Chapitre VI : Dynamique des écoulements de uides visqueux et incompressibles

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1 Spéciale SI - Cous "Mécanique des uides" 1 Complémens Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles Conens 1 Rappels 2 2 Equaion de Naie-Sokes Equaion de Naie-Sokes Résoluion de l équaion de Naie - Sokes Condiions aux limies ession hdosaique dans les écoulemens hoizonaux Exemples Flux de Couee Flux de Couee-oiseuille Champ de iesse Débi Ecoulemen de oiseuille Champ des iesses Débi lan incliné Execices 7

2 2 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles Complémens Chapie VI : Dnamique des écoulemens de -uides isqueux e incompessibles Objecifs : Exension de l équaion d Eule au uide isqueux : équaion de Naie - Sokes ; Eude de quelques écoulemens classiques. 1 Rappels ou un écoulemen unidiecionnel, el que = (,)e x, la foce de suface angenielle F, appelée foce de cisaillemen, ou de iscosié, qu exece S 1 su S 2 à aes une suface d aie S nomale à e es poée pa e x. La aleu algébique de cee foce es égale à : F = S Cee foce F end à accélée les eines apides, e à aleni les eines lenes. La iscosié es un phénomène de di4usion de la quanié de mouemen. La disibuion sufacique des foces de pession peu êe emplacée pa une disibuion olumique : f ol = gadp Dans un -uide incompessible, les foces de iscosié son équialenes à une foce olumique : f iscosié,ol = 2 Equaion de Naie-Sokes 2.1 Equaion de Naie-Sokes Rappel : Le mouemen d un -uide non isqueux dans le champ de pesaneu es égi pa l équaion d Eule : D D = gad + g Dans le cas d un -uide isqueux incompessible il su6 d ajoue la densié olumiques des foces de iscosié f iscosié,ol =. On obien alos l équaion de Naie-Sokes : D D = gad + g + Equaion de Naie-Sokes Il es possible d écie cee équaion en faisan ineeni la iscosié cinémaique = / : + D D = 1 gad + g +. gad = 1 gad + g Résoluion de l équaion de Naie - Sokes L équaion de Naie-Sokes es une exension de l équaion d Eule ; elle es donc ou aussi di6cile à ésoude : elle es non linéaie e n adme pas en généal de soluions analiques. Il exise deux cas paiculies où la ésoluion es plus facile (dispaiion du eme non linéaie (. gad)) : Cas d un écoulemen à faible nombe de Renolds : pou de els écoulemens les iesses son faibles e les foces isqueuses son impoanes. gad = 1 gad + g + Equaion de Sokes

3 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles 3 Cas d un écoulemen paallèle d un uide incompessible : L écoulemen es plan donc = (x,, z)e x ;le-uide es incompessible on a donc : di =0soi x x =0 = (, z)e x. gad = x ( x e x )=0. x L équaion de Naie Sokes s éci alos : = 1 gad + g Condiions aux limies La naue des soluions dépend aussi des condiions aux limies. Les deux cas impoans son : su une paoi, la iesse du -uide es égale à celle de la paoi fluide = paoi ; su une suface sépaan deux -uides il a coninuié des conaines (foces pa unié de suface) ; dans le cas paiculie d une suface libe (l un des deux -uides es un gaz) e d un écoulemen el que = (, )e x on a alos =0 pou le liquide à l ineface (l axe es pependiculaie à la suface libe). 2.4 ession hdosaique dans les écoulemens hoizonaux Dans le cas des écoulemens hoizonaux, les foces de pesaneu on un ôle mineu ; on masque alos les e4es de ces foces en inoduisan la pession dnamique dn elle que : = s + dn s es la pession hdosaique c es à die la pession qui ègneai dans le -uide aec la même géoméie s il éai immobile ( s es elle que gad s = g). L équaion de Naie Sokes s éci alos : D D = gad + g + D D = gad + gad s + D D = gad( s )+ D D = gad dn + Remaque : la pession saique es dé>nie à une consane addiie pès ; il en es donc de même pou la pession dnamique. L exisence d une suface libe peme de lee cee indéeminaion. 3 Exemples Dans les paagaphes 3.1., 3.2. e 3.3. on noe la pession dnamique. 3.1 Flux de Couee Soi deux plans paallèles e hoizonaux d équaion =0e = h. On suppose que : le plan supéieu se déplace à la iesse consane = o e x ; la pession ne dépend pas de x : = (, z) ; on n impose aucun gadien de pession suian Ox ;

4 4 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles l écoulemen es saionnaie. La iesse du -uide es donc de la fome = ()e x. D apès le paagaphe 2.4. l équaion de Naie Sokes s éci : gad + = = 0 En adopan les coodonnées caésiennes on obien : x + 2 =0e =0e =0 = cse e = a + b 2 z Les condiions aux limies pemeen de déemine les consanes d inégaion a e b : (0) = 0 e (h) = o = o h e x Le -ux de Couee coespond à une iesse du -uide aian linéaiemen ene les deux plaques : = o h e x Remaques : 1) Dans ce écoulemen l équialen olumique des foces de iscosié es nulle à l éa saionnaie mais la iscosié es ou de même esponsable de la mise en mouemen du -uide. 2) Rappel : la gandeu noée ci-dessus es la pession dnamique. 3) Le aisonnemen es le même dans le cas où la iesse du plan inféieu es consane mais non nulle. 3.2 Flux de Couee-oiseuille Champ de iesse On éudie le même ssème que pécédemen mais on impose un gadien de pession suian l axe Ox : (l) (0) =(K) =cse = = aec l longueu suian Ox x x l l La pojecion de l équaion de Naie Sokes donne : x =0 =0 z =0 2 (K) =(K) = b + c Les condiions aux limies pemeen de déemine les consanes d inégaion b e c: (K) (0) = 0 e (h) = o = o (K) 2 h2 e x h Le -ux de Couee-oiseuille coespond à un po>l de iesse paabolique ene les deux plaques = l l o h 2 2 h e x Remaques : 1) Selon le signe du gadien de pession suian Ox on obien deux pes d écoulemen ; 2) On peu enisage le cas où les deux plans son immobiles :

5 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles Débi On se place dans le cas où les deux plans son immobiles : écoulemen dans une conduie de secion consane. ou une lageu L suian l axe Oz on obien le débi olumique pa inégaion : D olumique = 1 d = L = L =h =0 =h =0 =h =0 (L() d d) () d (K) o (K) 2 h2 d h = 1 12 Lh(K) h2 6 o = 1 12 Lh l h 2 6 o = 1 +6 o l 12 Lhh2 l = 1 Lh 3 12 l ca o =0 Le débi es donc popoionnel à la chue de pession. 3.3 Ecoulemen de oiseuille Champ des iesses On éudie l écoulemen dans une conduie clindique, de longueu l, de secion ciculaie de aon R, en égime laminaie pemanen. Soi Oz l axe du clinde. On adope les coodonnées clindiques (, #,z). Ean donnée la sméie de éoluion auou de Oz, les gandeus phsiques ne dépenden pas de #. La iesse du -uide es donc de la fome = (, z)e z. Le -uide es incompessible di =0soi en coodonnées clindiques : 1 ( )+ 1 + z z =0 z =0 = ()e z D apès le paagaphe 2.4. l équaion de Naie Sokes s éci : gad + = = 0 =0 1 =0 # + =0 z Les deux pemièes elaions donne une pession (dnamique) unifome dans oue secion doie du clinde. La oisième équaion s inège facilemen ca ne dépend que de z e es uniquemen foncion de ; ces deux emes z son donc consans : z = K e = K aec = 1 () = K a ln + b on déemine a e b gâce aux condiions aux limies : KR2 lim () n es pas in>ni a =0 e (R) =0 b = 0 4 En égime laminaie pemanen, le champ des iesses de l écoulemen dans une conduie clindique, de longueu l, de secion ciculaie de aon R, es: = K R 2 2 e z Ecoulemen de oiseuille 4

6 6 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles Remaque : suian le signe de K l écoulemen se fai dans un sens ou dans l aue Débi on pocède comme au paagaphe D olumique = 1 d, R (()dd# d) = =2$ ()d =2$ =0 = 1 K 8 $R4 R 0 K 4, ()dd# R 2 2 d En égime laminaie pemanen, le débi olumique d un -uide isqueux dans une conduie clindique, de longueu l, de secion ciculaie de aon R, es popoionnel à la di4éence de la pession dnamique ene ses secions d enée e de soie (plus pécisémen au gadien de la pession) : D olumique = 1 $R 4 Loi de oiseuille 8 l Remaques : 1) On appelle pee de chage la gandeu : = 8 D olumique $R 4 l 2) A débi olumique consan la pee de chage es popoionnel à la longueu l : 3.4 lan incliné On considèe l écoulemen saionnaie d un -uide isqueux su un plan incliné, soumis aux seules foces de pesaneu. on noe % l angle du plan incliné aec le plan hoizonal. La diecion Ox es la ligne de plus gande pene e on choisi O pependiculaie à Ox dans le plan eical. On noe h l épaisseu de l écoulemen supposé unifome e o la pession amosphéique.

7 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles 7 Dans ce poblème il a une suface libe, il fau donc disingue la pession e la pession dnamique. La iesse du -uide es donc de la fome = ()e x. D apès le paagaphe 2.2. l équaion de Naie Sokes s éci : gad + g + = En adopan les coodonnées caésiennes on obien : x + g sin % + 2 =0e 2 = 0 g cos % =0e z =0 La pession ne dépend donc pas de z (ésula péisible): = (x, ). La deuxième équaion donne : = g cos % (x, ) =g cos % + f(x) La condiion aux limies donne : La pession es donc de la fome : La pemièe équaion deien : x (x, h) = o x g cos % h + f(x) = o soi x f(x) = o + g cos % h Les condiions aux limies donnen : (0) = 0 e (h) =0 b =0 e (x, ) = o + g cos % (h ) 2 2 = x g sin % = g sin % 2 2 = 1 g sin % () = 1 2 g sin % 2 + a + b 1 g sin % h + a =0 soi a = 1 g sin % h Le champ des iesses d un écoulemen saionnaie d un -uide isqueux su un plan incliné d angle %, soumis aux seules foces de pesaneu, a un po>l paabolique aec une iesse maximum au nieau de la suface libe : g sin % = (2h ) e x 2 Remaque : en égime saionnaie les foces de iscosié su un élémen de -uide compensen exacemen la composane selon Ox des foces de pesaneu. 4 Execices Execice 1 : Ecoulemen dans un ube clindique Soi un ube clindique de 3 km delong, de 10 cm de diamèe, pacouu pa un liquide de iscosié dnamique = 0, 04 l. On suppose que la disibuion des iesses dans la secion doie du ube es donnée pa l équaion paabolique u =10 2, u éan la iesse (en cm/ s) à la disance (en cm) de la paoi. Calcule : 1) La foce de foemen isqueux pa unié de suface cone la paoi. 2) La foce de foemen isqueux pa unié de suface à 2cm de la paoi. 3) La foce oale de foemen s exeçan su le ube.

8 8 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles Execice 2 : Mesue de la iscosié cinémaique Un liquide isqueux s écoule lenemen d un écipien clindique de diamèe D dans un ube hoizonal de diamèe d e de longueu L. 1) ouquoi peu-on considée ce écoulemen comme quasi pemanen? En déduie l expession du débi olumique D en foncion de h. 2) A pai de l équaion de conseaion de la masse, éabli une équaion di4éenielle saisfaie pa h(). La ésoude aec la condiion h( 0 )=h 0. 3) Il a fallu une duée de 59 minues pou que le nieau du liquide passe de la haueu h =6cmà h =3cm. Déemine la iscosié cinémaique du -uide. Données : D =4cm,L=50cm,d=1mme g =9, 8m. s 2. Execice 3 : uissance d un pompe On anspoe dans une conduie hoizonale de 0, 10 m dediamèee10 km de long, un débi olumique de 50 m 3 /heue d une huile de masse olumique =950kg. m 3 e de iscosié dnamique 0, 2 l. 1) Calcule le nombe de Renolds de ce écoulemen. Es-il laminaie? 2) Calcule la chue de pession moice du -uide dans cee conduie. 3) Quelle es la puissance de la pompe nécessaie pou ce anspo? Execice 4 : Amoisseu hdaulique Un amoisseu hdaulique es consiué pa un clinde de aon R dans lequel peu se déplace un pison de longueu ' laissan un jeu adial a. Le clinde conien une huile incompessible de iscosié qui s écoule pa le jeu a. Eabli une elaion ene la iesse V 0 du pison pa appo au clinde,, a, ', R e la foce F à laquelle il es soumis. Applicaion numéique : R =2cm; ' =2cm; a =0, 01 cm ; =0, 01 l ; F =10 4 N. Calcule V 0. Execice 5 : Chue d une bille Une bille d acie de masse olumique µ =7, 8g. cm 3 e de diamèe 1mm ombe dans un liquide de masse olumique µ =0, 8g. cm 3 aec une iesse limie de 2cm. s 1. Calcule la iscosié cinémaique de cee huile e le nombe de Renolds. Véi>e que la fomule de Sokes es applicable. (g =9, 8m. s 2 ). Execice 6 : Écoulemen de oiseuille Un -uide de iscosié dnamique e de masse olumique µ, s écoule en égime saionnaie e incompessible dans une conduie clindique d axe Oz, de longueu L e aon R. Du fai des sméies du poblème, on cheche en coodonnées clindiques un champ des iesses e un champ de pession de la fome : (M) = z (, z)u, p(m) =p(, z) On donne pou un el champ : di = z z, = 1 z uz 1. On suppose que l écoulemen es incompessible. Mone que z (, z) ne dépend pas de z. 2. On néglige la pesaneu. On appelle l équaion de Naie-Sokes : µa = gadp + 2.a. Mone que le champ des accéléaions a(m) es nul. 2.b. Mone que la pession p ne dépend pas de. 2.c. Éabli l équaion di4éenielle don es soluion z () e mone que dp/dz es une consane C. Explicie C e z () en exploian les condiions aux limies su la paoi de la conduie. On admea que d z /d es bonée. 3.a. En déduie l expession du débi olumique D en foncion des pessions p(z =0)=p 1 à l enée e p(z = L) =p 2 à la soie de la conduie. 3.b. Compae le ésula à la loi d Ohm pou un conduceu >lifome en élecocinéique, inoduie une ésisance hdaulique R e l expime en foncion de, R e L. Compae l in-uence du aon R su la ésisance élecique e su la ésisance hdaulique e commene. 3.c. Calcule la chue de pession dans une aèe de longueu L =1m, de aon R =0, 5cm, où le débi olumique au D =80cm 3. s 1, sachan que la iscosié du sang au = l. Commene sachan que le coeu mainien une di4éence pession p qui, smbolisée pa 12-8 en médecine, au p =124=8cmde mecue ; on appelle que 1 ba = 760 mm de mecue. Execice 7 : Au jadin d acclimaaion Au jadin d acclimaaion, on popose aux enfans une aacion où ils fon de la peinue aisique auomaique : une feuille de papie de aon R =10cmes >xée su un plaeau ounan à iesse angulaie, =10 3 ad. s 1 consane auou d un axe eical >xe Oz ; l enfan enoie une goue de peinue, de masse olumique µ, de iscosié e de iscosié cinémaique 10 4 m 2. s 1 eicalemen su la feuille e la goue s éale en un >lm mince d épaisseu h<0, 1mm ;la duée pique de l éalemen es. =100s. uis il ecommence aec plusieus couleus en plaçan la goue di4éemmen.

9 Mécanique des uides. Chapie VI : Dnamique des écoulemens de uides isqueux e incompessibles 9 On se popose dans ce execice d éudie l éalemen de la goue à l aide d une «pocédue» semi-quaniaie décie pa iee-gilles de Gennes dans un aicle de ou la Science (mai 1984). On adope le modèle suian : la goue a éé déposée au cene O e fome à l insan un >lm de aon R() e d épaisseu maximale h() aec h() R(). Son olume ese consan ce qui donne «en ode de gandeu» la elaion h () R 2 () =h 0 R 2 0 (1) Dans le éféeniel ounan, l équaion de Naie-Sokes s éci : µ +. gad = gad p + µg + 2µ, + µ, 2 OM (2) De plus la goue éan assez plae e de faible épaisseu, on suppose le champ de pession unifome. 1. Indique la signi>caion des di4éens emes de l équaion (2). En éaluan des nombes sans dimension, mone que ous les aues emes conenan la iesse son négligeables dean le eme de iscosié. 2. Expime «en ode de gandeu» la puissance ésisane due aux foces de iscosié en foncion de µ,,, R(), h() e R(). 3. Expime de même «en ode de gandeu» la puissance moice m en foncion de µ,,, R(), h() e R(). 4. En déduie qu en ode de gandeu on a : R 3 dr d,2 R0 4h2 0 e explicie R(). Éalue la duée. pou qu une goue de olume iniial V 0 =10 8 m 3 s éale jusqu en R M =10cm.