Un modèle de contact visqueux pour la simulation numérique d écoulements fluide/particules

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1 Un modèle de pour la simulation numérique d écoulements F lub Aline Lefebvre Laboratoire de Mathématiques, Bât. 425, Université Paris-Sud - Orsay, France GDT Application des Mathématiques Rennes, le 9 Janvier 2008

2 Motivation F lub Fluides complexes : étude des propriétés macroscopiques : viscosité apparente d une suspension Cas dilué : études théoriques [Einstein, 1906] Cas concentré : nécessité de la simulation numérique Gestion des interactions rapprochées. = Recherche d une méthode gérant les s tout en prenant en compte les interactions rapprochées.

3 Notations B i x i Ω R 2 domaine borné (B i ) 1 i N inclusions rigides dans Ω θ i Ω B = N i=1 B i domaine rigide x i coordonnées du centre de masse de B i F lub θ i angle par rapport à la verticale de B i V = (V i = ẋ i ) i ω = (ω i = θ i ) i

4 F lub u = (u 1, u 2 ) et p définis dans Ω \ B V R 2N et ω R N Ecoulement Navier-Stokes : Problème considéré Du ρ f Dt µ u + p = f Ω\ B dans Ω \ B u = 0 dans Ω \ B u = 0 sur Ω Mouvement rigide : u(x) = V i + ω i (x x i ) sur B i i dv i PFD : m Bi = f i σnds i dt Bi B i J xi ω i = (x x i ) f i (x x i ) σnds i B i B i

5 Plan F lub 1 Lubrification et 2 Un modèle de icule Schéma numérique (plan/particule) Cas multi-particules Intégration à un solveur 3 Simulation directe par une méthode de pénalisation Description de la méthode Un exemple : vésicules en cisaillement avec le modèle de

7 Non- en temps fini F lub q y r Ue y x Hypothèses : Particules lisses Navier-Stokes Résultat 2D : [M. Hillairet] Il n y a pas en temps fini. Définition : Force de lubrification = Force exercée par le fluide sur la particule (notée F lub ).

8 replacements F lub q Développement asymptotique r Propriété : y Ue y x PFD au premier ordre [Cox, Brenner, 1967] F lub 6πµr 2 U q e y (3D) m q = 6πµr 2 q q + mf y (1) (1) possède une unique solution maximale qui est globale. Point clé : t m q(t) = C 1 C 2 ln(q(t)) + m f y (s)ds. 0 = pas de en temps fini. Remarque : situation à la limite du.

9 r rs qs r r q qs < rs rs qs < rs q F lub Observation expérimentale [Vinogradova, Yacubov, 2006] La force de lubrification exercée par un objet rugueux est équivalente à celle qu exercerait un objet lisse décalé. Conséquences : q + q s ne tend pas vers zéro en temps fini. Il peut y avoir en temps fini.

11 Comportement pour µ 0 F lub q µ (t) solution non visqueuse µ µ ln(q µ (t)) f y = 2 1 [0,2] +2 1 [2,+ [ q µ = µ q µ + f y q µ q µ (0) = 0 q µ (0) = µ=0.2 µ=0.05 µ=0.1 µ=0.006 µ=

12 F lub ag replacements Problème (P) q + = P Cq,γ q m q = mf y + λ supp(λ) {t, q(t) = 0} γ = λ q 0, γ q(t) f y = 2 f y = 2 γ(t) C q,γ = {0} si γ < 0 R + γ = 0 si q = 0 R sinon

13 Résultat de convergence Modèle : m q µ (t) + γ µ (t) = (P µ ) mu 0 + γµ 0 + m t 0 f y(s)ds γ µ (t) = µln(q µ (t)) 2 1 q µ(t) Contact : m q(t) + γ(t) = mũ = (P mu ) 0 + m t 0 f y(s)ds q 0, γ 0, qγ = q(t) F lub 2 3 γ µ(t) 2 3 γ(t) 4 f y = 2 f y = 2 4 f y = 2 f y = Propositions Convergence de (P µ ) vers (P ) quand µ tend vers zéro. Equivalence des problèmes (P) et (P ). Non-unicité des solutions dans le cas général.

14 Visqueux ou non? modèle de mélasse : µ=100 miel : µ= huile de ricin : µ=1 huile d olive : µ=0.1 sang : µ= F lub 0.01 couche de fluide

15 Prise en compte de la rugosité F lub q r 1 r f y = 2 f y = 2 q, modèle non rugueux γ, modèle non rugueux q, modèle rugueux γ, modèle rugueux rugosité = Modèle proposé : pour q = r 1 + r 2 = seuillage de γ : γ γ min = µln(r 1 + r 2 )

16 Rappel du modèle : PSfr Schéma numérique q(t) f y = 2 f y = 2 γ(t) F lub Problème (P) q + = P Cq,γ q m q = mf y + λ supp(λ) {t, q(t) = 0} γ = λ q 0, γ 0 C q,γ = {0} si γ < 0 R + γ = 0 si q = 0 R sinon

17 F lub Problème (P n ) Problème de projection associé q n, u n, γ n, f n connus, u solution de : u K n, 1 2 u (un + hf n ) 2 m = min 1 v K n 2 v (un + hf n ) 2 m avec (v, w) m = (mv, w) { v, q n + hv 0 si γ n } = 0 K n = q n + hv = 0 si γ n < 0 Alors λ R tel que m u un h = mf n + λ

18 F lub Etapes de l algorithme q n, u n, γ n connus, f n = 1 h t n+1 t n f y (s)ds u n+1 solution de (P n ) on a alors λ n+1 tel que m un+1 u n h = mf n + λ n+1 γ n+1 = γ n hλ n+1 q n+1 = q n + hu n+1 Algorithme Equations continues associées q + = P Cq,γ q {0} si γ < 0 C q,γ = R + si γ = 0, q = 0 R sinon m q = mf y + λ γ = λ q = u

19 Résultat de convergence q n+1 tn t n+1 u n γ n+1 λ n t n q n t n+1 t n t n+1 γ n t n t n+1 F lub Théorème Si f est localement intégrable sur I, il existe une sous-suite telle que u h u dans L 1 (I), q h q dans W 1,1 (I) avec q = u, λ h λ dans M(I), γ h γ dans L 1 (I) avec γ = λ, où (q,γ) est une solution de (P ). Non-unicité des solutions dans le cas général. s "consistance+stabilité" non applicables.

20 F lub plan/particule q(t) R, γ(t) et λ(t) R q 0, γ 0 {0} si γ < 0 C q,γ = R + si γ = q = 0 R sinon q + = P Cq,γ q Modèle multi-particules multi-particules q(t) R 2N, γ(t) et λ(t) R N(N 1)/2 D ij 0, γ ij 0 v tq. C q,γ = G ij v = 0 si γ ij < 0 G ij v 0 si γ ij = 0 D ij = 0 q + = P Cq,γ q γ = λ m q = mf y + λ γ = λ M q = Mf + i<j λ ijg ij q i e i,j D ij q j G ij (q) = D ij (q) R 2N, G ij (q) = (..., 0, e n ij, 0,..., 0, e n ij, 0,..., 0) i j

21 F lub Problème (P n N ) Problème de projection associé q n, u n, f n, γ n connus, u solution de : u K n 1 2 u (un + hf n ) 2 M = min 1 v K n 2 v (un + hf n ) 2 M avec (v, w) M = (Mv, w) { v, D n ij + hg n ij v 0 si γij n = 0 K n = D n ij + hg n ij v = 0 si γ n ij < 0 } λ R N(N 1)/2 tel que M un+1 u n h = Mf n + i<j λ ij G n ij

22 Programmation Gestion des s en O(N). de recherche des voisins (bucket sorting). Gestion dynamique avec effet mémoire (utilisation de la STL C++). particule i F lub Modularité du modèle et des méthodes. Programmation Orientée Objet (avec J. Laminie). Visualisation. Librairie VTK (avec S. Faure).

23 Billard. Loto. Code C++. F lub

24 F lub de splitting S solveur fluide/particule sans prise en compte des s. q n, γ n, u n (vitesse fluide), et f n (champ de forces extérieures) connus. 1) Calcul des vitesses des particules sans gestion des s : u n+1/2 = S(q n, u n, f n ) 2) Projection de ces vitesses sur l espace contraint : 1 2 u n+1 K n, u n+1 u n+1/2 2 = min 1 M v K n 2 v u n+1/2 2 M 3) Evolution de γ et q : γ n+1 = γ n hλ n+1 q n+1 = q n + hu n+1

26 F lub s directes : état de l art Maillages non structurés Problème fluide/solide Découplé [Hu et al 92], [Johnson, Tezduyar 96] Couplé [Hu 96], [Maury 99] Déplacement du maillage R lage à chaque instant [Hu et al 92] ALE [Hu 96], [Maury 99] s de domaines fictifs Utilisation de multiplicateurs de Lagrange et al 99], [Patankar et al 00] [Wan, Turek 07] Lagrangien augmenté [Caltagirone et al 05] [Glowinski

27 F lub Le problème sans inertie u = (u 1, u 2 ) et p définis dans Ω \ B V R 2N et ω R N Ecoulement sans inertie Fluide de Stokes : µ u + p = f Ω\ B dans Ω \ B u = 0 dans Ω \ B u = 0 sur Ω Mouvement rigide : u = V i + ω i (x x i ) sur B i i PFD : f i = σnds i Bi B i (x x i ) f i = (x x i ) σnds i B i B i

28 F lub Minimisation sous contrainte Espaces fonctionnels contraints intervenant : K = } {u H0 1 (Ω), u = 0, { u H 1 0 (Ω), i (V i,ω i ) R 2 R K B = = tq u = V i + ω i (x x i ) p.p. dans B i } {u H0 1 (Ω), D(u) = 0 p.p. dans B Problème de minimisation équivalent u K K B J(u) = min J(v) v K K B où J(v) = µ D(v) : D(v) f v Ω Ω }

29 F lub Prise en compte du mouvement rigide par pénalisation Problème de minimisation sous contrainte rigide : problème d origine. u K K B J(u) = J(v) = µ min J(v) v K K B Ω D(v) : D(v) Ω f v : suite de problèmes de minimisation sans contrainte. u ε K J ε (u ε ) = min v K J ε (v) J ε (v) = J(v) + 1 D(v) : D(v) ε B

30 F lub Généralisation au cas avec inertie Discrétisation en temps : méthode des caractéristiques. Trouver u n+1 H0 1(Ω) et pn+1 L 2 (Ω) tels que, 1 ρ n+1 u n+1 ũ 1 (ρ n u n ) X n ũ h Ω h Ω + 2µ D(u n+1 ) : D(ũ) p n+1 ũ Ω + 1 ε Ω B q u n+1 = 0 D(u n+1 ) : D(ũ) = Ω q L 2 (Ω) Ω f n+1 ũ ũ H 1 0 (Ω)

31 Applications F lub Modèle 2D (très) simplifié de valve cardiaque. Simulation d écoulements. Etude d un nageur dans un fluide de Stokes. (Collaboration avec F. Alouges et A. DeSimone) Etudes de vésicules en cisaillement. (Collaboration avec M. Ismail et le LSP de Grenoble.)

32 vésicule µout µin B1 Bi+1 Bi B2 F lub Forces interparticulaires : ressorts et force angulaire Membrane fermée : projection des vitesses Contrainte de volume constant : multiplicateur de Lagrange

33 Mouvement de chenille de char Mouvement de bascule F lub

34 Prise en compte F lub F lub F lub approximation q >F lub (q) F lub numerique F lub approchee F lub developpement asymptotique q log(f lub ) approximation d >F (d) lub 2.6 F lub numerique 2.4 F approchee lub F developpement asymptotique lub log(q) Calcul numérique 3D-axi : q F lub (q, u 0 ) à u 0 donné (FreeFem++). Approximation aux moindres carrés par F lub (q, u 0 ) = a q + b + cq + dq2 + eq 3.

35 q Ecoulements Cas test F lub m = 20, g = 10, µ = 3, r = 1, q(0) = 1 f y = mg 1 [0,2] + mg 1 [2,+ [ Calcul de la solution de référence : u n tel que F lub (q n, u n ) + F ext = 0. q n+1 = q n + hu n 1 solution de reference q min = t

36 q q q Ecoulements comparaison des methodes, seuil=1 maille solution de reference penalisation penalisation+s penalisation+lubrification t F lub 1 influence du seuil, penalisation+s 1 influence du seuil, penalisation+lubrification 0.9 solution de reference seuil=1 maille 0.9 solution de reference seuil=1 maille 0.8 seuil=1.5 maille 0.8 seuil=1.5 maille t t

37 Perspectives Modèle multiparticules EDO : non- en temps fini? Etude du modèle limite et du schéma. F lub Code C++ Validation sur de nouveaux tests. Intégration de la force de friction. avec un code fluide. Amélioration du modèle de vésicules. Convergence en (h, ε)