Définition un nombre complexe est un nombre de la forme x + i y, où x et y sont deux nombres réels et i est un nombre imaginaire vérifiant i 2 = 1.

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Viviane Yvonne Bouchard
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1 Nombres complexes TS 1. Nombre complexe Représetatio Défiitio u ombre complexe est u ombre de la forme x + i y, où x et y sot deux ombres réels et i est u ombre imagiaire vérifiat i = 1. L esemble des ombres complexes est oté C. das le pla mui d u repère orthoormal direct ( O ; u, v ) à tout poit M correspod u couple ( x ; y ) de réels, celui de ses coordoées. Réciproquemet, à tout couple de réels correspod u uique poit de ce pla. aisi, o peut établir ue correspodace etre les poits du pla et les ombres complexes, souvet otés avec la lettre. Représetatio géométrique le ombre complexe x + i y est l affixe du poit M( x ; y ) ou du vecteur OM o écrit : x + i y = M = le poit M( x ; y ) est l image de x + i y. le vecteur OM est le vecteur image de x + i y. ou M( x + i y ) o lit : «le poit M d affixe x + i y» OM le pla mui d u repère orthoormal direct das lequel o représete les ombres complexes est appelé pla complexe. tout poit de l axe des abscisses est l image d u ombre réel x + i 0, avec x réel oté simplemet x i = 3 et i = 0, aisi l esemble des complexes C cotiet l esemble des ombres réels R. tout poit de l axe des ordoées est l image d u ombre complexe 0 + i y, avec y réel, oté simplemet i y et dit imagiaire pur i = 5i, aisi l axe des abscisses (Ox) est l axe réel et l axe des ordoées (Oy) est l axe imagiaire Forme algébrique des ombres complexes tout ombre complexe admet ue écriture uique de la forme x + i y, où x et y sot deux ombres réels cette écriture est la forme algébrique de avec : x, la partie réelle de, otée Re() ; y, la partie imagiaire de, otée Im(). la partie imagiaire d u ombre complexe est u réel ; 3 + i ( 5 + i ) est pas sous forme algébrique, car 5 + i est pas u réel. soit u ombre complexe, alors : est réel si, et seulemet si, sa partie imagiaire est ulle ; est imagiaire pur si, et seulemet si, sa partie réelle est ulle. deux ombres complexes, et sot égaux si, et seulemet si, ils ot même partie réelle et même partie imagiaire : = Re Im ( ) = Re( ') ( ) = Im ( ' ) e particulier, u ombre complexe est ul si, et seulemet si, sa partie réelle et sa partie imagiaire sot simultaémet ulles. Nombres complexes cojugués Pour tout ombre complexe de forme algébrique x + i y, le cojugué de est le ombre complexe x i y, oté le poit M 1 ( ) est le symétrique de M ( ) par rapport à l axe des abscisses (Ox) u ombre complexe et so cojugué ot même partie réelle et des parties imagiaires opposées. Ex : Le cojugué de + 3i est 3i.

2 Module et argumet d u ombre complexe soit u ombre complexe o ul, d image M das le pla mui d u repère orthoormal direct ( O ; u, v ) ; M ayat pour coordoées polaires ( ρ ; θ ) das ( O ; u ). o dit que : ρ est le module de, oté. θ est u argumet de, oté arg. aisi le rayo polaire OM vérifie = ρ = OM l agle polaire ( u, OM ) vérifie arg = ( u, OM ) = θ + kπ où k Z o ote aussi : arg = θ [ π ] qui se lit : «θ modulo π» si M est u poit de coordoées polaires ( ρ ; θ ), ses coordoées cartésiees sot : x = ρ. cos θ et y = ρ. si θ aisi l affixe de M, = x + i y, s écrit aussi : = ρ ( cos θ + i si θ ) forme trigoométrique du ombre complexe. o a les relatios : = ρ = x + y ; cos θ = x x + y et si θ = si = 0, alors M est e O. La distace OM est ulle. O défiit le module de 0 par 0 = 0. 0 a pas d argumet. x y + y tout poit M ( cos θ + i si θ ) est u poit du cercle trigoométrique : cosθ + i si θ = 1 et arg ( cos θ + i si θ ) = θ [π ]. Calculer avec les ombres complexes o muit l esemble C d ue additio et d ue multiplicatio qui ot les mêmes propriétés que das l esemble des ombres réels R. Additio si = x + i y et = x + i y alors + = ( x + x ) + i ( y + y ) Iterprétatio géométrique Ex : Si = 4 + i et = + 3i, + = 6 + 4i si et sot les affixes des poits M et M ( ou des vecteurs OM et OM ' ), + est l affixe du poit S ( ou du vecteur OS ) telle que OS = OM + OM ' l opposé d u ombre complexe = x + i y est le ombre oté = x i y. les poits d affixes respectives et sot symétriques par rapport à O.. - = et arg ( ) = arg + π [π ] si A et B sot deux poits d abscisses respectives A et B, l affixe AB du vecteur AB est = AB B A. soit M le poit tel que OM = AB, alors : la logueur AB vérifie : OM = AB = B A l agle orieté vérifie : ( u, OM ) = ( u, AB ) = arg ( ) = arg ( B A ) AB Ex : Si A = 4 + i et B = + 3i AB = B A = ( u, AB ) = arg ( B A ) = 3 π [π ] 4 Additio et ombres complexes cojugués + '= + ' si est o ul de module ρ et d argumet θ : = ρ et arg ( ) = θ [π ] + =.Re() = i. Im()

3 Multiplicatio si = x + i y et = x + i y alors = ( x x y y ) + i ( x y + x y ) Ex : ( 1 + i ) ( 1 i ) = ; ( 5 i ) ( 3 + i ) = i ; k = k x + i k y si k R tout ombre complexe o ul = x + i y admet u iverse 1 + i Ex : = ; i 5 ( 1+ i) ( 3 + i ) 1+ i 1 + 7i = = 3 i ; le quotiet ' 1 = ' 1 1 x i y = x + i y x + y = = si et o uls, ot pour forme trigoométrique respective = ρ ( cos θ + i si θ ) et = ρ ( cos θ + i si θ ), alors : = ρρ [ cos ( θ + θ ) + i si ( θ + θ ) ] o a : ' =. ' et arg ( ) = arg ( ) + arg ( ) [π ]. Ex : soit tel que = et arg ( ) = 3 π [ π ] ; tel que ' = et arg ( ) = alors ' = et arg ( ) = 1 si et sot des ombres complexes o uls, alors : (1) () (3) 1 ' = = 1 = ' et arg ( 1 et et arg ( π [ π ] aisi = cos + i si π [ π ] 4 π π 1 1 ) = arg ( ) [π ] ; arg ( ' ) = arg ( ) arg ( ) [π ] ; ) =. arg ( ) [π ] pour N ;. si A, B et C sot trois poits disticts du pla, d affixes A, B et C, alors : C A (4) = AC AB et arg ( C A ) = ( AB, AC ) [π ] ; B A B A o peut aussi écrire : Multiplicatio et ombres complexes cojugués = ; ' = ' ; si 0 : 1 = 1 et = ( ' = ' ) où N. Ex : Si = 3 i, = = i i 3 7 i = = 3i 3i + 3i =

4 Forme algébrique et formes trigoométriques = Re Im ( ) = Re( ') ( ) = Im ( ' ) = = ' arg arg ' π ( ) = ( ) [ ] R Im () = 0 = 0 = R arg ( ) = 0 ou π [π ] arg ( ) = 0 [π ] π π π ir Re () = 0 + = 0 = - ir arg ( ) = ou [π ] arg ( ) = [π ] Forme expoetielle des ombres complexes pour tout ombre réel θ, o pose: cos θ + i si θ = e iθ tout ombre complexe o ul, de module ρ et d argumet θ, admet ue forme trigoométrique ( appelée forme expoetielle de ) de la forme = ρ.e iθ remarque : Ex : i = e i π 6 ; 3 + i =. e i π 6 ; 1 3 i =. e π i 3 ; ; ; si et o uls, ot pour forme expoetielle respective = ρ e iθ et = ρ e iθ, alors : Ex :

5 Equatios du secod degré à coefficiets réels Formules de résolutio : a, b et c état trois réels doés, avec a o ul, o pose = b 4 a c, est le discrimiat de a + b + c. Das C, l équatio a + b + c = 0 admet toujours deux solutios ( cofodues si = 0 ; cojuguées si < 0 ). b δ b + δ 1 = et = où δ est u ombre complexe dot le carré est le discrimiat a a δ =. Ex : = ( 1 ) ( 1 ) = = Re( 1 ) + 1

6 Nombres complexes et géométrie Distaces, agles orietés remarque :

7 Trasformatios du pla

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