Les ensembles D. Daigle

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1 Les ensembles D. Daigle 1. Notions de base La notation x A signifie que x est un élément de l ensemble A (elle se lit x est élément de A ou encore x appartient à A ). Remarquez que le symbole d appartenance est différent de la lettre grecque ε. La théorie des ensembles commence par la définition de l égalité des ensembles : Deux ensembles sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes éléments. Ceci signifie que : si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ces ensembles sont égaux si deux ensembles sont égaux, alors ils ont les mêmes éléments Exemple. Supposons que A et B sont des ensembles satisfaisant : 2 A, 3 A, 4 A, et 2, 3, 4 sont les seuls éléments de A 2 B, 3 B, 4 B, et 2, 3, 4 sont les seuls éléments de B. Alors la définition d égalité implique que A = B. Donc il ne peut pas exister plusieurs ensembles différents dont les éléments seraient 2, 3, 4 et rien d autre Supposons que a 1, a 2,..., a n sont des objets quelconques (un objet peut être un nombre, un ensemble, une fonction, une matrice, etc, donc n importe quel objet mathématique). La définition d égalité implique qu il ne peut pas exister plusieurs ensembles différents dont les éléments seraient a 1, a 2,..., a n. Le symbole {a 1, a 2,..., a n } désigne l unique ensemble dont les éléments sont a 1, a 2,..., a n. Par exemple si on écrit A = {3, 41} alors 3 A, 41 A et A n a pas d autres éléments que 3 et 41. Prenez note du cas n = 1 de la notation 1.2 : si a est un objet quelconque, alors {a} désigne l ensemble dont l unique élément est a. Un ensemble qui a exactement 1 élément est appelé un singleton. Par exemple, l ensemble {5} est un singleton. Remarquons que l ensemble {5} et le nombre 5 sont deux objets différents : 5 {5}. Observons que la définition d égalité implique que {2, 3, 4} = {4, 2, 3} = {2, 3, 2, 4}, puisque ces ensembles ont les mêmes éléments. Il est possible qu un ensemble soit un élément d un autre ensemble. Par exemple, on a les deux ensembles A = {2, 3} et B = {3, 4, 5, 6}. Puisqu on a les objets A et B, on peut ensuite former l ensemble C = {A, B} = {{2, 3}, {3, 4, 5, 6}}. On a alors {2, 3} {{2, 3}, {3, 4, 5, 6}} et {3, 4, 5, 6} {{2, 3}, {3, 4, 5, 6}} Exercice. Soient A = {2, 3} et B = {A}. Alors A a combien d éléments, et B a combien d éléments? A est-il égal à B? 1

2 2 Différentes méthodes pour définir un ensemble On a vu qu on peut définir un ensemble en énumérant ses éléments, comme dans les exemples suivants : U = {3, 7, 342}, V = {2, 3, 4,..., 10}, N = {0, 1, 2, 3,... }. Il existe plusieurs méthodes pour définir un ensemble sans énumérer ses éléments. Voici une de ces méthodes : 1.4. Étant donnée une condition P, la notation E = { x x satisfait la condition P } signifie que E est l ensemble de tous les objets qui satisfont la condition P. Remarquez que, d après la définition d égalité des ensembles, il ne peut pas exister plusieurs ensembles différents dont les éléments seraient tous les objets qui satisfont P Exemple. Utilisons la méthode 1.4 pour définir des ensembles A, B et C : A = { x x est un nombre entier et x 2 7x + 10 = 0 } Cette notation signifie que A est l ensemble de tous les objets x qui satisfont la condition x est un nombre entier et x 2 7x + 10 = 0. Autrement dit, A = {2, 5}. B = { x x est un nombre premier } Ceci signifie que B est l ensemble de tous les nombres premiers. C = { x x est une fonction de N vers N } Ceci signifie que C est l ensemble de toutes les fonctions de N vers N. Voici une variante de la méthode 1.4 pour définir un ensemble : 1.6. Étant donnés un ensemble A et une condition P, la notation E = { x A x satisfait la condition P } signifie que E est l ensemble de tous les éléments de A qui satisfont la condition P Exemple. La méthode 1.6 nous permet de définir l ensemble E = { x R x 2 > 3 }, qui est l ensemble de tous les nombres réels x satisfaisant x 2 > 3. La méthode 1.4 nous permet de définir l ensemble E = { x x R et x 2 > 3 }, qui est l ensemble de tous les objets x satisfaisant x R et x 2 > 3. Donc E = E.

3 Dans les notations 1.4 et 1.6, on peut remplacer x par n importe quelle autre lettre. Par exemple on a { x R x 2 > 3 } = { s R s 2 > 3 }, car dans les deux cas on a l ensemble des nombres réels dont le carré est supérieur à 3. Il y a des cas où on préfère utiliser une lettre plutôt qu une autre, pour des raisons psychologiques. Considérez par exemple C = { x x est une fonction de N vers N }, qui est l ensemble de toutes les fonctions de N vers N. Puisque les éléments de C sont des fonctions, on écrira plutôt C = { f f est une fonction de N vers N } Voici encore une autre méthode pour définir un ensemble. Cette fois nous donnerons seulement des exemples, sans donner une formulation générale. Soit A = { x 2 x N } ; alors A est l ensemble de tous les carrés de nombres naturels, donc A = {0 2, 1 2, 2 2, 3 2,... } = {0, 1, 4, 9,... }. Soit B = { x 2 x R } ; alors B est l ensemble de tous les carrés de nombres réels, donc B est l ensemble des nombres réels plus grands ou égaux à 0, donc B = { x R x 0 }. Soit C = { 4x + 6y x, y Z } ; alors C est l ensemble de tous les nombres de la forme 4x + 6y où x, y peuvent prendre n importe quelles valeurs dans Z. En fait C est exactement l ensemble des entiers pairs, C = { x Z x est pair }. Les ensembles de nombres Nous utiliserons les notations suivantes : Un nombre entier plus grand ou égal à zéro est appelé un nombre naturel. Le symbole N désigne l ensemble des nombres naturels, donc N = {0, 1, 2, 3, 4,... }. Notez bien que 0 N. Le symbole Z désigne l ensemble des entiers (positifs, négatifs, ou nuls), donc Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Un nombre rationnel est une fraction a/b où a, b Z et b 0. L ensemble de tous les nombres rationnels est noté Q. L ensemble de tous les nombres réels est noté R. Rappelons la notation des intervalles. Si a < b sont des nombres réels alors (a, b) = { x x R et a < x < b } [a, b) = { x x R et a x < b } (a, b] = { x x R et a < x b } [a, b] = { x x R et a x b }. Si a R alors [a, ) = { x x R et x a } (a, ) = { x x R et x > a } (, a] = { x x R et x a } (, a) = { x x R et x < a }. Finalement, 3

4 4 (, ) = R Exemple. Soit J = { [a, a 2 + 1] a R }. Alors J est un ensemble dont les éléments sont des intervalles : pour chaque a R l intervalle [a, a 2 + 1] est un élément de J, et J n a pas d autres éléments que les intervalles [a, a 2 + 1] tels que a R. Par exemple, on a [3, 10] J, [ 1, 5 ] J et [3, 8] / J. 2 4 L égalité des ensembles Regardons encore une fois la définition d égalité des ensembles. On sait que la condition A B signifie que A et B n ont pas les mêmes éléments. On a donc : Étant donnés des ensembles A, B, A B il existe au moins un objet qui est élément d un des ensembles A, B mais n est pas élément de l autre. En effet, la phrase écrite à droite de est une façon précise de dire que A et B n ont pas les mêmes éléments. L ensemble vide Théorème. Il existe exactement un ensemble qui n a aucun élément. Démonstration. On doit prouver les deux affirmations suivantes : (1) Il existe au moins un ensemble qui n a aucun élément. (2) Il existe au plus un ensemble qui n a aucun élément. Preuve de (1). L ensemble { x Z x 3 = 4 } n a aucun élément, donc il existe au moins un ensemble qui n a aucun élément. Preuve de (2). On doit montrer que si A et B sont des ensembles qui n ont aucun élément alors A = B. Par contradiction : supposons que A et B sont deux ensembles qui n ont aucun élément et tels que A B. Alors 1.10 implique qu il existe un objet x qui est élément d un des ensembles A, B mais qui n est pas élément de l autre. En particulier, on a alors x A ou x B, ce qui contredit l hypothèse que A et B n ont aucun élément Définition. En vertu de 1.11, il existe exactement un ensemble qui n a aucun élément. Cet ensemble est appelé l ensemble vide et on le désigne par le symbole. Autrement dit, est l unique ensemble qui satisfait : quel que soit l objet x, on a x /. Par exemple, les ensembles V = { x R x 2 = 1 } et W = { x Z x 3 = 4 } n ont aucun élément, donc V = et W =, donc V = W. Rappelons que, étant donné un objet a, on peut former le singleton {a} Lemme. Si a et b sont des objets tels que {a} = {b}, alors a = b.

5 Démonstration. Puisque a {a}, et puisque {a} et {b} on les mêmes éléments, il s ensuit que a {b}. Puisque a {b} et puisque le seul élément de {b} est b, on conclut que a = b Puisqu on a l objet, on peut former le singleton { }. Notez bien que { }, puisque { } n est pas vide (on a { }). Puisqu on a l objet { }, on peut former le singleton {{ }}. Montrons que { } {{ }}. Par contradiction : Supposons que { } = {{ }}. Alors le Lemme 1.13 implique que = { }, qui est faux Si E est un ensemble qui possède un nombre fini d éléments, on dit que E est un ensemble fini. Si E est un ensemble fini qui possède exactement n éléments, on écrit E = n et on dit que la cardinalité de E est égale à n. Par exemple, si A = { x R x 2 = 9 } alors A = 2 (car A = { 3, 3} possède deux éléments). Si E possède un nombre infini d éléments, on dit que E est un ensemble infini. Par exemple, N, Z, Q, R sont des ensembles infinis. 2. Les sous-ensembles d un ensemble 2.1. Définition. Soient A et B des ensembles. Si la condition chaque élément de A est élément de B est satisfaite, alors on dit que A est un sous-ensemble de B, et on écrit A B. Par exemple, les affirmations suivantes sont vraies : {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6} {2, 3, 4}, {2, 3, 4} {2, 3, 4}, et on a aussi {2, 3, 4} {3, 4}. Les expressions suivantes sont des synonymes : A est un sous-ensemble de B, A est une partie de B, A est inclus dans B. La négation de A B s écrit A B, et signifie que A n est pas un sous-ensemble de B. Remarquez : Étant donnés des ensembles A et B, on a : A B il existe au moins un élément de A qui n est pas élément de B Proposition. Pour tout ensemble A, on a A et A A. Démonstration. Soit A un ensemble. Puisque tout élément de A est un élément de A, on a A A.

6 6 On démontre A par contradiction. Supposons que A est faux ; alors on a A, donc 2.2 implique qu il existe au moins un élément x de qui n est pas élément de A. On a alors x, ce qui contredit la définition de Notation. Étant donné un ensemble E quelconque, on définit E = { A A E }, ce qui signifie que E est l ensemble des sous-ensembles de E. On dit aussi que E est l ensemble des parties de E, ou l ensemble puissance de E (en anglais : the powerset of E ). Notez que l usage des parenthèses est facultatif : on peut écrire (E) ou E, au choix Exemple. Soit E = {1, 2}, alors E a quatre sous-ensembles :, {1}, {2}, {1, 2} donc E = {, {1}, {2}, {1, 2} }. Notez que l ensemble E a exactement quatre éléments : E, {1} E, {2} E, {1, 2} E Exemple. a un seul sous-ensemble (c est ), donc = { }. { } a deux sous-ensembles : et { }. Donc { } = {, { } }. L Exemple 2.7 vous demande un peu de gymnastique mentale. Pouvez-vous suivre le raisonnement? 2.7. Exemple. Puisque chaque élément de l intervalle [0, 3] est un élément de R, on a [0, 3] R, donc [0, 3] est un sous-ensemble de R, donc [0, 3] R. Pour la même raison, on a [a, b] R pour tout choix de a, b R tels que a < b. Donc chaque élément de l ensemble A = { [a, b] a, b R et a < b } est un élément de R. Donc A R. Donc A R. Voici un exemple qui illustre comment prouver une inclusion A B Exemple. Soit A = { n 2 n N } = {0, 1, 4, 9, 16, 25,... } et soit B = { x [0, ) il existe un k Z satisfaisant x k x + 1 }. Voici une preuve que A B : Soit x A. Alors il existe n N tel que x = n 2. On a alors x = n, donc la condition x n x + 1 est satisfaite, donc la condition x [0, ) et il existe un k Z satisfaisant x k x + 1 est satisfaite. Ainsi, x B. Remarquez que B A. Pour prouver ceci, il suffit de trouver un élément de B qui n est pas élément de A. Par exemple, on a 3 B et 3 / A, donc B A Proposition. Quels que soient les ensembles A, B, C,

7 (a) si A B et B C, alors A C (b) si A B et B A, alors A = B. La démonstration de (a) est un exercice. Voici la démonstration de (b) : Démonstration. Puisque A B et B A, chaque élément de A est élément de B et chaque élément de B est élément de A ; donc A et B ont les mêmes éléments, donc A = B en vertu de la définition de l égalité des ensembles. Notez que la réciproque de 2.9(b) est vraie : si A = B alors A B et B A. Donc on a A = B (A B B A) Ceci a la conséquence suivante : pour prouver que des ensembles A et B sont égaux, il suffit de prouver que A B et que B A Exemple. Soit A = { 2z z Z } (l ensemble de tous les entiers pairs) et soit B = { 12x + 22y x, y Z } (l ensemble des nombres 12x + 22y où x, y Z prennent toutes les valeurs possibles). Montrons que A = B. Montrons d abord que A B : Soit a A. Alors il existe z Z tel que a = 2z. Soient x = 2z et y = z; alors x, y Z et Donc a B. Montrons ensuite que B A : 12x + 22y = 12(2z) + 22( z) = 2z = a. Soit b B. Alors il existe x, y Z tels que b = 12x + 22y, donc b est pair. Donc b A. Ainsi, A = B Définition. Soient A et B des ensembles. On définit la notation A B par : A B A B et A B. La notation A B se lit de l une ou l autre des façons suivantes : A est strictement inclus dans B ; A est un sous-ensemble propre de B. Par exemple, la condition N N est vraie, mais N N est fausse. Les symboles et se comportent exactement comme et < (la condition 5 5 est vraie mais 5 < 5 est fausse) Soient A et B des ensembles. Pour prouver que A B, il faut vérifier deux conditions : tout élément de A est élément de B au moins un élément de B n est pas élément de A. 7

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