Introduction et notations

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1 CONCOURS D ADMISSION 4 ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES FILIÈRE MP COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES C (ULCR (Durée : 4 heures L utilisation des calculatrices n est pas autorisée pour cette épreuve. Si le candidat ne parvient pas à établir le résultat annoncé dans une question, il peut néanmoins l admettre et l utiliser dans les questions suivantes, en l indiquant clairement.(on prêtera en particulier attention au dernier résultat de chaque sous section. Introduction et notations Minima de Minkowski L objet du problème est l étude des minima de Minkowski λ (M, λ (M, associés à une matrice symétrique définie positive M de taille. Les trois premières parties de ce problème établissent un encadrement respectivement de ces minima, de leur produit, et de leur valeur moyenne lorsque l on conjugue M par une rotation d angle θ [, ]. On étudie les minimiseurs associés dans la dernière partie. R désigne l ensemble des réels, Z celui des entiers relatifs. On note M (R l ensemble des matrices carrées de taille à coefficients réels, et S ++ M (R l ensemble des matrices symétriques définies positives. On note t A la transposée d une matrice A M (R, et det(a son déterminant. Le déterminant de deux vecteurs u, v R, u = (u, u, v = (v, v, est noté Det(u, v := u v u v. On note Id M (R la matrice identité de taille. On désigne par Aire(B l aire d une partie géométrique B du plan R. On note, et le produit scalaire et la norme canoniques sur R : pour tous u, v R u, v := u i v i, et u := u, u. i Etant donnée une matrice M S ++, on pose pour tous u, v R On note également, pour tout r, u, v M := u, Mv, et u M := u, u M. B(r := {u R ; u r}, et B M (r := {u R ; u M r}. On note µ (M, µ (M R + les racines carrées des valeurs propres de M, ordonnées de sorte que < µ (M µ (M. Les minima de Minkowski associés à M sont définis comme suit : λ (M := inf{ u M ; u Z \ {}} λ (M := inf{ v M ; u, v Z, Det(u, v, u M v M }

2 A Préliminaires. On considère une matrice M S ++, arbitraire mais fixée dans ce sujet. I. Etude de la norme et du produit scalaire associés à M.. Montrer qu il existe une matrice inversible A M (R, telle que t AA = M. On considère dans les questions suivantes une telle matrice A, fixée.. Montrer que u, v M = Au, Av et que u M = Au, pour tous u, v R. 3. Montrer que l application (u, v u, v M définit un produit scalaire sur R, et que u u M définit une norme sur R. 4. Montrer que, pour tout u R, µ (M u u M µ (M u. 5. Montrer que B(r est l image de B M (r par l application linéaire associée à la matrice A. En déduire que Aire(B M (r = πr. det M II. Encadrement des minima de Minkowski.. Montrer que µ (M λ (M.. En choisissant judicieusement la paire (u, v, montrer que λ (M µ (M. 3. En déduire que µ (M λ (M λ (M µ (M. 4. Montrer que, si M est diagonale, alors µ (M = λ (M, et λ (M = µ (M. 5. Montrer que les infimums définissant λ (M et λ (M sont atteints. B Produit des minima de Minkowski. On dit que (u, v (Z est une base du réseau Z, si et seulement si Det(u, v =. Etant donnés deux vecteurs u, v R, on note [u, v] M (R la matrice dont les colonnes sont u et v : en coordonnées u v u v u =, v =, [u, v] =. u v u v I. Caractérisation des bases de Z.. Supposons que (u, v est une base de Z. (a Montrer que la matrice [u, v] est inversible, et que les coefficients de son inverse sont entiers. (b Montrer que pour tout z Z, il existe α, β Z tels que z = αu + βv.. Soient u, v Z, tels que pour tout z Z il existe des entiers α, β Z tels que z = αu+βv. Montrer que (u, v est une base du réseau Z.

3 II. Définition et existence d une base M-réduite.. Montrer qu il existe u, v Z, tels que Det(u, v, u M = λ (M, et v M = λ (M.. Soient u, v Z des vecteurs satisfaisant les conditions de la question II.. ci dessus. Nous souhaitons montrer que (u, v est une base du réseau Z. Pour cela, nous supposons par l absurde qu il existe z Z dont la décomposition z = αu + βv sur la base (u, v de R, fait intervenir au moins un coefficient non entier, α ou β. (a Montrer qu il existe z Z \ {}, et α, β R, tels que z = α u + β v, α /, β /. (b Si β =, montrer qu alors z M < λ (M. Si β, montrer qu alors z M < λ (M. (c Conclure à une contradiction. En déduire que (u, v est une base de Z. On dit que (u, v (Z est une base M-réduite du réseau Z, si et seulement si Det(u, v =, u M = λ (M, et v M = λ (M. Les questions ci-dessus ont établi l existence d au moins une base M-réduite. III. Propriétés géométriques. On considère dans les questions qui suivent une base M-réduite fixée (u, v de Z. On note u := u, v := v, u M v M et l on introduit le parallélogramme Q de sommets u, v, u, v, qui s écrit aussi Q := {αu + βv ; α, β R, α + β }.. Soient a, b R, formant une famille libre, et soit T le triangle de sommets a, b et (l origine. Exprimer Aire(T en fonction de Det(a, b.. Montrer que Aire(Q = 3. Montrer que Q B M (. En déduire que λ (Mλ (M. λ (Mλ (M π det M. 4. (a Montrer que v u M v M et v + u M v M. (b Montrer que u, v M /. (c Soient α, β R tels que α + β. Montrer que α + β αβ /4. En déduire que αu + βv M /. (d Montrer que B M (/ Q. Conclure que det M λ (Mλ (M 8 det M. ( π π 3

4 C Valeur moyenne des minima de Minkowski. Pour tout θ R, on note R θ la matrice de rotation d angle θ : cos(θ sin(θ R θ :=. sin(θ cos(θ Soient a, b R tels que a < b. On note par une intégrale barrée la valeur moyenne d une fonction f continue par morceaux sur le segment [a, b] : a b f(x dx := b a ˆ b a f(xdx. La norme d une matrice A M (R, est définie par A := max{ Ax ; x R, x }. I. Continuité des minima de Minkowski.. Soit M S ++, et soit ν := M M /µ (M. Si ν <, montrer que pour tout u R, ν u M u M + ν u M. (Indication : étudier u, (M Mu.. Avec les notations de la question précédente, toujours sous l hypothèse ν <, montrer que ν λ (M λ (M + ν λ (M, ν λ (M λ (M + ν λ (M. 3. Montrer que les minima de Minkowski λ et λ définissent des fonctions continues sur S En déduire que les valeurs moyennes suivantes sont bien définies λ ( t R θ MR θ, λ ( t R θ MR θ, et λ ( t R θ MR θ. 5. Montrer que 6. Montrer que λ ( t R θ MR θ λ ( t R θ MR θ 8 π ( det M λ ( t. R θ MR θ λ ( t R θ MR θ. II. Estimation d une intégrale. Soit µ [, [, fixé. On suppose jusqu à la fin de cette partie, dernière question exclue, que M est la matrice diagonale M := ( µ 4. ( 4

5 Ainsi µ (M = et µ (M = µ. On introduit également une fonction de seuil E, définie pour tout t R + par t si t E(t := µ, sinon. On considère l ensemble de points Z := {z Z ; z µ}. Etant donné z Z, on s intéresse à la valeur moyenne I(z := E R θ z M. Soit z Z, fixé dans cette série de questions. Montrer que ( π/ I(z = E z cos θ + µ 4 sin θ. Soit θ [, π/]. Montrer que sin(θ θ/π, puis en déduire que cos θ + µ 4 sin θ max(, µ θ/π. (Indication : établir puis utiliser la concavité de la fonction sin, sur le segment [, π/]. 3. On définit une fonction J sur le segment r [, µ], par J(r = π (ˆ π µ r + ˆ π µr π π µ µ θr En combinant les résultats des deux questions précédentes, montrer que I(z J( z. (Indication : découper le segment [, π/] en parties sur lesquelles la fonction θ E(/( z max(, µ θ/π a une expression simple. 4. Montrer que, pour r [, µ], J(r = µ r ln ( eµ III. Valeur moyenne de l inverse du premier minimum de Minkowski. M, E, Z, I et J sont comme dans le paragraphe précédent.. Soit θ [, ], fixé. Montrer que λ ( t R θ MR θ = min{ R θ z M ; z Z}. (Indication : utiliser (. En déduire que λ ( t R θ MR θ = max E z Z R θ z M. Déduire de la question précédente que r λ ( t R θ MR θ z Z. I(z. 5

6 3. Pour tout entier k, on note Z k := {(x, y Z ; max( x, y = k}. (a Montrer que Z est inclus dans la réunion des (Z k k µ. Exprimer Card(Z k en fonction de k. (b Montrer que I(z z Z k µ Card(Z k J(k. (Indication : remarquer que J est décroissante sur son intervalle de définition. (c Montrer qu il existe une constante C, indépendante de µ, telle que k µ kj(k C/µ. (Indication : établir et utiliser que n k= ln k n ln n n, pour tout entier n. (d Etablir que λ ( t R θ MR θ 8C/µ. 4. Conclure que, pour des constantes positives c, c que l on précisera, c (det M 4 λ ( t R θ MR θ λ ( t R θ MR θ c (det M Montrer que le résultat précédent est valable pour toute matrice M S ++ (pas forcément de la forme (. 6. Comparer les estimations des questions A.II.3 et C.III.4, et interpréter la figure. Λ 5 5. Figure Courbe en tirets : λ ( t R θ MR θ, pleine : λ ( t R θ MR θ. En fonction de θ [, π/]. Ici M est une matrice diagonale, µ (M =, µ (M =. Echelle logarithmique sur l axe des ordonnées. 6

7 D Norme euclidienne des éléments d une base réduite Pour toute matrice M S ++, on note I. Bornes uniformes. κ(m := µ (M/µ (M.. Soit M S ++ et soit (u, v une base M-réduite du réseau Z. Montrer que min( u, v max( u, v κ(m.. Dans ces deux questions, on se donne un entier µ. On considère µ µ M := µ µ, u =, v =, (a Montrer que u, v est une base M-réduite du réseau Z. (b Montrer que v κ(m/. II. Borne supérieure en moyenne. On choisit, pour toute matrice M S ++, une base M-réduite (u(m, v(m du réseau Z. On admet que les fonctions suivantes sont constantes par morceaux, quelle que soit M S ++ : [, ] R + θ u( t R θ MR θ et [, ] R + θ v( t R θ MR θ Montrer qu il existe une constante C, que l on précisera, telle que pour toute M S ++ max ( u( t R θ MR θ, v( t R θ MR θ C κ(m. Comparer cette estimation avec la borne uniforme obtenue en D.I., et interpréter. 7

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