C1 Nombres complexes : forme algébrique. Le plan complexe.

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1 C Nombres complexes : forme algébrique. Le plan complexe. OBJECTIFS DU CHAPITRE C- Mettre en œuvre les règles de calcul sur les nombres complexes C-2 Utiliser les nombres complexes pour résoudre un exercice de géométrie plane C-3 Déterminer un ensemble de points en utilisant les nombres complexes C-4 Résoudre sur C les équations a 2 +b +c = 0 où a,b,c R, a 0. Dans l ensemble de ce chapitre, on munit le plan d un repère orthonormé (O; e, e 2 ). I L ensemble C et le plan complexe A Forme algébrique d un nombre complexe. Notion d affixe. Définition (Nombrei). On considère un nombre imaginaire noté i vérifiant i 2 =. i n est pas un nombre réel. Définition-Proposition (Forme algébrique). On appelle nombre complexe tout nombre s écrivant sous la forme a+ib a et b étant deux nombres réels. Tout nombre complexe s écrit de manière unique sous cette forme. On dit que = a+ib est la forme algébrique du nombre complexe. L ensemble des nombres complexes est noté C Remarques. L unicité de l écriture algébrique d un nombre complexe est admise. Exemples. ) = 5 2i est un nombre complexe. 2) 2 = 3 = 3 + 0i est un nombre complexe. De la même façon tout nombre réel est un nombre complexe. On a l inclusion R C. 3) 3 = 4i = 0 4i est un nombre complexe. Conséquence. Deux nombres complexes = a+ib et 2 = a +ib (a,a,b,b R) sont égaux si et seulement si a = a et b = b. Définition (Partie réelle et imaginaire d un nombre complexe). Etant donné un nombre complexe = a + ib, a, b R. Le réelaest appelé partie réelle de et le nombrebest appelé partie imaginaire de. On note Ainsi, Re() et Im() sont des nombres réels. = a+ib a = Re() b = Im(). Im() = 0 b = 0 = a R Re() = 0 a = 0 = ib Dans ce deuxième cas, on dit que est un imaginaire pur. Exemples. ) = 5 2i. Re( ) = 5, Im( ) = 2 2) 2 = 3 = 3+0i. Re( 2 ) = 3, Im( 2 ) = 0. 2 est un réel. 3) 3 = 4i = 0 4i. Re( 3 ) = 0, Im( 2 ) = 4. 3 est un imaginaire pur. Lycée Les Pannevelles TS Page FBoure - Année 200/20

2 Définition (Affixe d un point, d un vecteur). Soit = a+ib un nombre complexe (a,b R). Le point image M associé au complexe est le point de coordonnées (a;b). On note M() ou encore M = a+ib b = Im() M (a+ib) On dit aussi que est l affixe du point M. u De même au nombre complexe = a+ib, on peut associer le vecteur u a b. On note u() ou encore u = a+ib. On dit aussi que est l affixe du vecteur u. e2 O e a = Re() Remarques. ) Cette association (dû aux travaux d Argand et Cauchy : cf Activité) entre l ensemble C des nombres complexes et l ensemble des points du plan repéré explique l appellation «plan complexe» pour désigner le plan repéré. 2) Tous les nombres réels sont représentés par des points de l axe des abscisses. Pour cette raison, l axe des abscisses est aussi appelé axe des réels. De même tous les nombres imaginaires purs sont représentés par des points de l axe des ordonnées. Cet axe est aussi appelé axe des imaginaires purs B Opérations dansc, opérations sur les affixes On étend les quatre opérations dans R à l ensemble C de sorte qu elles conservent les propriétés qu elles ont dans R (en particulier la distributivité, les identités remarquables, les règles de calcul sur les puissances...). Dans la suite, on considère = a+ib, 2 = a +ib deux nombres complexes (a,a,b,b C). Addition de deux complexes Soustraction de deux complexes + 2 = (a+ib)+(a +ib ) = (a+a )+i(b+b ) Multiplication de deux complexes Etudions un exemple pour commencer 2 = (a+ib) (a +ib ) = (a+a ) i(b+b ) (2+5i)( +7i)= 2 ( )+5i ( )+2 (7i)+(5i) (7i)= 2 5i+4i+35i 2 = 2+9i+35 ( )= 37+9i Plus généralement, 2 = (a+ib) (a +ib ) = (aa bb )+i(ab +a b) Inverse et quotient de deux complexes Nous donnerons deux exemples à valeur de méthode : l idée est de multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée pour se débarrasser desiau dénominateur 2 3i = (2+3i) (2 3i) (2+3i) = 2+3i 2 2 (3i) 2 = 2+3i 4 (9i 2 ) = 2+3i 4 ( 9) = 2+3i = i 2 i 4+3i = ( 2 i)(4 3i) (4+3i)(4 3i) = 8 4i+6i+3i2 4 2 (3i) 2 = +2i = i La proposition suivante est évidente. Il s agit d une interprétation en terme d affixe des propriétés de géométrie analytique dans le plan vu en 2nde et en ère S. Lycée Les Pannevelles TS Page 2 FBoure - Année 200/20

3 Proposition. Soient A etb deux points du plan complexe d affixes respectives A et B. ) Le milieu I du segment [AB] a pour affixe I = A + B. 2 2) Etant donnés deux vecteurs u, v d affixes respectives u et v etk un nombre réel. Alors 3) Le vecteur AB admet pour affixe u + v a pour affixe u + v k u a pour affixek u. AB = B A. 4) Etant donnés un système denpoint pondérés{(a,α ),(A 2,α 2 ),...,(A n,α n )} de masse totaleα +α α n non nulle. Soit G le barycentre de ce système, alors l affixe G degvaut G = α A +α 2 A2 + +α n An α +α 2 + +α n. II Conjugué et module d un nombre complexe A Conjugué d un nombre complexe. Propriétés de la conjugaison Définition (Conjugué). Etant donné un nombre complexe de forme algébrique = a + ib (a,b R), on appelle conjugué de et on le note le nombre complexe = a ib. Exemples. 3+5i = 3 5i 2i+ = 2i+ 2i = 2i 6 = 6 Proposition (Configuration du rectangle). M ( ) b M () Soit = a+ib un nombre complexe avec a,b R. On considère le point M d affixe. Alors, M () est le symétrique dem par rapport à(ox) ; e2 M ( ) est le symétrique dem par rapport à O et a O e a M ( ) est le symétrique dem par rapport à l axe des ordonnées. M ( ) b M () Proposition (Propriété de la conjugaison). Soient et deux nombres complexes. On a les propriétés suivantes : ) = 2) + = + 3) = 4) = 5) Pour tout 0, = 6) Pour tout 0, = 7) Pour tout n N, n = () n 8) Si = a+ib(a,b R), alors = a 2 +b 2 Démonstration. Cf cours manuscrit R C Lycée Les Pannevelles TS Page 3 FBoure - Année 200/20

4 Proposition (Caractérisations des réels et des imaginaires purs). Pour tout C, on a + = 2Re() = 2iIm() On a les équivalences suivantes : R = est un imaginaire pur =. Démonstration. Cf cours manuscrit R C B Module d un nombre complexe. Distance et norme. Définition (Module d un nombre complexe). Soit = a+ib (a,b R) un nombre complexe. On appelle module du nombre complexe et on note le nombre réel positif = a 2 +b 2. Exemples. Calculer le module de = +i 3. En repère orthonormé, nous savons que le vecteur u a b admet pour norme u = a 2 +b 2. On reconnait alors le module de u. Nous avons alors la proposition Proposition (Interprétation du module d un complexe en terme de distance). Soit u le vecteur d affixe u = a+ib alors u = u = a 2 +b 2. b M (a+ib) Soient A etb deux points d affixes respectives A et B. Alors AB = B A. a 2 +b 2 = En particulier, O étant l origine du repère et M un point du plan d affixe M, on a OM = M. e2 O e a Démonstration. Le premier point est immédiat. Le second point en résulte immédiatement : AB = AB = AB = B A. Proposition. Soient et deux nombres complexes. On a les identités suivantes : ) 2 = et donc = 2) si R, alors = a aveca R et on a = a (autrement dit, le module d un nombre réel est égal à sa valeur absolue, la notation est cohérente). 3) = 0 = 0 4) = = = 5) = 6) Pour tout n N, n = n 7) Pour tout 0, = 8) Pour tout 0, = Remarques. En général, + = +. Démonstration. ) On a vu précédemment que si = a+ib (a,b R, alors = a 2 +b 2 = 2. En prenant la racine carrée de chaque membre, on déduit =, étant positif. 2) Si = a est réel alors, par définition du module, on a = a 2 +b 2 = a 2 = a où a est la valeur absolue du réela. 3) Soit = a+ib (a,b R). = 0 2 = 0 a 2 +b 2 = 0 a = 0 etb = 0 = 0. R C Lycée Les Pannevelles TS Page 4 FBoure - Année 200/20

5 4) Simple vérification en utilisant la forme algébrique de. 5) On a, en utilisant ), or = 2 et = 2 d où = ( )( ) = = = 2 2 = 2 2 =. 6) Récurrence surnen utilisant 5) pour l hérédité 7) On a, pour tout 0, l égalité =. En considérant les modules, on a alors et étant donné que 0, o n déduit 8) On a, pour, C avec 0 d où = soit, d après 5) = =. = = d après 5) = = d après 7). III Complexes et géométrie A Alignement, parallèlisme et affixes Trois points A,B,C distincts deux à deux sont alignés si et seulement si AB et AC sont alignés si et seulement si il existe un réel non nulk tel que AB = kac si et seulement si B A = k( C A ) si et seulement si B A C A = k. Trois points A,B etc distincts deux à deux sont alignés si et seulement si le complexe B A C A est réel. Soient A,B,C et Dquatre points du plan tels que A B et C D. On montre de la même manière que Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si le complexe B A D C est réel. B Description par les complexes d ensembles remarquables Soient A,B deux points du plan d affixe respectives A et B etr un réel strictement positif. L ensemble des points M() d affixe du plan vérifiant la condition......est... A = B la médiatrice du segment [AB] = r le cercle de centreo et de rayonr A = r le cercle de centreaet de rayonr Re() = 0 Im() = 0 l axe des ordonnées l axe des abscisses Lycée Les Pannevelles TS Page 5 FBoure - Année 200/20

6 C Translations et homothéties plan : écriture complexe de ces transformations On rappelle qu une transformation T du plan P est une application bijective du plan c est-à-dire que l application T : P P M M = T(M) qui à chaque point M du plan associe un point M du plan est telle que : tout point M admet un unique point imagem part et tout point M admet un unique point antécédentm part. A chaque point M() d affixe, on associe le point M ( ) d affixe. L application complexe associée à la transformationt est alors notée T : C C Translation Homothétie Symétrie centrale Eléments caractéristiques un vecteur u Un point Ω : le centre de l homothétie un réelk : le rapport de l homothétie Un point Ω : le centre de symétrie Notation t u H Ω,k S Ω = H Ω, «M a pour image M» signifie M est tel que MM = u. M est tel que ΩM = k ΩM. Si M = Ω, alorsm = Ω. Sinon, M est tel que Ω soit le milieu de[mm ] M Illustration Ω M N k = 2,5 N Points invariants aucun (si u 0 ) le centreω (si k ) le centreω Ecriture complexe de l application M() M ( ) = + u ω = k( ω) ω étant l affixe deω ω = ( ω) ω étant l affixe de Ω DÉTERMINER LA NATURE DE LA TRANSFORMATION f : = a +b (a RÉEL NON NUL, b COM- PLEXE) Sia = alors on reconnait la translation de vecteur u d affixeb. Remarque que si b = 0, le vecteur de translation est le vecteur nul donc la transformation est l identité du plan. Si a alors f admet un unique point invariant. En effet, résolvons l équation f() = : f() = a +b = (a ) = b = b a (puisque a, la division para est licite) Notons ω le nombre complexeω = b, affixe du point invariant Ω de l applicationf. a Pour tout C, on a alors = a +b et ω = aω +b, par soustraction membre à membre, on obtient : ω = a( ω). Ainsi, la transformation est l homothétie de centreω(ω) et de rapporta. Lycée Les Pannevelles TS Page 6 FBoure - Année 200/20

7 IV Résolution sur C des équationsa 2 +b +c = 0 (a,b,c R, a 0) Nous avons vu dans l activité préparatoire que l introduction de nombre imaginaire i était motivé par l absence de solutions réelles des équations du typex 2 = 2. Ainsi, cette équation n admet pas de solution réelle mais deux solutions complexes : i et i. On dit alors que les solutions sur C de cette équation sont i et i. Dans la suite, on se propose de résoudre sur C, c est-à-dire de trouver les solutions complexes, des équations du second degré a 2 +b +c = 0 (a,b,c R,a 0). On va donc compléter notre étude sur les trinômes du second degré menée en ère S. Notons f le trinôme du second degré défini pour tout complexe parf() = a 2 +b +c. On a f() = a 2 +b +c = a 2 + b a + c a a étant non nul or 2 + b a = + b 2 b 2 4a d où 2 f() = a + b 2 b2 4a 2 + c = a + b 2 b2 4ac a 4a 2 = a + b 2 4a 2 en notant la quantité b 2 4ac appelé discriminant du trinôme. DISCUSSION SUIVANT LE SIGNE DU DISCRIMINANT ( ) Si > 0 alors on peut considérer sa racine carré. Nous avons alors ( ) qui s écrit f() = a + b 2 2 = a + b + b+ Or un produit est nul si et seulement si l un au moins des facteurs est nul. Ainsi, l équation f() = 0 admet deux solutions réelles distinctes : = b et 2 = b+ Si = 0 alors nous avonsf() = a 2 +b+c = a + b Par la règle du produit nul, l équation f() = 0 admet donc une unique solution réelle (dite solution double) 0 = b Si < 0 l équation n admet pas de solutions réelles. En revanche, est strictement positif et admet de ce fait une racine carrée réelle. Nous avons alors En utilisant cette astuce a, nous avons donc f() = a + b 2 i 2 = (i ) 2. = a + b i 2 + b+i Or un produit est nul si et seulement si l un au moins des facteurs nsi, l équation f() = 0 admet deux solutions complexes conjuguées : = b i et 2 = b+i et nous avons la factorisation suivante sur C : pour tout C, a. que BOMBELLI avait introduite rappele vous! a 2 +b +c = a( )( 2 ). Exemples. Résoudre sur C l équation = 0. En déduire une factorisation du trinôme Lycée Les Pannevelles TS Page 7 FBoure - Année 200/20