Chapitre 14 : Ensembles-Dénombrement

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1 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 Chaitre 4 : Esembles-Déombremet Exercice tye SoitE u esemble, eta,b deux arties dee, o désire motrer que sia BA B alorsab. Le rouver avec les foctios idicatrices. Le rouver ar u raisoemet esembliste. Solutio : : O sait que l A B l A l B et que l A B l A +l B l A l B. Par hyothèse, o a doc l A +l B l A l B 0 Mais l A l A et de même avec l B. O a doc(l A l B ) 0 l A l B AB. Il suffit, ar symétrie des rôles, de rouver que A B. Soit x A, alors x A B car A A B. Aisi x A B x B cara B B. Exercice tye SoitE u esemble, our(a,b) P(E), o défiit la différece symétriquea B(A B)\(A B). Exrimer l A B à l aide de l A et de l B. Motrer que si(a,b,c) P(E), o a(a B) CA (B C) Solutio : O sait que six ety sot des sous esembles dee, alorsx\y X Y. Aisi l X\Y l X ( l Y ). AvecXA B ety A B, o a l X l A +l B l A l B et l Y l A l B. O a doc car l Al A et de même avecb). O a doc l A B (l A +l B l A l B ) ( l A l B ) l A +l B l A l B l A l B l A l B +l A l B l A +l B l A l B l (A B) C l A B +l C l A B l C l A +l B l A l B +l C (l A +l B l A l B )l C l A +l B +l C l A l B l A l C l B l C +4l A l B l C l A (B C) l A +l B C l A l B C l A +l B +l C l B l C l A (l B +l C l B l C ) l A +l B +l C l A l B l A l C l B l C +4l A l B l C l (A B) C Aisi l (A B) C l A (B C) (A B) CA (B C). Remarque:L exressio de l A B est symétrique eaetb, aisi l A B l B A. De même l exressio de l (A B) C est ivariate ar ermutatio circulaire (A B C A). Aisi l (A B) C l (B C) A l A (B C). Exercice tye Motrer que our tout etierl etier aturel +5 est divisible ar6. Solutio : Par récurrece sur. O défiit our, P() 6 divise a P(0) vraie car 0 (0+5)0 qui est divisible ar6. Suosos, à fixé quep() soit vraie, alors6divise +5. Mais A (+) (+) (+)+6. L u des deux etiers ou + est air, aisi il existe N tel que (+) 6. O a doc 6 divise (+)+6 6(+). D où 6 divise /7 G H

2 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 A+ +5 (+) (+) +5 car il divise chaque terme. Coclusio,P(+) est vraie. Remarque : O eut faire ue reuve directe, car ( )(+)+6. Or, armi,,+ l u est air, et l u est multile de, doc divise( )(+). Exercice tye 4 Soit(s ) la suite défiie ars vers +.. Motrer ques > +. E déduire la limite des quadted Solutio : Par récurrece sur. O défiit our,p() s > +. O ap() vraie car s > > 9>8 Suosos, à fixé quep() soit vraie alorss > +. Or + s + + Ilsuffit doc de vérifier que > HR > +. Or cette derière iégalité équivaut à + +< < < Ce qui est vrai car +> +. Puisque + + +, o e déduit ques + +. Exercice tye 5 Motrer que, N, N, Faire ue récurrece sur, à fixé. Pour mémoire, 0 si >. Solutio : Comme idiqué, ar récurrece sur, à fixé. Soit N fixé, o défiit, our tout etier 0, la roositio P(): si0 Iitialisatio: P(0) vraie, e effet 0 si>0 et si0 + 0 si>0 car das ce cas+>. 0 + Hérédité : Suosos à0 fixé quep() soit vraie. Par hyothèse de récurrece o a or aisi HR OrecoaîtlarelatiodePascalsurlescoefficietsdubiôme: d où /7 G H

3 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 i.e.p(+). Coclusio,P() vraie our tout etier N. Iterrétatio : la somme des élémets d ue coloe jusqu a ue lige doée se retrouve sur la lige et la coloe suivate : ց Exercice O défiit our(,m) N,u(,m) (m)!()!, motrer que sim,!m!(m+)! E déduire queu(m,) N. Solutio : O a m, N, u(,m)+u(+,m )4u(,m ) u(,m)+u(+,m ) (m)!()!!m!(m+)! + (m )!(+)! (+)!(m )!(m+)! (m )!()! (m)(m )!(m )!(m+)! + (+)(+) m (+) (m )!()!!(m )!(m+)! 4(m+) ((m ))!()! 4!(m )!(+(m ))! 4u(,m ) (m)!(m)(m ) (m )! (+)!(+)(+) ()! (+)!(+)! m!m (m )! (m)(m ) (m ) m (+)(+) (+) (+) O rocède esuite ar récurrece sur, o défiit our tout N la roositio P() m N,u(,m) Z Iitialisatio : Motros que P(0) est vraie. Il faut rouver que our tout etier m N, u(0,m) Z. Or u(0,m) (m)! m m!m! Z e tat que coefficiet du biôme. m Hérédité : O suose à0 fixé quep() est vraie, motros quep(+) est vraie. O a vu que our m, u(+,m ) 4u(,m ) u(,m) Z, car d arès P() o a u(,m ) Z et u(,m) Z (la roositio P() sigifie que u(,m) Z ceci our tout etier m, doc égalemet our m ). E remlaçatmarm qui est dasn, o e déduit queu(+,m) Z. O a doc rouvé ar récurrece que u(,m) Z, mais e tat que quotiet d etier aturel, o au(m,)0aisi u(m,) N. /7 G H

4 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 Exercice tye 6 Calculer ij i,j Solutio : Il s agit d ue somme souble, o a doc ij ij i j i,j i j i j i i (+) (+) (+) i i Exercice tye 7 Calculer de deux maières, e déduire la valeur de. 0q 0 Solutio : Il s agit d ue somme triagulaire. \ q Puisque0q, o eut sommer lige ar lige ou ar coloe ar coloe. Si o somme ar les coloes, o a q q+ q+ q (+) + (+) q0 0 q0 q0 q0 q0 somme sur la coloe q Si o somme ar liges, o a 0 q somme sur la lige ( +) (+) (+) + 0 O e déduit que d où + (+)(+) + (+) 0 (+) + + +( ) /7 G H

5 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 Exercice tye 8 Détermier les etiers Z tels que +4 + Z. Solutio : O a +4(+)( 4)+8, aisi Z + divise8 + Ceci imose+8 et+ ou+ multile de. Bref, il reste {0,,,7}. Exercice Motrer qu il existe aucu ombre remier etre!+ et!+. Solutio : Bo, cela semble comliqué, mais our, o a!++ est divisible ar doc est jamais remier! Exercice tye 9 O se roose de motrer que sia est remier alorsest remier eta. Soit<q deux etiers, motrer quen q est as remier. Motrer que sin est remier alorsest remier. Motrer que sia> et alorsn a est as remier. q Solutio : O an q ( ) q ( ) ( ) est as remier car est divisible ar qui est différet den. Par l absurde, si est as remier, il admet deux diviseursq et o alique. Sia>et>, alorsa (a ) a est divisible ara qui est différet den doc est as remier. 0 0 Exercice tye 0 Ue ure cotiet0 boules umérotées, combie y a-t-il de tirages si : O tire trois boules successivemet avec remise. O tire trois boules successivemet sas remise. O tire trois boules esembles. Solutio : SoitE{b,,b 0 } l ure. : Chaque tirage est u élémet dee. Puisque# E (#E) 000, il y a000 tirages. E d autres termes, à chaque boule tirée, il y a 0 choix ossibles, cela doe0 choix. E d autres termes, Chaque tirage est ue liste dee, il y aa tirages. E d autres termes, au remier tirage, o a 0 choix, au secod 9 choix et au derier 8 choix. Cela doe tirages. 0 Chaque tirage est ue artie dee àélémets, il y a A tirages. 6! 6 5/7 G H

6 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 Exercice tye Combie y a-t-il d aagrammes de "stylograhique", et de "barbaaa"? Solutio : Stylograhique est le lus log mot de la lague fraçaise ayat toutes ses lettres distictes. Chaque ermutatio des lettres doe u aagramme, soit au total4! aagrammes. Pour barbaaa, il y a quatre "a", deux "b" et deux "" (et u seul rrrrrrrrrr!), soit 9 lettres. Pour fabriquer u 9 aagramme, o choisit où lacer les quatre "a". Ce qui doe 4 9! 4!5! choix. Puis, 4 5 das les ciq emlacemets qui restet, o lace les deux "b", ce qui doe choix. Puis, o choisit ou lacer les deux "" das les trois laces restates (ou bie le "r") ce qui doe choix. Au total, il y a aagrammes. Remarque : O eut aussi distiguer les quatre "a" (quatre couleurs), les deux "b" et les deux "". O a alors 9! ermutatios. Mais ayat u aagramme, chaque ermutatios des quatre a (au ombre de 4!) doe le même mot, et de même chaque ermuatio des "b" ou des "". Au total, o a doc 9! 780 aagrammes. 4!!! Exercice O lace trois dés à six faces umérotés et discerable ar leur couleur. Combie y a-t-il de tirages différets? Combie y a-t-il de tirages coteat au mois u 6? Combie y a-t-il de tirages coteat deux et seulemet deux faces idetiques. 4 Combie y a-t-il de tirages tels que la somme des trois dés soit aire. 5 Combie y a-t-il de tirages coteat deux faces idetiques et dot la somme des trois dés est aire? Solutio : U tirage est ue liste de[[,6]], cela doe6 6 tirages. O eut aussi dire qu il y a 6 choix ar dé. U tirage ayat aucu6est ue liste de[[,5]], il y e a5. Il y a doc6 5 tirages ayat au mois u6. O eut aussi comter les tirages ayatseul6. O commece doc ar choisir le dé doat u6, cela doechoix, uis o choisit les deux autres faces, cela doe5 choix. Soit au total 5 tirage ayat u seul6. Puis o déombre ceux ayatsix, o choisit les deux dés ayat u6, cela doe choix, uis il reste5choix our le derier dé. Efi, il y a u seul tirage ayatfaces égales à6. O retrouve le ombre cherché : Le lus simle est de chercher les tirages ayat trois faces distictes esta 6 car u tel tirage est ue liste d élémets à disticts. Aisi il existe6 A tirages doat ou faces idetiques. Comme il y a que! 6 tirages ayat faces idetiques, o a90 tirages. O eut aussi choisir les deux dés ayat la même face, ce qui doe choix. Puis choisir le uméro de ces deux faces, soit6choix ossibles. Il reste alors5choix our la derière face. O retrouve bie tirages. 4 O rocède ecore ar disjoctio des cas. Pour que la somme des trois dés soit aire, il faut u ombre air de faces imaires, doc soit trois faces aires, soit ue seule. Das le remier cas, cela reviet à choisir ue liste de{,4,6}, soit choix. Das le secod cas, o choisit la face aire, ce qui doechoix, uis le uméro sur cette face, choisi armi{,4,6}, soit choix. Et o choisit esuite u uméro imair sur chacue des deux autres faces, soitchoix our chaque face, doc tirages. Au total, o a + 08 faces dot la somme est aire. E fait c était évidet. E effet, si o jette les dés sur ue table e verre, o eut lire le résultat ardessus ou ar dessous. Comme la somme des chiffres sur deux faces ooées est toujours 7, o associe à u tirage dot la somme est air u tirage dot la somme est imair. Pour être formel, au tiage (a,b,c) o asssocie (7 a,7 b,7 c) dot la somme est (a+b+c) doc de arité oosée àa+b+c. O a doc ue bijectio etre les tirages à somme aire et ceux à somme imair. Doc 6 tirages de chaque tye. 5 Si la somme des faces est aire, o a deux cas disjoits : ou bie trois faces aires, ou bie deux faces imaires. Si o 6/7 G H

7 PCSI Préaratio des Khôlles 0-04 imose deux faces idetiques e lus o obtiet trois cas disjoits : - Trois faces aires idetiques, cela doe tirages ossibles (o choisit das{, 4, 6}). - Trois faces aires dot deux sot idetiques. O achoix our la face ayat le uméro uique, uischoix our ce uméro et efichoix our le uméro commu. Soit 8 tirages ossibles. - Deux faces imaires ayat même uméro. O choisit les deux dés armi, ce qui doechoix, uis le uméro (imair), soitchoix, et efi le uméro de la face aire, soitchoix. Au total, o a choix. E fi de comte, o déombre tirages. Remarque:O eut aussi, arle mêmerocédéqu àlaquestio récédete, motrerqu ilyautat detiragesdesomme aire à deux faces exactemet idetiques que de tirage de somme imair. Il y a doc tirages de somme aire à deux faces idetiques. Puisqu il y a tirages à somme aire ayat les trois faces idetiques, o retrouve le résultat 48. Ue autre méthode cosiste à dire que les deux faces idetiques ot même arité. O choisit doc u chiffre qui aarait deux fois, cela doe6choix. Puis o le alce surdés, soit choix et le derier chiffre est alors écessairemet air. O obtiet6 54 tirages. Bo, e rocédat aisi, les tirages à faces idetiques sot comtésfois, doc fois de tro. Comme il y a tirages à trois faces, o retire, ce qui doe ouf! 7/7 G H