TRAVAUX DIRIGES DE RESISTANCE DES MATERIAUX. TRONC COMMUN 1ère année ENONCES DES EXERCICES

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1 Page 1 sur 22 TRAVAUX DIRIES DE RESISTANCE DES MATERIAUX TRONC COMMUN 1ère année ENONCES DES EXERCICES Remarques : Pour que ces TD soient profitables, il est nécessaire d'être actif pendant les séances! La plupart des exercices comprennent des applications numériques : il est donc nécessaire de venir à chaque séance avec une calculatrice.

2 Page 2 sur 22 TD N 1 STATIQUE & Torseurs de cohésion Exercice 1 : Meuble suspendu On considère un meuble I suspendu à un mur par des crochets sur sa partie haute et reposant sur le mur sur sa partie basse. y On ramène le problème à un système plan : l/ 4 A l /2 l B x P Torseur de l'action du crochet K sur le meuble I au point A : { K I }= [ R K I = A K I = A x. x A y. y A M = 0 A K I ] Torseur de l'action du mur M sur le meuble I au point B (considéré comme un appui ponctuel) : { M I }= [ R M I = B M I = B x. x B M = 0 B M I ] Torseur de l'action de la pesanteur sur le meuble I au point, centre de gravité du meuble : { poids I }= [ R poids I = P= P. y M = 0 poids I ] 1) Ecrire la réduction des torseurs des actions du poids et du crochet au point A 2) Etude statique : a) Exprimer Ax, Ay et Bx en fonction de P et l b) A.N.: P = -500 N, l= 0,7 m.

3 Page 3 sur 22 Exercice 2 : Soit le portique P encastré en A. Un élément E exerce une action extérieure y DE P [] Dx 0 0. Dx ℝ l C B l /2 DE P D 2l A x SOL a) Faire l'étude de l'équilibre du portique : déterminer l'effort d'encastrement sol P A sol P et le moment du sol sur le portique. b) Pour chaque barre [AB], [BC] et [CD], déterminer le torseur de cohésion. En déduire la nature des sollicitations que subissent les barres.

4 Page 4 sur 22 TD N 2 Sollicitation de TRACTION-COMPRESSION Exercice 1 : F Soit un empilage de 3 éléments de matériaux différents soumis à une sollicitation de compression : La 1ère tige de diamètre d, en acier1, supporte une charge F Cette tige est soudée à un socle de section carrée de coté a en acier2. L'ensemble repose sur un support de diamètre D en béton. = dan ; F acier 1 : σp1 = 100 Mpa ; acier 2 : σp2 = 40 Mpa ; béton : σpb = 25 Mpa ; En écrivant les conditions de résistance, déterminer d, a, et D. Faire les applications numériques. Remarque : le poids des barres est négligé Sol x Exercice 2 : dimensionnement d'une bielle Dans un moteur diesel, la bielle est soumise à un effort maximal de compression à chaque tour de : Fmax = N. La bielle de section circulaire est fabriqué avec un acier à haute résistance mécanique : 14 Ni Cr 11. Pour cet acier la limite élastique est σe = 835 Mpa et la limite à la rupture est σr = 1080 Mpa. F F x a) Ecrire la condition de résistance en compression et déterminer le diamètre d minimum de la bielle. b) Compte tenu de la nature périodique de la charge ( 0 F N), la bielle est soumise à de la fatigue. La contrainte maximale à ne pas dépasser peut alors être estimée par σd = 0,4σe + 0,25σr. calculer σd déterminer le diamètre d minimum de la bielle avec cette nouvelle condition de résistance. c) La longueur de la bielle est de 320 mm = l, le module de Young E = Mpa. quelle est la valeur du raccourcissement maximal de la bielle. Discuter du résultat en fonction de l'utilisation de cette pièce.

5 Page 5 sur 22 d) D'après la géométrie de la bielle, existe t-il un autre risque d'endommagement que nous n'avons encore pas étudié? Si oui, lequel? e) Conclure Exercice 3 : dimensionnement d'un pilier cylindrique en béton Caractéristiques matériau : géométrie du pilier : coefficient de sécurité : Effort de compression : E = Mpa / ν = 0,2 / σe = 30 Mpa hauteur h0 = 24 m / rayon r s=6 = N F A- Le poids du pilier est négligé a- déterminer le rayon minimal admissible rmin = r0. b- calculer le raccourcissement Δl du pilier de rayon r0. c- calculer l'augmentation Δr du rayon. B- On étudie maintenant le comportement du pilier soumis à son seul poids densité du béton : ρ = 2,3 kg / dm3 A (E1) x a- Exprimer la tension N en chaque point de la ligne neutre b- Calculer le raccourcissement de la poutre (S) c- Comparer la valeur du raccourcissement due au seul poids avec celle due à l'effort extérieur seul. Conclure. (E2) B sol x Exercice 4 : dimensionnement d'un pilier en béton armé Caractéristiques acier : Ea = Mpa / σea = 300 Mpa σeb = 30 Mpa F =F. x Caractéristiques béton : Eb = Mpa / géométrie du pilier : section carré de coté a = 0,3 m. Le béton comprend en volume 20% d'acier et 80% de béton Effort de compression : F coefficient de sécurité : s=4 a- Exprimer les contraintes σa (dans l'acier) et σb (dans le béton) en fonction de F, Ea, Eb,et a. Faire l'application numérique (S) b- Déterminer l'effort maximal que peut supporter le pilier sol x

6 Page 6 sur 22 TD N 3 Sollicitation de CISAILLEMENT Exercice 1 : opération de poinçonnage d'une tôle On veut poinçonner une tôle d'épaisseur e = 4 mm. La contrainte à la rupture par cisaillement du matériau est τr = 200 Mpa. Le trou à réaliser est de section carré de coté a = 15 mm. minimal le poinçon doit-il exercer sur la tôle pour provoquer le poinçonnage? a) Quel effort F b) Pendant le poinçonnage, l'outil travaille en compression. La limite élastique pratique du matériau du poinçon est σpe = 250 Mpa. La contrainte de compression dans le poinçon est-elle acceptable? c) A partir de quelle valeur de a ne peut-on plus poinçonner? Exercice 2 : Résistance au cisaillement d'un joint collé Dans l industrie du bois, on utilise parfois des blocs inclinés pour déterminer la résistance compressioncisaillement des joints collés. Soit deux blocs collés A et B, ayant 40 mm de profondeur perpendiculairement au plan de la figure. Calculer la résistance maximale au cisaillement de la colle s il faut une force verticale de 40 kn pour provoquer la rupture du joint. Remarque : Il faut noter qu avec une bonne colle, la majorité des ruptures se produisent dans le bois.

7 Page 7 sur 22 Exercice 3 : Résistance au cisaillement d'un cordon de soudure Pour réunir deux plaques, on utilise souvent des soudures d angle. Un tel cordon de soudure subit du cisaillement ainsi que de la tension ou de la compression, souvent aussi de la flexion. Pour les deux plaques ci-dessous, quel effort de tension admettre si la contrainte pratique de cisaillement est de 80 MPa? La charge est appliquée à mi-distance entre les soudures. Exercice 4 : calcul d'un axe d'articulation Exercice optionnel L'objet de l'étude est une articulation à double chape :

8 Page 8 sur 22 A 2 4, A 3 4 sont les efforts des barres 1, 2 et 3 sur l'axe 4 en A. A 1 4, A 2 4 = A 3 4 = A 1 4 = On a F ℝ = 1600 N. On suppose que la pression est constante au niveau de chaque liaison. Les contacts s'effectuent sur des portions de génératrice de longueur l = 10 mm. On définie par p1, p2 et p3 les coefficients de charge répartie : p 1= F, 2.l p 2= F F et p 3= avec p1 = p2 = 80 N/mm et p3 = 160 N/mm 2.l 2.l La limite pratique de cisaillement du matériau de l'axe est τp = 16 Mpa. Le torseur de cohésion des sections droites (S) entre les points 1 et 5 est de la forme : { coh } = [ M [ 0,5] 0 0 Ty 0 Mfx 0 Tz 0 Mfz 0 ] avec l'effort tranchant T =Ty 0. y0 Tz 0. z0. a) Etudier l'effort tranchant T le long de l'axe 4 Construire les diagrammes Ty0(x) et Tz0(x) b) Calculer l'effort tranchant maximal dans la section dangereuse dont on déterminera l'abscisse. En déduire le diamètre minimale de l'axe 4

9 Page 9 sur 22 TD N 4 y Calculs de moments quadratiques Exercice 1 : Surfaces rectangulaires «pleines» Calculer : Calculer Calculer I I,x et I,y h I O,x x O y b Exercice 2 : Surfaces rectangulaires «creuses» I,x H h Calculer : x O b B Exercice 3 : Surfaces à contours circulaires Calculer : Calculer I I,x et y I,y Φ D x

10 Page 10 sur 22 Exercice 4 : Moment quadratique d'une section en I I,x I,y a t-il un intérêt? Pourquoi? B = 91 mm A = 5,3 E = 8 mm H H = 180 mm x A E Calculer : y B Exercice 5 : Moment quadratique d'une section en L y y L = 140 mm Exercice optionnel e=20 mm x Déterminer les coordonnées du centre de e=20 mm surface de la section en L dans le repère O, x, y. Calculer les moments quadratiques I,x et produit I,y ainsi que le moment O l = 80 mm x I,x, y.

11 Page 11 sur 22 TD N 5 Sollicitation de TORSION Exercice 1 : = C. x ; C = 50 N.m. Un arbre de diamètre d transmet un couple C Caractéristique du matériau de l'arbre : σr = 510 Mpa, σe = 325 Mpa, τe = 175 Mpa, = Mpa. Coefficient de sécurité : s = 4. a) Ecrire le torseur de cohésion pour toute section droite de centre de l'arbre. b) Donner le moment quadratique I de ces sections droites. c) Déterminer le diamètre minimum acceptable de cet arbre. d) Calculer l'angle de déformation (en d ) entre 2 sections droites distantes de l = 300 mm. (pour cette questions on prendra d = 18 mm) Discuter sur la valeur de cette déformation Exercice 2 : Un arbre cylindrique plein de diamètre d1 = 30 mm transmet un couple M = 50 N.m. Caractéristique du matériau de l'arbre : C10 (acier à 0,1% de carbone) σr = 350 Mpa, σe = 215 Mpa, τe = 108 Mpa, = Mpa. Une rainure de clavette provoque une concentration de contrainte k = 3,5. a) Déterminer l'angle de déformation unitaire θ en /m. b) Déterminer la contrainte maximale τmax que subissent les sections droites de l'arbre. En déduire le coefficient de sécurité s dont on dispose. c) Pour diminuer le poids on utilise un arbre creux de diamètre extérieur D = 32 mm. Déterminer le diamètre intérieur d pour obtenir la même valeur de contrainte maximale τmax. d) Calculer l'angle de déformation unitaire de cet arbre creux. Comparer le résultat avec la déformation de l'arbre plein. e) calculer le rapport λ= masse arbre creux masse arbre plein

12 Page 12 sur 22 Exercice 3 : Un arbre cannelé de boîte de vitesse doit transmettre un couple C = 400 N.m. Cet arbre est fabriqué avec un acier pour lequel, après trempe à l'eau et revenu, on obtient les caractéristiques mécaniques suivantes : τe = 600 Mpa, = Mpa. Les cannelures provoquent des concentrations de contraintes avec un coefficient k = 1,57. On adopte pour cette construction un coefficient de sécurité On souhaite étudier 2 solutions : s = 3. un arbre plein de diamètre d un arbre creux de diamètre intérieur d1 = 15 mm. a) Déterminer le diamètre d de l'arbre plein. b) Déterminer la déformation angulaire de l'arbre plein entre 2 sections droites distantes de l = 140 mm. c) Déterminer le diamètre extérieur D de l'arbre creux. d) Déterminer la déformation angulaire de l'arbre plein entre 2 sections droites distantes de l = 140 mm. e) Déterminer le rapport λ= masse arbre creux masse arbre plein

13 Page 13 sur 22 TD N 6 ( 2 séances) Sollicitation de FLEXION PLANE Exercice 1 : poutre sur 2 appuis, soumise à une force C 4 1 y l/2 B 3 1 A 2 1 B A x C l La figure représente la modélisation d'une poutre 1 sur 2 appuis 2 et 3. Ces 2 appuis sont sans adhérences et C 4 1 = C y. y, d'un élément extérieur 4. situés en A et B. Cette poutre est soumise à un effort en C, a) Calculer les réactions aux appuis en A et B. b) Déterminer les équations de la déformée entre A et C, et entre C et B. c) Calculer la flèche (déformation) en C, milieu de la poutre. Montrer que c'est la déformation maximale. Exercice 2 : poutre sur 2 appuis, soumise à une charge répartie. y B 3 1 A 2 1 A p B x l

14 Page 14 sur 22 La figure représente la modélisation d'une poutre 1 sur 2 appuis 2 et 3. Ces 2 appuis sont sans adhérences et situés en A et B. Cette poutre est soumise à une charge répartie linéaire p. a) Calculer les réactions aux appuis en A et B. b) Déterminer l'équation de la déformée. c) Calculer la flèche (déformation) maximale fmax. Exercice 3 : poutre encastrée soumise à un effort. y B A x l A 3 1 La figure représente la modélisation d'une poutre 1 encastrée à une de ses extrémités dans le mur 2. Elle est A 3 1 = A y. y, action d'un élément extérieur 3. soumise a un effort en A, a) Déterminer le torseur de l'action du mur 2 sur la poutre 1 à l'encastrement (en B). b) Déterminer l'équation de la déformée. c) Calculer la valeur de la flèche maximale fmax.

15 Page 15 sur 22 TD N 7 Exercices de synthèse Examen de RDM Tronc commun / décembre 2007 EXERCICE 1 : (8 points) Barème : Q1 : 1 point ; Q2 à Q5 : 1,5 points par question ; Q6 : 1 point On considère les poutres de même matériau de sections droites suivantes : b) ext. : 40 mm, int. : 25 mm a) Diamètre : 30 mm z z y c) Cotés a = 27 mm d) b : 20 mm, h : 35 mm z y z y y e) B : 30 mm, b : 20 mm ; H : 45 mm, h : 35 mm z y Rq1 : toutes les dimensions sont données en millimètres Rq2 : Le matériau étant le même pour toutes les poutres, celui-ci n interviendra pas dans votre raisonnement. Rq3 : si vous connaissez l expression des moments quadratiques des sections courantes, vous pouvez les utiliser sans les démontrer. Rq4 : après avoir développé les calculs sur votre copie, présentez vos résultats dans le tableau joint.

16 Page 16 sur 22 1) Calculer les surfaces des sections de chaque poutre 2) Calculer les moments quadratiques des sections par rapport aux axes y et z 3) Calculer les moments quadratiques par rapport à des sections circulaires 4) Classer les poutres en fonction de leur résistance à la traction / compression (de la moins résistante à la plus résistante) 5) Classer les poutres en fonction de leur résistance à la flexion plane simple (de la moins résistante à la plus résistante) en indiquant la meilleure orientation de la poutre par rapports aux actions extérieures (vous pouvez faire des croquis) 6) Classer les poutres de sections circulaires en fonction de leur résistance à la torsion (de la moins résistante à la plus résistante) EXERCICE 2 : (7 points) barème : Question 1 : 2 points, Question 2 : 2points, Question 3 : 3 points EXERCICE 3 : (5 points) barème : Question 1 : 3 points, Question 2 : 2 points Soit une poutre reposant sur 2 appuis (en A et B) et supportant 2 efforts ponctuels F 1, F2 en C et D ainsi qu une charge répartie p. A l aide du formulaire joint donnant les expressions des déformations pour quelques cas de poutres en flexion, 1) Donner une expression littérale de la flèche (déformation) au centre I de la poutre, Expliquer le principe que vous avez utilisé.

17 2) Page 17 sur 22 Faîtes l application numérique. l = 1000 mm a = 200 mm b = 400 mm F1 = 3000 N F2 = 2000 N p = - 1,5 N / mm Iz = mm4 E = module de Young de l acier Formulaire des déformations :

18 Page 18 sur 22 TABLEAU DE SYNTHESE DES RESULTATS DE L EXERCICE 1 A COMPLETER ET JOINDRE A LA COPIE Section a b c d e

19 Page 19 sur 22 Extrait de l'examen de RDM Tronc commun / janvier 2010 EXERCICE : (5 points) / (25 mn maxi) Modélisation d un support de réservoir du hall «eau & environnement» de l barème : Question 1 : 1 point, Question 2 : 1 point, Question 4 : 1 point, Question 5 : 1 point, Question 3 : 1 point Un support sur roues pour un réservoir de volume V=2000 litres, et de diamètre D = 1m, a été conçu et fabriqué pour la filière EE en Ce support est constitué de poutres en I. On considère que le support est constitué de 3 poutres en I sur 2 appuis (2 autres barres), les lignes moyennes des 3 poutres sont séparées par une distance e = 400 mm : réservoir sur son support Volume d eau : V = 2000 l. Diamètre du réservoir : D = 1 m. Les actions mécaniques des appuis 2 et 3 sur chacune des 3 poutres 1a, 1b et 1c seront considérés comme des efforts ponctuels. On peut donc utiliser les modélisations suivantes :

20 Page 20 sur 22 modélisation de la poutre 1a (ou 1c) modélisation de la poutre 1b La charge répartie p est due à la répartition du poids du réservoir sur les 3 poutres 1a, 1b et 1c.

21 Page 21 sur 22 1) Compléter le paramétrage du schéma ci-dessous, représentant les lignes moyennes des 3 poutres et le contour du réservoir, en utilisant les paramètres La = Lc, Lb, D, et e. paramétrage (à compléter) 1) Déterminer l expression de La (= Lb) en fonction des autres paramètres. (Expliquer votre démarche) 2) 3) Donner l expression de Lt, longueur totale sur laquelle le poids du réservoir s applique. En déduire l expression de la charge répartie «p» Faire l application numérique (exprimer le résultat en N.mm-1) 4) Déterminer l expression des réactions des appuis en A et en B pour la poutre 1a. Vous pouvez utiliser la méthode que vous voulez, en expliquant votre démarche.

22 Page 22 sur 22 ANNEXES 1) Extrait d'un catalogue fournisseur / caractéristiques de poutres IPN en acier 2) Extrait d'un catalogue fournisseur / tubes mécaniques