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1 Solution du devoir 1 1. (20 points) En utilisant les définitions logiques des opérations ensemblistes (donc à l aide d une table de vérité), montrez que pour tout ensemble fini A et B, (a) (10 points) A B = A B ; Solution: Posons p = x A et q = x B. Alors, la proposition s écrit logiquement comme (p q) = p q. Il suffit de remplir une table de vérité et de vérifier que les colonnes correspondant aux propositions sont identiques : p q p q (p q) p q p q Comme les colonnes grises sont identiques, les propositions sont équivalentes. (b) (10 points) A B = A B. Solution: Posons p = x A et q = x B. Alors, la proposition s écrit logiquement comme (p q) = p q. Il suffit de remplir une table de vérité et de vérifier que les colonnes correspondant aux propositions sont identiques : p q p q (p q) p q p q Comme les colonnes grises sont identiques, les propositions sont équivalentes. 2. (15 points) Soit f : A B une fonction injective. Montrez qu il existe une fonction f : A B où B B telle que f est bijective. Astuce : Construisez l ensemble B à partir de B. 1/5

2 Solution: Considérons la fonction f : A B où B = f(b). Par définition, f(b) B. De plus, si f est injective, alors f l est aussi car c est une restriction. Finalement, f est bien surjective car tous les éléments de f(b) ont une pré-image par définition. On a donc le résultat. 3. (25 points) En géométrie fractale, on construit le flocon de Koch de la façon suivante. En commençant avec un triangle équilatéral, on modifie récursivement chacun des côtés come suit : 1. diviser le côté en trois segments de longueur égale ; 2. dessiner un triangle équilatéral ayant comme base le segment du milieu et pointant vers l extérieur ; 3. effacer le segment formant la base du triangle de l étape 2. (a) (10 points) Dessinez les trois premières itérations du flocon de Koch. Aucune justification requise. Solution: (b) (15 points) Soit A 0 l aire du triangle équilatéral de départ et A l aire du flocon de Koch. Démontrez que A = 8 5 A 0 Solution: D abord, à la première itération, on ajoute trois triangles équilatéraux de côté 1/3 de celui du triangle original. Donc, leur aire est 1/ de celle du triangle original. Par conséquent, l aire après une itération est A ( 1 ) A0. 2/5

3 Ensuite, à la deuxième itération, on ajoute douze triangles équilatéraux de côté 1/ de celui du triangle original. Donc, leur aire est (1/) 2 de celle du triangle original. Par conséquent, l aire après deux itérations est A 0 +3 ( ) 1 A0 +12 ( 1 2 ) A0. Ainsi, l aire du flocon de Koch est donnée par la somme A qu on peut réécrire A 0 ( ( ) 1 A ( ) ( ) 2 1 A ( ) ( ) 3 1 A 0 + ( ) ) Comme vu en classe, il s agit d une série géométrique de raison 4/ (donc convergente). Par conséquent, on a ( A = A /3 ) 8 = A 0 (1 + 3/5) = A 0 1 4/ (15 points) En utilisant la définition de multiplication matricielle, démontrez que A(B + C) = AB + AC pour toute matrice A de dimension m k et toute matrice B et C de dimension k n. Solution: Par définition du produit matriciel, A(B + C) = a il (b lj + c lj ) l=1 m n = a il b lj + a il c lj l=1 m n = a il b lj + a il c lj l=1 m n l=1 m n = AB + AC 5. (25 points) En utilisant le résultat de la question 4, (a) (10 points) Donnez un algorithme calculant A(B + C) pour trois matrices de dimension quelconque. 3/5

4 Solution: fonction Prod Dist(A = [a ij f g, B = [b ij z w et C = [c ij u v : matrices) si g z, u ou z u ou w v alors retourner Multiplication non définie sinon X [0 x w s 0 pour 1 k g faire s s + a ik + b kj x ij s Y [0 x w s 0 pour 1 k g faire s s + a ik + c kj y ij s XY [0 x w xy ij x ij + y ij fin si retourner XY fin fonction (b) (5 points) Donnez la complexité temporelle de votre algorithme au meilleur cas. Justifiez. Solution: Au meilleur cas, les matrices ne sont pas de la bonne dimension de sorte que l algorithme termine après la première condition. On a donc un temps constant. (c) (10 points) Donnez la complexité temporelle de votre algorithme au pire cas. Jus- 4/5

5 tifiez Solution: Au pire cas, les matrices sont de bonne taille et on effectue les multiplications et l addition. Chaque multiplication est en n 3 car on a trois boucles imbriquées. L addition se fait en n 2 car on a deux boucles imbriquées. Au total, cela donne une complexité de n 3. 5/5

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