Rhéologie des fluides complexes Chapitre 1 Fluides newtoniens USTOMB

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1 Définition de la rhéologie La rhéologie vient du grec RHEO :Couler et LOGOS: étude. Donc la rhéologie: Etude du comportement des matériaux fluides soumis à une contrainte ou déformation Mouvement de cisaillement Un exemple simple de cisaillement concerne le mouvement d un échantillon entre deux surfaces planes, l une au repos, l autre en déplacement parallèle à elle-même. Ce mouvement peut être celui d une peinture brossée su un mur, d une crème cosmétique sur la peau Propriétés des fluides newtoniens Les propriétés des fluides newtoniens sont caractérisées par deux paramètres viscosité dynamique et cinématique. Il est facile de montre l existence des forces tangentielle par les expériences suivante [1] : Expérience de couette (Viscosité dynamique) Fig.1. Expérience de couette Dr. Hammadi L 1

2 Rhéologie des fluides complexes Chapitre 1 Fluides newtoniens USTOMB Soient deux cylindres coaxiaux, de rayons peu différents, dont l espace intermédiaire. Si on entraîne le cylindre extérieur avec un moteur avec une vitesse angulaire constante ω, on constate que le cylindre intérieur a tendance à tourner dans le même sens. Pour le maintenir immobile, il faut donc lui appliquer un couple C de sens opposé. On appelle R1 et R2 les rayons des cylindres et e la différence R1 R2. e est très petit de telle façon que l on puisse considérer la répartition des vitesses comme linéaire entre les cylindres. On montre que la force de frottement est proportionnelle au gradient de vitesse soit : (1.1) Le coefficient de proportionnalité µ est appelé viscosité dynamique du fluide et V/e représente le gradient de vitesse en effet une particule de fluide en contact avec une paroi a sa vitesse. Si on la rapporte à l unité de surface, cette force de frottementt a pour valeur : (1.2) Le rapport représente le gradient transversal on écrira donc: Avec vitesse de cisaillement, ou taux de cisaillement L expérience de Couette permet la mesure du coefficient de viscosité par la mesure du couple C. Dr. Hammadi L 2

3 (1.3) Avec 2 h (1.4) Et (1.5) On tire : (1.6) Dimension de la viscosité De la relation (1.6) On tire immédiatement l équation dimensionnelle de µ :!"#$ " " "# $ %&' ( ' (1.7) La viscosité dynamique d'un liquide (l'unité S.I. est le Pa.s, parfois appelé Poiseuille (1Pl=1Pa.s), une autre unité commune étant le Poise (1Po = 0,1Pa.s)) volumique Viscosité cinématique est le rapport entre la viscosité dynamique et la masse ) * + (1.8) La viscosité cinématique a pour dimension :,)- & ( ' (1.9) l unité correspondante étant le m 2 s -1 La courbe.() est appelée rhéogramme ou courbe d écoulement Conclusion Dr. Hammadi L 3

4 Rhéologie des fluides complexes Chapitre 1 Fluides luides newtoniens USTOMB Un fluide est dit "newtonien newtonien"" si sa viscosité est constante en fonction du taux de cisaillement (un fluide ayant la viscosité dynamique constante). (1.10) Fig.3. Variation de la contrainte de cisaillement et de la viscosité dynamique d un fluide newtonien en fonction de la vitesse de cisaillement 1.3. Variation de la viscosité dynamique et cinématique Le domaine de variation de la viscosité est très étend car il s étend pratiquement de 0 pour l Héluim II à l infini pour un solide.. Comme pour le frottement en général, on ne peut parler de viscosité négative Influence de la pression Dans le cas des gaz parfaits, parfaits, la théorie cinétique des gaz permet d établir que : μ Dr. Hammadi L 0,499ρV89: L (1.11) 4

5 Avec ρ:la masse volumique du gaz, L: le libre parcours des ces molécules, VMoy :la vitesse moyenne du gaz ( Vitesse moyenne d agitation thermique des molécules de masse molaire M). <= >?#! (1.12) R : constante molaire des gaz R=8,315 J/mol.K La figure 4 représente la variation de la viscosité cinématique de l air sec avec la pression à deux températures différentes. On constate, a priori, que n varie de manière sensiblement hyperbolique avec la pression, donc que m est sensiblement constant avec la pression. Fig.4.Variation de la viscosité cinématique de l air sec avec la pression à deux températures (20 C et 100 C) [2]. Pour les liquides la viscosité dynamique µ augmente avec la pression P selon l expression A B ( C CD ') (1.12) Avec a un coefficient qui dépend du liquide étudié, A la viscosité dynamique à température ambiante et P0 la pression atmosphérique. Dr. Hammadi L 5

6 Exemple Pour les huiles minérales a=1,003 2 A si P=300bar et P0=1bar [1,2] Influence de la température Cas des gaz Dans le cas des gaz, l agitation thermique, en augmentant avec la température, augmente la diffusion de la quantité de mouvement donc la viscosité. Pour un gaz parfait l équation (1.11) montre que : E ( (1.13) Pour les gaz réels, la viscosité n est pas due qu au transfert de quantité de mouvement par l agitation thermique. Une partie de la viscosité provient des interactions à distance entre molécules (nulles par définition dans le cas des gaz parfaits). Ces interactions modifient la formulation de base de la viscosité. De plus, comme les interactions à distance s affaiblissent avec l augmentation de la température, la formulation (1.11) doit comporter, pour les gaz réels, un terme correcteur qui entraîne une diminution de la viscosité avec la température. La formule de SUTHERLAND est parmi les plus utilisées : # H I JD A G# D H I J (1.14) où C est une grandeur qui dépend du gaz et de la température pour tenir compte de l effet d interaction à distance et T0 la température ambiante en C Cas des liquides Dans le cas des liquides, la part due aux interactions à distance entre molécules devient prépondérante. Ainsi, contrairement au cas des gaz, la viscosité des liquides diminue avec la température. Des formules empiriques ou semi-empiriques permettent de relier µ à T. C est par exemple celle de WALTHER qui est applicable aux huiles de graissage: A KLMN( # ) < O (1.15) # D Où m une constante qui dépend du liquide étudié. La figure 5 montre la Variation de la viscosité cinématique de l eau et de l essence de pétrole avec la température [2] Dr. Hammadi L 6

7 Fig.5. Variation de la viscosité cinématique de l eau et de l essence de pétrole avec la température [2] 1.4. Applications industrielles Industriellement, on détermine la viscosité relative ou " empirique ", ou encore "conventionnelle", c est à dire la viscosité comparée le plus souvent à celle de l eau L écoulement se fait dans des conditions bien déterminées, à température constante. Le degré de viscosité Engler (E ), utilisé en France et en Allemagne. A l aide du viscosimètre Engler, on définit le degré Engler qui est le rapport du temps nécessaire à l écoulement de 200cm 3 du liquide à étudier à travers un orifice calibré, au temps nécessaire à l écoulement de 200 cm 3 d eau à travers le même orifice (ce dernier temps est de 51 secondes pour l appareil Engler). L appareil de Barbey permet de mesurer le volume de liquide écoulé en un temps fixe à travers un tube immergé dans un thermostat, sous une pression constante. Le degré de fluidité du liquide est égal au volume écoulé dans ces conditions, en une heure. Avec les appareils Saybolt (Etats-Unis) ou Redwood (Grande-Bretagne), on note directement en secondes le temps d écoulement de 60 et de 50 cm3 du produit. Ces mesures ont une précision de l ordre de ±5% Elles conviennent que pour des fluides visqueux ()=20 cst). Il existe des relations approchées entre la viscosité cinématique et les viscosités empiriques. D après la formule d Ubbelohde, on a la formule approchée : Dr. Hammadi L 7

8 ) 7,32 R T,U V (1.16) Avec :) la viscosité cinématique en cst et E : Degré d Engler 1.5. Viscosimètre à chute de bille Les viscosimètres à chute de bille utilisent la mesure de la vitesse limite de chute V d une sphère de diamètre D et de masse volumique W, dans un liquide de masse volumique W, suffisamment visqueux pour que cette vitesse soit faible et soit dans le domaine d application de la loi de Stokes. En effet, la bille, tout d abord animée d un mouvement uniformément accéléré, est vite freinée. Quand la résistance est égale et opposée au poids, le mouvement devient rectiligne et uniforme. La viscosité est donnée par la formule : Ou encoure : = X+Y '+Z[\? (1.17) =E/]^ ]0_ (1.18) 1.6.Viscosimètre capillaire Le viscosimètre absolu à capillaire utilise le débit q v (temps d écoulement d un certain volume de liquide) dans un tube capillaire de rayon r et de longueur l, sous l action d une différence de pression b. La loi de Poiseuille, dans le cas d un écoulement laminaire, permet d exprimer la viscosité dynamique sous la forme : Références f (1.19) [1] Comolet R. Mécanique expérimentale des fluides TOME II dynamique des fluides réels, Turbomachines. 4 ème édition Masson [2] Lallemand A. Écoulement des fluides. Étude physique et cinématique. Technique d ingénieur BE 8 151, pp.1-14 Dr. Hammadi L 8

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