d ordre supérieur à B O(A) O(B) A/B > 10. A est d ordre inférieur à B O(A) O(B) A/B < 10. Les valeurs de 1/10 et 10 n ont rien d absolu ; on peut tout aussi bien mettre 1/100 et 100, ou bien 1/50 et 100. En fait, cela dépend du problème considéré. Revenons au problème de la comparaison entre fluides parfaits et fluides visqueux. Avec cet objectif, considérons, en l absence de pesanteur, un écoulement stationnaire de fluide incompressible de masse volumique ρ entre deux parois planes parallèles immobiles et distants de L (Fig. 5.5). Couche limite p 0 U 0 p U L x Couche limite Fig. 5.5 Écoulement entre deux parois planes En amont, la vitesse et la pression sont U 0 et p 0. Le fluide pénètre dans la région entre les deux plans. Dû au phénomène d adhérence, le fluide est ralenti dans les zones proches des parois. Il se constitue deux «couches limites» (voir Fig. 5.5) le long des parois où la vitesse du fluide est plus faible. Mais dans la zone centrale entre les deux parois, le fluide s écoule avec une vitesse U importante et proche de U 0. On note p la pression du fluide au sein de l écoulement dans la zone centrale.

7 5.2. LE NOMBRE DE REYNOLDS 111 Si l approximation de fluide parfait était valable, on écrirait le théorème de Bernoulli (il faut bien noter qu en fluide visqueux, le théorème de Bernoulli n est pas valable) : p ρ U 2 = cste Nous pouvons supposer que les deux termes p/ρ et (1/2) U 2 sont du même ordre de grandeur. Par ailleurs, nous pouvons admettre que U 0 et U sont du même ordre de grandeur. Nous pouvons donc dire que p/ρ est du même ordre de grandeur que (1/2) U0 2, ou encore du même ordre de grandeur que U0 2 (le facteur 1/2 ne joue aucun rôle). Considérons maintenant les frottements visqueux. Nous admettrons que l ordre de grandeur de µ du/d est égal à celui de τ = µ U 0 L 1 : il faut comprendre cette dernière assertion comme une hpothèse (ceci est correct sauf dans les couches limites près des parois). Comparons maintenant les ordres de grandeur de la pression p et du frottement τ = µ du/d (voir ces deux grandeurs sur les figures 5.2-b et 5.2-c). On a : Définition ( p ) O = O(p) τ O(τ) = ρ U 0 2 µ U 0 L 1 = ρ U 0 L µ On appelle nombre de Renolds le nombre sans dimension : R e = ρ U 0 L µ (5.5) On voit donc que le nombre de Renolds (Osborne Renolds, 1842 (Belfast) 1912 (Watchet, Angleterre) : phsicien) mesure le rapport des deux composantes de F = ( p n + τ e x ) S introduites dans le paragraphe Remarquons que : pour R e grand, on peut négliger τ devant p et adopter l approximation du fluide parfait. pour R e petit, on ne peut plus négliger τ devant p et l approximation du fluide parfait est en défaut. Exemples de calcul de nombre de Renolds Considérons une voiture en ville de longueur L = 4 m roulant à la vitesse U 0 = 30 km/h. Sachant que la viscosité cinématique de l air est ν = m 2.s 1, on peut déterminer le nombre de Renolds de l écoulement de l air autour de la voiture : R e = U 0 L/ν = (30 000/3600) 4 (1/( )), soit R e = Le nombre R e est très grand, et l approximation de fluide parfait est légitime, sauf naturellement au voisinage des parois de la voiture où sont présentes des couches limites d origine visqueuse. Considérons maintenant un filet d eau s écoulant d un robinet. On suppose que le débit est de 0, 1 litre par heure et que la section de sortie du robinet est de 1 cm 2. Sachant que la viscosité cinématique de l eau est ν = 10 6 m 2.s 1, on cherche à déterminer le nombre de Renolds de l écoulement de l eau. On prendra pour L la valeur L = 10 2 m qui correspond à l ordre de grandeur du diamètre de la section de sortie du jet. La vitesse de l eau est : U 0 = 10 4 (0, 0001)/3600 = (1/3600) m/s. Donc le nombre de Renolds vaut : R e = U 0 L/ν = 1/(3600) 10 2 (1/(10 6 )), soit R e = 2, 8. Le nombre R e est d ordre 1. Dans ce problème d écoulement on ne peut pas utiliser l approximation de fluide parfait. Si le débit avait été de 10 litres par minute, alors le nombre de Renolds aurait été R e = et l approximation de fluide parfait possible. Comme dernier exemple, imaginons un écoulement de glcérine de vitesse U 0 = 0, 5 m/s autour d une bille de diamètre L = 3 mm maintenue au repos. Sachant que la viscosité cinématique

8 112 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX de la glcérine est ν = 6, m 2.s 1, on a : R e = U 0 L/ν = 0, 5 ( ) (1/(6, )), soit R e = 2, 2. Le nombre R e est d ordre 1. Dans ce problème d écoulement, on ne peut pas utiliser l approximation de fluide parfait. 5.3 Exemples d écoulements visqueux Nous présentons deux exemples d écoulement visqueux : un écoulement plan connu sous le nom d écoulement de Poiseuille plan (ou de Poiseuille Hagen) et un écoulement dans une conduite rectiligne connu sous le nom d écoulement de Poiseuille (Poiseuille clindrique) Écoulement de Poiseuille plan Il s agit d un écoulement stationnaire, plan, d un fluide incompressible, non pesant, visqueux de viscosité µ constante. Dans l espace rapporté à un repère orthonormé (O; x,, z), le fluide s écoule entre deux plans parallèles d équations : = ± h (Fig. 5.6-a). On cherche une solution sous la forme : U = u() e x, p = p(x, ) L écoulement cherché est cisaillé comme dans le paragraphe Naturellement, U est le vecteur vitesse et p est la pression. Comme le fluide est incompressible de masse volumique ρ = cste, l équation de la conservation de la masse (Chapitre 3, formule (3.23)) se réduit à div U = 0, équation qui est automatiquement vérifiée. (a) +h (b) z x O h x z z O x x Fig. 5.6 Écoulement de Poiseuille plan Écrivons maintenant la loi fondamentale de la dnamique pour un petit volume parallélépipédique rectangle V dont les six faces sont dans les plans d abscisse x et x + x, d ordonnée et + et de cote z et z + z (Fig. 5.6-b). La quantité d accélération de ce petit volume est ρ Γ V. Les forces s exerçant sur ce petit volume sont, d une part les forces de pression sur les six faces et les forces de frottement dues à la viscosité. Pour les forces de pression, on procède comme dans le paragraphe du chapitre 4. Comme p ne dépend pas de z, il n aura de contribution des forces de pression que sur les faces parallèles à l axe (O, x) et à l axe (O, ). Pour les forces visqueuses, celles-ci ne sont présentes que sur les deux faces parallèles à l axe (O, x). En effet, la vitesse u() introduit du cisaillement sur ces deux faces, car à la traversée de ces faces, varie et par suite u() aussi. Sur les faces parallèles à l axe (O, ), la vitesse est perpendiculaire à ces faces et n introduit aucun cisaillement, donc aucun frottement. Enfin, sur les faces parallèles à l axe (O, z), la vitesse est parallèle aux faces et conserve la même valeur de part et d autre de chaque face : il n a donc pas de frottement.

9 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 113 La loi fondamentale de la dnamique s écrit : ρ Γ x z = {p(x + x, ) p(x, )} e x z {p(x, + ) p(x, )} e x z +µ du d ( + ) e x x z µ du d () e x x z Les deux derniers termes représentent les forces visqueuses, exercées par le fluide situé «audessus» de l ordonnée + sur la partie située «au-dessous» pour le premier avec le signe +, et exercées par le fluide situé «au-dessous» de l ordonnée sur la partie située «au-dessus» pour le second avec le signe. Considérons Γ. On a : Γ = D U Dt = Du Dt e x = ( U grad u ) ex = ( u e x grad u ) e x = 0 car u() ne dépend que de et pas de x et z. Projetons maintenant l équation de la dnamique sur les deux axes (O, x) et (O, ), et divisons les résultats par z : ( 0 = µ du ) du ( + ) µ d d () x (p(x + x, ) p(x, )) 0 = (p(x, + ) p(x, )) x On divise chacune de ces équations par x et on fait tendre x et vers 0. On obtient : µ d2 u p () (x, ) = 0 d2 x p (x, ) = 0 La deuxième équation implique que p est indépendant de, donc p = p(x). Finalement : µ d2 u d 2 = dp, u = u(), p = p(x) (5.6) dx L équation (5.6) va nous permettre de décrire l écoulement de Poiseuille plan. Elle relie le gradient de pression dp/dx et le terme visqueux où figure la viscosité µ. Remarque Ici, nous avons considéré un écoulement extrêmement simple de cisaillement. Naturellement, il a des écoulements beaucoup plus complexes (écoulement autour d un avion, d un ccliste, d un immeuble,... ), et le phénomène de viscosité est présent. On sait écrire des équations pour décrire ces écoulements : ce sont les équations de Navier Stokes, équations qui seront vues en dernière année de Licence. Solution de (5.6) : généralités Le premier membre de (5.6) est une fonction de la seule variable et le second membre de la seule variable x. L égalité n est possible qu avec une fonction constante. On peut aussi raisonner de la manière suivante : en dérivant (5.6) par rapport à x, on obtient d 2 p/dx 2 = 0, donc dp/dx = cste. On a également d 2 u/d 2 constant. Nous écrirons : µ d2 u d 2 = dp = K, K = constante (5.7) dx

10 114 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX dont la solution est : u() = K 2 µ (2 + A + B), p(x) = K x + p(0) (5.8) où A et B sont deux constantes d intégration, et p(0) la valeur de la pression en x = 0. Solution de l écoulement de Poiseuille entre deux plaques planes au repos Nous adjoignons aux équations (5.7), les conditions aux limites d adhérence du fluide sur les deux parois = ±h, qui s écrivent : u(h) = 0, u( h) = 0 (5.9) soit : u(h) = 0 = K 2 µ (h2 + A h + B), u( h) = 0 = K 2 µ (h2 A h + B) Finalement la solution est : A = 0, B = h 2 u() = K 2 µ (h2 2 ), p(x) = K x + p(0) (5.10) Description de la solution de l écoulement de Poiseuille entre deux plaques planes au repos Supposons K > 0. Sur la figure 5.7-a, nous dessinons le profil de la vitesse u(). Ce profil est dit «parabolique», car la courbe représentative est une parabole d axe (O, x). Pour = ± h, la vitesse est nulle, et pour = 0 la vitesse est maximum avec la valeur K h 2 /(2 µ). Notons U M cette vitesse maximum. (a) (b) +h +h O U M x O U d x h (c) p(x) h p(0) 0 l x Fig. 5.7 Description de l écoulement de Poiseuille plan avec K > 0 Calculons le débit volumique Q v à travers la section (x = 0, h < < h, 0 < z < L) avec L égal à l unité de longueur. On a : h Q v = u() d = K ] +h [h 2 3 h 2 µ 3 h

11 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 115 Q v = 2 h3 K 3 µ = 2 h ( ) K h 2 = 2 h U d (5.11) 3 µ où nous avons introduit U d = K h 2 /(3 µ), quantité qui a bien la dimension d une vitesse : U d est appelée vitesse débitante. C est la vitesse que le fluide aurait pour avoir le même débit si on avait adopté l approximation du fluide parfait (Fig. 5.7-b). On remarque que : U d = (2/3) U M. U M = Kh2 2µ, U d = Kh2 3µ, U d = 2 3 U M Revenons à l expression de la pression donnée en (5.10). On a : p(x) p(0) = K x, dp dx = K On appelle perte de charge par unité de longueur la différence de pression p(l) p(0) avec l égal à l unité de longueur, c est-à-dire dp/dx, ou encore, K. Si K est positif, on voit que la pression p(x) décroît avec x, c est-à-dire au fur et à mesure que l écoulement avance (Fig. 5.7-c). La constante K est reliée à la vitesse débitante et au débit volumique. Il est facile de vérifier que : u() = 3 2 K = 3 µ U d ) (1 2 h 2 U d, h 2 = 3 µ Q v 2 h 3 dp dx = 3 µ U d h 2 = 3 µ Q v 2 h 3 (5.12) Coefficient de perte de charge C p Le coefficient de perte de charge compare les grandeurs p(2 h) p(0) et de (1/2) ρ U 2 d, autrement dit, il compare la perte de charge sur la distance 2 h, distance égale à la largeur du canal plan, et l énergie cinétique qu aurait l unité de volume se déplaçant avec la vitesse débitante. C p = p(2 h) p(0) (1/2) ρ U 2 d = 3 µ U d h h (1/2) ρ Ud 2 = 12 µ ρ h U d C p = 24, avec R e = 2 h ρ U d R e µ (5.13) Le coefficient de perte de charge est un coefficient sans dimension. Il est proportionnel à l inverse du nombre de Renolds R e, nombre construit avec les caractéristiques phsiques ρ et µ du fluide, la vitesse débitante U d du fluide et la distance transversale 2 h entre les deux plaques. Si on avait adopté l approximation de fluide parfait, alors µ = 0 et la perte de charge aurait été nulle de même que le coefficient de perte de charge. On remarque sur la formule (5.13), que plus le fluide est visqueux, plus µ est grand et plus la perte de charge est grande. Remarquons que les caractéristiques phsiques ρ et µ du fluide n interviennent que par le rapport µ/ρ qui est la viscosité cinématique ν (voir paragraphe 5.1.1). Frottement à la paroi Considérons la surface S de la plaque située en = h. Suivant la modélisation décrite dans le paragraphe 5.1.1, la force de frottement exercée par le fluide sur S est : [ ] du τ S ( e x ) = µ S ( e x ) = µ K h d =h µ S ( e x) = K h S ( e x )

12 116 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX La force de frottement exercée par le fluide sur l unité de surface de la plaque en = h est donc : τ = K h = 3 µ U d h = 3 µ Q v 2 h 2 Remarquons que τ correspond à la valeur en = h de µ (du/d). Plus µ est grand, plus le frottement est important. De même, plus (du/d) est grand, plus le frottement est important. On remarque aussi sur la dernière expression, que plus le débit est grand, plus le frottement est important. Enfin plus le canal est étroit, c est-à-dire plus h est petit, plus le frottement est important Écoulement de Poiseuille clindrique Il s agit d un écoulement stationnaire, d un fluide incompressible, non pesant, visqueux de viscosité µ constante dans une conduite clindrique de section circulaire de raon a. Dans l espace rapporté à un repère orthonormé (O; x,, z), la conduite a pour axe (O, z). Le fluide s écoule parallèlement à l axe (O, z). On utilise les coordonnées clindriques r, θ, z autour de l axe (O, z) (Fig. 5.8-a). Cet écoulement est très souvent rencontré dans la pratique : écoulements d eau dans les conduites pour tous les approvisionnements en eau, écoulements d huile et de pétrole dans les raffineries, écoulements du sang dans les artères,... (a) z (b) z r O θ r a z A A D D B B C C θ Fig. 5.8 Écoulement de Poiseuille clindrique On introduit en chaque point de coordonnées (r, θ, z), le trièdre orthonormé local direct ( e r, e θ, e z ). On cherche une solution sous la forme : U = w(r) e z, avec r = x 2 + 2, p = p(z) L écoulement cherché est cisaillé dans la direction (O, z). Comme le fluide est incompressible de masse volumique ρ = cste, l équation de la conservation de la masse (Chapitre 3, formule (3.23)) se réduit à div U = 0, équation qui est automatiquement vérifiée. (L étudiant est invité à le vérifier). Écrivons maintenant la loi fondamentale de la dnamique pour un petit volume V dont les six faces sont les six surfaces indiquées sur la figure 5.8-b, et dont les huit sommets A, B, C, D, A, B, C et D ont respectivement pour coordonnées (r, θ, z), (r+ r, θ, z), (r+ r, θ+ θ, z), (r, θ + θ, z), (r, θ, z + z), (r + r, θ, z + z), (r + r, θ + θ, z + z) et (r, θ + θ, z + z) (Fig. 5.8-b). Les forces s exerçant sur ce petit volume sont, d une part les forces de pression sur les six faces et les forces de frottement dues à la viscosité.

13 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 117 Pour les forces de pression, comme p ne dépend que de z, les efforts sur les quatre surfaces parallèles à l axe (Oz) se compensent et donnent une contribution nulle. Sur les deux faces perpendiculaires à l axe (Oz), la résultante des efforts de pression est : p(z + z) (r θ r) e z + p(z) (r θ r) e z (r θ r) étant l aire de chacune des faces ABCD et A B C D. Pour les forces de frottement visqueux, celles-ci sont présentes sur les faces AA DD et BB CC parallèles à la vitesse w(r) e z, et car la vitesse w(r) e z varie dans la direction normale à ces faces en introduisant ainsi du cisaillement. La vitesse est parallèle à l axe (O, z), et est donc perpendiculaire aux deux faces ABCD et A B C D. Comme conséquence, il n a aucun frottement au niveau de ces faces. Enfin, sur les faces ABA B et CDC D, la vitesse est parallèle à ces faces et conserve la même valeur de part et d autre de chaque face : il n a donc pas de frottement. La résultante des forces de frottement sur le petit volume est donc : µ dw(r) dw(r + r) r θ z e z + µ (r + r) θ z e z dr dr On peut donc écrire la loi fondamentale de la dnamique : ρ Γ r θ r z = { p(z + z) + p(z)} r θ r e z { dw(r + r) +µ (r + r) r dw(r) } θ z e z dr dr Considérons Γ. On a : DU Γ = Dt = Dw ( Dt e z = w e z ) grad w e z = 0 car w(r) ne dépend que de x et de et pas de z. Projetons maintenant l équation de la dnamique sur l axe (O, z), et divisons les résultat par r θ r z : p(z + z) p(z) + µ ( 1 dw(r + r) (r + r) r dw(r) ) = 0 z r r dr dr Faisons tendre z vers 0 : le premier terme tend vers la dérivée en z de p(z). Faisons tendre r vers 0 : le second terme tend vers le produit de µ/r par la dérivée en r de r dw/dr. Ainsi on obtient : dp dz = µ ( d r dw ), w = w(r), p = p(z) (5.14) r dr dr Le premier membre de (5.14) ne dépend que de z, alors que le second ne dépend que de r. L égalité n est possible qu avec une fonction constante. Nous écrirons, comme pour l écoulement de Poiseuille plan : µ r ( d r dw ) = dp = K, K = constante (5.15) dr dr dz La solution pour w(r) s obtient facilement : ( d r dw ) = K r dr dr µ, r dw dr = K µ dw dr = K µ r 2 + A r, w = K µ Finalement, la solution des équations (5.15) est la suivante : w = K µ r 2 4 r A r A ln(r) + B + A ln(r) + B, p(z) = K z + p(0) (5.16) où A et B sont deux constantes d intégration, et p(0) la valeur de la pression en x = 0.

14 118 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX Solution de l écoulement de Poiseuille au sein d une conduite au repos Nous adjoignons aux équations (5.15), la condition aux limites d adhérence du fluide sur la paroi r = a de la conduite, c est-à-dire w(a) = 0. Il est à noter, qu il a deux constantes d intégration, A et B, et qu ici nous n écrivons qu une condition sur w(r). En fait, il faut bien remarquer que nous cherchons la vitesse w(r) de l écoulement au sein de la conduite d axe (O, z), et que cette vitesse ne peut prendre une valeur infinie. Dans l expression de w(r) donnée dans (5.16), le terme A ln(r) ne peut être présent car il tend vers l infini quand r tend vers zéro. Nous devons donc faire A = 0. Si nous avions étudié l écoulement entre deux clindres coaxiaux d axe (O, z) où l axe (O, z) n est pas à l intérieur du fluide en écoulement, ce terme A ln(r) serait à garder. Avec A = 0 et la condition w(a) = 0, on trouve la constante B : B = (K a 2 )/(4 µ). Finalement la solution pour w(r) et p(z) est : w = K 4 µ (r2 a 2 ), p(z) = K z + p(0) (5.17) Description de la solution de l écoulement de Poiseuille au sein d une conduite au repos Supposons K > 0. Sur la figure 5.9-a, nous dessinons le profil de la vitesse w(r) dans un plan méridien. Ce profil est dit «parabolique», car la courbe représentative dans ce plan est une parabole d axe (O, z). Dans l espace, le profil est engendré par la rotation de cette parabole autour de l axe (O, z). La surface obtenue est un paraboloïde (Fig. 5.9-b). Pour r = a la vitesse est nulle, et pour r = 0 la vitesse est maximale avec la valeur K a 2 /(4 µ). Notons U M cette vitesse maximale. z z z U M U M U d (a) (b) (c) Fig. 5.9 Description de l écoulement de Poiseuille clindrique avec K > 0 Calculons le débit volumique Q v à travers la section S correspondant au disque (z = 0, r < a). On a : Q v = S 2π a K w(r) r dr dθ = dθ µ (r2 a 2 ) r dr = 2 π K 4 µ Q v = K π a4 8 µ = π a2 [ r 4 4 a2 r 2 ] a = 2 π K a µ 4 ( ) K a 2 = π a 2 U d (5.18) 8 µ

15 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 119 où nous avons introduit U d = K a 2 /(8 µ) qui a la dimension d une vitesse : U d est appelée vitesse débitante. C est la vitesse que le fluide aurait pour avoir le même débit dans l approximation du fluide parfait (Fig. 5.9-c). On remarque que : U d = (1/2) U M. U M = K a2 4 µ, U d = K a2 8 µ, U d = 1 2 U M Revenons à l expression de la pression donnée en (5.17). On a : dp p(z) p(0) = K z, dz = K On appelle perte de charge par unité de longueur la valeur de la dérivée dp/dz, c est-à-dire K. Si K est positif, on voit que la pression p(z) décroît avec z, c est-à-dire au fur et à mesure que l écoulement progresse dans la direction des z positifs. Comme pour l écoulement de Poiseuille plan, la constante K est reliée à la vitesse débitante et au débit volumique. Il est facile de vérifier que : Ainsi on a : ( ) w(r) = 2 U d 1 r2 a 2 = 2 Q v π a 2 K = 8 µ U d a 2 = 8 µ π a 4 Q v ) (1 r2 a 2, dp dz = 8µ U d a 2 = 8µ π a 4 Q v (5.19) Coefficient de perte de charge C p Le coefficient de perte de charge C p compare les deux grandeurs p(2 a) p(0) et (1/2) ρ U 2 d, autrement dit C p compare la perte de charge sur la distance 2 a, distance égale au diamètre de la conduite, et l énergie cinétique qu aurait l unité de volume se déplaçant avec la vitesse débitante. C p = p(2 a) p(0) (1/2) ρ Ud 2 C p = 64 = 8 µ U d a a (1/2) ρ Ud 2 = 64 µ ρ 2 a U d, avec R e = 2 a ρ U d (5.20) R e µ Le coefficient de perte de charge, coefficient sans dimension, est proportionnel à l inverse du nombre de Renolds R e, nombre construit avec les caractéristiques phsiques ρ et µ du fluide, la vitesse débitante U d du fluide et le diamètre 2 a de la conduite. Comme pour l écoulement de Poiseuille plan, on voit que si on avait adopté l approximation de fluide parfait, alors µ = 0 et la perte de charge aurait été nulle de même que le coefficient de perte de charge. On voit aussi sur la formule (5.20), que plus le fluide est visqueux, plus µ est grand et plus la perte de charge est grande. Frottement à la paroi Considérons la surface S de la conduite d aire a θ z. Suivant la modélisation décrite dans le paragraphe et ci-dessus, la force de frottement exercée par le fluide sur S est : [ ] [ ] dw K 2 r µ S ( e z ) = µ S e z = µ K a dr 4 µ 2 µ e z r=a La force de frottement exercée par le fluide sur l unité de surface de la paroi de la conduite est donc : τ = K a 2 = 4 µ U d = 4 µ Q v a π a 3 Plus µ est grand, plus le frottement est important. De même, plus le débit est grand, plus le frottement est important. r=a

16 120 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX Écoulement laminaire, écoulement turbulent L étude de l écoulement stationnaire d un fluide dans une conduite clindrique, que nous venons de faire (paragraphe 5.3.2) représente un cas simple où il est facile de confronter théorie et expérience. Il est facile de porter sur un graphe la variation de C p en fonction de R e donnée par la formule (5.20) : sur la figure 5.10-a, c est la partie de courbe correspondant au cas laminaire. 1 C p Régime laminaire (a) 10 1 Régime turbulent R e (b) Manomètre p(0) p(2 a) Fig Écoulement laminaire et écoulement turbulent Expérimentalement, on sait étudier l écoulement dans une conduite et mesurer simultanément la différence de pression par unité de longueur (p(0) p(2 a))/(2 a) et le débit volumique Q v (Fig b). Sachant que Q v = π a 2 U d, on peut à partir de ces deux mesures obtenir les valeurs des deux quantités C p et R e en écrivant : C p = p(0) p(2 a) (1/2) ρ Ud 2, R e = 2 a ρ U d µ Ces valeurs sont ensuite portées sur le graphe (C p, R e ) (Fig a). On constate qu il a deux régimes d écoulements principaux. Le premier est celui où la formule (5.20) est vérifiée ; il est dit laminaire. Le second est celui où la formule (5.20) n est plus vérifiée et où la loi liant C p et R e est approximativement C p = Re 1/4 : l écoulement est dit turbulent. De très nombreuses expériences ont été réalisées. Pour l écoulement dans une conduite, il est montré que l écoulement est toujours laminaire pour R e < 2500 et qu en général, il est turbulent pour R e > 4000 (P. Germain et P. Muller, Introduction à la mécanique des milieux continus, Masson et Cie, Paris, 1995). Il en résulte que la plupart des écoulements industriels (dans des tuaux) sont turbulents. Par exemple, de l eau qui s écoule dans un tuau de 10 cm de diamètre avec la vitesse débitante de U d = 1 m/s (soit un débit volumique de 470 litres par minute) correspond à un nombre de Renolds de R e = (0, 1 1)/(10 6 ) = 10 5, la viscosité cinématique de l eau étant : ν = Nous terminons ce chapitre avec quelques visualisations d écoulements. Toutes ces visualisations sont extraites du livre : «An Album of Fluid Motion», Assembled b Milton Van Dke, The Parabolic Press, Stanford, California, 1982.

17 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 121 La figure représente un écoulement laminaire le long d une plaque plane au repos. La plaque est horizontale. Les vitesses sont parallèles à la plaque et ont un module croissant depuis 0 jusqu à une valeur pratiquement constante, valeur qui correspond à la vitesse de l écoulement en amont de la plaque. Profil de vitesse Plaque au repos Fig Visualisation d une couche limite le long d une plaque plane (Wortmann, 1982) La figure représente un écoulement d eau autour d un profil de révolution. La visualisation est faite avec des très petites bulles d air. Elle met en évidence les lignes de courant d un écoulement presque partout stationnaire et laminaire. Près de la paroi supérieure, on devine la présence de la couche limite, et on voit une petite zone d écoulement turbulent (il a séparation de la couche limite puis recollement). Fig Visualisation d un écoulement laminaire autour d un profil (ONERA, Werlé, 1972)

18 122 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX Fig Couche de mélange (Rebollo, Brown et Roshko, 1974) Deux fluides de mêmes masses volumiques, (azote et un mélange hélium - argon), s écoulent parallèlement l un à l autre, avec des vitesses différentes. Il se crée une zone de mélange (voir paragraphe 5.1.2). Sous des conditions particulières d écoulement, on peut obtenir la figure 5.13 qui représente une zone de mélange relativement structurée avec la présence de tourbillons. Une petite plaque plane inclinée à 45, se déplace en translation à vitesse constante de gauche à droite, dans de l eau. La visualisation, faite avec de la poussière d aluminium, montre le sillage à l arrière de la plaque. Le nombre de Renolds dans cette expérience est de L écoulement dans la zone du sillage est turbulent. Fig Sillage derrière une plaque inclinée (Cantwell, 1981)

19 5.3. EXEMPLES D ÉCOULEMENTS VISQUEUX 123 Une sphère est placée dans un écoulement d air, allant de gauche à droite, et dont la vitesse est supérieure à la vitesse du son (écoulement supersonique). En amont de la sphère, il se forme une onde de choc visualisée par la ligne noire d allule parabolique. Cette ligne (en fait une surface) est une ligne au travers de laquelle les grandeurs, telles que la masse volumique, la pression et la température, sont discontinues. Les mesures montrent que les valeurs de ces trois grandeurs dans la zone proche de la sphère sont supérieures à leurs valeurs dans la zone en amont (à gauche sur la figure). Dans ce tpe d écoulement, la sphère subit un échauffement. En aval de la sphère, on a un sillage qui devient rapidement turbulent. Fig Onde de choc en amont d une sphère et sillage en aval (Charters, 1982)

20 124 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX 5.4 Exercices avec corrections Exercice I : écoulement entre deux plaques mobiles On considère l écoulement stationnaire, plan, d un fluide incompressible, non pesant, visqueux de viscosité µ constante entre deux plans parallèles d équation = ±h (Fig a). Les deux plaques se déplacent dans leur plan avec la vitesse U 0 > 0. On suppose que l écoulement se fait avec une vitesse parallèle à l axe (O, x), et que la pression ne dépend que de x : U = u() e x et p = p(x). Enfin, on rappelle (voir le cours, paragraphe 5.3.1) que l écoulement est décrit par l équation suivante : µ d2 u d 2 = dp (I.1) dx 1. Montrer que dp/dx est constant. On posera dp/dx = K. 2. Quelles sont, pour ce problème, les conditions aux limites pour la vitesse? 3. En utilisant les deux questions précédentes, exprimer le champ de vitesse et le champ de pression en fonction de la constante K et des données. Quelle est l interprétation phsique de la constante K? 4. Calculer le débit volumique Q v entre les deux plaques dans la direction e x. On calculera le débit au travers d une surface perpendiculaire au plan de la figure de hauteur 2h et de profondeur l = 1. Exprimer K en fonction de Q v. 5. Tracer le profil des vitesses. (a) (b) U 0 +h +h e x O x O x h U 0 h Fig Exercice I : écoulement entre deux plaques parallèles Corrigé 1. Il s agit d un écoulement stationnaire, plan, d un fluide incompressible, non pesant, visqueux de viscosité µ constante (Fig a). La solution d après le cours (paragraphe 5.3.1) est telle que : U = u() e x et p = p(x), ces grandeurs vérifiant l équation (I.1). Le premier membre de (I.1) est une fonction de la seule variable et le second membre de la seule variable x. L égalité n est possible qu avec une fonction constante. On a donc : dp dx = K (I.2) 2. Les conditions aux limites d adhérence du fluide sur les deux parois = ±h s écrivent : u(h) = U 0 u( h) = U 0 (I.3)

21 5.4. EXERCICES AVEC CORRECTIONS On intègre l équation (I.2). D où : p(x) = K x + p(0). Pour u(), on peut écrire : µ d2 u d 2 = K, u() = K 2 µ (2 + A + B) où A et B sont deux constantes d intégration. Les conditions aux limites (I.3) impliquent : u(h) = U 0 = K 2 µ (h2 + A h + B), u( h) = U 0 = K 2 µ (h2 A h + B) d où : Finalement la solution est : A = 0, B = h 2 2 µ K U 0 u() = U 0 + K 2µ (h2 2 ) (I.4) La constante K est telle que dp/dx = K. Si K > 0, la constante K correspond à la diminution de pression (perte de charge) par unité de longueur en x. Si la constante K est nulle, alors la vitesse du fluide est constante dans tout l écoulement et vaut U 0 e x. 4. Le débit volumique Q v à travers la section (x = 0, h < < h, 0 < z < l) avec l égal à l unité de longueur vaut : Q v = +h h u() d = 2 h U 0 + K 2 µ Q v = 2 h U h3 K 3 µ = 2 h U h ] +h [h h ) = 2 h (U 0 + U d ) (I.5) 3 µ ( K h 2 où nous avons introduit U d = K h 2 /(3µ), quantité qui a la dimension d une vitesse. La constante K est reliée au débit Q v et il est facile de vérifier que : K = 3 µ Q v 2 h 3 3 µ U 0 h 2 (I.6) On remarque que si U 0 = 0, on retrouve les résultats du cours (paragraphe 5.3.1). Par ailleurs, si K = 0, c est-à-dire si la pression est constante tout le long de l écoulement, la vitesse du fluide est une constante par rapport à et le débit est Q v = 2h U 0. Le mouvement imposé aux plaques se transmet au fluide. 5. Voir figure 5.16-b Exercice II : Chute d une bille d acier dans la glcérine Soit une bille d acier, homogène, de masse volumique ρ a, de raon R, lâchée avec une vitesse initiale nulle dans un récipient de grandes dimensions par rapport au raon de la bille et rempli de glcérine (figure 5.17). La glcérine a une masse volumique ρ g et une viscosité dnamique µ. On suppose ρ g < ρ a. L ensemble est plongé dans le champ de pesanteur g. On cherche à calculer la vitesse de chute V de la bille en supposant que V = V (t) e z, t étant le temps et e z le vecteur unitaire vertical dirigé vers le haut. On admet que le bilan des forces s exerçant sur la bille est le suivant : la force due au champ de pesanteur,

22 126 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX z z bille V (t) g e z glcérine Fig Exercice II : Chute d une bille d acier dans la glcérine la poussée d Archimède exercée par la glcérine sur la bille (on fait l approximation que le théorème d Archimède s applique même si le fluide n est pas au repos), la force due à la viscosité exercée par la glcérine sur la bille sachant que l on peut l approximer par la loi de Stokes f = 6 π µ R V. 1. Détailler l expression de chacune des forces et leur projection sur l axe e z. 2. Écrire l équation différentielle régissant V (t). 3. Intégrer cette équation sachant que V = 0 quand t = 0. Qu a t-on quand t +? 4. On admet que l on peut faire un film de l expérience. Comment peut-on procéder pour mesurer la viscosité de la glcérine? 5. Application numérique : quelle est la vitesse de chute limite pour une bille d acier de 1 cm de diamètre, sachant que ρ a = 7800 kg.m 3, ρ g = 1260 kg.m 3, que µ = 1490 Pa.s et que g = 10 m.s 2. Corrigé 1. Avec les notations introduites dans l énoncé, les différentes forces sont : la force due au champ de pesanteur : ρ a g (4/3)π R 3 e z appliquée au centre de la bille, la poussée d Archimède : ρ g g (4/3) π R 3 e z appliquée au centre de la bille, la force due à la viscosité : 6 π µ R V (t) e z appliquée au centre de la bille. 2. L accélération de la bille est la dérivée par rapport au temps de la vitesse : V (t) e z. La loi fondamentale de la dnamique, pour la partie résultante, s écrit comme il suit : ρ a (4/3) π R 3 V (t) e z = ρ a g (4/3) π R 3 e z + ρ g g (4/3) π R 3 e z + 6 π µ R V (t) e z V + 9 µ ( 2 ρ a R 2 V = g 1 ρ ) g ρ a (II.1) 3. On a une équation différentielle linéaire du premier ordre pour V (t). On intègre l équation homogène : V + 9 µ { V = 0, V = K exp 9 µ } 2 ρ a R2 2 ρ a R 2 t

23 5.4. EXERCICES AVEC CORRECTIONS 127 où K est une constante d intégration. Pour intégrer l équation complète, on utilise la méthode de la variation de la constante. Il vient : { K exp 9 µ } ( 2 ρ a R 2 t = g 1 ρ ) g ρ a ( K = g 1 ρ ) { } g 9 µ exp ρ a 2 ρ a R 2 t ( K = g 1 ρ ) ( g 2 ρa R 2 ) { } 9 µ exp ρ a 9 µ 2 ρ a R 2 t + A où A est la constante d intégration. La solution de l équation différentielle est donc : { V (t) = A exp 9 µ } ( 2 ρ a R 2 t + g 1 ρ ) ( g 2 ρa R 2 ) ρ a 9 µ La condition initiale donnée en t = 0 implique : ( 0 = A + g 1 ρ ) ( g 2 ρa R 2 ) ρ a 9 µ et la solution cherchée est : ( V (t) = g 1 ρ ) ( g 2 ρa R 2 ) ( { 1 exp 9 µ }) ρ a 9 µ 2 ρ a R 2 t (II.2) Quand t +, le terme avec l exponentielle tend vers zéro, et la vitesse V (t) tend vers une constante : ( V (t) g 1 ρ ) ( g 2 ρa R 2 ) V (II.3) ρ a 9 µ Comme ρ g < ρ a, la vitesse V (t) tend vers une valeur positive. Autrement dit, la bille chute avec une vitesse constante. On a noté V cette vitesse limite. Remarque : La constante 2 ρ a R 2 /(9 µ) figurant dans l exponentielle a la dimension d un temps, comme il est facile de le vérifier. Si on appelle τ 0 ce temps, on remarque que (II.2) s écrit : V (t) = g τ 0 ( 1 ρ g ρ a ) ( 1 exp { t τ 0 4. On suppose que la bille a atteint sa vitesse limite V. Avec un appareil photo, on visualise les positions z et z + z de la bille aux instants t et t + t. À partir des mesures de z et de t, on a la vitesse V, donc µ par la formule (II.3) : µ = }) ( 1 ρ ) g 2 ρa g R 2 avec V = z ρ a 9 V t 5. La vitesse de chute limite V est donnée dans (II.3) : ( V = 1 ρ ) ( g 2 ρa g R 2 ) = ρ a 9 µ ( ) (0, 5) V = 2, m.s 1 = 0, 24 mm.s 1 Cette vitesse est très petite (environ 0,9 mètre par heure).

24 128 CHAPITRE 5. NOTION DE FLUIDES VISQUEUX

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