Les Fractions Opérations sur les fractions. Lucien Kerhornou

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1 Lucien Kerhornou Les Fractions Opérations sur les fractions

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3 Préliminaires o Notion et Définition d une Fraction o Comparaison : Division Fraction o Décomposition d un nombre entier en : Facteurs Premiers o Le PPCM(a,b) : méthodes o Le PGCD(a,b) o Lien : «PPCM(a,b) PGCD(a,b)» Opérations sur les Fractions : o Addition o Soustraction o Multiplication o Division o Élévation à une Puissance n Compléments o Égalité «=» et Identité o Signes de Comparaison o Problématique du PPCM(a,b) ; a et b entiers > 0 o PPCM et PGCD de Polynômes Unitaires Lien entre : «PPCM et PGCD» de Polynômes Unitaires 3

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5 Avertissement Ce sujet : «Les fractions» est exposé selon la méthode ; «CAC» : Concret, Abstrait, Concret. Il est fait ici une large utilisation de cette méthode didactique ; mais de manière souple et non systématique, toutefois. Concret : Dans un premier temps, la méthode consiste à acquérir l essentiel du «Concept Exposé», sur un cas simple, particulier, numérique ; donc à utiliser un «Cas Concret» représentatif. Abstrait : Dans un deuxième temps, le «Cas Général» du concept est étudié de manière abstraite ; c est-à-dire : en utilisant des lettres à la place des chiffres. Dans cette phase, tous les cas possibles sont étudiés et annoncés, ainsi que les cas d impossibilité : Division par Zéro, par exemple. Concret : Dans ce troisième temps, on revient à l exposé des cas concrets décrits dans l exposé du cas général : Cas particuliers (avec des chiffres) ou cas d impossibilité. Ceci permet de montrer comment on utilise, en pratique, le «cas général», dans un cas particulier. * * * 5

6 La «difficulté» rencontrée dans la rédaction de ce document a été d écrire un document : «Explicatif», (donc long et lourd) et «Concis» à la fois. La rédaction d un document : «Concis», sans explications, serait peut être souhaitable : Un «Résumé», en somme! Utile, pour la mémoire, lorsque le «sujet» est acquis! Un lecteur averti peut sauter les : «Préliminaires», en tout ou partie. Dans ces «Préliminaires» ; L étude : du PPCM et du PGCD, me semble toutefois intéressante. 6

7 Résumé N N Chap itre Désignation Pa Décomposition d un nombre entier en «Facteurs premiers». 7 = 8 * 9 = 3 * Notions : «d Égalités» et «d Identités» Voir PPCM(a,b) : Définition, Calcul, Règle générale de calcul, Utilisation PPCM(a,b) a * b S il n y a pas de facteurs communs dans Développements(a et b) PPCM(a,b) * PGCD(a,b) a * b S il y a des facteurs communs dans les Dév(a et b) Calcul du PPCM(a,b) : a et b : Entiers positifs. Utiliser tous les facteurs premiers, des développements de (a et b). Choisir, pour chaque facteur, l exposant le plus grand. Lien : {PPCM(a,b), PGCD(a,b)} PPCM(a,b) * PGCD(a,b) a * b b * a PGCD(a,b) : Définition, Calcul, Règle, Utilisation : Simplification des fractions N utiliser que les facteurs premiers communs de : a et b. Choisir, pour chaque facteur commun, l exposant le plus petit Notion et définition de Fraction. Fraction Division non calculée ; Reste nul ou négligeable /1.1.5 Comparer Division et Fraction. Division : D (d * Q) + R R =0 ou R 0 ; R < Q 1 7 Opérations sur les Fractions : Addition, Soustraction, Multiplication, Division. 37 7

8 8..3 Addition de Fractions Réduction des fractions au même Dénominateur : «DCF». Choix, comme Dénominateur Commun des Fractions : le PPCM(D1,D) Multiplier : D1 de F1 et donc N1 de F1 par : PPCM(a ; b) / D1. Multiplier : D de F et donc N de F par : PPCM(a ; b) / D. On est ramené à l addition de fractions de même dénominateur : PPCM(D1,D) Soustraction de fractions : Idem à l Addition Multiplication de fractions pour multiplier des fractions entre elles : Multiplier les numérateurs entre eux. Nr = N1 * N * Multiplier les dénominateurs entre eux. Dr = D1 * D * 11.5 Division de fractions Pour «Diviser» deux fractions, on «Multiplie» la première par la seconde renversée Fr = N1 * D D1 N 1.6 Élévation d une fraction F à une puissance p : F p Pour élever une Fraction à une «Puissance : p : Élever N (Numérateur) à la puissance : p Élever D (Dénominateur) à la puissance : p Fr = N p / D p

9 1 Préliminaires L étude des fractions, des «Opérations sur les Fractions» n est pas très difficile ; mais elle requiert un nombre assez important de notions, de définitions, de mots ; tels que : Définitions de : Facteur, nombre premier, facteur premier, Multiple d un nombre, Multiple Commun à deux ou plusieurs nombres : MC(a,b), Décomposition d un nombre en Facteurs Premiers, PPCM de deux nombres entiers a et b : PPCM(a, b), PGCD de deux nombres entiers a et b : PGCD(a,b). Nous allons donc faire une étude préliminaire de ces «notions et définitions préalables». 1.1 Notion de fraction Dans le langage courant, je dis : «donnes moi une fraction de ton gâteau» ; ou de tes économies ; cela veut dire : «Donnes moi : un morceau, un bout, une part de ton gâteau ou de tes économies» Plus précisément, les «Fractions» sont très utilisées dans les partages des Choses, d Argent, de Grandeurs entre plusieurs personnes ; Chez le notaire par exemple. On dit que l on fractionne, (coupe, divise) la chose en part(ie)s égales. 9

10 Les partages sont donc supposés être équitables ; C est-à-dire être effectués à parts égales. Commençons par le partage d une chose en plusieurs parts égales Exemple1 : Partage d une maison Un père de famille possède une («1») maison d une valeur de : uros. Il a : Trois enfants. Il désire vendre la maison : et partager sa valeur entre les trois enfants Chaque enfant recevra donc, si le partage est équitable : : 3 = , 66 ou / 3 = ,66 ou = ,66. 3 La part de chacun est donc : ,66 environ ; mais ce chiffre n est pas tout à fait exact. En effet : ,66 * 3 = ,98 et non pas ,66 est une valeur approchée mais non exacte de la part de chaque enfant. On peut approcher aussi prêt que l on veut de la part (exacte) de chaque enfant ; sans jamais l atteindre cependant. En effet : n est pas divisible exactement par trois (reste non nul, bien que petit) Exemple1 : Partage d un camembert Qu est-ce qu un camembert? Toto répond : «Quelque chose qui pue, Monsieur»! Ce n est évidemment pas la réponse attendue! Les fractions interviennent lorsque quelque chose est à partager en plusieurs : morceaux, parts, parties d égales valeurs. Cette chose peut être : une idée, un terrain, une somme d argent, un sac de bonbons, un sac de canettes, une longueur : 1 dm = 1 m ; 1 cm = 1 m ; une masse, etc Ce peut être aussi un «Camembert»! Si on divise, partage, un : («1») camembert entier en parties égales, chaque partie est appelée : moitié. 10