PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien

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1 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien Figure 1 Ecoulement d eau à la sortie d un robinet Figure 2 Un surfeur 1 Forces de viscosité 1.1 Contraintes tangentielles dans un écoulement On considère un élément de surface ds d un fluide en écoulement dans la direction Ox. Figure 3 Actions de contact au niveau d un élément de surface dans une fluide 1

2 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 2 Cet élément est soumis : aux forces de pression de part et d autre de la surface. La résultante de ces forces de pression est normale à la surface ds : aux actions tangentielles des frictions de part et d autre de la surface ds. La résultante des forces modélisant ces actions est une force tangentielle dirigée selon l écoulement (ici Ox) : Remarques : Quelques ordres de grandeur : Substance eau air glycérine Viscosité dynamique (Pl) Equivalent volumique des forces de viscosité dans un écoulement incompressible On considère une particule de fluide en écoulement incompressible dans la direction Ox, située entre les altitudes z et z +dz. Figure 4 Actions de contact tangentiel sur une particule de fluide en écoulement incompressible Faire le bilan des contraintes tangentielles sur la particule de fluide

3 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 3 On retiendra l expression générale de la force volumique de viscosité appliquée à une particule fluide en écoulement incompressible : Remarque : Nous avons déjà rencontré l opérateur Laplacien :... La force de viscosité... Dans le cas d un écoulement compressible un terme supplémentaire de viscosité liée à la dilatation serait à prendre en compte (HP) Dans le cas général d un fluide non newtonien, la viscosité est une matrice qui ne se réduit pas nécessairement à un scalaire et dont les termes dépendent éventuellement des contraintes extérieures et du temps. L étude des propriétés non newtoniennes des fluides s appelle la rhéologie des fluides. 2 Ecoulement laminaire et écoulement turbulent 2.1 Equation de Navier-Stokes Une particule fluide dans en écoulement est soumise à un ensemble de forces extérieures volumiques (comme le Poids dp = µ g dτ) surfaciques(comme les forces de pression ou de viscosité) mais qui trouvent une expression volumique équivalente ( df p = gradpdτ et d F T = η v dτ) De plus, la dérivé particulaire de la vitesse donne l accélération de la particule de fluide dans le référentiel d étude, on peut donc élargir l application de la seconde loi de Newton appliquée à une particule fluide de masse dm et de volume dτ (Equation de Navier-Stokes) : 2.2 Transport convectif et transport diffusif de quantité de mouvement Considérons un écoulement incompressible, l équation de Navier-Stokes s écrit : Le terme ( v ó grad) v

4 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 4 Le terme η v Pour caractériser un écoulement on peut définir un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds qui compare l effet convectif et l effet diffusif de quantité de mouvement au sein du fluide : Pour estimer la valeur du nombre de Reynolds, on définit des grandeurs caractéristiques de l écoulement. Exemple : On considère un écoulement autour d un cylindre de diamètre L. Loin du cylindre l écoulement est homogène avec une vitesse v. Figure 5 Ecoulement autour d un cylindre Deux cas limites :

5 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien Passage de l écoulement laminaire à l écoulement turbulent Les photos ci-dessous représentent l écoulement au niveau d un cylindre pour différents nombres de Reynolds. Figure 6 Ecoulement autour d un cylindre a) R e = 1,54. Ecoulement symétrique entre l amont et l aval avec continuité des lignes de courant (sillage laminaire) b) R e = 26. Apparition de deux zones de recirculation fixes en arrière du cylindre R e = 200. Emission périodique de tourbillons R e = Sillage turbulent. Définitions possibles : Caractérisation des écoulements :

6 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 6 3 Trainée d un solide sphérique dans un fluide 3.1 Mise en évidence On considère une bille lâchée sans vitesse initiale dans un fluide. Quelles sont les forces qui s exercent sur la bille? 3.2 Expression générale Un mobile se déplaçantdans un fluide pesant subit de la part de ce fluide un ensemble d action de dont la résultante s oppose à sa marche. La composante de cette résultante selon la direction du mobile est appelée.... L intensité de la force de traînée est exprimée en fonction de la vitesse, de la forme et de la taille du mobile, du fluide dans lequel il interagit. L expression générale de la force de traînée est : 3.3 Les deux régimes de trainée Dans le cas d une bille sphérique de rayon R, S = πr 2 Figure 7 Evolution du coefficient de trainee (échelle log-log)

7 On repère 2 régimes limites : PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 7 On retiendra que pour un écoulement laminaire la traînée est... par rapport à la vitesse On peut alors la force comme force de frottement fluide visqueux... En régime laminaire la traînée est essentiellement due à la viscosité du fluide qui...(donc l énergie cinétique) dans les couches de fluides. On retiendra que pour un écoulement turbulent la traînée est par rapport à la vitesse On peut alors la force comme force de frottement fluide turbulent En régime turbulent la traînéeest essentiellement due aux turbulences dans le fluide qui... de l énergie cinétique sous forme de chaleur... On remarque aussi une chute brutale de C x pour R e > comment expliquer cette chute? 4 Notion de couche limite 4.1 Ecoulement parfait Remarque : Un écoulement parfait est donc... Attention... parfait... parfait... tout le monde ne fait pas la différence 4.2 Profil de vitesse aux abords d un obstacle Loi célèbre : Tout corps plongé dans un liquide ressort mouillé Au niveau d un obstacle, une fine couche de fluide reste accrochée à l obstacle. La continuité des vitesses au sein du fluide impose donc que de la vitesse du fluide au niveau de l obstacle soit...

8 PC - Effet des forces de viscosité sur l écoulement d un fluide newtonien 8 Figure 8 Profil de vitesse On distingue donc deux zones : 4.3 Epaisseur de la couche limite Les forces de viscositésont donc négligeablesà l extérieurde la couchelimite. On entend par négligeable η v µ( v ó grad) v. A la frontière de la couche limite, On peut donc estimer l épaisseur caractéristique δ de la couche limite pour un écoulement autour d un obstacle de taille L : 4.4 Types d écoulements dans la couche limite L écoulement à l intérieur de la couche limite peut être caractérisé par un nombre de Reynolds local qui traduit, spécifiquement à l échelle de la couche limite le rapport de l accélération convective sur la force de viscosité. Latransitionécoulementlaminaire/écoulementturbulentdelacouchelimiteseproduitpourR e,local..., soit R e,global......