168,18 est la différence. Attention: à l alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oublier les retenues

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1 ème - 5ème Calculs POUR PRENDRE UN BON DÉPART Rappel 1) Additions, multiplications Définition 1: Le résultat d une addition s appelle une somme Ex : 73, ,73 1,1 ; 73,45 et 94,73 sont les termes de la somme; 1,1 est la somme Attention: à l alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oulier les retenues Propriété 1: Dans une somme, l ordre des termes peut être changé (cela peut simplifier les calculs) Définition : Le résultat d une multiplication s appelle un produit Ex : 7 x et 9 sont les facteurs 3 est le produit Propriété : Dans le calcul d un produit, l ordre des facteurs peut être changé (pour simplifier les calculs) ) Soustractions, divisions Définition : Le résultat d une soustraction s appelle une différence Ex : 11,45 4,5 7,95 11,45 et 4,5 sont les termes de la différence 1,1 est la différence Attention: à l alignement des chiffres et de la virgule. Ne pas oulier les retenues Propriété: Dans une différence l ordre des termes NE PEUT PAS être changé Les calculs s effectuent de la GAUCHE vers la DROITE La différence, - est le nomre manquant dans l'égalité :,7 +...,. On a donc :, -,7 39,5 parce que :,7 + 39,5,. Définition : Le résultat d une division s appelle le quotient Ex : 9 : 4,5 9 est le diviseur et est le dividende 4,5 est le quotient exact 3 ) Calculs sans parenthèse Règle 1: Pour effectuer une suite d opérations sans parenthèses on suit l ordre suivant 1) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE ) effectuer les additions et soustractions dans l ordre où elles sont écrites de GAUCHE à DROITE 4 ) Calculs avec parenthèses Règle : Pour effectuer une suite d opérations avec parenthèses on suit l ordre suivant 1) effectuer les calculs en commençant par les parenthèses les plus intérieures ) effectuer les multiplications et les divisions de GAUCHE à DROITE 3) effectuer les additions et soustractions dans l ordre où elles sont écrites de GAUCHE à DROITE Règle 3: Dans une expression fractionnaire, on suit l ordre a) On effectue les calculs au numérateur et au dénominateur ) On simplifie la fraction ou on calcule le quotient (un grand trait de fraction indique une parenthèse même si elle n est pas écrite) Distriutivité la multiplication est distriutive par rapport à l'addition et à la soustraction. Règle 4 Quels que soient les nomres a, et k non nul, factoriser (passer d'un produit de facteur à une somme de termes) < k x (a - ) k x a - k x ou k(a + ) ka + k k x (a + ) k x a + k x ou k(a + ) ka + k > développer (passer d'une somme de termes à un produit de facteur) ATTENTION : (a + )k k(a + ) et (a - )k k(a - )

2 ème - 5ème Quotients - Fractions 1) Ecriture fractionnaire des nomres 1) Rapppel a est le quotient de a par, c est une écriture fractionnaire si a et sont des entiers on dit que est une fraction Attention : a et 0 a) a et deux nomres et non nul ( 0) ; ) Transformer une écriture fractionnaire en fraction signifie l écrire avec un numérateur et un dénominateur entier c) Avec des lettres (admis) : c x a cxa c x a non nul ) Diviser Écrire sous forme décimale le quotient sans utiliser la calculatrice. Règle : le résultat d une division ne change pas si l on multiplie le dividende et le diviseur par un même nomre Commentaire Selon les cas, on multiplie le numérateur et le dénominateur par, 5, 10, 100 ou ) nomres en écriture fractionnaires égaux règle : Le quotient de deux nomres reste inchangé si on multiplie (ou si on divise) le numérateur (dividende) ET le dénominateur (diviseur) par un même nomre non nul. Avec des lettres : a a xk a:k x k :k 0 k 0 Définition : 1) Simplifier une fraction c est trouver une fraction égale dont le numérateur et le dénominateur sont des nomres plus petits ) Lorsqu une fraction ne peut plus être simplifiée, on dit qu elle est irréductile Règles : 1) un nomre est divisile par si son chiffre des unités est 0,, 4,, ) un nomre est divisile par 5 si son chiffre des unités est 0, 5 3) un nomre est divisile par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple par 3 4) un nomre est divisile par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9 5) un nomre est divisile par 4 si le nomre formé par ses deux derniers chiffres est un multiple de 4 Calul rapide : multiplier par 0,5 revient à diviser par multiplier par 0,5 revient à diviser par 4 4) comparaison Propriété 1 :1) Si le numérateur d'un nomre en écriture fractionnaire est supérieur à son dénominateur alors le nomre est supérieur à 1. ) Si son numérateur est inférieur à son dénominateur alors le nomre est inférieur à 1. 3) Si deux nomres en écritures fractionnaires ont le même dénominateur alors le plus petit est celui qui a le plus petit numérateur 1/

3 Pratique : 1) vérifier que les deux dénominateurs sont égaux ) si c est le cas --> utiliser la propriété 3) sinon : réduire les fractions au même dénominateur PUIS utiliser la propriété 5) Addition Règle: Pour additionner ou soustraire deux nomres en écritures fractionnaires IL FAUT QU ILS AIENT LE MEME DENOMINATEUR Pour additionner deux nomres en écriture fractionnaire de même dénominateur : 1) on additionne les numérateurs ) on garde le même dénominateur avec des lettres avec des lettres a c a+c + a c a c 0 0 Rappel : Dans une suite d additions on peut changer l ordre des termes et les regrouper pour simplifier les calculs Dans une expression contenant des additions ET des soustractions on doit effectuer les calculs de GAUCHE à DROITE Quand une expression contient des parenthèses, on effectue : 1) Les calculs à l intérieur des parenthèses en commençant par les plus intérieures ) Les calculs restants en respectant les deux premières règles ATTENTION : Dans les calculs de nomres en écritures fractionnaires, avant d effectuer les calculs PENSER à simplifier chacune des écritures fractionnaires si c est possile 5) multiplication Règle: Pour multiplier deux nomres en écritures fractionnaires, Ne pas réduire les fractions au même DENOMINATEUR 1) multiplier les numérateurs entre eux ) multiplier les dénominateurs entre eux 3) Penser à simplifier si c est possile avant de terminer les calculs Définition : un nomre décimal est un nomre qui a une écriture à virgule finie Pour tronquer un résultat : on «coupe» au rang indiqué et on «laisse tomer» les chiffres à droite Pour arrondir un résultat : on tronque d'aord le nomre au rang indiqué. Puis : * si le chiffre qui suit est supérieur ou égal à 5, on augmente de 1 le dernier chiffre du nomre tronqué * si le chiffre qui suit est inférieur à 5, on garde le nomre tronqué. Différence des signes et «..» /

4 SIMPLIFIER UN SAVOIR FAIRE QUOTIENT Pour simplifier un quotient, on doit trouver un nomre qui divise à la fois son numérateur et son dénominateur. Vérifier si l'on peut tout de suite simplifier par 10, 100, 1000, x x Vérifier si l'on peut simplifier par ou par 5. Un nomre divisile par se termine par 0,, 4, ou Un nomre divisile par 5 se termine par 0 ou x7 7 1 x Vérifier si l'on peut simplifier par 3 ou par 9. Un nomre est divisile par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisile par 3. Un nomre est divisile par 9 lorsque la somme de ses chiffres est divisile par x x17 17 Vérifier si numérateur et dénominateur ne figurent pas dans une même «tale de multiplication». 35 5x x7 9 Vérifier s il est possile que plusieurs simplifications se succèdent 7 x7 x4 x x7 x5x13 5

5 ème - 5ème Nomres relatifs 1) Rappels Priorités opératoires - distriutivité: A revoir Définition : Un nomre précédé ou non d un signe + est un nomre positif un nomre précédé d un signe - est un nomre négatif Le seul nomre positif et négatif est le nomre zéro Les nomres positifs ou négatifs s appellent les nomres relatifs Distance à zéro : nomres opposés Définition : Un nomre relatif est déterminé par son signe et sa distance à zéro Nomres relatifs négatifs nomres relatifs positifs I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I - -3,5 0 3,5 la distance à zéro de - est La distance à zéro de + est on dit que + et sont opposés, de même +3,5 et 3,5 I I I Définition : Deux nomres relatifs sont opposés s ils ont des signes contraires et la même distance à zéro ) comparaison a) Symoles: > signifie «est strictement supérieur à» ; signifie «inférieur ou égal à» < signifie «est strictement inférieur à» ; signifie «supérieur ou égal à» Propriété : Si un nomre est positif alors il est supérieur à zéro Si un nomre est négatif alors il est inférieur à zéro Si deux nomres relatifs ont des signes différents alors le plus petit est le nomre négatif Si deux nomres relatifs sont négatifs. alors le plus petit est celui qui a la. grande distance à zéro.. (le plus petit est le plus à gauche sur la droite graduée dans le sens positif) ) Comparaison des décimaux Comparons 9,354 et 1,354 : 9,3 et 9,30: En premier on compare les parties entières : * Soit elles sont différentes Cas 1 9,354 et 1,354 Parties entières 9 < 1 donc a 9,354 < 1,354 * soit elles sont égales Cas 9,3 et 9,30 Parties entières 9 et 9 on a 9 9 Il faut regarder les parties décimales 30 3 et Si nécessaire en second on compare les parties décimales On compare les dixièmes : 3 et 3 égalité --> On continue Puis les centièmes : et 0 on a > 0 Donc 9,3 > 9,30 Si nécessaire continuer 4) Opérations a) Somme Règle 1 : Si les deux nomres relatifs à additionner sont de même signe alors il faut : 1) ajouter les distances à zéro. ) mettre le signe des nomres. 1/

6 Règle : Si les deux nomres relatifs à additionner sont de signes contraires alors il faut : 3) soustraire les distances à zéro. 4) mettre le signe du nomre qui a la plus grande distance à zéro. Règle 3: Si les deux nomres relatifs à additionner sont opposés alors leur somme est égale à 0 ) Différence Règle 3 : Soustraire deux nomres relatifs revient à ajouter son opposé.. a - a + ( - ) c) Simplification d écriture Convention: Pour écrire plus simplement la somme ou la différence de nomres relatifs, on convient de : 1) Transformer les soustractions en addition ) Supprimer les opposés et les parenthèses. 3) ne plus écrire le signe + devant le premier. terme s il est positif 3) Repères a) droite Définition : Une droite graduée ou axe est une droite sur laquelle on a choisi une origine (le zéro) et une unité (la distance du 0 au 1). En général, il vous faut choisir le point origine et l'unité B D O C A I I I I I I I I I I I i I I I I I I I I I I I I I -5-3,5 0 1,5 4 On dit le point A a pour ascisse 4, le point B a pour ascisse 5 La longueur OI est l unité choisie pour graduer la droite Définition : Chaque point de la droite graduée peut être repérée par un nomre relatif appelé ascisse du point ) repère Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l axe des ascisses, «horizontal» et l axe des ordonnées, «vertical») axe des ordonnées Point Coordonnées A A (4 ; ) B C D O D (-4 ; -1) (3 ; - ) (- ; 3) (0 ; 0) Définition : Chaque point du plan peut-être repéré par deux nomres relatifs appelés coordonnées du point. Le premier nomre est toujours l ascisse et le deuxième toujours l ordonnée axe des ascisses B C Attention : le point C(3 ; -) est différent du point D(- ; 3) Un repère orthogonal est constitué de deux axes perpendiculaires de même origine (l axe des ascisses, «horizontal» et l axe des ordonnées, «vertical») c) Distance entre points Définition :Soit (OI) une droite graduée (unité OI) Si A(a) et B() alors la distance entre A et B est : AB BA ascisse la plus grande ascisse la plus petite Attention : une distance est toujours un nomre positif /

7 ème - 5ème Calcul littéral I) Simplification d'écriture Définition : Une expression littérale est une expression dans laquelle certains nomres sont représentés par des lettres Convention : Le signe multiplié ( x ) peut être supprimé dans certaines écritures. entre un nomre et une lettre entre deux lettres entre un nomre (une lettre) et une parenthèse Par contre, dans l'écriture 5 x 4 il est interdit d'omettre le signe x (il ne faut pas confondre avec le nomre 54). À connaître Pour tout nomre a, on peut écrire : a a a ² (qui se lit «a au carré») a a a a3 (qui se lit «a au cue»). II) Remplacer des lettres par des nomres Règle : Pour calculer une expression littérale pour une certaine valeur des lettres,il suffit de remplacer les lettres par ces valeurs. III) Développer une expression littérale Définition : Développer signifie passer d un produit de facteur à une somme ou une différence de termes Règle : Soient k, a et trois nomres positifs. Pour développer une expression, on distriue le facteur ( k ) à tous les termes entre parenthèses : > > k (a + ) k a + k k (a ) k a k k (a + ) k a + k k (a ) k a k IV) Factoriser une expression littérale Définition : Factoriser signifie passer d une somme ou une différence de termes à un produit de facteur Règle : Soient k, a et trois nomres positifs. Pour factoriser une expression, on repère le facteur commun à chaque terme et on le multiplie par la somme ou la différence des autres facteurs : < < k (a + ) k a + k k (a ) k a k k (a + ) k a + k k (a ) k a k IV) Réduire une expression avec des lettres Définition : Réduire une expression signifie regrouper et simplifier les termes identiques V) Equation Définition : a. Une égalité dans laquelle figure un nomre à trouver (représenté par une lettre) s appelle une équation. Le nomre cherché s appelle une inconnue c. Trouver ce nomre signifie résoudre l équation d. Le(s) nomres pour le(s)quel(s) l égalité est vérifiée s appelle(nt) l(es) solutions de l équation Tester uné égalité: a. On calcule d'une part le memre de gauche pour la valeur donnée. Puis d'autre part le memre de droite c. On compare les deux résultats trouvés et on conclut

8 ème - 5ème Proportionnalité 1) Reconnaître la proportionnalité Il y a proportionnalité dans un taleau, lorsque les termes d une ligne s otiennent en multipliant ou en divisant par un même nomre ceux de l autre ligne. Définition : Dire que grandeurs sont proportionnelles revient à dire que les valeurs de l une sont otenues en multipliant les valeurs de l autre par un même nomre non nul,appelé coefficient de proportionnalité ) La quatrième proportionnelle Définition : Lorsqu une situation de proportionnalité est représentée dans un taleau à 4 cases dont 3 sont connues, la 4ème valeur est appelée la quatrième proportionnelle Nomre 1 de SMS Prix 4ème 1, payé en proportionnelle Règles de calculs x Nomre de SMS Prix payé en Plusieurs solutions 1 1, P 4ème proportionnelle Solution 1 : x 1 donc 1, x,4 x0, Solution : x 0, 1, donc 1 x 0,,4 Comme 0, on a 1 x flèches 3) Représentation graphique Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles signifie que les points de la représentation graphique des valeurs d une grandeuren fonction des valeurs de l autre grandeur sont alignés sur une droite passant par l origine du repère 4) Mouvement uniforme a- unités de temps 1h 0min 1min 0s 1h 300s Pour transformer des heures en secondes on multiplie par 300, et pour passer des secondes en heures on divise par Mouvement uniforme Définition : Dire qu un mouvement est uniforme signifie que la distance (d) parcourue au cours de ce mouvement est proportionnelle à la durée du parcours (t). Le coefficient de proportion- nalité est la vitesse v. d vt t d/v v d/t 5) échelle: Définition : Lorsqu on réalise une reproduction (carte, dessin, maquette) les longueurs de la reproduction (sur le papier) et les longueurs réelles sont proportionnelles L échelle de la reproduction est le coefficient de proportionnalité par lequel il faut multiplier les dimensions réelles pour otenir les dimensions de la reproduction (exprimées dans la même unité) ) Pourcentage: Dire qu'il y a 5 % de jus d'orange dans une oisson signifie que dans 100 L de oisson, il y a 5 L de jus d'orange. a Définition : Pour calculer les a % d'un nomre, on multiplie ce nomre par 100 Calculer un pourcentage: Calculer un pourcentage, c'est calculer la proportion sur 100. Dans une classe de 5 élèves, il y a 15 filles. Quel est le pourcentage de filles? nomre de filles x total Il y a 0% de filles dans la classe.

9 ème - 5ème Statistiques I) Vocaulaire Définitions : 1) Lorsque l'on réalise une enquête, on est amené à étudier des caractères propres à chaque individu (personne ou ojet). Caractère : critère étudié, qui permet de classer les personnes ( ou les ojets) de la population selon différentes valeurs. )La population est l ensemle de tous les individus. 3)Le caractère peut être qualitatif (la couleur des cheveux, les sports pratiqués ou le type de film préféré) ou quantitatif (la taille, l'âge, le temps passé devant la télévision,...). 4) L'ensemle des données collectées avant traitement est appelé série rute. Les données sont ensuite regroupées et présentées dans untaleau de données. 5) Le nomre total d individus de la population est appelé effectif total. ) Le nomre d individus qui possèdent un même caractère est appelé effectif du caractère. Lorsque l'on traite une série rute de données quantitatives, pour limiter la taille du taleau de données, on est parfois amené à regrouper les données par classes. Définition : 1) Une classe est un intervalle de valeurs que peut prendre le caractère quantitatif étudié. ) Regrouper par classes, c'est déterminer le nomre de caractères qui appartiennent à chaque classe. 3) L'amplitude d'une classe est la longueur de l'intervalle de valeurs. Les classes peuvent être d'amplitudes différentes. II) Diagrammes - Histogramme classes Nomre de jours Hauteur de la arre [0 ; 10] 1 1 [11 ; 0] [1 ; 30] 4 4 [31 ; 40] [41 ; 50] [51 ; 0] diagramme à arres histogramme 1 10 effectif 4 0 moins de de 0 à 0 ans 30 ans de 30 à 40 ans de 40 à 50 ans de 50 à 0 ans Définition : Toutes les classes ont la même amplitude La hauteur de chaque rectangle est proportionnelle aux effectifs Sur l axe horizontal on indique les classes (1cm ou carreaux), sur l axe vertical le nomre de jours (hauteur en cm ou carreaux) - Le diagramme circulaire - Définitions 1) L'angle de chaque secteur angulaire d'un diagramme circulaire (ou semi-circulaire) est proportionnel à l'effectif du caractère. ) L'effectif total correspond à un angle de 30 (10 pour les semi-circulaires). 3) Si on connaît la fréquence du caractère, on otient l'angle en la multipliant par 30 (ou 10). 1/

10 Exemple diagramme circulaire de 50 à 0 ans 19% moins de 0 ans 13% de 40 à 50 ans 1% de 0 à 30 ans 33% de 30 à 40 ans 19% À toi de jouer À la fin de l année scolaire 00/003, l orientation des élèves de 3e a donné les résultats suivants (source INSEE) : 3e (Doulement) CAP... 3 nde Autres BEP Construis un diagramme semi-circulaire représentant ces données. 3è nde BEP CAP Autres Total Résultats Angle ( ) 3,7 1,1 9,5,3 0, x 3 9/ ,7 soit 3,7 c- Le diagramme en âton Exercice: Lors d un contrôle de mathématiques on a relevé les notes sur suivantes : a- Calcule la moyenne :(3x10 + 3x x1 + x1 + x14 + x1)/ 11,4545 environ 11,5 - Complète le taleau : Note sur 0 Effectifs Total c- Construis un diagramme en âtons des effectifs. ( 1cm pour 1 élève ) effectifs d- Autres - * diagramme en tuyaux notes

11 * diagramme en andes IV) Effectifs et fréquences Définitions : La fréquence d une valeur est le quotient (rapport) de l effectif de cette valeur sur l effectif total de la population. Ce quotient peut être écrit sous diverses formes : décimale (exacte ou approchée) ou fractionnaire. Lorsqu'on exprime ce quotient sous la forme d'une fraction de dénominateur 100, on parle de fréquence en pourcentage. Remarques : d) La somme des fréquences vaut toujours 1 e) La somme des fréquences en pourcentages vaut toujours 100 On travaille essentiellement avec les fréquences en pourcentage car elles permettent de comparer plusieurs populations différentes Intérêt : Calculer la fréquence d'un caractère pour deux populations d'effectifs différents permet de comparer la répartition de ce caractère au sein des deux populations. /

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