Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½"

Transcription

1 Condition inf-sup pour l Elément Fini de Taylor-Hood È ¾ -iso-è ½ Patrick Ciarlet et Vivette Girault & ENSTA & Laboratoire Jacques-Louis Lions, Paris 6 Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.1/14

2 I. Cas exact Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.2/14

3 ÖÓØ dans Ò ¼ ¾ Ä, ¼ µ Ú ¾ ¼, Ò ¼, ¾ Ä ¾ µ Problèmes-modèle Dans un polyèdre à bord lipschitzien ( et Ê Ò simplement connexes)... Fluide incompressible Trouver Ù Ôµ ¾ À ½ ¼ µ Ä ¾ ¼ µ tel que Ù ÖÔ dans Ú Ù ¼dans Ù ¼ (viscosité ¼, et ¾ À ½ µ.) Quasi-électrostatique Trouver ¾ Ä ¾ µ tel que Ú dans Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.3/14

4 Õ ¾ É ¼ ÖÓØ ÖÓØ Ú Ú Ú Ú Ú ¾ ¼ Formulations variationnelles équivalentes Dans ¼ À ½ ¼ µ et É ¼ Ä ¾ ¼ µ, soit à résoudre Trouver Ù Ôµ ¾ ¼ É ¼ tel que ÖÙ ÖÚ Ô Ú Ú À ½ µ Ú À ½ ¼ µ Õ Ú Ù¼ Dans À ¼ ÖÓØ µ À Ú µ et É Ä ¾ µ, soit à résoudre Trouver Ô µ ¾ É tel que Ò Ó Ò ÖÓØ Ú Ú ÚÓ Ô Ú Ú Ú ¾ Õ Ú Õ ¾ É Õ Ô On trouve ¼. Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.4/14

5 Dans ¼ Dans ÖÓØ Ú ÖÓØ Û ÚÚ Ú Û Coercivité ÖÚ Ö Û est coercitive... Ú Ûµ (Inégalité de POINCARÉ.) Ú Ûµ est un produit scalaire dans, noté µ ; de plus, Ú Ûµ ÖÚ Ö Û, Ú Û ¾ À ½ µ. (cf. [Weber 80] ; [Costabel 91] et [Costabel-Dauge-Nicaise 99].) Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.5/14

6 Condition inf-sup dans ¼ É ¼ µ D où la condition inf-sup exacte dans ¼ É ¼ µ Ò ÙÔ ¾É ¼ Ú ¼ ¾ ¼ ¼ Õ Classiquement [Girault-Raviart 86], il existe ½ ¼ tel que : Õ ¼ ¾ ¼ Ú ¼ ¾ ¼ Ú Ú ¼ Õ ¼ et Ú ¼ ½ ½ Õ ¼ ¼ Õ ¼ Ú Ú ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ Ú Õ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.6/14

7 Condition inf-sup dans ɵ On conclut en choisissant «, puis «Ã ½ ¾ (On sait que Ú ¼ ½ Õ ¼). Soit une face donnée de : Lemme 1 ± ¾ ¾ µ telle que supp ± µ et ± ½. Soit ± ±Ò : ± ¾ ¾ µ et Ú ±½. On note à ½ ± ± ½. Théorème 1 La condition inf-sup exacte est vérifiée dans ɵ. Preuve. Décomposer Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ, oùõ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼. ½ ¾ ½ ¼ tel que µ Ú Ú ¼ Õ ¼,etÚ ¼ ¼ ½ Õ ¼ ¼ ½ ; on Ú «Ú pose Õ±. À ¼ Ú Ú Ú «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ Õ¾ ¼ ½ ½¾ Õ ¼ Õ ¼ Ú ± «Õ ¼ ¾ ¼ ½ à ½ Õ¾ ¼ ½¾ Õ ¼ Õ ¼ ¼ à ½ ¾ ½ «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ¾ ¼ Õ¾ ¼ Õ¼ ¾ ¼ avec ¼ ¾ ¾ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.7/14

8 II. Cas discret Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.8/14

9 Ý ¾ ¼ µ Ý Ì É ¼ Õ ¾ É Ò Discrétisation µ une première famille de triangulations régulière. Ì Chaque Ì tétraèdre est divisé en huit Ì sous-tétraèdres µ ½ (Ì ½ Ì ). Aux Ì tétraèdres correspond une seconde famille Ì régulière µ ¾. Les espaces discrets... É Õ ¾ ¼ µ Õ Ì ¾ È ½ Ì ¾Ì ¾ È ½ Ì ¾Ì ¾ Pression / Multiplicateur Õ ¼ É Vitesse / Champ électrique ¼ Ú ¾ Ú ¼ Ú ¾ Ú Ò ¼ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.9/14

10 Démarche... Coercivité discrète uniforme : toujours ok, puisque la discrétisation est conforme. Condition inf-sup discrète uniforme en trois étapes. (i) É Dans ¼ ¼ µ. (ii) Construction ± d une approximation de ±. (iii) É Dans µ Õ : ¾ É pour, écrire Õ ¼ Õ Õ, ¼, ¾ É Õ ¼ ¾ Ê ; Õ considérer ¾ ¼ associé à Õ ¼ réalisant la condition inf-sup du (i) ; Ú ¼ poser «Ú ¼ Õ ± et conclure. Ú Pour le point (i), on utilise le lemme de FORTIN [Fortin 77] : la condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée si, et seulement si, il existe un opérateur d approximation È ¾Ä ¼ ¼ µ tel que pour tout élément Ú ¾ ¼, Õ ¼ Ú È Úµ Úµ ¼ Õ ¼ ¾ É ¼ È Úµ ¾ Ú Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.10/14

11 Ú ½Ì Õ ¼Ì A Õ de É ¼, on associe la fonction Õ, telle que Õ Ì Õ Ì Soient É Õ Õ ¾ É et Ú ¾ Conclusion : La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans É µ... Une condition inf-sup locale Soient : µ ½ les milieux de chaque arête de Ì. µ ½ les vecteurs unitaires tangents à chaque arête de Ì. Alors (cf. [Girault-Scott 02]), Lemme 2 Pour chaque µ, il existe È ½ Ä ¾ ¼ Ì Ú qui est la restriction à Ì d un élément Õ de ¾ tel que : Ú Ò Ì ¼ Ú µ ÖÕ µ si ¾ ¼ sinon ½ µ Õ Ú Ú Õ ¾ ¼Ì Ì ½ Õ, Ì ¾Ì. Ì Ì Ú Ú ¼ Ì ¾Ì. Ì Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.11/14

12 Condition inf-sup discrète uniforme dans ¼ É ¼ Ê Úµ Úµ Ò ¾É ÙÔ ¼ Ú ¼ Õ ¾ ¼ ¼ Ú ¼ Õ ¼ ¼ On définit l opérateur d approximation È en deux étapes... On construit un opérateur Ê ¾Ä ¼ ¼ µ quasi-local àla[scott-zhang 90], tel que ¼ sur toutes les faces de Ì Puis, on définit È en corrigeant Ê : È Úµ Ê Úµ Úµ, avec Úµ ¾ solution de Õ Ú Úµ Õ Ú Ú Ê Úµµ Õ ¾ É On en déduit le Théorème 2 La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans ¼ É ¼ µ. ¼ ¼, indépendante de telle que Õ ¼ Ú Ú¼ ¼ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.12/14

13 Approximation de ± On introduit ±µ, où est l opérateur habituel d interpolation de Lagrange dans. Comme ne conserve pas ±µ ½, il faut le corriger... On construit par exemple une correction sur Æ les milieux des arêtes de (bord exclu), avec les fonctions de base de ³ µ ½ Æ associées. On ± définit ¾ par : ± ±µ Æ ³ où les µ ½ Æ dépendent linéairement de ± ±µ ; sont tels que ± ±µ ¼ ½ Ainsi Par construction, ± ½. ¼ indépendante de et ±, et donc à ¾ ¼ indépendante de, telles que ± ½ ± ¾ ± ¾ µ à ¾ On pose ± ± Ò ¾ (± ± ½ à ¾ ). Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.13/14

14 Condition inf-sup discrète uniforme dans É µ Ò ÙÔ ¾É Ú Õ ¾ Ú Õ ¼ ½¾ Õ ¼ On conclut comme dans le cas exact. Théorème 3 La condition inf-sup discrète uniforme est vérifiée dans É µ. ½ ¼, indépendante de telle que Õ Ú Ú ½ Preuve. On décompose Õ ¾ É en Õ Õ ¼ Õ,oùÕ ½ Õ ¾ Ê Õ ¼ ¾ É ¼. Ú ¼ ¾ ¼ tel que Õ ¼ Ú Ú¼ Õ¼ ¾ ¼,etÚ ¼ ½ ½ ¼ Õ¼ ¼ ; on pose Ú «Ú ¼ Õ ±. ½ Õ ¼ Ú ± Õ Ú Ú «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ ¾ ¼ à ¾ ¾ ½ «Õ ¼ ¾ ¼ ½ Õ¼ ¾ ¼ avec ¼ ¾ Õ ¾ ¼ Õ ¾ ¼ ¾ Condition inf-sup pour l E. F. de Taylor-Hood p.14/14

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale

Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale Outils d analyse fonctionnelle Cours 5 Théorie spectrale 22 septembre 2015 Généralités Dans tout ce qui suit V désigne un espace de Hilbert réel muni d un produit scalaire x, y. Définition Soit A une application

Plus en détail

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions.

Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Problèmes mathématiques de la mécanique/mathematical problems in Mechanics Modèles bi-dimensionnels de coques linéairement élastiques: Estimations de l écart entre leurs solutions. Cristinel Mardare Laboratoire

Plus en détail

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...

I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème... TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................

Plus en détail

Exercices théoriques

Exercices théoriques École normale supérieure 2008-2009 Département d informatique Algorithmique et Programmation TD n 9 : Programmation Linéaire Avec Solutions Exercices théoriques Rappel : Dual d un programme linéaire cf.

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications

Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante

Plus en détail

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés.

Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R

Plus en détail

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)

Examen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008) Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut

Plus en détail

Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs

Concours National Commun d Admission aux Grandes Écoles d Ingénieurs ROYAUME DU MAROC Ministère de l Éducation Nationale et de la Jeunesse Ministère de l Enseignement Supérieur, de la Formation des Cadres et de la Recherche Scientifique Concours National Commun d Admission

Plus en détail

Actions de groupes. Exemples et applications

Actions de groupes. Exemples et applications 4 Actions de groupes. Exemples et applications G, ) est un groupe multiplicatif et on note ou G si nécessaire) l élément neutre. E est un ensemble non vide et S E) est le groupe des permutations de E.

Plus en détail

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2

Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation

Plus en détail

Thèse de Doctorat de l École Polytechnique. Domaine : Mathématiques et Informatique

Thèse de Doctorat de l École Polytechnique. Domaine : Mathématiques et Informatique Thèse de Doctorat de l École Polytechnique Domaine : Mathématiques et Informatique Spécialité : Mathématiques de la Modélisation, Simulation et Applications de la Physique Présentée par : rell JAMLOT Pour

Plus en détail

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel

Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Chapitre IV Bases et dimension d un espace vectoriel Objectif : Nous allons voir comment fabriquer des systèmes de coordonnées pour les vecteurs d un espace vectoriel général. Dans ce chapitre désigne

Plus en détail

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé

PAD - Notes de cours. S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé ALGÈBRE PAD - Notes de cours S. Rigal, D. Ruiz, et J. C. Satgé November 23, 2006 Table des Matières Espaces vectoriels Applications linéaires - Espaces vectoriels............................... 3 -. Approche

Plus en détail

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/

Souad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation

Plus en détail

ANNALES DE MATHEMATIQUES

ANNALES DE MATHEMATIQUES ANNALES DE MATHEMATIQUES TERMINALE S LYCEE LOUIS ARMAND Année scolaire 1999/2000 Annales du baccalauréat S 2000 2 Lycée Louis Armand Annales du baccalauréat S 2000 TABLE DES MATIÈRES Table des matières

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...

Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique... Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module complémentaire de maths, année 2012 1 Rappel de l épisode précédent

Plus en détail

Courant électrique et distributions de courants

Courant électrique et distributions de courants Cours d électromagnétisme Courant électrique et distributions de courants 1 Courant électrique 1.1 Définition du courant électrique On appelle courant électrique tout mouvement d ensemble des particules

Plus en détail

TD2 Fonctions mesurables Corrigé

TD2 Fonctions mesurables Corrigé Intégration et probabilités 2012-2013 TD2 Fonctions mesurables Corrigé 0 Exercice qui avait été préparé chez soi Exercice 1. Soit (Ω, F, µ) un espace mesuré tel que µ (Ω) = 1. Soient A, B P (Ω) deux sousensembles

Plus en détail

La notion de dualité

La notion de dualité La notion de dualité Dual d un PL sous forme standard Un programme linéaire est caractérisé par le tableau simplexe [ ] A b. c Par définition, le problème dual est obtenu en transposant ce tableau. [ A

Plus en détail

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan

POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg GUT POLYDOC : UN EXEMPLE D APPLICATION XML POUR LA CRÉATION PERSONNALISÉE DE POLYCOPIÉS Michel Cubero-Castan Cahiers GUTenberg, no 35-36 (2000), p. 133-155.

Plus en détail

ÉÍ ÄÉÍ ËÊ ÈÈ ÄËÁÆÌÊÇ Í ÌÁ Ë ÄÊÁ¹ÍÒ Ú Ö Ø È Ö Á ÇÖ Ý Æ ÓÐ Ó Ø Ó ØÐÖ º Ö ÍÒ Ú Ö Ø È Ö ËÙ Ë˹ÁÁ¹ ÓÒÒ Ú Ò Ë ÓÒØ ÓÒÒ Ð Ø ØÈÖ Ò Ô ÍÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ ÓÒÒ Ë µ ÉÙ³ ØÕÙ³ÙÒ ÓÒÒ ÈÓÙÖÕÙÓ Ô ÙÒËÝ Ø Ñ Ø ÓÒ Ö ÈÓÙÖÕÙÓ Ö À ØÓÖ

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

Electrocinétique et magnétostatique

Electrocinétique et magnétostatique Chapitre 3 Electrocinétique et magnétostatique 3.1 Electrocinétique - Vecteur densité de courant Un courant électrique correspond à des charges électriques mobiles. On appelle vecteur densité de courant

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)

Plus en détail

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x )

Séries de Fourier. T f (x) exp 2iπn x T dx, n Z. T/2 f (x) cos ( ) f (x) dx a n (f) = 2 T. f (x) cos 2πn x ) Séries de Fourier Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de la théorie du signal. Il donne lieu à des prolongements et des extensions nombreux. Les séries de Fourier permettent à la fois

Plus en détail

Arbres binaires, arbres non-croisés, quadrangulations. janvier 2010

Arbres binaires, arbres non-croisés, quadrangulations. janvier 2010 Arbres binaires, arbres non-croisés, quadrangulations Frédéric Chapoton janvier 2010 Plan 1 Les arbres binaires 2 Les arbres non-croisés 3 La relation entre les deux 4 Dualité et rotation 5 Les intervalles

Plus en détail

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables

OM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.

Plus en détail

Factorisation des matrices creuses

Factorisation des matrices creuses Chapitre 5 Factorisation des matrices creuses 5.1 Matrices creuses La plupart des codes de simulation numérique en mécanique des fluides ou des structures et en électromagnétisme utilisent des discrétisations

Plus en détail

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES

DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Université Paris1, Licence 00-003, Mme Pradel : Principales lois de Probabilité 1 DEFINITION et PROPRIETES des PRINCIPALES LOIS de PROBABILITES Notations Si la variable aléatoire X suit la loi L, onnoterax

Plus en détail

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable

Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Chp. 4. Minimisation d une fonction d une variable Avertissement! Dans tout ce chapître, I désigne un intervalle de IR. 4.1 Fonctions convexes d une variable Définition 9 Une fonction ϕ, partout définie

Plus en détail

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015

Partie II. Supplémentaires d un sous-espace donné. Partie I. Partie III. Supplémentaire commun. MPSI B 8 octobre 2015 Énoncé Dans tout le problème, K est un sous-corps de C. On utilisera en particulier que K n est pas un ensemble fini. Tous les espaces vectoriels considérés sont des K espaces vectoriels de dimension finie.

Plus en détail

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités

Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Cours 1: lois discrétes classiques en probabilités Laboratoire de Mathématiques de Toulouse Université Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan Module: Stat inférentielles Définition Quelques exemples loi d une v.a

Plus en détail

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA

COURS OPTIMISATION. Cours à l ISFA, en M1SAF. Ionel Sorin CIUPERCA COURS OPTIMISATION Cours à l ISFA, en M1SAF Ionel Sorin CIUPERCA 1 Table des matières 1 Introduction 4 1.1 Motivation.................................... 4 1.2 Le problème général d optimisation......................

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Méthodes de décomposition de domaine de type Schwarz

Méthodes de décomposition de domaine de type Schwarz Méthodes de décomposition de domaine de type Schwarz Franck Boyer - Florence Hubert Master 2ième année - Mathématiques et Applications Aix-Marseille université 2 février 24 ii F BOYER, F HUBERT - VERSION

Plus en détail

Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes hétérogènes

Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes hétérogènes Méthodes de décomposition de domaine pour des problèmes hétérogènes SMA - Projet de semestre - Analyse Numérique Sous la direction du Dr. Marco Discacciati Rime Mathias automne 2008 Remerciements Je remercie

Plus en détail

(ii) pour tout x X, on a e x = x.

(ii) pour tout x X, on a e x = x. COURS DE LICENCE 2014/15 4 Groupes agissant sur un ensemble Définition 4.1. Soit G un groupe, X un ensemble non vide, S(X) le groupe des bijections de X. Une action de G sur X ou une opération de G sur

Plus en détail

Î ÐÙ Ø Ê Ñ ÙÖ Ô Ø Ð ÓÒÓÑ ÕÙ µ Ð Ê ÓÙÐ Ø ² Ì ÖÖÝ ÊÓÒ ÐÐ ÖÓÙÔ Ê Ö ÇÔ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ö Ø ÄÝÓÒÒ Ñ Ð ÐºÖ ÓÙÐ ØÖ ØÐÝÓÒÒ º Ö Ø ÖÖݺÖÓÒ ÐÐ Ö ØÐÝÓÒÒ º Ö ÈÐ Ò Ð³ ÒØ ÖÚ ÒØ ÓÒ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÒ ÔÖÓÔÖ Ø Î ÐÙ ¹ Ø¹Ê Ä Ü

Plus en détail

ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE

ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE BAZEILLE Stéphane MOUGEL Baptiste IUP3 ALGORITHMES POUR LA VISUALISATION SCIENTIFIQUE EN Année 2003/2004 1 TABLE DES MATIERES Home... 3 Introduction.... 3 Marching Square... 4 Algorithme....4 Programmation...4

Plus en détail

ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES

ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Chapitre 5 ÉTUDE MATHÉMATIQUE DES PROBLÈMES ELLIPTIQUES Exercice 5.2.1 A l aide de l approche variationnelle démontrer l existence et l unicité de la solution de { u + u = f dans (5.1) u = 0 sur où est

Plus en détail

Concours de recrutement de professeur des écoles session 2014, groupement académique 2

Concours de recrutement de professeur des écoles session 2014, groupement académique 2 Concours de recrutement de professeur des écoles session 014, groupement académique Corrigé non officiel de la deuxième épreuve d admissibilité proposé par http ://primaths.fr 1 Première partie La montée

Plus en détail

Méthode du second membre modifié pour la gestion de rapports de viscosité importants dans le problème de Stokes bifluide

Méthode du second membre modifié pour la gestion de rapports de viscosité importants dans le problème de Stokes bifluide Méthode du second membre modifié pour la gestion de rapports de viscosité importants dans le problème de Stokes bifluide Thi Thu Cuc Bui a, Pascal Frey a,b, Bertrand Maury c, a UPMC Université Paris 06,

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

Calculs approchés d un point fixe

Calculs approchés d un point fixe M11 ÉPREUVE COMMUNE DE TIPE 2013 - Partie D TITRE : Calculs approchés d un point fixe Temps de préparation :.. 2 h 15 minutes Temps de présentation devant les examinateurs :.10 minutes Dialogue avec les

Plus en détail

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f

Par contre, lorsque P est finie, l inclusion f(p ) P implique l égalité f(p ) = P car, f Université Lyon 1 Algèbre générale S.P. Groupes III I. Groupe symétrique et géométrie. On se donne un ensemble E (souvent un espace euclidien ou une partie de cet espace) et une bijection f : E E (souvent

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Mesure de compatibilité et application aux problèmes de sous-structuration

Mesure de compatibilité et application aux problèmes de sous-structuration Mesure de compatibilité et application aux problèmes de sous-structuration H. Ben Dhia, E. Balmès LMSS-Mat, École Centrale Paris Grande voie des vignes 92290 Châtenay-Malabry bendhia@mssmat.ecp.fr ; balmes@mssmat.ecp.fr

Plus en détail

BACCALAURÉAT BLANC 2013

BACCALAURÉAT BLANC 2013 BACCALAURÉAT BLANC 203 Série S Corrigé Exercice. a) On traduit les données de l énoncé et on représente la situation par un arbre pondéré. PF ) = 2, PF 2) = 3, P F ) = 5 00 = 20, P F 2 ) =,5 00 = 3 3,5,

Plus en détail

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions

Systèmes différentiels. 1 Généralités, existence et unicité des solutions Systèmes différentiels Cours de YV, L3 Maths, Dauphine, 2012-2013 Plan du cours. Le cours a pour but de répondre aux questions suivantes : - quand une équation différentielle a-t-elle une unique solution

Plus en détail

Ê ÙÐ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ö Ø ØÙÖ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ï ÙØ Ð Ø ÙÐØ ÆÓØÖ ¹ Ñ Ä È Ü Æ ÑÙÖ Ð ÕÙ Û ÙØ Ð Ò Óº ÙÒ Ôº º Ê ÙÑ º ij ÑÔÓÖØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ô ÖØ Ø ÓÒ Ö Ò Ð Ý Ø Ñ ØÖ Ù Ò³ Ø ÔÐÙ ÑÓÒØÖ Öº Ò Ø Ð Ó Ü ³ÙÒ ØÝÔ

Plus en détail

Formulaire de maths - Analyse dans R n

Formulaire de maths - Analyse dans R n Formulaire de maths - Analyse dans R n Nom Théorème ou formule Espaces vectoriels normés Norme sur E Application qui vérifie les propriétés de : séparation : homogénéité : inégalité triangulaire : Normes

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique

Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique Solutions globales pour les équations décrivant des écoulements insaturés en milieux poreux, avec une pression capillaire dynamique J. Bodin 12, T. Clopeau 2, A. Mikelić 2 1 Agence Nationale pour la gestion

Plus en détail

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de

- cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de Notion de courant de particule ; conservation du courant = expression du courant de particules chargées ; charges; j = q k k - cas d une charge isolée en mouvement et par extension d un ensemble de v k

Plus en détail

Cours de mathématiques pour la Terminale S

Cours de mathématiques pour la Terminale S Cours de mathématiques pour la Terminale S Savoir-Faire par chapitre Florent Girod 1 Année scolaire 2015 / 2016 1. Externat Notre Dame - Grenoble Table des matières 1) Suites numériques.................................

Plus en détail

CONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. par. Jean-Pierre Puel

CONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. par. Jean-Pierre Puel CONTRÔLE ET ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES par Jean-Pierre Puel 1. Introduction Pourquoi équations aux dérivées partielles et pourquoi contrôle? Les équations aux dérivées partielles, associées à certaines

Plus en détail

INTRODUCTION A L OPTIMISATION

INTRODUCTION A L OPTIMISATION INTRODUCTION A L OPTIMISATION Les domaines d application L optimisation est essentiellement un outil d aide à la décision au sein de l entreprise, mais aussi pour des individus. Le terme optimal est souvent

Plus en détail

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon

: 3 si x 2 [0; ] 0 sinon Oral HEC 2007 Question de cours : Dé nition d un estimateur ; dé nitions du biais et du risque quadratique d un estimateur. On considère n (n > 2) variables aléatoires réelles indépendantes X 1,..., X

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées.

Définition et caractérisations des applications affines, en particulier par le barycentre, et si possible en coordonnées. Université Claude Bernard Lyon I Agrégation de Mathématiques : Algèbre & géométrie Année 2006 2007 Applications affines A ne pas rater Définition et caractérisations des applications affines, en particulier

Plus en détail

Concours CASTing 2011

Concours CASTing 2011 Concours CASTing 2011 Épreuve de mécanique Durée 1h30 Sans calculatrice Le candidat traitera deux exercices parmi les trois proposés dans le sujet. Dans le cas où les trois exercices seraient traités partiellement,

Plus en détail

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77

IV.1 Dual d un espace vectoriel... 77 76 IV FORMES LINÉAIRES, DUALITÉ IV Formes linéaires, dualité Sommaire IV.1 Dual d un espace vectoriel.......... 77 IV.1.a Rappels sur les e.v................... 77 IV.1.b Rappels sur les applications linéaires........

Plus en détail

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires

Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Probabilités 5. Simulation de variables aléatoires Céline Lacaux École des Mines de Nancy IECL 27 avril 2015 1 / 25 Plan 1 Méthodes de Monte-Carlo 2 3 4 2 / 25 Estimation d intégrales Fiabilité d un système

Plus en détail

Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé

Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé Exercice I Nous allons déterminer par analyse dimensionnelle la relation entre la Trainée D et les autres paramètres. F D, g,, V, ρ, ν) = 0 1) où D représente

Plus en détail

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique

Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique Programmation Linéaire Cours 1 : programmes linéaires, modélisation et résolution graphique F. Clautiaux francois.clautiaux@math.u-bordeaux1.fr Université Bordeaux 1 Bât A33 Motivation et objectif du cours

Plus en détail

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés

Problèmes de Mathématiques Noyaux et images itérés Énoncé Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lc). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = Id E, et pour tout entier k 1, f k = f f k 1. 1. Montrer que (Im f k ) k 0 et (Ker f k ) k 0 forment

Plus en détail

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CHAPITRE 13 COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES Dans tout le chapitre, (Ω, P) désignera un espace probabilisé fini. 1 Couple de variables aléatoires Définition 13.1 On appelle couple de variables aléatoires

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES I CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre

Recherche opérationnelle. Programmation linéaire et recherche opérationnelle. Programmation linéaire. Des problèmes de RO que vous savez résoudre Recherche opérationnelle Programmation linéaire et recherche opérationnelle Ioan Todinca Ioan.Todinca@univ-orleans.fr tél. 0 38 41 7 93 bureau : en bas à gauche Tentative de définition Ensemble de méthodes

Plus en détail

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal

Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal 19 Espaces vectoriels euclidiens. Groupe orthogonal Dans un premier temps, E est un espace vectoriel réel de dimension n 1. 19.1 Espaces vectoriels euclidiens Dénition 19.1 On dit qu'une forme bilinéaire

Plus en détail

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs.

Préparation à l agrégation 2012/2013. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Mots clés : Graphes. Vecteur propre ; matrices stochastiques ; matrices à coefficients positifs. Le jury n exige pas une compréhension exhaustive du texte. Vous êtes laissé(e) libre d organiser votre discussion

Plus en détail

FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT. Mathématiques. Analyse appliquée. Boris Andreianov. PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE 73 20 35,5 4,5 133

FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT. Mathématiques. Analyse appliquée. Boris Andreianov. PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE 73 20 35,5 4,5 133 FICHE UNITE D ENSEIGNEMENT Responsable de l UE Section CNU de l UE Crédits Européens Mode d enseignement Analyse appliquée Boris Andreianov 26 6 PRESENTIEL EN LIGNE x PRESENTIEL ET EN LIGNE Nombre d heures

Plus en détail

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths

Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 2009 L2 Maths Corrigé de l examen partiel du 30 Octobre 009 L Maths (a) Rappelons d abord le résultat suivant : Théorème 0.. Densité de Q dans R. QUESTIONS DE COURS. Preuve. Il nous faut nous montrer que tout réel est

Plus en détail

1 Motivation et programme de travail

1 Motivation et programme de travail Universités de Marseille, janvier 2006 Master professionnalisant Ingénierie Mécanique et Calcul Scientifique Projet sur la simulation numérique de la récupération assistée des hydrocarbures Responsable

Plus en détail

Equation de la chaleur sous contrainte

Equation de la chaleur sous contrainte Equation de la chaleur sous contrainte Proposé par Aline Lefebvre-Lepot aline.lefebvre@polytechnique.edu On cherche à résoudre l équation de la chaleur dans un domaine Ω en imposant une contrainte sur

Plus en détail

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL

LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL LE PROBLEME DU FLOT MAXIMAL I Exemple d introduction Deux châteaux d'eau alimentent 3 villes à travers un réseau de canalisations au sein duquel se trouvent également des stations de pompage. Les châteaux

Plus en détail

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,

Contexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples, Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très

Plus en détail

Á ÏÓÖ Ò Ô Ô Ö ¾»¼ Ä ÒÒÓÒ Ð³ Ø Ú Ø Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø ÙÖ Ð Ñ Ö Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ï Ð Ò ÇÑÖ Ò ½ ÄÙ ÙÛ Ò ¾ Ø È ÖÖ ÓØ Â ÒÚ Ö ¾¼¼ Ê ÙÑ Ô Ô Ö ØÙ Ð Ò Ð Ø Ð ÚÓÐ Ø Ð Ø Ö Ò Ñ ÒØ Ù Ø ÙÜ Ò ÙÖÓ» ÓÐÐ Ö Ò Ù Ø ÓÖ ³ Ú Ò Ñ ÒØ ÓÖÖ

Plus en détail

B - LE CHAMP ELECTRIQUE

B - LE CHAMP ELECTRIQUE B - L CHAP LCTRIQU B - 1 - L VCTUR CHAP LCTRIQU L'orientation du vecteur champ électrique dépend de la nature (positive ou négative) de la charge qui le produit. L effet de ce champ (attraction ou répulsion)

Plus en détail

6 Equations du première ordre

6 Equations du première ordre 6 Equations u première orre 6.1 Equations linéaires Consiérons l équation a k (x) k u = b(x), (6.1) où a 1,...,a n,b sont es fonctions continûment ifférentiables sur R. Soit D un ouvert e R et u : D R

Plus en détail

Un tout petit peu d homotopie

Un tout petit peu d homotopie Vincent Beck On note I = [ 0, 1 ]. Un tout petit peu d homotopie 0.1 Homotopie Définition 1 Applications homotopes. Soient X, Y deux espaces topologiques et f, g : X Y deux applications continues. On dit

Plus en détail

Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques

Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques Équations de Navier-Stokes dans des domaines quelconques Sylvie Monniaux Univ. Paul Cézanne Aix-Marseille 3, France Séminaire EDP, Rennes 2008 Sylvie Monniaux (Univ. P. Cézanne) NS dans Ω qcq Rennes, mars

Plus en détail

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert

2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2 Opérateurs non bornés dans un espace de Hilbert 2. Opérateurs non bornés: définitions et propriétés élémentaires Soit H un espace de Hilbert et A un opérateur dans H, c est-à-dire, une application linéaire

Plus en détail

Résume du cours de Mécanique Analytique

Résume du cours de Mécanique Analytique Résume du cours de Mécanique Analytique jean-eloi.lombard@epfl.ch 22 janvier 2009 Table des matières 1 Équations de Lagrange 1 1.1 Calcul des variations....................... 3 1.2 Principe de moindre

Plus en détail

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité

Plus en détail

Méthodes numériques pour le pricing d options

Méthodes numériques pour le pricing d options Méthodes numériques pour le pricing d options Mohamed Ben Alaya 6 février 013 Nous allons tester les différentes méthodes de différence finies vu dans le cours en l appliquant au calcul du call ou le put

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

Manuel d installation SWING

Manuel d installation SWING Manuel d installation SWING Providing indoor climate comfort SWING-IOM-0206-F ÌßÞÔÛ ÜÛÍ ÓßÌ XÎÛ Í Ð 7½ «±² ¼ù ² ±²òòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòòò ï Ô»«¼ù ²

Plus en détail

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide)

Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009. Descriptifs. (Page vide) Épreuve pratique de mathématiques Printemps 2009 Descriptifs (Page vide) Sujet 001 Épreuve pratique de mathématiques Descriptif Étude d une fonction dépendant d un paramètre Étant donné une fonction dépendant

Plus en détail

Estimation consistante des paramètres d un. modèle non linéaire pour des données. fonctionnelles discrétisées aléatoirement

Estimation consistante des paramètres d un. modèle non linéaire pour des données. fonctionnelles discrétisées aléatoirement Estimation consistante des paramètres d un modèle non linéaire pour des données fonctionnelles discrétisées aléatoirement Consistent estimation of parameters in a nonlinear model for functional data with

Plus en détail

Stratégies et construction

Stratégies et construction Stratégies et construction Sébastien MARTINEAU Été 2008 Exercice 1 (Niveau 2). Sur une règle d 1 mètre de long se trouvent 2008 fourmis. Chacune part initialement, soit vers la gauche, soit vers la droite,

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Élu Correspondant le 11 mai 1987, puis Membre le 29 novembre 2005 dans la section de Sciences mécaniques et informatiques

Élu Correspondant le 11 mai 1987, puis Membre le 29 novembre 2005 dans la section de Sciences mécaniques et informatiques Roland Glowinski Élu Correspondant le 11 mai 1987, puis Membre le 29 novembre 2005 dans la section de Sciences mécaniques et informatiques Roland Glowinski, né le 9 mars 1937, ancien élève de l École polytechnique

Plus en détail

Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes

Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes Notes de cours - Préparation à l agrégation Introduction à l optimisation Première Partie : aspects théoriques Univ. Rennes 1, E.N.S. Rennes Yannick Privat ENS Cachan Bretagne, CNRS, Univ. Rennes 1, IRMAR,

Plus en détail

Contact unilatéral entre solides élastiques

Contact unilatéral entre solides élastiques Contact unilatéral entre solides élastiques L. CHAMPANEY Résumé Ce cours sur le contact entre solides présente les formulations classiques employées pour la description des conditions de contact unilatéral

Plus en détail

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique?

Objectifs. Calcul scientifique. Champ d applications. Pourquoi la simulation numérique? Objectifs Calcul scientifique Alexandre Ern ern@cermics.enpc.fr (CERMICS, Ecole des Ponts ParisTech) Le Calcul scientifique permet par la simulation numérique de prédire, optimiser, contrôler... le comportement

Plus en détail

Programme de Première

Programme de Première BAC TECHNO STAV 66 I. Algèbre Programme de Première Objectif 1 - Effectuer de manière autonome des calculs numériques ou algébriques, résoudre des équations ou inéquations en vue de résoudre des problèmes

Plus en détail