Chapitre n 5 : MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES

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1 Physique - 6 ème année - Ecole Euopéenne Chapite n 5 : MOUVEMENT DES SATELLITES ET DES PLANETES Le début de la leçon est une intoduction histoique des inteactions de gavitation et monte comment la loi de Newton a pemis de compende les lois empiiques de Keple. La loi d'attaction univeselle ésulte d'une déduction évolutionnaie de Newton qui a fait naîte la "légende de la pomme". Le but de la leçon est d'intoduie la notion de champ vectoiel à popos du champ de gavitation. Nous feons ensuite la distinction ente gavitation (adiale) et pesanteu (unifome), ce qui nous pemetta dans des leçons ultéieues d'étudie sépaément le mouvement dans un champ unifome et le mouvement ciculaie dans un champ adial. I) La loi de la gavitation univeselle : 1) Les 3 lois empiiques de Keple : Johannes KEPLER (astonome et physicien Allemand, ), fut l'assistant de Tycho BRAHE (astonome Danois, ) à la fin de sa vie. Apès la mot de son maîte en 1601, il étudia avec minutie les elevés des positions des planètes établis pa celui-ci. Pa un tavail achané d'analyse et de éflexion, mené pendant une quinzaine d'années, il mit en évidence tois lois, lagement en accod avec les obsevations, et qui décivent le mouvement des planètes. Il faut souligne que ces lois ésultent non de l'application d'une théoie généale, mais de l'obsevation de égulaités dans les valeus numéiques ésultant de longs calculs : ce ne sont pas des lois théoiques, mais des lois empiiques. a) Les deux pemièes lois de Keple : - Loi des obites elliptiques (1605) : Dans un éféentiel héliocentique, les planètes décivent des ellipses dont le cente S du Soleil est l'un des foyes. Ces obites sont planes. Remaque : Le cecle est une obite elliptique paticulièe dont S est le cente. - Loi des aies (1604) : Pendant une duée t, le ayon vecteu SP qui joint le cente S du Soleil au cente d'une planète balaie une aie A constante, quelle que soit la position de la planète. Remaque : Le appot A/ t ne dépend que de la planète considéée. b) Toisième loi de Keple : - Loi des péiodes (1618) : Le caé de la péiode de évolution T d'une planète est popotionnel au cube de la longueu du demi-gand axe de l'ellipse a : T = K a3 S Où K S est une constante indépendante de la planète considéée. ) Satellite d'une planète : Les tois lois de Keple s'appliquent également aux satellites d'une planète. La toisième loi s'écit : T /a 3 = K P où K P est une constante qui dépend de la planète considéée mais pas des caactéistiques des satellites en obite autou de la planète. Ecole Euopéenne de Fancfot Page 55

2 3) Loi d'attaction univeselle : a) La pomme et la Lune : Mouvement des satellites et des planètes - Les pédécesseus de Newton et notamment Keple, pensaient à tot que le mouvement d'une planète est dû à une action mécanique execée dans la diection du mouvement. - Tout le monde connaît l'histoie de la pomme de Newton : une pomme se détache de la banche su laquelle elle est accochée et tombe. D'une façon généale tout objet situé pès de la Tee et pivé d'attache ou de suppot tombe ves le cente de la Tee. Qu'en est-il de la Lune? Dépouvue d'attache elle doit également tombe ves la tee! - Analogie avec la "fonde" : la piee tenue pa la fonde toune autou de la main du lanceu. Le mouvement est patiquement ciculaie unifome. Si le lanceu lâche un bin de la fonde, la piee quitte tangentiellement sa tajectoie ciculaie. De même, si la Lune n'était pas attiée pa la tee elle pousuivait son chemin tout doit dans l'espace. - Newton pense que c'est l'attaction teeste qui incuve la tajectoie de la Lune. La Lune "tombe" ves la Tee mais sa vitesse tangentielle est si gande que sa chute incuve juste assez sa couse pou la mainteni à la même distance de la Tee. - Taitement mathématique du poblème : La péiode de évolution T L de la Lune dans sa otation autou de la Tee est T L = 7 j 7 h 43 min 11 s = s et la distance moyenne Tee-Lune est L = 3, m. Su sa tajectoie la Lune a donc une vitesse linéaie de v L =.π. L /T L 1, m.s 1. En t = 1 s la Lune pacout un ac de longueu d = v L. t 1, m su sa tajectoie et toune autou de la Tee d'un petit angle α tel que α = d/ L, ad. Selon le aisonnement de Newton, duant t = 1 s la Lune "tombe" d'une hauteu : h L = L L L L L.( 1+ α ) L cos α 1 α soit h L L. α 1, m D'aute pat, pès du sol, duant la pemièe seconde ( t = 1 s) une pomme tombe d'une hauteu h p :h p = 1.g0. t 0,5x9,8x1 = 4,9 m Newton pose que ces distances sont popotionnelles aux "attactions" coespondantes execées pa la Tee. De plus, il pose que ces attactions sont invesement popotionnelles à une cetaine puissance n de la distance du cente de la Tee au cente de la Lune L, et du cente de la Tee à la pomme R T (ayon de la Tee) : n Soit L = h p RT hl n En penant le logaithme népéien des deux membes on a : ln( L h p ) = ln( ) et en RT hl utilisant une popiété caactéistique des logaithmes : n.ln( L h p ) = ln( ) RT hl hp ln D'où n = hl 8,3,0 L ln 4,08 RT Page 56 Chistian BOUVIER

3 Physique - 6 ème année - Ecole Euopéenne Les données numéiques su le mouvement de la Lune et les expéiences éalisées su la chute des cops pemettent à Newton de monte que : L'attaction teeste est invesement popotionnelle au caé de la distance de l'objet (Lune ou pomme) au cente de la Tee. Newton éige en loi univeselle ses conclusions énoncées pou la tee. Les lois de Keple touvent leu explication dans cette loi. Des mesues de la constante de gavitation ont été effectuées pa Cavendish en 1798, et des mesues plus pécises pa Boys en b) Inteaction de gavitation : - On considèe deux objets ponctuels (A) et (B), de masses m A et m B et placés en des points A et B à une distance l'un de l'aute. L'objet (A) exece su l'objet (B) une foce attactive F A B et l'objet (B) exece su l'objet (A) une foce attactive F B A. Ces deux foces sont appelées foces gavitationnelles. D'apès le pincipe d'inteaction : F A B = -- F B A et F A B et F B A sont colinéaies. La mesue commune des deux foces gavitationnelles est donnée pa l'expession : FA B = FB A = K. ma.m B K est la constante de gavitation univeselle : K = 6, N.m.kg - Désignons pa u AB le vecteu unitaie de la doite (AB) oienté de A ves B. La foce F A B qu'exece l'objet (A) su l'objet (B) s'écit : c) Objet à symétie sphéique : F A B = -- K. ma.m B. u AB On considèe un objet "étendu" sphéique (S) et homogène ou constitué de couches sphéiques concentiques et homogènes (cas de la plupat des astes). Nous admettons que (S) est équivalent, au point de vue des foces de gavitation qu'il exece ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son cente. Un objet poua ête considéé comme ponctuel s il est obsevé à une gande distance. II) Champ de gavitation : 1) Notion de champ de gavitation : Amenons, pa la pensée, en un point P de l'espace un objet quasi-ponctuel de masse m. Si un objet-test est soumis à une foce gavitationnelle F nous dions qu'il existe en P un champ de gavitation G (P). Ce champ gavitationnel est poduit pa difféentes masses épaties dans l'espace et appelées souces du champ. Le champ caactéise les popiétés gavitationnelles de l'espace liées à la pésence des souces. ) Définition : Le vecteu champ de gavitation G (P) est défini pa : G (P) =. F /m ou F = m. G (P) La mesue G(P) de G (P) s'expime en N.kg 1 ou en m.s. On considèe un objet à symétie sphéique de masse M dont le cente est en un point O. Plaçons en un point P un objet-test de masse m. La foce gavitationnelle F subit pa l'objet test est donnée pa la loi de Newton : F OP = -- K. m.m. u O P = m.(-- K. M. u O P) = m. G (P) Ecole Euopéenne de Fancfot Page 57

4 Mouvement des satellites et des planètes D où l'expession du champ de gavitation céé en P pa l'objet de masse M centé en O : G (P) = -- K. M. u O P Le champ de gavitation céé en P pa l'objet de masse M centé en O a pou : - diection : celle de la doite (OP), - sens : de O ves P, - valeu : G(P) = K.M/ où G s'expime m.s, M en kg, en m et K en m 3.kg.s. 3) Lignes de champ : D'une façon généale, on appelle ligne de champ une coube admettant comme tangente en chaque point la doite de même diection et même sens que le champ. Les lignes de champ, du champ gavitationnel céé pa un objet à symétie sphéique, centé en un point O, sont des demi-doites "entantes", passant pa O. III) Champ de pesanteu : 1) Foce gavitationnelle et poids : On considèe un objet de masse m suspendu à un essot, en équilibe pa appot au éféentiel du laboatoie (éféentiel teeste). On peut écie : T + P = 0 Où T est la tension du essot et P est le poids de l'objet. O le éféentiel teeste n'est pas galiléen pa appot au éféentiel géocentique (qui est tès galiléen). Pa appot au éféentiel géocentique, l'objet est en mouvement de otation unifome (il toune avec la tee autou de son axe), on a donc : T + F = m. a Où T est la tension du essot, F la foce de gavitation qu'exece la Tee et a est l'accéléation due à la otation de la Tee (accéléation centipète). On véifie que l'accéléation a une valeu petite et que m.a est négligeable devant F et T. A l'équateu, où l'accéléation pend sa valeu maximale, on touve a 0,033 m.s. On a donc T + F = ε ou T = (F ε ) F est la foce de gavitation, mais, pa définition le poids d'un objet est la foce qu'exece la Tee su cet objet vue dans le éféentiel teeste, donc : P = F ε Soit P F En pemièe appoximation, le poids d'un objet au voisinage de la suface de la Tee est égal à la foce gavitationnelle qu'il subit. Remaque : Le poids est légèement difféent de la foce de gavitation, la veticale du lieu ne coïncide pas avec la adiale pou un point situé à une latitude quelconque. ) Champ de gavitation et champ de pesanteu : Le champ de gavitation G est défini pa F = m. G où F est la foce de gavitation définie dans un éféentiel galiléen. Pou les mêmes aisons que ci-dessus le champ de pesanteu g défini dans le éféentiel teeste pa P = m. g. g est difféent de G. Mais pou les mêmes aisons nous admettons que g G En pemièe appoximation, le champ de pesanteu et le champ de gavitation au voisinage de la suface d'un aste en otation sont égaux. Page 58 Chistian BOUVIER

5 Physique - 6 ème année - Ecole Euopéenne 3) Champ de pesanteu unifome : Un champ de pesanteu est dit unifome, dans une égion d'espace donnée, losque le vecteu champ de pesanteu est le même dans toute la égion considéée ( g te c ). Dans un volume esteint, au voisinage de la Tee : - la vaiation de la diection de g d un point de la suface de la Tee à un aute est faible. Un mille nautique (1 Nm = 185 m) est la longueu de l'ac de gand cecle de la Tee, sous-tendu pa un angle au cente de la Tee de 1 minute d'angle. Exemple : En deux points de la suface de la Tee, sépaés pa une distance de l'ode du kilomète, les veticales font ente elles un angle inféieu à 1 minute d'angle. On peut donc considée que le champ de pesanteu g gade la même diection su toute une suface caée de l'ode de 1 km de coté. - la vaiation de la mesue de g avec l altitude est donnée pa g = g 0. R g (R + z) 0.(1. z ) R Exemple : Avec R = 6380 km (ayon de la Tee), et z = 1 km la vaiation elative de la mesue g 0 du champ de pesanteu est de : -- 3, = -- 0,031 %. Ente une altitude z = 0 où g = g 0 et une altitude z = 1 km = 1000 m, on peu considée que la mesue du champ de pesanteu gade la même valeu g 0. Dans un volume cubique de l'ode de 1 km d'aête, situé à la suface de la Tee, on poua considée le champ de pesanteu g 0 comme unifome. IV) Mouvement d un satellite dans le champ d un aste : 1) Mouvement d une planète et lois de Keple : - Cas généal : on étudie le mouvement d'une planète (P), de masse m P, en obite autou du Soleil (S) de masse m S dans le éféentiel héliocentique d'oigine S, le cente du Soleil. La planète (P) n'est soumise qu'à la foce de gavitation F qu'exece le Soleil et qui est une foce centale (toujous diigée ves S). L'étude mathématique complète monte que la tajectoie d'une planète est une conique : ellipse, paabole, hypebole ou cecle. - Obite ciculaie : supposons que la planète décive un mouvement ciculaie de cente S. La deuxième loi de Newton s'écit : F = m P. a où a comme F est diigé suivant SP et touné ves S. La vitesse v de la planète est tangente au cecle tajectoie donc othogonale à SO. L'accéléation a étant adiale (et pas seulement centale) n'a pas de composante tangentielle, donc : a T = 0 = dv et a = a N, la mesue de la vitesse est constante v = c te : dt La planète a donc un mouvement ciculaie unifome. On peut mette la deuxième loi de Newton sous la fome : F = m P.a N m S.mP v D où K. = m P. ms et on déduit la elation : = K. v indépendante de mp. Soit T la péiode de otation de la planète de mouvement ciculaie unifome : v =.π./t m S.T d'où = K. soit T = 4. π = c te 4. π. 3 K.m S C'est l'expession de la 3 loi de Keple ou loi des péiodes dans laquelle on etouve que la constante ne dépend pas des caactéistiques de la planète. Ecole Euopéenne de Fancfot Page 59

6 ) Satellite de la Tee : a) Généalités : Mouvement des satellites et des planètes On considèe le cas paticulie d'un satellite de la tee de masse m dont le cente d'inetie A est en mouvement ciculaie de ayon = R T + h et unifome de vitesse de mesue v, autou de la Tee de masse M T et de ayon R T. Le mouvement est étudié dans le éféentiel géocentique supposé galiléen. L'altitude du satellite est suffisante (h > 00 km) pou que les fottements de l'atmosphèe soient négligeable : seule la foce de gavitation teeste est à considée : le satellite est en chute libe! La mise en obite d'un satellite est effectuée pa une fusée dont le ôle est double : - amene le satellite à une altitude supéieue à 00 km où les effets de l'atmosphèe sont négligeables. - communique au satellite une vitesse suffisante pou qu'il ne etombe pas su Tee et soit donc satellisé. b) Satellite géostationnaie : Un satellite est géostationnaie si son obite est équatoiale, sa tajectoie ciculaie et son mouvement géosynchone. Pou que le satellite soit géosynchone (même péiode que la Tee) il faut que T = 1 j. D'où un ayon de l'obite ciculaie = K M T T. 3. = 4,.10 3 km 4. π Si = R T + h est la distance SO, h l'altitude du satellite et R T le ayon de la Tee : h = R T = K M T T. 3. R T 4. π Remaque : Un satellite géostationnaie A este constamment à la veticale d'un point P de l'équateu. Les satellites géostationnaies sevent en télécommunication ou en météoologie. V) Apesanteu et impesanteu : Dans un éféentiel galiléen, un solide isolé ne seait soumis, en paticulie à aucune foce de gavitation : il seait en état d'apesanteu dans un éféentiel galiléen. Remaque : L'état d'apesanteu ne peut ête éalisé que loin de tout aste, dans l'espace intesidéal! Dans une station spatiale, un objet flotte : le éféentiel lié à la station spatiale n'est pas galiléen (il est en mouvement de otation). Bien que l'objet soit immobile dans ce éféentiel, on ne peut pas en conclue que la ésultante des foces qui lui sont appliquées est nulle : l'objet est en état d'impesanteu dans un éféentiel non galiléen. Page 60 Chistian BOUVIER

7 I) La loi de la gavitation univeselle : Physique - 6 ème année - Ecole Euopéenne 1) Les 3 lois empiiques de Keple : A RETENIR - Loi des obites elliptiques (1605) : Dans un éféentiel héliocentique, les planètes décivent des ellipses dont le cente S du Soleil est l'un des foyes. Ces obites sont planes. - Loi des aies (1604) : Pendant une duée t, le ayon vecteu SP qui joint le cente S du Soleil au cente d'une planète balaie une aie A constante. - Loi des péiodes (1618) : Le caé de la péiode de évolution T d'une planète est popotionnel au cube de la longueu du demi-gand axe de l'ellipse a : T /a 3 = K S Où K S est une constante indépendante de la planète considéée. ) Satellite d'une planète : Les tois lois de Keple s'appliquent également aux satellites d'une planète. La toisième loi s'écit : T /a 3 = K P où K P est une constante qui dépend de la planète considéée mais pas des caactéistiques des satellites en obite autou de la planète. 3) Loi d'attaction univeselle : L'objet (A) exece su l'objet (B) une foce attactive F et l'objet (B) exece su l'objet (A) une foce attactive F B A. Ces deux foces sont appelées foces gavitationnelles. D'apès le pincipe d'inteaction : F A B = F B A et F A B et F B A sont colinéaies. FA B = FB A = K. ma.m B K est la constante de gavitation univeselle : K = 6, N.m.kg Désignons pa u AB le vecteu unitaie de la doite (AB) oienté de A ves B. La foce F A B qu'exece l'objet (A) su l'objet (B) s'écit : F A B = K. ma.m B. u AB Nous admettons qu'un objet "étendu" sphéique (S) et homogène ou constitué de couches sphéiques concentiques et homogènes est équivalent, pou les foces de gavitation qu'il exece ou qu'il subit, à un objet quasi-ponctuel de même masse, placé en son cente. II) Champ de gavitation : 1) Notion de champ de gavitation : Si un objet-test est soumis à une foce gavitationnelle F nous dions qu'il existe en P un champ de gavitation G( P). Ce champ gavitationnel est poduit pa difféentes masses épaties dans l'espace et appelées souces du champ. Le champ caactéise les popiétés gavitationnelles de l'espace liées à la pésence des souces. ) Définition : G(P) = K. M. u Le champ de gavitation céé en P pa l'objet de masse M centé en O a pou : - diection : celle de la doite (OP), - sens : de O ves P, - valeu : G(P) = K.M/ où G s'expime m.s, M en kg, en m et K en m 3.kg.s. A B O P Ecole Euopéenne de Fancfot Page 61

8 3) Lignes de champ : Mouvement des satellites et des planètes D'une façon généale, on appelle ligne de champ une coube admettant comme tangente en chaque point la doite de même diection et même sens que le champ. Les lignes de champ, du champ gavitationnel céé pa un objet à symétie sphéique, centé en un point O, sont des demi-doites "entantes", passant pa O. III) Champ de pesanteu : 1) Foce gavitationnelle et poids : F est la foce de gavitation, mais, pa définition le poids d'un objet est la foce qu'exece la Tee su cet objet vue dans le éféentiel teeste, donc : P = F ε Soit P F En pemièe appoximation, le poids d'un objet au voisinage de la suface de la Tee est égal à la foce gavitationnelle qu'il subit. Remaque : Le poids est légèement difféent de la foce de gavitation, la veticale du lieu ne coïncide pas avec la adiale pou un point situé à une latitude quelconque. ) Champ de gavitation et champ de pesanteu : En pemièe appoximation, le champ de pesanteu et le champ de gavitation au voisinage de la suface d'un aste en otation sont égaux. 3) Champ de pesanteu unifome : - la vaiation de la diection de d un point de la suface de la Tee à un aute est faible. Un mille nautique (1 Nm = 185 m) est la longueu de l'ac de gand cecle de la Tee, sous-tendu pa un angle au cente de la Tee de 1 minute d'angle. - la vaiation de la mesue de g avec l altitude est donnée pa g = g 0. R g (R + z) 0. (1. z ) R Le facteu.z/r donne une idée de la vaiation elative de la mesue g 0 du champ de pesanteu avec l'altitude z. Dans un volume cubique de l'ode de 1 km d'aête, situé à la suface de la Tee, on poua considée le champ de pesanteu g 0 comme unifome. IV) Mouvement d un satellite dans le champ d un aste : 1) Mouvement d une planète et lois de Keple : T = 4. π = c te 3 K.m S ) Satellite de la Tee : g L'altitude du satellite est suffisante (h > 00 km) pou que les fottements de l'atmosphèe soient négligeable : seule la foce de gavitation teeste est à considée : le satellite est en chute libe! Un satellite est géostationnaie si son obite est équatoiale, sa tajectoie ciculaie et son mouvement géosynchone. Les satellites géostationnaies sevent en télécommunication ou en météoologie. Page 6 Chistian BOUVIER

9 Physique - 6 ème année - Ecole Euopéenne POUR S'ENTRAÎNER I) Inteaction de gavitation. Deux cops (1) et () sont en inteaction de gavitation. Compléte le tableau en expliquant dans un cas le calcul effectué. (1) et () en inteaction masse m 1 en kg masse m en kg distance ente centes en m valeu de la foce en N Tee et Soleil 6,0.10 4, ,56.10 Tee et Lune 6, ,8.10 8, Tee et piee 6, , ,77 oche et piee 1 6, On penda K = 6, S.I. pou constante de gavitation. II) Foce de gavitation. Un objet de masse m = 10 kg est posé su le sol de la Tee. a) Calcule la valeu la foce de gavitation F T qu'exece la Tee su cet objet (c'est patiquement la valeu de son poids). b) Calcule les valeus de la foce de gavitation qu'exece la Lune su cet objet. i. F Lmax : dans le cas où l'objet est le plus poche de la Lune (la Lune au zénith de l'objet) ii. F Lmin : dans et le cas où il est le plus éloigné (la Lune au nadi). c) i. Calcule les valeus la foce de gavitation F S qu'exece le Soleil su cet objet. ii. Compae l'influence de la Lune et celle du Soleil. d) Ces foces sont-elles les seuls éléments qui inteviennent pou explique le phénomène des maées? Explique et justifie. On penda K = 6, S.I. pou constante de gavitation. On donne : masse du Soleil : M S =, kg masse de la Tee : M T = 6, kg masse de la Lune : M L = 7,35.10 kg ayon de la Tee : R T = 6, m distance Tee-Lune : L = 3, m (de cente à cente) distance Tee-Soleil : S = 1, m (de cente à cente) III) Mouvement d un satellite. On considèe un point situé à l altitude h audessus de la suface de la Tee. O est le cente de la Tee, R son ayon et M sa masse. a) Expime et epésente le champ de gavitation G(h) céé pa la Tee en A. Quelle hypothèse doit-on faie pou que G(h) ait cette expession simple? Pou quelle aison le poids m. g(h) d un objet de masse m placé au point A n est il pas exactement égal à m. G(h)? On admetta dans la suite que g(h) et G(h) sont deux vecteus confondus pou les valeus de h considéées. b) Déduie du ésultat pécédent la valeu de g(h) en fonction de g(0) = g 0 au niveau du sol. Ecole Euopéenne de Fancfot Page 63

10 Mouvement des satellites et des planètes c) On considèe un satellite de la Tee ayant une tajectoie ciculaie (C). i. Où est le cente de (C)? ii. Monte que le satellite a un mouvement unifome. iii. Expime la mesue v de la vitesse de ce satellite en fonction de g 0, R et h. En déduie l expession de sa péiode de évolution T en fonction des mêmes paamètes. A.N. : calcule h dans le cas où T = 1 h 40 min. On donne : g 0 = 9,80 m.s et R = 6400 km. d) On suppose que (C) est dans le plan équatoial et que le satellite toune autou de l axe des pôles dans le même sens que la Tee. Calcule la duée T ente passages consécutifs du satellite à la veticale d un même point de la Tee en fonction de T et de la péiode τ de otation de la Tee su elle-même. A.N. : calcule T dans le cas où T = 1 h 40 min et τ = 3 h 56 min. IV) Rotation et foce centifuge. a) Une station obitale (satellisée autou de la tee) est constituée d'un toe à section caée, de ayon moyen R (cf. le film "001 l'odyssée de l'espace"). Le pesonnel de la station seait nomalement en état tès inconfotable d'impesanteu (micogavité). Pou ecée une pesanteu atificielle, la station toune su elle-même autou de son axe de évolution d'un mouvement de otation unifome dont la péiode est T. i. Quel est le poids appaent d'un astonaute de masse m à l'intéieu de la station? Application numéique : R = 00 m; m = 80 kg; T = 40 s ii. Quelle devait ête la péiode de otation de cette station pou que le poids appaent soit égal au poids su Tee (où g 0 = 9,8 m.s )? b) Cetaines étoiles à neutons tounent su elle-même à la vitesse angulaie ω = 1,0 tou pa seconde. Le ayon de l'étoile est = 0 km. En admettant que le champ de gavitation qui ègne à la suface de l'étoile est celui céé pa toute l'étoile, calcule la masse minimale de l'étoile. Compae sa masse volumique moyenne à celle de la Tee, soit 5500 kg.m 3. Page 64 Chistian BOUVIER