LE DÉTERMINANT D UNE MATRICE CARRÉE
|
|
- André Lafond
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 EPFL LE DÉTERMINANT D UNE MATRICE CARRÉE Algèbre Linéaire Génie Civil, Environnement
2 DÉTERMINANT Le déterminant d une matrice carrée A d ordre n>0 est la somme des produits élémentaires signés de A associés aux permutations de Sn :
3 On note : Produit élémentaire signé de A associé à une permutation :
4 Exemple pour n=5 :
5 Exemple pour n=5 : un terme sur chaque ligne et un terme sur chaque colonne
6 La définition du déterminant coïncide bien avec les méthodes de calcul pour les déterminants d ordre 2 et ceux d ordre 3 :
7 PROPRIÉTÉS DU DÉTERMINANT Prop. 1 Si A possède une ligne de 0, det(a)=0. Prop. 2 Si A possède deux lignes égales, det(a)=0. Prop. 3 Si A est triangulaire supérieure, det(a) est le produit de ses coefficients diagonaux.
8 DÉTERMINANT DES MATRICES ÉLÉMENTAIRES Prop. 4 Le déterminant des matrices élémentaires est : Li Lj Li Li cli Li +clj avec
9 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à une centaine d opérations seulement...
10 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à une centaine d opérations seulement...
11 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à quelques centaines d opérations seulement (environ 400 au pire pour n=10!!)...
12 MÉTHODE DE CALCUL Algorithme de Gauss Matrices élémentaires Carl Friedrich Gauss
13 PROPRIÉTÉ CLEF Prop. 5 Si A est une matrice quelconque et si E est une matrice élémentaire de même taille, alors : det(ea)=det(e)det(a)
14 Algorithme : Soit A une matrice carrée de taille n > 0. Réduire A sous forme échelonnée. - Si la forme échelonnée contient une ligne de 0 : det(a)=0. - Sinon, poursuivre la réduction sous forme échelonnée réduite, puis : Ecrire A comme produit de matrices élémentaires Ei. det(a) = le produit des det(ei).
15 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)
16 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)
17 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)
18 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée A contient une ligne de 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne A non inversible et det A = 0 A = E1 E2... Er A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)
19 Exemple : A l aide de l algorithme d élimination de Gauss, calculer det(a), pour :
20 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
21 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
22 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
23 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
24 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
25 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
26 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
27 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(1/-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)
28 det(a)=165
29 det(a)=165
30 det(a)=165
31 Remarque : on peut s arrêter à la forme échelonnée de A, puisque son déterminant est connu. En effet, s agissant d une matrice triangulaire supérieure, son déterminant est égal au produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(m) est le produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire : det(em)=det(e)det(m)
32 Remarque : on peut s arrêter à la forme échelonnée de A, puisque son déterminant est connu. En effet, s agissant d une matrice triangulaire supérieure, son déterminant est égal au produit de ses coefficients diagonaux (donc 1 ici). Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(m) est le produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire : det(em)=det(e)det(m)
33 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10)
34 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10) E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
35 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10) E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M
36 A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M det(em)=det(e)det(m) det(a) = det(e12) det(e1(3)) det(e31(2)) det(e32(10)) det(e3(-55)) det(m) det(a)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M) Prop.3 det(a)= 165 x 1=165
37 A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M det(a) = det(e12) det(e1(3)) det(e31(2)) det(e32(10)) det(e3(-55)) det(m) det(a)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M) Prop.3 det d une matrice triangulaire det(a)= 165 x 1=165
38 CONSÉQUENCES Csq 1 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(a)=0. Et alors Csq. 2 Si A et B sont des matrices carrées de même taille, alors Csq. 3 Si A est une matrice carrée, alors
39 UNE AUTRE MÉTHODE Méthode des cofacteurs Pour une matrice de taille n, cette méthode génère au pire (n-1)!(n-1)! opérations. Elle n est intéressante que si A possède plusieurs coefficients nuls...
40 1. Mineurs A=(aij)ij On a supprimé la ième ligne et la jème colonne de A.
41 2. Cofacteurs Définition : Définition : Exemple :
42 2. Cofacteurs Définition : Définition : Exemple :
43 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!
44 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!
45 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!
46 Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d un déterminant de taille n à n calculs de déterminants de taille (n-1). Pierre-Simon Laplace mathématicien, astronome et physicien français
47 Exemple : En utilisant la méthode des cofacteurs, calculer det(a), pour :
48 Développement par rapport à la première ligne :
49 Développement par rapport à la première ligne : +...
50 Développement par rapport à la première ligne : +...
51 Développement par rapport à la première ligne :
52 Développement par rapport à la première ligne :
53 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Adjointe d une matrice : C est la transposée de la comatrice de A :
54 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Adjointe d une matrice : C est la transposée de la comatrice de A :
55 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Si det(a) = 0 :
56 Exemple : En utilisant la méthode des cofacteurs, calculer l inverse de A, avec :
57 On a vu : det(a)=165. Puis on calcule les cofacteurs de A : = -60 = 15 = 30...
58 On trouve : C11 det(a) C12 adj(a) C13
59 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires : - qui ont autant d équations que d inconnues, - qui admettent une unique solution.
60 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires de la forme AX=B, avec : - A matrice carrée, - A inversible. En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée en applications pratiques. Elle est plus intéressante d un point de vue théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système.
61 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires de la forme AX=B, avec : - A matrice carrée - A inversible. En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée pour des applications pratiques. En revanche, elle est plus intéressante d un point de vue théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système.
62 Gabriel Cramer mathématicien suisse film américain sorti en 1979
63 Gabriel Cramer mathématicien suisse
64 Exemple : En utilisant la méthode de Cramer, résoudre le système AX=B, avec : et
65 La méthode de Cramer s applique car A est inversible. En effet, on a vu : det(a)=165=0.
66 et L unique solution est avec :
67 et L unique solution est avec :
68 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est
69 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est
70 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est
71 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est.
72
Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailQuelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple
Quelques algorithmes simples dont l analyse n est pas si simple Michel Habib habib@liafa.jussieu.fr http://www.liafa.jussieu.fr/~habib Algorithmique Avancée M1 Bioinformatique, Octobre 2008 Plan Histoire
Plus en détailIII- Raisonnement par récurrence
III- Raisonnement par récurrence Les raisonnements en mathématiques se font en général par une suite de déductions, du style : si alors, ou mieux encore si c est possible, par une suite d équivalences,
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailPEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?
PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailEteindre. les. lumières MATH EN JEAN 2013-2014. Mme BACHOC. Elèves de seconde, première et terminale scientifiques :
MTH EN JEN 2013-2014 Elèves de seconde, première et terminale scientifiques : Lycée Michel Montaigne : HERITEL ôme T S POLLOZE Hélène 1 S SOK Sophie 1 S Eteindre Lycée Sud Médoc : ROSIO Gauthier 2 nd PELGE
Plus en détailMATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble
Plus en détailIntroduction à MATLAB R
Introduction à MATLAB R Romain Tavenard 10 septembre 2009 MATLAB R est un environnement de calcul numérique propriétaire orienté vers le calcul matriciel. Il se compose d un langage de programmation, d
Plus en détailI Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11. 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique... 13 1.2 Le plan... 18 1.3 Problème...
TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières I Stabilité, Commandabilité et Observabilité 11 1 Introduction 13 1.1 Un exemple emprunté à la robotique................... 13 1.2 Le plan...................................
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détail3.2. Matlab/Simulink. 3.2.1. Généralités
3.2. Matlab/Simulink 3.2.1. Généralités Il s agit d un logiciel parfaitement dédié à la résolution de problèmes d'analyse numérique ou de traitement du signal. Il permet d'effectuer des calculs matriciels,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCARTE DE VOEUX À L ASSOCIAEDRE
CARTE DE VOEUX À L ASSOCIAEDRE JEAN-LOUIS LODAY Il y a cinq ans le Centre International de Rencontres Mathématiques de Luminy a envoyé ses voeux avec la carte ci-dessus. L illustration choisie par Robert
Plus en détailCORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»
Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.
Plus en détailManuel d utilisation 26 juin 2011. 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2
éducalgo Manuel d utilisation 26 juin 2011 Table des matières 1 Tâche à effectuer : écrire un algorithme 2 2 Comment écrire un algorithme? 3 2.1 Avec quoi écrit-on? Avec les boutons d écriture........
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailSujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.
Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailLa persistance des nombres
regards logique & calcul La persistance des nombres Quand on multiplie les chiffres d un nombre entier, on trouve un autre nombre entier, et l on peut recommencer. Combien de fois? Onze fois au plus...
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCompter à Babylone. L écriture des nombres
Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailLes indices à surplus constant
Les indices à surplus constant Une tentative de généralisation des indices à utilité constante On cherche ici en s inspirant des indices à utilité constante à définir un indice de prix de référence adapté
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailENSAE - DAKAR BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA
ENSEA - ABIDJAN ENSAE - DAKAR ISSEA - YAOUNDÉ BROCHURE D'INFORMATION SUR LE CONCOURS DE RECRUTEMENT D ÉLÈVES INGÉNIEURS STATISTICIENS ÉCONOMISTES (I S E) Option Mathématiques CAPESA CENTRE D APPUI AUX
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailOLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES. 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF
OLYMPIADES ACADEMIQUES DE MATHEMATIQUES 15 mars 2006 CLASSE DE PREMIERE ES, GMF Durée : 4 heures Les quatre exercices sont indépendants Les calculatrices sont autorisées L énoncé comporte trois pages Exercice
Plus en détailObjets Combinatoires élementaires
Objets Combinatoires élementaires 0-0 Permutations Arrangements Permutations pour un multi-ensemble mots sous-ensemble à k éléments (Problème du choix) Compositions LE2I 04 1 Permutations Supposons que
Plus en détailOptimisation, traitement d image et éclipse de Soleil
Kléber, PCSI1&3 014-015 I. Introduction 1/8 Optimisation, traitement d image et éclipse de Soleil Partie I Introduction Le 0 mars 015 a eu lieu en France une éclipse partielle de Soleil qu il était particulièrement
Plus en détailFonction inverse Fonctions homographiques
Fonction inverse Fonctions homographiques Année scolaire 203/204 Table des matières Fonction inverse 2. Définition Parité............................................ 2.2 Variations Courbe représentative...................................
Plus en détailÉquations d amorçage d intégrales premières formelles
Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations
Plus en détailPremière partie. Introduction à la méthodes des différences finies
Première partie Introduction à la méthodes des différences finies 5 7 Introduction Nous allons présenter dans cettte partie les idées de base de la méthode des différences finies qui est sans doute la
Plus en détailCalculer avec Sage. Revision : 417 du 1 er juillet 2010
Calculer avec Sage Alexandre Casamayou Guillaume Connan Thierry Dumont Laurent Fousse François Maltey Matthias Meulien Marc Mezzarobba Clément Pernet Nicolas Thiéry Paul Zimmermann Revision : 417 du 1
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailLES DÉTERMINANTS DE MATRICES
LES DÉTERMINANTS DE MATRICES Sommaire Utilité... 1 1 Rappel Définition et composantes d'une matrice... 1 2 Le déterminant d'une matrice... 2 3 Calcul du déterminant pour une matrice... 2 4 Exercice...
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détailComptabilité Générale - Résumé blocus 08. 1. Chapitres 1,2,3 : Bilan, Compte de résultats,
Comptabilité Générale - Résumé blocus 08 1. Chapitres 1,2,3 : Bilan, Compte de résultats, Fonds de tiers = Provisions + Dettes. Fonds de tiers à long terme = Provisions + Dettes à plus d un an. Capitaux
Plus en détailLogique binaire. Aujourd'hui, l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans la conception des circuits électroniques.
Logique binaire I. L'algèbre de Boole L'algèbre de Boole est la partie des mathématiques, de la logique et de l'électronique qui s'intéresse aux opérations et aux fonctions sur les variables logiques.
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailExemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1
Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation
Plus en détailLa classification automatique de données quantitatives
La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations
Plus en détailArithmétique binaire. Chapitre. 5.1 Notions. 5.1.1 Bit. 5.1.2 Mot
Chapitre 5 Arithmétique binaire L es codes sont manipulés au quotidien sans qu on s en rende compte, et leur compréhension est quasi instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique,
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailCours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application
Université de Provence Licence Math-Info Première Année V. Phan Luong Algorithmique et Programmation en Python Cours 1 : Introduction Ordinateurs - Langages de haut niveau - Application 1 Ordinateur Un
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailAlgorithmes récursifs
Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailReprésentation d un entier en base b
Représentation d un entier en base b 13 octobre 2012 1 Prérequis Les bases de la programmation en langage sont supposées avoir été travaillées L écriture en base b d un entier est ainsi défini à partir
Plus en détailJean-Philippe Préaux http://www.i2m.univ-amu.fr/~preaux
Colonies de fourmis Comment procèdent les colonies de fourmi pour déterminer un chemin presque géodésique de la fourmilière à un stock de nourriture? Les premières fourmis se déplacent au hasard. Les fourmis
Plus en détailOLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES ACADÉMIE DE RENNES SESSION 2006 CLASSE DE PREMIERE DURÉE : 4 heures Ce sujet s adresse à tous les élèves de première quelle que soit leur série. Il comporte cinq
Plus en détailChapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques
Chapitre 1 Régime transitoire dans les systèmes physiques Savoir-faire théoriques (T) : Écrire l équation différentielle associée à un système physique ; Faire apparaître la constante de temps ; Tracer
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailRappels sur les suites - Algorithme
DERNIÈRE IMPRESSION LE 14 septembre 2015 à 12:36 Rappels sur les suites - Algorithme Table des matières 1 Suite : généralités 2 1.1 Déition................................. 2 1.2 Exemples de suites............................
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailÉvaluation de la régression bornée
Thierry Foucart UMR 6086, Université de Poitiers, S P 2 M I, bd 3 téléport 2 BP 179, 86960 Futuroscope, Cedex FRANCE Résumé. le modèle linéaire est très fréquemment utilisé en statistique et particulièrement
Plus en détailChaînes de Markov au lycée
Journées APMEP Metz Atelier P1-32 du dimanche 28 octobre 2012 Louis-Marie BONNEVAL Chaînes de Markov au lycée Andreï Markov (1856-1922) , série S Problème 1 Bonus et malus en assurance automobile Un contrat
Plus en détailProgrammation linéaire
Programmation linéaire DIDIER MAQUIN Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Institut National Polytechnique de Lorraine Mathématiques discrètes cours de 2ème année Programmation linéaire
Plus en détailPython - introduction à la programmation et calcul scientifique
Université de Strasbourg Environnements Informatique Python - introduction à la programmation et calcul scientifique Feuille de TP 1 Avant de commencer Le but de ce TP est de vous montrer les bases de
Plus en détailManipulateurs Pleinement Parallèles
Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique
Plus en détailInformatique Générale
Informatique Générale Guillaume Hutzler Laboratoire IBISC (Informatique Biologie Intégrative et Systèmes Complexes) guillaume.hutzler@ibisc.univ-evry.fr Cours Dokeos 625 http://www.ens.univ-evry.fr/modx/dokeos.html
Plus en détailLa (les) mesure(s) GPS
La (les) mesure(s) GPS I. Le principe de la mesure II. Equation de mesure GPS III. Combinaisons de mesures (ionosphère, horloges) IV. Doubles différences et corrélation des mesures V. Doubles différences
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailDéfinitions. Numéro à préciser. (Durée : )
Numéro à préciser (Durée : ) On étudie dans ce problème l ordre lexicographique pour les mots sur un alphabet fini et plusieurs constructions des cycles de De Bruijn. Les trois parties sont largement indépendantes.
Plus en détailEléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire
INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE Ecole Nationale Supérieure d Electricité et de Mécanique Eléments de Théorie des Graphes et Programmation Linéaire Didier Maquin Professeur à l INPL Version
Plus en détailErreur statique. Chapitre 6. 6.1 Définition
Chapitre 6 Erreur statique On considère ici le troisième paramètre de design, soit l erreur statique. L erreur statique est la différence entre l entrée et la sortie d un système lorsque t pour une entrée
Plus en détailTABLE DES MATIÈRES CHAPITRE I. Les quanta s invitent
TABLE DES MATIÈRES AVANT-PROPOS III CHAPITRE I Les quanta s invitent I-1. L Univers est en constante évolution 2 I-2. L âge de l Univers 4 I-2.1. Le rayonnement fossile témoigne 4 I-2.2. Les amas globulaires
Plus en détailArchitecture des Systèmes d Information Architecture des Systèmes d Information
Plan... Tableaux et tris I3 - Algorithmique et programmation 1 Rappels Nicol Delestre 2 Tableaux à n dimensions 3 Initiation aux tris Tableaux - v2.0.1 1 / 27 Tableaux - v2.0.1 2 / 27 Rappels : tableau
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailBases de données documentaires et distribuées Cours NFE04
Bases de données documentaires et distribuées Cours NFE04 Introduction du cours Auteurs : Raphaël Fournier-S niehotta, Philippe Rigaux, Nicolas Travers prénom.nom@cnam.fr Département d informatique Conservatoire
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailCarré parfait et son côté
LE NOMBRE Carré parfait et son côté Résultat d apprentissage Description 8 e année, Le nombre, n 1 Démontrer une compréhension des carrés parfaits et des racines carrées (se limitant aux nombres entiers
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détail