LE DÉTERMINANT D UNE MATRICE CARRÉE

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1 EPFL LE DÉTERMINANT D UNE MATRICE CARRÉE Algèbre Linéaire Génie Civil, Environnement

2 DÉTERMINANT Le déterminant d une matrice carrée A d ordre n>0 est la somme des produits élémentaires signés de A associés aux permutations de Sn :

3 On note : Produit élémentaire signé de A associé à une permutation :

4 Exemple pour n=5 :

5 Exemple pour n=5 : un terme sur chaque ligne et un terme sur chaque colonne

6 La définition du déterminant coïncide bien avec les méthodes de calcul pour les déterminants d ordre 2 et ceux d ordre 3 :

7 PROPRIÉTÉS DU DÉTERMINANT Prop. 1 Si A possède une ligne de 0, det(a)=0. Prop. 2 Si A possède deux lignes égales, det(a)=0. Prop. 3 Si A est triangulaire supérieure, det(a) est le produit de ses coefficients diagonaux.

8 DÉTERMINANT DES MATRICES ÉLÉMENTAIRES Prop. 4 Le déterminant des matrices élémentaires est : Li Lj Li Li cli Li +clj avec

9 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à une centaine d opérations seulement...

10 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à une centaine d opérations seulement...

11 Pour une matrice quelconque, on a besoin d une méthode efficace pour calculer son déterminant... Si A est de taille n, alors det(a) est la somme de n! produits élémentaires signés qui contiennent n termes chacun... Par exemple, pour n=10, il faut effectuer plus de opérations!! Heureusement, l algorithme de Gauss permet de réduire drastiquement le nombre de calculs à quelques centaines d opérations seulement (environ 400 au pire pour n=10!!)...

12 MÉTHODE DE CALCUL Algorithme de Gauss Matrices élémentaires Carl Friedrich Gauss

13 PROPRIÉTÉ CLEF Prop. 5 Si A est une matrice quelconque et si E est une matrice élémentaire de même taille, alors : det(ea)=det(e)det(a)

14 Algorithme : Soit A une matrice carrée de taille n > 0. Réduire A sous forme échelonnée. - Si la forme échelonnée contient une ligne de 0 : det(a)=0. - Sinon, poursuivre la réduction sous forme échelonnée réduite, puis : Ecrire A comme produit de matrices élémentaires Ei. det(a) = le produit des det(ei).

15 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)

16 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)

17 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée Algorithme de Gauss A contient une ligne de 0 A non inversible et det A = 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne Algorithme de Gauss A = E1 E2... Er Matrices élémentaires A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)

18 A = matrice carrée de taille n A = forme échelonnée A contient une ligne de 0 A possède un 1 directeur sur chaque ligne A non inversible et det A = 0 A = E1 E2... Er A inversible et det(a)=det(e1)det(e2)...det(er)

19 Exemple : A l aide de l algorithme d élimination de Gauss, calculer det(a), pour :

20 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

21 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

22 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

23 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

24 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

25 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

26 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

27 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) L2 E32(-10) L2-5L3 E3(1/-55) E23(-5) L1 L1-3L3 L1 L1+2L2 E13(-3) E12(2)

28 det(a)=165

29 det(a)=165

30 det(a)=165

31 Remarque : on peut s arrêter à la forme échelonnée de A, puisque son déterminant est connu. En effet, s agissant d une matrice triangulaire supérieure, son déterminant est égal au produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(m) est le produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire : det(em)=det(e)det(m)

32 Remarque : on peut s arrêter à la forme échelonnée de A, puisque son déterminant est connu. En effet, s agissant d une matrice triangulaire supérieure, son déterminant est égal au produit de ses coefficients diagonaux (donc 1 ici). Prop. 3 Si M est triangulaire supérieure, det(m) est le produit de ses coefficients diagonaux. Prop. 5 Si E est une matrice élémentaire : det(em)=det(e)det(m)

33 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10)

34 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10) E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M

35 L1 L2 L1 L1/3 E12 E1(1/3) L3 L3-2L1 L3 L3-10L2 E31(-2) L3 L3 /(-55) E3(1/-55) = M E32(-10) E3(1/-55) E32(-10) E31(-2) E1(1/3) E12 A = M A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M

36 A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M det(em)=det(e)det(m) det(a) = det(e12) det(e1(3)) det(e31(2)) det(e32(10)) det(e3(-55)) det(m) det(a)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M) Prop.3 det(a)= 165 x 1=165

37 A = E12 E1(3) E31(2) E32(10) E3(-55) M det(a) = det(e12) det(e1(3)) det(e31(2)) det(e32(10)) det(e3(-55)) det(m) det(a)= (-1)x3x1x1x(-55)xdet(M) Prop.3 det d une matrice triangulaire det(a)= 165 x 1=165

38 CONSÉQUENCES Csq 1 Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(a)=0. Et alors Csq. 2 Si A et B sont des matrices carrées de même taille, alors Csq. 3 Si A est une matrice carrée, alors

39 UNE AUTRE MÉTHODE Méthode des cofacteurs Pour une matrice de taille n, cette méthode génère au pire (n-1)!(n-1)! opérations. Elle n est intéressante que si A possède plusieurs coefficients nuls...

40 1. Mineurs A=(aij)ij On a supprimé la ième ligne et la jème colonne de A.

41 2. Cofacteurs Définition : Définition : Exemple :

42 2. Cofacteurs Définition : Définition : Exemple :

43 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!

44 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!

45 Développement par rapport à la i-ème ligne : Développement par rapport à la j-ème colonne : Choisir une ligne ou une colonne qui contient beaucoup de 0!

46 Cette formule, dite formule de Laplace, permet ainsi de ramener le calcul d un déterminant de taille n à n calculs de déterminants de taille (n-1). Pierre-Simon Laplace mathématicien, astronome et physicien français

47 Exemple : En utilisant la méthode des cofacteurs, calculer det(a), pour :

48 Développement par rapport à la première ligne :

49 Développement par rapport à la première ligne : +...

50 Développement par rapport à la première ligne : +...

51 Développement par rapport à la première ligne :

52 Développement par rapport à la première ligne :

53 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Adjointe d une matrice : C est la transposée de la comatrice de A :

54 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Adjointe d une matrice : C est la transposée de la comatrice de A :

55 CALCUL DE L INVERSE D UNE MATRICE Si det(a) = 0 :

56 Exemple : En utilisant la méthode des cofacteurs, calculer l inverse de A, avec :

57 On a vu : det(a)=165. Puis on calcule les cofacteurs de A : = -60 = 15 = 30...

58 On trouve : C11 det(a) C12 adj(a) C13

59 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires : - qui ont autant d équations que d inconnues, - qui admettent une unique solution.

60 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires de la forme AX=B, avec : - A matrice carrée, - A inversible. En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée en applications pratiques. Elle est plus intéressante d un point de vue théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système.

61 RÉSOLUTION DES SYSTÈMES LINÉAIRES Méthode de Cramer Cette méthode ne fonctionne que pour les systèmes linéaires de la forme AX=B, avec : - A matrice carrée - A inversible. En calcul, elle est généralement inefficace et donc peu utilisée pour des applications pratiques. En revanche, elle est plus intéressante d un point de vue théorique, car elle donne une expression explicite pour la solution du système.

62 Gabriel Cramer mathématicien suisse film américain sorti en 1979

63 Gabriel Cramer mathématicien suisse

64 Exemple : En utilisant la méthode de Cramer, résoudre le système AX=B, avec : et

65 La méthode de Cramer s applique car A est inversible. En effet, on a vu : det(a)=165=0.

66 et L unique solution est avec :

67 et L unique solution est avec :

68 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est

69 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est

70 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est

71 det(a1)= -138 = det(a2)= -15 = det(a3)=36 = Donc l unique solution du système AX=B est.

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