Chapitre deux : écoulements visqueux... simples?

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1 Objectifs Chapitre deux : écoulements visqueux... simples? Différences entre fluides parfaits et fluides réels. Écoulements conduisants aux solutions exactes des équations de Navier Stokes : écoulements unidirectionnels. Écoulements à faible nombre de Reynolds : la loi de Darcy. L écoulement de Stokes sur une sphère. Lubrification hydrodynamique. L expérience de Reynolds Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

2 Fluides réels Équations de mouvement Fluides réels Tout fluide réel est un fluide visqueux : µ 0. Lors de son mouvement, toute particule est soumise aux forces de frottement et (en régime turbulent) à la turbulence. Pour vaincre ces forces d énergie cinétique est dissipée et transformée en énergie thermique traduit par une perte de charge. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

3 Fluides réels Équations de mouvement ρ v + ρ( v ) v } t {{} force d inertie Le nombre de Reynolds Re U et L : vitesse et longueur caractéristiques = p }{{} forces de pression + ρ f }{{} + forces volumiques (η + 13 µ ) ( v) µ v + } {{ } forces visqueuses Fluide newtonien Forces d inertie convectives par unité de volume, ρ v v Force de viscosité, µ 2 v force d inertie forces de viscosité ρu2 µu/l = UL ν = Re Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

4 Écoulements unidirectionnels Écoulement unidirectionnel = lignes de courant sont des droites parallèles à la direction de l écoulement, t. Exemple : u = (u, v, w) u(y, z, t) x u x + v y + w z = 0 Eq. Continuité u = u(y, z, t) x = v = w = 0= u x = 0 D où u ne dépend pas de x. Alors les équations de Navier Stokes se réduisent alors à «u 2 u = ν t y + 2 u 1 p 2 z 2 ρ x, p y = 0, p z = ρg. 2ème éq. = p p(x, z, t). 3ème éq = p(z, x, t) = ρgz + P(x) p/ x = P (x) = dp/dx. D où Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

5 Écoulement entre deux plaques planes Hypothèses : u = u(y), v = 0, p = p(x). D où p x = dp dx = Cte. Équations u x + v y = 0 0 = p x + µ 2 u y 2 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

6 Écoulement entre deux plaques planes Solution u = 1 µ dp dx y C1y + C2 u(y = 0) = 0 = C 2 = 0 u(y = d) = U p = C 1 = U p/d 1 dp d µ dx 2 D où : «dp y(d y) y u = + U p dx 2µ d Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

7 Écoulement entre deux plaques planes Profiles de vitesse Quand dp dx < 0 et (U p = 0) Up = 0, cet écoulement est appelé écoulement de Poiseuille plan et est obtenu éxperimentalement pour un nombre de Reynolds Re = (du p/ν) Vitesse u max obtenue dans la plan y = d/2 : u max = dp «d 2 dx 8µ Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

8 Écoulement entre deux plaques planes Débit volumique Q, par unité de largeur du canal : Z d Q = u(y)dy = dp «d 3 dx 12µ Vitesse moyenne U : Chute de pression : 0 U = Q S = dp «d 2 dx 12µ = 2 3 umax p l = dp «= 12µU dx d 2 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

9 Écoulement dans une conduite cylindrique x écoulement non-visqueux le Longueur d entrée u(x, r) δ ro r δ Couche limite écoulement entièrement établi u(r) Écoulement unidirectionnel, incompressible et stationnaire dans une conduite horizontale de rayon R. Fluide non-pesant. Vitesse (u, v r, v θ ), système de coordonnées cylindriques (x, r, θ). Symétrie de révolution = (v r, v θ ) = (0, 0). u fonction de r (r 2 = y 2 + z 2 ) seulement. Écoulement parallèle à l axe des x. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

10 Écoulement dans une conduite cylindrique Équations Conséquences : 0 = p r, 0 = 1 p r θ, 0 = p x + µ1 r [ ( r u )]. r r Les Premières deux éqs. conduisent à p p(x). (Troisième éq. + u(r)) = p x = dp dx = constante. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

11 Écoulement dans une conduite cylindrique Conditions aux limites Condition du symétrie : u(r = 0) = u max = u r Condition de non-glissement : u(r = R) = 0. = 0. r=0 Solution dite de Hagen-Poiseuille u = 1 ( ) dp r 2 µ dx 4 + C 1 ln r + C 2 Condition du symétrie en r = 0 conduit à C 1 = 0. Condition de non-glissement conduit à C 2 = 1 µ Solution : u = 1 ( dp ) (R 2 r 2 ). 4µ dx ( dp dx ) R 2 4 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

12 Écoulement dans une conduite cylindrique u max = 1 4µ R ( dp ) R 2 dx Q = u(2πrdr) = π ( 0 8µ π dp ) D 4 128µ dx Vitesse moyenne ( : π dp 8µ dx U = Q ( S = 1 dp 8µ dx ) R 4 πr 2 = ) R 2 = 1 2 u max ( dp ) R 4 = dx Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

13 Écoulement dans une conduite cylindrique Chute de pression et perte de charge Chute de pression : p l = dp dx = 8 µ U R 2 = 32 µ U D 2 h r = p ρg = 32 µ U ρgd 2 = ( ) ( ) 64 l U 2 = ( U D/ν ) D 2g 64 l ( ) U 2 Re D = 2g }{{}}{{} coefficient de énergie cinétique frottement par unité de volume f l ( ) U 2 D 2g Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

14 Écoulement dans une conduite cylindrique Chute de pression, contrainte de cisaillement τ τ = µ du dr r = 0, τ = 0 ( ) dp R r = R, τ = dx 2 = τ o Force de frottement, F : F = (2πR l)( τ o ) ( = (2πR l) dp ) R dx 2 = πr 2 l p l = πr 2 p Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

15 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement dans un tube annulaire Écoulement unidirectionnel avec symétrie de révolution Solution : u = 1 ( dp ) [(r 2 2 r 2 )+ 4µ dx (r2 2 r1 2 ) ln(r/r ] 2) ln(r 2 /r 1 ) r2 Solution générale : Débit : Q = u(2πrdr) = u = 1 ( ) dp r 2 µ dx 4 +C ( r 1 1 ln r+c 2 π dp ) [(r 42 r 41 ) (r 2 2 r 2 ] 1 )2 8µ dx ln(r 2 /r 1 ) Conitions aux limites : u(r = r 1 ) = u(r = r 2 ) = 0 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

16 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement de couette cylindrique Écoulement de couette cylindrique Hypothèses Écoulement incompressible entre deux cylindres coaxiaux induit par leurs rotations. Système (r, θ, x) avec v = (v r, v θ, v x). Écoulement avec v v(r) et p p(r) observé expérimentalement à faible vitesse. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

17 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement de couette cylindrique Équations Continuité : v r r + v r = 1 (rv r ) = 0 = rv r = C = constante r r r v r (r = R 1 ) = v r (r = R 2 ) = 0 = v r = 0, r Équations de mouvement : v 2 θ r = 1 p ρ r ( 2 v θ r 2 0 = ν + 1 r v θ r v ) θ r 2 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

18 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement de couette cylindrique Solution Intégrant deux fois par rapport à r : v θ r + v θ r = C 1 soit (rv θ ) r = rc 1 rv θ = 1 2 C 1r 2 + C 2 soit v θ = 1 2 C 1r + C 2 r Conditions aux limites : v θ (r = R 1 ) = R 1 Ω 1, v θ (r = R 2 ) = R 2 Ω 2 Solution : v θ = (Ω 2 R2 2 Ω 1 R1 2) R2 2 r (Ω 2 Ω 1 ) R1 2R2 2 1 R2 1 R2 2 R2 1 r. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

19 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement de couette cylindrique Cas particuliers R 1, R 2 t.q. R 2 R 1 = constante = d : Résultat : écoulement plan de Couette : v θ = (Ω 2 Ω 1 )R 1 (y/d) Ω 1 = Ω 2 = répartition linéaire de vitesse : v θ = Ω 1 r Résultat : un mouvement de rotation en bloc. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

20 Écoulement dans un tube annulaire Écoulement de couette cylindrique Forces et moments, base ( e r, e θ, e x ) associée à (r, θ, x) ( 1 v r Contraintes tangentielles : σ θr = µ r θ + v θ r v ) θ r = 2C 2µ r 2 Force de frottement : F frottement = (2πR 1 1) ( σ θr ) e θ }{{}}{{} surface du cylindre contrainte de par unité de longueur 2C 2µ frottement visqueux= R1 2 Moment : M = R 1 er F frottement = 4πµ (Ω 2 Ω 1 ) R 2 1 R2 2 R 2 2 R2 1 Si R 2 = R + R 1, M 2πR 2 1 lµ (Ω 2 Ω 1 ) R 1 R ex Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

21 Écoulement dans un tube annulaire Le viscomètre Le Viscomètre de Couette R R 2, R = (R 1 + R 2 )/2, l = hauteur du liquide, ω o = vitesse angulaire Contrainte de cisaillement : σ = M 2πR 2 l Taux de de cisaillement : γ = R R ω o Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

22 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds ) ( Forces d inertie (forces d accélération) Forces de pression ou forces de viscosité Éq. de Navier-Stokes : p + ρg e z = (p + ρgz) = p = µ 2 v Éq. continuité : v = u x + v y + w z = 0. ( p ) = µ 2 ( v) = 2 p = 0 ou ( p ) = (µ 2 v ) = 2 ω = 0 (faible v et/ou faible Re) + ( 2 p = 0 ou 2 ω = 0) = Écoulement rampant Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

23 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Charactéristiques Milieu poreux Un milieux englobant des cavités/pores communiquants Écoulement à faible vitesse ; faible Re basé sur la taille des pores : Re 1 Loi de Darcy : Vitesse moyenne : V x = K «p µ x K coefficient intrinsèque de perméabilité Calcaire : K = m 2 Sable : K = m 2 l Unité Darcy = 1 (µm) 2 = m 2 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

24 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Vitesse de Darcy, vitesse moyenne V x = Q S Débit Q, section S Vitesse de Darcy : Vx = 1 Q φ S volume des pores (espace vide) Porosité φ = volume total Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

25 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy L écoulement de Stokes (écoulement rampant) autour d une sphère F D Système sphérique (r, φ, θ) associé au vecteur vitesse (v r, v ϕ, v θ ) x z ϕ θ F g r y Écoulement axisymétrique, composante de vitesse azimuthale nulle, v θ = 0, Éq. de continuité se réduit à : ( ) 1 r 2 v r r (sin ϕv ϕ ) = 0, r r sin ϕ ϕ fonction de courant Ψ : U v r = 1 Ψ r 2 sin ϕ ϕ, v ϕ = 1 Ψ r sin ϕ r Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

26 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Écoulement rampant : v = 0, 2 ω = 0 F D Écoulement axisymétrique avec v = 0 Ψ t.q v = ( e θ Ψ), x z ϕ θ F g r v = ( e θ Ψ) = e r r e ϕ r sin ϕ e θ 1 y r 2 sin ϕ r ϕ θ 0 0 Ψ Alors : ω = v = ( ( e θ Ψ)) = ( ( e θ Ψ)) 2 ( e θ Ψ) Compte tenu de l axisymétrie Ψ Ψ(r, ϕ) U ( e θ Ψ) = 0 ω = 2 ( e θ Ψ) 4 ( e θ Ψ) = 0 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

27 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Sphère fixe du rayon R = D/2, écoulement uniforme loin de la sphère à vitesse U constante en coordonnées sphériques (r, ϕ, θ), en r : v r = U cos ϕ, v ϕ = U sin ϕ Solution de Ψ : Ψ = 1 2 r 2 sin 2 ϕu [ 1 2 ( ) 3 R 3 r 2 ( ) ] R + 1 r Solution de vitesse : [ (R v r = 1 ) 3 ( R 2 cos ϕu 3 r r v ϕ = 1 ( ) 3 R [ 4 sin ϕu 3 r ) ] + 2, ( ) ] R + 4 r Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

28 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Solution : contraintes pression : p = p 3 cos ϕ µru 2 r 2 contraintes : σ rϕ = 3 µu 2 R sin ϕ ( ) 4 R, r σ rr = p + 3 µu R cos ϕ [ (R r ) 2 [ (R σ ϕϕ = p 3 µu 2 R cos ϕ r ) 2 ( ) ] 4 R, r ( ) ] 4 R r Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

29 Écoulement à faible vitesse ou faible nombre de Reynolds Écoulement dans les milieux poreux Loi de Darcy Force de traînée = z F D 1. Force de traînée par unité de surface dans la direction de l écoulement : z δfd = σ rr er + σ rϕ eϕ z σ rr er 2. δfd = σ rr z er + σ rϕ z eϕ δfd = σ rr cos ϕ + σ rϕ sin ϕ, δfd = p cos ϕ + σ rϕ sin ϕ, en r = R, x ϕ z [σrr er + σ rϕeϕ ] y σ rϕeϕ 3. δf D = 3 µu 2 R cos2 ϕ + 3 µu 2 R sin2 ϕ = 3Uµ 2R 4. Force de traînée : F D = (surface de sphère) δf D = 6πµRU Coefficient de traînée : C D = F D/S 24 1 = 2ρU2 Re, S = πr 2 : section maître couple Re = UD ν Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

30 Lubrification Hydrodynamique Problème Lubrification Hydrodynamique Problème : frottement/glissement entre deux surfaces en mouvement relatif Exemples : joints, roulement à billes, piston-cylindre ou essieu logement, tête de lecture/écriture de disque dur, l aquaplaning parti flexible de bras : patin tête de lecture distance de vol plateau du disque dur : glissière À gauche : une tête de lecture, à droite : un arbre cylindrique tournant à l intérieur d un cylindre de diamètre légèrement plus grand, les deux cylindres ne sont pas coaxiaux. Une réduction importante de frottement est réalisée lorsque les deux surfaces en regard sont prèsque parallèles et séparées par un film mince de fluide visqueux Pourquoi? : Augmentation importante de pression entre les deux surfaces en regard Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

31 Lubrification Hydrodynamique Exemple et justification Exemple et justification Grandeurs caractéristiques : U vitesse, U = 10 m/s H espacement, H = 0.2 mm L longueur, L = 10 cm ν viscosité cinématique, ν = m 2 /s Rapport de forces forces d origine inertielle forces d origine visqueuse = u u/ x ν 2 u/ y 2 = U2 /L νu/h ( ) 2 UL = ν = Re ε 2 ( ) 2 H L = ( ) 2 = où ε = H/L = Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

32 Lubrification Hydrodynamique Modélisation Équations et Conditions aux limites Conditions aux limites dp dx = µ 2 u y 2. x = 0, p = p 1, x = l, p = p 2, y = 0, u = U, y = h, u = 0 Débit volumique par unité de largeur Q = Z h 0 udy Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

33 Lubrification Hydrodynamique Modélisation Solution u(x, y) = U 1 y + dp «h 2 y 1 y. h dx 2µ h h Le débit par unité de largeur : Q = Z h 0 udy = 1 2 hu + 1 dp «h 3 12µ dx En pratique, p 1 = p 2 = dp = 0 si les 2 surface sont parallèles dx En l absence de fuit : Q = Constante dp Q dx = 12µ h U «3 2h 2 Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

34 Lubrification Hydrodynamique Modélisation Solution Or : dp dx = dp dh ( dp Q dx = 12µ h 3 U ) 2h 2 «/( dh dx ) dh dp Q. D où : dx dh = 12µ h U 3 2h 2 dh Mais : = Constante = tan θ θ = (h1 h2)/l dx Intégration par rapport à h : Z p(x) dp = 12µ p 1 θ p(x) p 1 = 12µ θ Z h(x) h 1 (» Q 2h 2 Q h U «dh 3 2h 2 h(x) h U» 1 h h(x) h 1 ) Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

35 Lubrification Hydrodynamique Modélisation Solution p(x) = p 1 + 6µ θ Avec p(l) = p 1, on trouve» 1 Q 1 «1 U 1 «h1 2 h 2 (x) h 1 h(x) Q = h1h2 h 1 + h 2 U Finalement : p(x) = p 1 + 6µU θ (h h 2)(h 1 h) h 2 (h 1 + h 2) Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

36 Lubrification Hydrodynamique Distribution de pression Solution : distribution de pression (p(x) p1) N/m x m Distribution de (p(x) p(x = 0)) pour U = 10 m/s, µ = 10 4 kg/m.s, l = 10 cm, h 1 = 0.2 mm, h 2 = 0.1 mm. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

37 Lubrification Hydrodynamique Forces de pression Force de pression s exerçant sur le patin Force de pression sur le patin par unité de largeur : F = Z x=l x=0 pdx = 6µU θ 2 ln h1 2 h 2 Force de portance du patin : F cos θ F car θ 1 Pour les données utilisées : F 159 N h1 h2 h 1 + h 2 «Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

38 Expérience de Reynolds Expérience de Reynolds 1883 Observations Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

39 Expérience de Reynolds Resumé, Re = UD/ν Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

40 Expérience de Reynolds Visualisations Écoulement laminaire Écoulement turbulent Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

41 Classification des écoulements Écoulement laminaire Écoulement laminaire On dit qu un écoulement d un fluide réel est laminaire s il se déplace en formant des lames ou couches sans se mélangeant entre elles. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

42 Classification des écoulements Écoulement turbulent Écoulement turbulent On dit qu un écoulement d un fluide réel est turbulent s il est désordonné et se déplace en formant des bouffées ou tourbillons de tailles différentes accompagnés d un mélange ou brassage intensif des particules fluides. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

43 Décomposition de l écoulement turbulent Décomposition de l écoulement turbulent La vitesse en tout point est caractérisée par des fluctuations aléatoires de haute fréquence, (u, v, w ) superposées à des vitesses moyennes temporelles, (u, v, w). Décomposition : 0 1 u B v v w C A = 0 u + u v + v w + w 1 C A avec 0 u v w 1 0 C B A C A Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

44 Décomposition de l écoulement turbulent Décomposition de l écoulement turbulent Les écoulements turbulents = structures cohérentes. Exemples : tourbillons et filaments. La diffusion de la quantité de mouvement, de l énergie cinétique, de la masse et de la chaleur devient importante dans un écoulement turbulent. Le nombre de Reynolds, Re = UL/ν est plus grand que celui associé à l écoulement laminaire correspondant. Le temps de diffusion > le temps caractéristique par convection : temps caractéristique de diffusion temps caractéristique de convection = L2 /ν L/U = UL ν = Re. Ridha ( GM3N, LmnO - Université de Caen) Dynamique des fluides réels / 44

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