Percolation presque-critique en deux dimensions, et

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1 matapl /6/1 15:29 page 67 #67 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés par Perre Noln, Courant Insttute of Mathematcal Scences Lauréat du Prx de Thèse Jacques Neveu 2008 Ce traval a pour but prncpal d étuder des modèles deux-dmensonnels ntroduts en physque statstque pour décrre les formes «aléatores» apparassant dans dvers contextes : dffuson de partcules, corroson d un métal, éroson d une côte marne... De manère remarquable, on vot surgr pour ces modèles des proprétés unverselles, ndépendantes du mécansme partculer (physque, chmque ou autre) à l œuvre. Les dmensons fractales 4/3 et 7/4 sont ans fréquemment observées, dans des stuatons totalement dfférentes. Ces modèles partagent une proprété d auto-crtcalté, et peuvent être décrts par comparason avec un modèle de mleu aléatore ben connu en physque statstque, la percolaton. La percolaton par stes sur un réseau L, par exemple Z d ou le réseau trangulare T en deux dmensons, peut être décrte comme sut. Pour chaque ste x de L, on lance une pèce (basée) pour détermner s l est occupé (nor) ou vacant (blanc) : pour un certan paramètre p entre 0 et 1, x est occupé avec probablté p et vacant avec probablté 1 p, ndépendamment des autres stes. On s ntéresse ensute aux proprétés de connexté de l ensemble des stes occupés : deux stes occupés x et y sont dts connectés, ce que l on note x y, s l exste un chemn de x à y sur le réseau composé unquement de stes occupés. Les stes occupés peuvent ans être regroupés en composantes connexes (maxmales), appelées clusters (Fgure 1). On dt qu un ste x est connecté à s l appartent à un cluster nfn, et on défnt θ(p) = P p (0 ), PERCOLATION PRESQUE-CRITIQUE EN DEUX DIMENSIONS, ET QUELQUES MODÈLES LIÉS la probablté que l orgne sot dans un cluster nfn. Cette foncton θ peut auss être vue comme la densté du(des) cluster(s) nfn(s). 67

2 matapl /6/1 15:29 page 68 #68 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés FIG. 1 Une réalsaton de percolaton sur T, le réseau trangulare en deux dmensons (chaque ste étant représenté par un hexagone). Les stes colorés forment une composante connexe. Une proprété mportante de la percolaton est l exstence d une transton de phase : s on ntrodut le paramètre crtque p c (L) = sup{p t.q. θ(p) = 0}, on peut montrer que 0 < p c (L) < 1 sous certanes hypothèses sur L, satsfates par les réseaux usuels tels que Z d ou T. Ans, Lorsque p < p c, l n y a (presque sûrement) aucun cluster nfn : c est ce qu on appelle le régme sous-crtque (Fgure 2 (a)). Lorsque p > p c, l y a (presque sûrement) un cluster nfn, qu se trouve être unque : c est le régme sur-crtque (Fgure 2 (b)). Ces deux régmes sont relatvement «prévsbles» à large échelle, mas entre eux se trouve un régme très ntéressant : le régme crtque, lorsque p = p c. Détermner s l exste ou non un cluster nfn en régme crtque peut s avérer très dffcle : dans le cas de T on sat qu l n y en a pas (presque sûrement), mas c est encore une queston ouverte pour Z 3 par exemple. 68

3 matapl /6/1 15:29 page 69 #69 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés (a) p < p c. (b) p > p c. FIG. 2 Réalsatons de percolaton en régmes sous-crtque (p < p c ) et surcrtque (p > p c ). Dans le cas du réseau trangulare T en deux dmensons, H. Kesten a prouvé en 1980 que p c = 1/2. Récemment, une descrpton très précse de la percolaton au pont crtque (.e. pour cette valeur p = 1/2) a été obtenue, en combnant deux ngrédents prncpaux. D une part, l ntroducton pus l étude des processus SLE 1 par G. Lawler, O. Schramm et W. Werner a perms de décrre la lo des nterfaces à la lmte d échelle 2. Mas pour cela, une proprété d nvarance conforme, prédte en physque statstque, état supposé étable. D autre part, cette proprété d nvarance conforme a été effectvement prouvée par S. Smrnov dans le cas de T 3. Cette descrpton, combnée à certans résultats de renormalsaton établs par H. Kesten, permet ensute d étuder la percolaton près du pont crtque en deux dmensons. On peut notamment obtenr de cette manère les exposants crtques, qu décrvent le comportement près du pont crtque des prncpales fonctons caractérstques. On peut ans prouver que la densté θ de la composante connexe nfne vérfe θ(p) = (p 1/2) 5/36+o(1) lorsque p 1/2 +, tands que pour la longueur caractérstque ξ, qu elle décrt la talle typque des clusters fns, on a ξ(p) = p 1/2 4/3+o(1) lorsque p 1/2. Dans cette thèse, nous nous ntéressons à dfférentes questons lées à la percolaton près du pont crtque. Tout d abord, partant de la descrpton de la percolaton crtque que nous venons de mentonner, nous présentons en détal les technques développées par H. Kesten permettant de reler la percolaton près du pont crtque à la percolaton crtque. Nous montrons auss comment certans de ces résultats peuvent être obtenus dans des stuatons plus générales, et obtenons quelques nouvelles conséquences. 1 pour Schramm-Loewner Evoluton. 2 C est-à-dre lorsqu on prend une lmte contnue, en se plaçant de plus en plus lon pour regarder le modèle. 3 Et unquement dans ce cas : ans dans la plupart des résultats qu suvent, on se lmte en fat à ce réseau partculer. 69

4 matapl /6/1 15:29 page 70 #70 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés Nous explotons alors ces dées dans dfférentes stuatons. Nous étudons ans un modèle proposé par J.T. Chayes, L. Chayes et R. Durrett de cluster nfn «nassant», pour lequel on force la présence d un cluster nfn au pont crtque. Nous établssons certanes los de pussance pour ce modèle, ans que l exstence d une transton fne entre percolaton et non-percolaton. Nous nous ntéressons ensute aux proprétés géométrques des nterfaces (les bords de clusters) en régme «presque-crtque», à proxmté du pont crtque. Les lmtes d échelle potentelles sont d un ntérêt partculer : celles-c ne sont pas conformément nvarantes comme en régme crtque, mas l est tout de même tentant d essayer de les reler au processus SLE 6, qu décrt les lmtes d échelle en régme crtque. Nous montrons qu elles possèdent les mêmes exposants et dmensons que le SLE 6, mas s en dstnguent par une proprété d asymétre locale, à chaque échelle (elles ont tendance à «tourner plus d un côté que de l autre»). Nous décrvons ensute des modèles auto-crtques où la transton de phase de la percolaton apparaît spontanément. Nous évoquons tout d abord la percolaton en gradent : ce modèle de mleu nhomogène consste en un processus de percolaton où le paramètre d occupaton n est plus constant, mas vare en foncton d une des coordonnées (vor Fgure 3). Il a été ntrodut en 1985 par les physcens J.F. Gouyet, M. Rosso et B. Sapoval pour montrer numérquement la fractalté des fronts de dffuson : la percolaton en gradent, pour laquelle on suppose ndépendants les statuts des dfférents stes, est une approxmaton d un modèle plus complexe de dffuson (cela revent à néglger les corrélatons entre stes). Une nterface macroscopque apparaît, séparant stes occupés et stes vacants. Nous montrons que cette nterface reste localsée dans des zones où la densté de stes occupés est proche du paramètre crtque p c, et que son comportement est très proche de celu d une nterface en régme presque-crtque. 70

5 matapl /6/1 15:29 page 71 #71 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques modèles lés FIG. 3 Pour la percolaton en gradent, le paramètre d occupaton vare selon l ordonnée, de p = 1 en bas à p = 0 en haut. Les résultats obtenus pour la percolaton en gradent nous permettent ensute, en concluson, d étuder un modèle deux-dmensonnel smlare au modèle de dffuson ntrodut ntalement par J.F. Gouyet, M. Rosso et B. Sapoval. Ce modèle consste à lasser dffuser ndépendamment un grand nombre de partcules partant toutes d un ste donné (Fgure 4). Comme les partcules évoluent, un gradent de concentraton apparaît et l on observe une nterface macroscopque. Il est possble pour ce modèle de contrôler les corrélatons entre stes, et l nterface peut-être décrte par comparason locale avec une percolaton en gradent. En partculer, nous mettons en évdence un régme dans lequel l nterface est fractale de dmenson 7/4, avec un bord extéreur de dmenson 4/3 : une géométre fractale apparaît donc spontanément (Fgure 5). Ce modèle fournt ans une explcaton mathématque à l apparton d exposants «unversels» tels que 7/4 et 4/3, comme observé en physque statstque. De plus, notre étude montre que même s ces exposants sont les mêmes qu en régme crtque, c est tout un régme presque-crtque que l on observe, plutôt que le régme crtque exactement. En effet, les nterfaces partagent certanes proprétés avec les nterfaces en régme crtque, mas s en dstnguent par d autres aspects : strcto sensu elles ne se trouvent pas dans la même classe d unversalté que les nterfaces crtques. 71

6 matapl /6/1 15:29 page 72 #72 Percolaton presque-crtque en deux dmensons, et quelques mode les le s (a) t = 10. (b) t = 100. (c) t = (d) t = F IG. 4 E voluton d un syste me de n = partcules, apre s t e tapes. F IG. 5 Une nterface fractale de dmenson 7/4 apparaı t spontane ment. 72