UNIVERSITE DE PARIS X Année universitaire

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1 UNIVERSITE DE PARIS X Année unversare UFR SEGMI L Econome & Geson Travau drgés Sasques Economques Fasccule 3 N. CHEZE e D. ABECASSIS Eercces reprs ou adapés de G. NEUBERG RÉGRESSION Eercce Graphque : nuages de pons (THCO, TS) 4,5 4 3,5 3,5 TS (%),5 0, ,5 THCO (%) Année THCO TS Année THCO TS 980 6,5,8 99 0,3,7 98 7,6,6 993,4-0, 98 8, 4, 994, ,4 0,4 995,5 0, ,6 0, 996, 0, ,3, 997, 986 0,,9 998,5, ,6 0, , ,, , ,7 0,4 00 8, , 00 9, 0,9 99 9,5, ,8 Le ableau c-dessus présene le au de chômage (en %) en France, noé TCHO, e le au de crossance annuel réel (en % ; salare horare du seceur marchand), noé TS, sur la pérode Sur le graphque, on a reporé les pons de coordonnées ( TCHO, TS ). Ben que le nuage de pons a une grande dsperson, on observe en premère appromaon une basse du au de crossance du salare réel lorsque le au de chômage augmene. On envsage de résumer le nuage de pons à l'ade du modèle : TS = atcho + b.

2 .- Quelle es la varable eplquée? Quelle es la varable eplcave? En ermes économques, que représenen les coeffcens a e b e pourquo son-ls respecvemen négaf e posf?.- Dans la sue, on désgne par y le au TS e par le au TCHO. Les calculs donnen 4 = 39, ; 4 = = = 8,9 ; Calculer, y, V(y) e Cov(,y). y 4 = = 433,66 ; 4 = y = 75,5 ; 4 = y = 54, Calculer les esmaons a e b des coeffcens a e b elles qu obenues par la méhode des mondres carrés. Inerpréer les valeurs numérques rouvées. 4.- S le au de chômage e le au de crossance annuel du salare réel éaen mesurés en "pour mlle" (donc, mulplés par 0) quels seraen les esmaons des mondres carrés a ' e b ' des coeffcens a e b? 5.- Calculer le coeffcen de déermnaon du modèle. Rappeler son nerpréaon. 6.- Calculer l ndcaeur de précson moyenne s (ε ) e nerpréer ce résula. 7.- Calculer le au du salare réel ausé en 99, 993 e 994 ans que les résdus de l'ausemen pour ces ros pons. Graphque : au de crossance du salare réel observé e ausé emps Y Prévsons pour Y Sur le graphque c-dessus, on a représené le au de salare réel observé e ausé en foncon du emps. Quel commenare peu-on fare sur la capacé du modèle à reracer l'évoluon du au de crossance du salare réel sur la pérode consdérée? 8.- Avec le modèle esmé, quel au de chômage annulera le au de crossance du salare réel? Quel sera le au de crossance du salare réel pour un au de chômage de 0%, de %, de 4%? Quel au de crossance du salare réel peu-on prévor pour 004 s le au de chômage aen %. Dans ce cas, s le au d'nflaon en 004 s'éabl à,5%, quel sera le au de crossance du salare nomnal?

3 Eercce Le ableau c-après présene, en colonne 3, l'évoluon du volume q (en mllers) des venes de mcro-ordnaeurs d'un consruceur nformaque du 3ème rmesre 00 au ème rmesre 007. p q Log p Log q 0,99 4,93-0,0,5963 0,97 5,46-0,03, ,96 5,8-0,04, ,93 5,67-0,073, ,9 5,6-0,094,73 6 0,88 5,69-0,8,74 7 0,86 5,74-0,5, ,85 5,79-0,63, ,83 6, -0,86,85 0 0,8 6,05-0,,80 0,78 6,3-0,48,84 0,75 6,8-0,8,98 3 0,73 7,9-0,35, ,7 7,5-0,357,05 5 0,67 7,73-0,393, ,65 8,6-0,43, 7 0,63 8, -0,46, ,6 8,4-0,494,3 9 0,59 9,5-0,59,4 0 0,57 9,7-0,56,74,4 Graphque b: Nuage des pons (Log p, Log q),3,, Log q,9 Sére,8,7,6,5-0,6-0,55-0,5-0,45-0,4-0,35-0,3-0,5-0, -0,5-0, -0,05 0 Log p 3

4 0 Graphque a: Nuage des pons (p,q) 9 q 8 7 Sére ,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95,05, p Les venes augmenen car le pr des mcro-ordnaeurs a consdérablemen bassé sur les cnq dernères années. On a poré dans la deuème colonne du ableau, l'ndce du pr relaf p (base au au ème semesre 00) des mcro-ordnaeurs vendus au rmesre ( =,, 0). Le pr relaf es le rappor de l'ndce des pr des mcro-ordnaeurs e de l'ndce des pr à la consommaon. Il vau au 9 ( = 0). Sur les graphques a e b son représenés les pons de coordonnées ( p, q ) d'une par e de coordonnées ( Log p, Log q ) d'aure par. On s'néresse au modèles : [M] Log q = a Log p + b e [M] q = α p + β Le calcul donne : 0 Log p 0 = 5,49 ; Log q = 37,888 ; ( Log = = 0 0 Log p = = =,975 ; Log q 0 = = 7,538. p )( Log q ) = 0,435 ; Premère pare.- En comparan les deu graphques a e b, eplquer pourquo l semble plus rasonnable d'ulser l'équaon [M] que l'équaon [M] pour décrre la lo de la demande. Quelle es l nerpréaon économque du coeffcen a? A quel sgne s'aend-on pour a? Le paramère b a--l une nerpréaon économque néressane. Ecrre la lo de comporemen a obenue sous la forme q = kp..- Calculer les esmaons des mondres carrés, a e b, des coeffcens de [M] sur la pérode. On pose Log q = a Log q + b. 4

5 a Ecrre cee epresson sous la forme q k p = e calculer k. 3.- Calculer la précson moyenne s (ε ) de l'ausemen de l'équaon [M] e nerpréer le résula. Calculer au ème rmesre 007 ( = 0) - le résdu de l'ausemen de [M] : ε = Log( q ) Log( q ) la valeur ausée q q q 0 0 pus l erreur relave ; la comparer à ε. 0 0 q0 Inerpréer la valeur numérque σ (ε ) rouvée c-dessus en supposan que q / q es suffsammen proche de l'uné pour qu'on pusse appromer Log( q / q ) par ( q / q ) ( =,, 0). 4.-Calculer le coeffcen de déermnaon de la régresson effecuée à la queson. 5.- Calculer le au rmesrel moyen de varaon du pr des mcro-ordnaeurs enre le ème rmesre 00 e le ème rmesre 007 (ce pr vau en = 0). En supposan que la basse des pr se poursu à ce même ryhme rmesrel usqu'à la fn de l'année 007 ( = e = ), prévor les venes de ces deu rmesres avec l'équaon [M] rouvée à la queson. 6.- On désgne par V le chffre d'affare rmesrel (V = pq) On désgne par [M3] l'équaon : Log V = Log pq = c Log p + d selon laquelle le logarhme du chffre d'affares es une foncon lnéare du logarhme de l'ndce des pr. Monrer que cee équaon se dédu de [M]. On désgne par c e d les esmaons des coeffcens c e d obenues par la méhode des mondres carrés. Monrer que c = a + e que d =b. En dédure que les équaons [M] e c [M3] on les mêmes résdus. Réécrre l'ausemen de l'équaon [M3] sous la forme V = k ' p. 7.-On pose : y = Log q e = Log p. V (.) désgnan c la varance, monrer que V( + y) = V( y) + ( + a ) V() En dédure que le coeffcen de déermnaon de la régresson qu fa l'obe de la queson 6 es nféreur ou supéreur à celu rouvé à la queson 3 selon que a es supéreur ou nféreur à - 0,5. Calculer le coeffcen de déermnaon de la régresson du modèle [M3]. Dédure de ces calculs e de la queson 6 pourquo on ne do pas apprécer la pernence d'une modélsaon en se basan seulemen sur la valeur du coeffcen de déermnaon d'une régresson. Deuème pare Les calculs donnen 0 = p = 5,685 ; 0 = q = 35,575 ; 0 = p q = 0,86 ; 0 = p =,6445 ; 0 = q = 956, Déermner les esmaons des mondres carrés, α e β, des coeffcens de [M]. Avec ce modèle, donner l'epresson algébrque de l'élascé pr e la calculer en = So e la varable résdu du modèle [M]. Calculer la précson moyenne s(e ) de l'ausemen de l'équaon [M] e nerpréer le résula. Eplquer pourquo on ne peu pas comparer s(e ) e s (ε ) rouvée à la queson 3. Précser commen on calculera un ndcaeur de précson moyenne pour le modèle [M] qu sera comparable à s (ε ) du modèle [M]. 5

6 Trosème pare q p 0.- On pose z = Log( ) / Log( ). Monrer que l équaon [M] mplque [M4] : z = a. q p q q Sous quelles condons peu-on appromer Log ( ) par q q p p e Log ( ) par? p p Inerpréer z sous ces condons. Esmer le paramère a du modèle [M4] par la méhode des mondres carrés..- On consdère le modèle [M5] : Log q = γ + δ où prend les valeurs,, 0. Commen s'nerprèe le paramère γ? Calculer les esmaons γ e δ obenues par la méhode des mondres carrés e le coeffcen de déermnaon de la régresson. Eercce 3 On consdère les loyers y rmesrels d'un échanllon de apparemens de 3 pèces ( = l,, ) ms en locaon dans un même quarer de Pars, classés selon leurs surfaces On pose : z = y / ( =,... ). On oben y = 405 euros ; = 59,0 m ; z = 68,3 euros / m ; y = = eurosm ; (en m ). 4 = m ; V ( y) = ( y y) = euros ; = = 4 z = 43 euros / m. = = ère pare : Pour ener de caracérser smplemen la relaon enre le loyer e la surface d'un apparemen, on s'néresse au deu modèles équvalens suvans : [Ml] : y = m e [M] : z = y / = m..- Calculer z e z. Commen le paramère m s'nerprèe--l économquemen?.- On se propose d'applquer la méhode des mondres carrés pour esmer m à l'ade de l'échanllon des apparemens. On désgne respecvemen par m e par m * son esmaon dans le modèle [M] e dans le modèle [M]..- Quelle es la varable eplquée dans le modèle [M] e quelle es la varable eplcave? Rappeler l'epresson de l'esmaon m * du paramère m du modèle [M] en foncon des valeurs z ( =,, ). Comparer. m * au rappor y /. Calculer la précson absolue de la régresson. Que vau le coeffcen de déermnaon de la régresson?.- On désgne par y la valeur ausée du loyer de l'apparemen n obenue à l'ade du modèle [M], e par ε le résdu d'ausemen correspondan. Calculer m. Monrer que la moyenne arhméque des résdus d'ausemen ε es posve ou négave selon que m es nféreur ou supéreur au rappor y /. Calculerε. Monrer que l'esmaon m peu s'nerpréer comme une moyenne arhméque pondérée 6

7 des valeurs z ( de à ) ; précser l'epresson des coeffcens de pondéraon. Calculer e comparer les pondéraons des valeurs z e z ( er e ème apparemen) dans cee moyenne. 3.- Monrer que V ( y) V ( y ) + V ( ε ). Commen s'eprme V (ε ) en foncon de V (y), V () Cov (, y) e mˆ. Calculer V (ε ). En dédure la moyenne quadraque des résdus d'ausemen : = ε. ème pare : Pour ener de meu caracérser la relaon enre le loyer e la surface d'un apparemen, on s'néresse au modèles : [M3] y = a + b e [M4] z = y / = a + b. 4.- Dans chacun des deu modèles, dre quelle es la varable eplquée e quelle es la varable eplcave. Le modèle [M4] es-l lnéare? Eplquer pourquo le sgne de b perme de précser s le loyer du m margnal es nféreur ou non au loyer du m moyen. 4.- La méhode des mondres carrés applquée au modèle [M4] condu à la régresson suvane : y z = = a + b (R = 0,065) où R es le coeffcen de déermnaon. On se propose d'esmer les coeffcens a e b du modèle [M3] par la méhode des mondres carrés. On désgne par â l'esmaon de a obenue à l'ade du modèle [M3], par y * la valeur ausée du loyer de l'apparemen n e par ε * le résdu d'ausemen correspondan. Écrre l'équaon de la droe de régresson. Calculer la précson absolue de la régresson. Calculer le coeffcen de déermnaon e l'nerpréer. Peu-on comparer les coeffcens de déermnaon des deu régressons [M3] e [M4]? 4.3-Monrer que â peu s'écrre comme une moyenne arhméque pondérée des y y nombres p =, so = a ˆ α p où ( ) α = = ( ) Calculer α, α6, α e z6. En dédure les conrbuons des ère, 6 ème e ème observaons à â Comparer les formules d'esmaon de m * e de â. Quelles son les conrbuons des ère, 6 ème e ème * observaons à m? Eercce 4 On rouve dans les Compes de la Naon de l'année 997, pour chaque l'année ( = 970,, 997), la valeur de la consommaon des ménages ans que l'évaluaon des quanés produs consommés ( h h q ) au pr de l année 980 ( p 80 ), où h = a, b, désgne la nomenclaure des produs consommés. h h On désgne par : C = p80 q, la consommaon des ménages de l'année au pr de l'année h 980 e par R le revenu dsponble des ménages de l'année, en francs =.- Sachan que la consommaon fnale des ménages de l'année 997 vala 7

8 474 M F e que C97 = 53 M F, calculer l'ndce des pr à la consommaon I 97 / 80 ( p) ssu des Compes Naonau. Précser le nom de l'ndce des pr ans calculé. De quelle aure nformaon a--on beson pour calculer l'ndce I )? 97 / 96 ( p.- Calculer le revenu dsponble de l'année 997 en francs 980 : R sachan que le 97 ~ revenu dsponble des ménages en francs courans de l'année 997 vala R = Mds F..- On envsage le modèle [M] : Log C = α Log C + ( α) LogR + β + ε, où α e β désgnen deu paramères à esmer, selon lequel la consommaon des ménages C dépend de la consommaon de l'année précédene C (du fa des habudes) e du revenu dsponble R de l'année. D'après ce modèle, calculer l'élascé de C par rappor à R, pus de C par rappor à + C. En dédure quel sera l'mpac (en %) d'une augmenaon du revenu dsponble des ménages de l'année de %, sur la consommaon de l'année, pus sur celle de l'année +? Applcaon numérque : α = 0, Commen do-on chosr y e pour que le modèle se présene sous la forme habuelle de la régresson smple : [M'] y = α + β + ε? Inerpréer économquemen la varable eplquée de ce modèle. Eercce On pose c = Log C e r = Log R, e on donne les résulas numérques c-dessous : n = 7 ( = 0 en 970 e = 7 en 997) c = 387,488 ; c = 3,933 ; c = 4,6798 ; r = 393,9406 ; c = 0 7 = = = r = 576,7466 ; c r = 5638,736 ; c c = 556,06554 ; c r = = = = = 555, 5543 Esmer les coeffcens α e β par la méhode des mondres carrés. 5648, Calculer le coeffcen de déermnaon de la régresson de y sur ans que la précson absolue σ (ε ). Commen peu-on nerpréer cee valeur? On suppose que la valeur aouée Y d'une enreprse es lée à la valeur du capal ulsé X e au α α nombre de salarés employés Z par la relaon suvane : [M] Y = kx Z où α e k désgnen deu consanes. Dsposan d'observaons des grandeurs X, Y e Z d'un échanllon d'enreprses (c'es-à-dre de rples ( X, Y, Z ), =, n] ), on désre esmer le coeffcen α.,.- Quelle es la varable eplquée? Quelles son les varables eplcaves? Quelle es l'nerpréaon des coeffcens α e (-α )? 8

9 Monrer que la foncon f : Y = f ( X, Z) es homogène de degré..- Pourquo [M] n'es-l pas un modèle de régresson lnéare? On pose y = Log Y, = Log X, z = Log Z e c = Log k. Monrer que le modèle [M] mplque [M'] : y z = α ( z) + c. Pourquo es-l possble d'esmer les coeffcens α e c en applquan la méhode des mondres carrés au modèle [M']? 3.- Eprmer Cov ( z, y z), Var( z) e Var( y z) en foncon de Cov (, y), Cov (, z), Cov ( y, z) Var ( ), Var ( z) e Var ( y). 4.- On donne: = 4,76 ; y = 9,97 ; z = 4,7 ; V ( ) = 0,887 ; V ( y) = 0,804 ; V ( z) = 0,70 ; Cov (, y) = 0,836 ; Cov (, z) = 0,79; Cov ( y, z) = 0,760. Calculer les esmaons α e c des coeffcens α e c obenues par la méhode des mondres carrés. Avec ce modèle, de comben augmenera la valeur aouée de l'enreprse s elle augmene le nombre de salarés de %, en lassan la valeur du capal ulsé nchangé? Écrre l'équaon d'analyse de la varance de la régresson, calculer le coeffcen de déermnaon R. Calculer l'ndcaeur de précson moyenne de l ausemen : n n = ˆ ε. Eercce 6 Age Effecf Moyenne Dsperson du n y D véhcule an 6 0,796 0,0558 ans 6 0, ans 3 0,54 0,085 4 ans 0,4468 0,047 5 ans 7 0,350 0,00743 Ensemble 3 0,5767,73384 pr du véhcule d' occason On s'néresse c au faceur de déprécaon y = des auomobles pr du véhcule neuf âgées d'un, deu, ros, quare ou cnq ans ( =,, 5). On dspose d'un fcher de données qu conen les couples de valeurs ( âge, y ) de 3 cas ( =,, 3) publés par une revue spécalsée. On désgne par E les véhcules d'âge dans le fcher ( =,, 5). Le ableau présene les effecfs, les moyennes y, e les dspersons D = ( y y ) dans chacun des échanllons E..- On se place d'abord dans l'échanllon El des 6 véhcules âgés d'un an. Quel es l'écarype σ ( y ) de y dans ce échanllon? On consdère le modèle [M] : y = m où m désgne une consane. Quelle es l'esmaon des mondres carrés m du paramère m?.- En se plaçan manenan dans l'échanllon ener des 3 véhcules, on s'néresse au modèle [M] : y = m + m + m33 + m4 4+ m55 (appelé modèle d'analyse de la varance à un E 9

10 faceur), où m, m, m5 désgnen 5 consanes, e,, 5 cnq varables ndcarces, (c es-à-dre?) des sous-échanllons El, E, E3, E4 e E5 des auomobles d'un, deu,..., cnq ans d'âge...- Monrer commen on oben les valeurs ndquées dans le ableau pour la rubrque ensemble...- Quelles son les esmaons m des mondres carrés des paramères m?.3.- Monrer que y = y. En dédure la valeur de la somme des résdus d'esmaon de l'ausemen. Ecrre l'équaon d'analyse de la varance. Calculer le coeffcen de déermnaon e la précson de la régresson (c'es-à-dre la moyenne quadraque des résdus d'ausemen). 3.- En se plaçan encore dans l'échanllon ener des 3 véhcules, on consdère le modèle : [M3] : Log y = a, où désgne l'âge du véhcule ( =,, 5) e a une consane. a 3..- Inerpréer le coeffcen e Sachan que l'esmaon des mondres carrés a du coeffcen a vau -0,087, a calculer l'esmaon de e. a On désgne par y * = e l'esmaon du faceur de déprécaon y d'un véhcule d'âge obenue à l'ade de l'ausemen du modèle [M3] e on donne * ( y yˆ ) = 0, n = Comparer les deu ausemens obenus pour [M] e pour [M3] Selon le modèle [M3], après comben d'années la décoe d'une auomoble d'occason es-elle égale à la moé du pr du véhcule neuf? n 0

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