Calcul approché des intégrales définies

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1 Clcul pproché des itégrles défiies Pour ce chpitre, I = [, b] est u segmet réel vec < b, C I est l espce vectoriel réel des foctios défiies sur I à vleurs réelles et cotiues et pour toute foctio f C I, o ote : f = sup f t. x I.1 Formules de qudrture Défiitio.1 O ppelle formule ou méthode de qudrture à + 1 poits sur C I l doée d ue forme liéire ϕ défiie sur C I pr : f C I, ϕ f = λ,k f x,k où est u etier turel o ul, x,k k ue suite de poits deux à deux disticts ds l itervlle I et λ,k k ue suite de réels o tous uls. O cherche des formules de qudrture, vec des coefficiets x,k et λ,k idépedts de f, permettt d pproximer l itégrle défiie f x dx ϕ f = f x dx. O écrir lors : λ,k f x,k. Pour chque formule de qudrture il ser importt de svoir estimer l erreur de qudrture : E f = f x dx ϕ f. Défiitio. Ue formule de qudrture à + 1 poits sur C I est dite d ordre p si elle est excte sur R p [x] et iexcte pour u mois u polyôme de degré strictemet supérieur à p. Pour vérifier qu ue formule de qudrture est d ordre p, il suffit, pr liérité de ϕ et de l itégrle, de vérifier qu elle est excte sur ue bse de R p [x] pr exemple l bse coique et iexcte pour u polyôme de degré p + 1 pr exemple le polyôme x p+1. 47

2 474 Clcul pproché des itégrles défiies Remrque.1 L ordre mximum d ue formule de qudrture à + 1 poits est + 1. E effet e cosidért le polyôme P de degré + défii pr P x = x x,k, o : P x π x dx > = λ,k P x,k. O dit qu ue méthode de qudrture défiie pr ue suite de formes liéires ϕ N est covergete si pour toute foctio f C I l suite ϕ f N coverge vers ϕ f.. L méthode des rectgles à guche Pour I = [, b] itervlle fermé boré, e pret les poits x,k équidistts ds I, c està-dire : x,k = + k b k et les coefficiets λ,k tous égux à b pour k compris etre et 1, le coefficiet λ, étt ul, o obtiet l formule des rectgles à guche : R f = b 1 f x,k et le cours sur l itégrle de Riem ous dit que : f C I, lim R f = + L méthode des rectgles à guche est doc covergete. f x dx. Cette méthode est d ordre. E effet il est clir que R f = et pour f x = x sur [, 1], o pour tout etier 1 : R f = 1 1 k = + 1 = f x dx pour f costte xdx = 1. De mière plus géérle, e choisisst pour tout etier k compris etre et 1 u réel ξ,k ds l itervlle [x,k, x,k+1 ], les sommes de Riem : ϕ f = b 1 f ξ,k défiisset ue méthode de qudrture sur C I qui est excte sur l esemble des foctios costtes et pour toute foctio f ds C I o : lim ϕ f = + f x dx. L méthode des rectgles e u poit quelcoque de [x,k, x,k+1 ] est doc covergete. Pour f mootoe, o peut fcilemet obteir u ecdremet de l erreur d pproximtio pour l méthode des rectgles à guche.

3 L méthode des rectgles à guche 475 Théorème.1 Avec les ottios qui précèdet, o pour f mootoe sur [, b] : f x dx R f b f b f Démostrtio. Pr exemple, pour f croisste, o pour k compris etre et 1 : ce qui etrîe e itégrt sur [x,k, x,k+1 ] : et e effectut l somme : soit : x [x,k, x,k+1 ], f x,k f x f x,k+1 b f x,k b,k+1 x,k 1 f x,k f x dx b f x,k+1 f x dx b f x dx R f b f x,k k=1 f b f Ds le cs où f est décroisste, f est croisste et R f = R f. O doc : ou ecore : f x dx R f b R f f x dx b f b + f f f b. Remrque. Il est ps écessire de supposer que f est cotiue ds le théorème précédet puisque ue foctio mootoe est Riem-itégrble. de Pour f de clsse C 1 sur [, b], o peut doer ue mjortio de l erreur d pproximtio f x dx pr l méthode des rectgles à guche. Nous utiliseros à plusieurs reprises le lemme suivt, coséquece du théorème des vleurs itermédiires. Lemme.1 Si ϕ est ue foctio cotiue sur [, b] et x k 1 k ue suite de poits de [, b] vec, il existe lors u réel c ds [, b] tel que : 1 ϕ x k = ϕ c k=1 Démostrtio. E désigt pr m [resp. M] l bore iférieure [resp. supérieure] de ϕ sur [, b], o : 1 m ϕ x k M et le théorème des vleurs itermédiires ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 ϕ x k = ϕ c. k=1

4 476 Clcul pproché des itégrles défiies Lemme. Soit f ue foctio de clsse C 1 sur [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : Démostrtio. E désigt pr F : x f x dx f b = f c b. f t dt l primitive de f ulle e, cette foctio est de clsse C sur [, b] et le théorème de Tylor-Lgrge ous dit qu il existe u réel c ], b[ tel que : F b = f x dx = F + F b + F c = f b + f c b b O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse du rectgle à guche : b f x dx f b f b Pour ce qui est de l méthode composée des rectgles, o le résultt suivt. Théorème. Soit f ue foctio de clsse C 1 sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : f x dx R f = b f c f x dx R f f b Démostrtio. O : 1 f x dx R f = = 1,k+1 x,k 1,k+1 = f c,k f x dx b 1 f x,k x,k f x dx x,k+1 x,k f x,k x,k+1 x,k = b 1 f c,k où chque c,k est ds ]x,k, x,k+1 [. Le lemme.1 ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 f c,k = f c. O doc : f x dx R f = b f c = f x dx R f f b b f c

5 L méthode des rectgles à guche 477 Avec ce théorème, o retrouve le fit que : lim R f = + f x dx. Pour ue foctio f suffismmet dérivble, o peut doer, e utilist l formule de Tylor- Lgrge, u développemet symptotique de l erreur d pproximtio ds l méthode des rectgles à guche. Lemme. Pour toute foctio f C [, b], R, il existe des réel c 1, c, c ds [, b] tels que : F b = f b + b b f b f f b f 1 b 4 + f c 1 f c + f c 4 Démostrtio. E désigt pr F : x f t dt l primitive de f ulle e, cette foctio est de clsse C 4 sur [, b] et le théorème de Tylor-Lgrge ous dit qu il existe u réel c 1 ], b[ tel que : F b = f x dx = F + F b + F = f b + f b + f 6 b + F 6 b + f c 1 4 O ussi, vec l formule de Tylor-Lgrge pour f : f b = f + f b + f soit, e multiplit l première reltio pr b f b = b et e reportt ds.1, o obti F b = f b + b = f b + b De même, vec : f b f f 4 f b f f 1 : b + F 4 c 4 b + f c 6 f b f f 4 + f b 4 b b f c 1 6 b + f b = f + f b + f c.1 b 4. b 4 b f c 1 b + f c 1 b 4 4 b b 4 b 4 4 f c 1 f c

6 478 Clcul pproché des itégrles défiies o obti f 1 b = b 1 f b f f c 4 b 4 F b = f b + b b f b f f b f 1 b 4 + f c 1 f c + f c 4 Théorème. Pour toute foctio f C [, b], R o le développemet symptotique : R f = f x dx b b 1 f b f + f b f + O. 1 Démostrtio. O, pour tout k compris etre et 1 :,k+1 x,k f x dx = f x,k x,k+1 x,k + x,k+1 x,k = b 1 + x,k+1 x,k 4 4 f x,k+1 f x,k x,k+1 x,k f x,k+1 f x,k 1 f c 1,k f c,k + f c,k = b f x,k + b f x,k+1 f x,k b f x 1,k+1 f x,k b 4 + f c 4 4 1,k f c,k + f c,k f x,k + b 1 f x dx =,k+1 x,k f x dx 1 f x,k+1 f x,k b 1 f x 1,k+1 f x,k b f c 4 4 1,k f c,k + f c,k soit e désigt pr c, d et e des réels ds [, b] tels que 1 1 f c,k = f d, et 1 f x dx = R f + b f c,k = f e : f b f b 1 f c 1,k = f c, f b f + b 4 4 f c f d + f e

7 L méthode des poits milieux 479 vec : f c f d + f e f ce qui doe bie le résultt océ. Exemple.1 Pour f t = 1 sur [, 1], o obti 1 + t Exemple. Pour f t = 1 α 1 k= 1 k= 1 k 1 k = 1 1 α 1 α 1 α 1 = l O t α sur [, 1], vec α >, α 1 : α. L méthode des poits milieux + α O. 1 α+1 Cette méthode cosiste à utiliser les sommes de Riem vec le poit milieu ξ,k = x,k + x,k+1. O utilise doc l opérteur M défii sur C [, b] pr : 1 x,k + x,k+1 M f = b L méthode de bse, qui correspod à = 1, est défiie pr : + b f x dx M 1 f = b f. 1 Si f est ue foctio ffie, elle peut s écrire f x = α x + β et le chgemet de vrible x = + b + b t ous doe : 1 f x dx = α x + β dx = α b b t β dt α b = + β + b = b f f 1 b dt = 1 x,k + x,k+1 1 M f = x,k+1 x,k f =. α b + β,k+1 b x,k f x dx = Pour f x = x sur [, 1], o pour tout etier 1 : M f = 1 1 k + 1 = 1 1 k + k = = x dx = 1. f x dx.

8 48 Clcul pproché des itégrles défiies L méthode est doc d ordre 1. Ds le cs ou f est ue foctio dérivble, l tgete u grphe de f e + b équtio : + b y = h x = f x + b + b + f O doc : + b + b h x dx = b h = b f. M 1 f = h x dx. pour Ds le cs où f est ue foctio dérivble covexe, so grphe est toujours u dessus des tgetes, o doc f x h x pour tout x [, b] + b f x dx h x dx = b f. Pour ce qui est d ue estimtio de l erreur d pproximtio, o s itéresse d bord à l méthode de bse. Lemme.4 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : + b b f x dx b f = f c 4 Démostrtio. O se rmèe à l itervlle [ 1, 1] e utilist le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1], ce qui coduit à itroduire l foctio g défiie sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t. L erreur ds l méthode du poit milieu de bse pour f sur [, b] est : + b E f = f x dx b f = b 1 g t dt g 1 O désige pr G : x défiie sur [, 1] pr : ϕ x = g t dt l primitive sur [, 1] de g ulle e et pr ϕ l foctio x g t dt xg = G x G x xg erreur ds l méthode du poit milieu sur [ x, x]. L foctio G est de clsse C sur [, 1] et l formule de Tylor-Lgrge ous doe pour x [ 1, 1] \ {} : G x = G + G x + G x + G c x x 6 = g x + g x + g c x x 6

9 L méthode des poits milieux 481 vec < c x < x et e coséquece : ϕ x = G x G x xg = g c x + g c x x. 6 vec x < c x <. Le lemme.1 ous dit lors qu il existe d x ds [ x, x] ] 1, 1[ tel que g c x + g c x = g d x. O doc : = b ϕ x = g d x x E f = b ϕ 1 = b b f c = g d 1 b f c 4 vec c = + b + b d 1 ], b[. O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse du poit milieu pour ue foctio f de clsse C sur [, b] : + b f x dx = b f f 4 Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt. b Théorème.4 Soit f ue foctio de clsse C sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : f x dx M f = f x dx M f b 4 f c b 4 f Démostrtio. O : b 1,k+1 x,k + x,k+1 f x dx M f = f x dx x,k+1 x,k f = x,k 1 x,k+1 x,k f c,k = 4 b 4 1 f c,k où chque c,k est ds ]x,k, x,k+1 [. Le lemme.1 ous dit qu il existe c ds [, b] tel que 1 f c,k = f c. O doc : f x dx M f = b 4 f c = b 4 f c

10 48 Clcul pproché des itégrles défiies f x dx M f b 4 f Là ecore, o retrouve le fit que : Remrque. Pour 1, o : E eff = b R f = b 1 f j= R f = b lim M f = + f x dx. M f = R f R f 1 + j b = b 1 j= k b f x,k = b f 1 + f + j + 1 b j= 1 x,j + x,j+1 f x,j + f j= f x,j + b j= 1 x,j + x,j+1 f j= = R f + M f. O doc ccéléré l covergece de l suite R f 1 e utilist l suite M f 1 formée des moyees de R f et R f vec les poids et 1 respectivemet..4 Les méthodes de Newto-Cotes Ces méthodes sot bsées sur l iterpoltio de Lgrge. O se plce ici ds le cs où I = [, b] est itervlle fermé boré, o se doe u etier p 1 et o lui ssocie les poits x p,k défiis pr : x p,k = + k b p k p. Théorème.5 Pour tout etier turel o ul p, il existe des coefficiets réels uiques µ p,k k p tels que pour toute foctio polyomile P de degré u plus égl à p o it : Ces coefficiets sot doés pr : P x dx = b p µ p,k = 1p k Cp k p! p p µ p,k P x p,k.. p t j dt k p j= j k

11 Les méthodes de Newto-Cotes 48 Démostrtio. O désige pr L p,k k p l bse de Lgrge de R p [x] défiie pr : L p,k x = p x x p,j x p,k x p,j j= j k Pr liérité, l propriété. est vérifiée pour tout P ds R p [x] si, et seulemet si, elle est vérifiée pour tous les L p,k, ce qui équivut à : L p,k x dx = b p µ p,k pour tout etier k compris etre et p. O doc isi prouvé l existece et l uicité des coefficiets µ p,k. Le chgemet de vrible x = + t b ous doe : p p µ p,k = L p,k + t b dt p vec : L p,k + t b = p t j k j = j= j k 1p k k! p k! = 1p k p! C k p p t j j= j k p t j j= j k Remrque.4 Les coefficiets µ p,k k p e dépedet que de p et de k, mis ps de l itervlle I. Remrque.5 O peut ussi détermier les coefficiets µ p,k k p e utilist l bse x i de R p [x], ce qui fit pprître ces coefficiets comme solutios du système i p liéire : Soit : p µ p,k x p,k i = p b p k i µ p,k = pi+1 i + 1 x i dx i p L mtrice de ce système est l mtrice de type Vdermode : A = p p p p p i p.4

12 484 Clcul pproché des itégrles défiies de détermit p 1 p 1 det A =.... = p! p p p p 1 p p p 1 p p = p! i j = p! i 1! = i!. 1 j<i p i= i= Ce détermit étt o ul, o retrouve l existece et l uicité des coefficiets µ p,k. E résolvt ces systèmes o obtiet les coefficiets µ p,k. Si f est ue foctio cotiue sur I, e ott P p le polyôme d iterpoltio de Lgrge ssocié à f et ux poits x p,k k p, o : P p x dx = b p p µ p,k P x p,k = b p p µ p,k f x p,k. L méthode de Newto-Cotes correspodte cosiste à remplcer f x dx pr P p x dx, ce qui reviet à utiliser l méthode de qudrture décrite pr l foctioelle ϕ p défiies pr : f C I, ϕ p f = b p p µ p,k f x p,k. Théorème.6 Avec les ottios qui précèdet, les coefficiets µ p,k k sot des ombres rtioels et o : µ p,p k = µ p,k k p Démostrtio. Pour tout k compris etre et p, le polyôme π p,k défii pr : p π p,k t = p t j j= j k est à coefficiets etiers, doc π p,k t dt est u ombre rtioel et il e est de même de µ p,k. O peut ussi dire que les µ p,k sot rtioels comme solutios du système liéire.4 qui est à coefficiets rtioels. E ott π p t = p t j, le chgemet d idice k = p j ous doe : j= π p p t = p p p t j = 1 p+1 t p j j= j= p = 1 p+1 t k = 1 +1 π p t,

13 Les méthodes de Newto-Cotes 485 et e écrivt que π p,k t = π p t, o obti t k π p,k t = π p p t t p k = π p t 1p t p k = 1 p π p,p k t. Le chgemet de vrible t = p u ous doe lors : p p π p,k t dt = 1 p π p,p k u du et tet compte de Cp p k p. = C k p, o e déduit que µ p,p k = µ p,k pour tout k compris etre et Remrque.6 Les formules de Newto-Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p [x], elles sot doc d ordre u mois égl à p. Exercice.1 Motrer que pour tout etier turel o ul p pir, les formules de Newto- Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p+1 [x]. Solutio.1 E effectut u chgemet de vrible o se rmèe à l itervlle I = [ 1, 1]. O sit déjà que les formules de Newto-Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p [x]. Soit p = q vec q o ul. L foctio x p+1 étt impir, o : 1 1 x p+1 dx =. D utre prt, vec : µ p,p k = µ p,k x p,p k = 1 + q k 1 q = 1 k q = x p,k pour k compris etre et q 1, x p,q = et p + 1 impir, o déduit que : p µ p,k x p+1 p,k = q 1 µ p,k x p+1 p,k + q 1 µ p k,k x p+1 p k,k =. L formule de qudrture correspodte est doc excte sur R p+1 [x]. Remrque.7 O peut motrer que les formules de Newto-Cotes à p+1 poits sot d ordre p pour p impir et d ordre p + 1 pour p pir voir [4]. Pour ce qui est de l erreur d pproximtio, o peut motrer le résultt suivt voir [4], où π p t = p t j. j=

14 486 Clcul pproché des itégrles défiies Théorème.7 Soiet f ue foctio de clsse C p+ sur I = [, b] et E p f = f x dx b p p µ p,k f x p,k l erreur de qudrture ds l méthode de Newto-Cotes à p + 1 poits ds I. Si p est pir, il existe lors u réel ξ ds [, b] tel que : p+ b f p+ ξ E p f = p +! Si p est impir, il existe lors u réel ξ ds [, b] tel que : p+ b f p+1 ξ E p f = p p + 1! p p tπ p t dt. π p t dt. Les méthodes que ous veos de décrire sot les méthodes de Newto-Cotes de bse. E prtique, o utilise les formules de Newto-Cotes composées qui cosistet à se fixer u etier turel o ul p égl ds l prtique à 1,, 4 ou 6 et pour tout etier turel o ul o utilise ue formule de Newto-Cotes d ordre p sur chcu des itervlles [x,k, x,k+1 ] pour k compris etre et 1, où x,k = + k b. Ces formules sot décrites pr les foctioelles ϕ,p défiies sur C I pr : ϕ,p f = 1 b p p µ p,j f j= x,k + j b 1 = p ϕ,p,k f..5 E écrivt : ϕ,p f = p j= µ p,j p 1 b f x,k + j b = 1 p p p µ p,j S,p,j f j= et e remrqut que pour tout etier j compris etre et p, S,p,j f est ue somme de Riem de f sur [, b], o : et vec p j= µ p,j = p, o déduit que : lim S,p,j f = + f C I, lim ϕ,p f = + f x dx f x dx. Les méthodes de Newto-Cotes composées sot doc covergetes..5 L méthode des trpèzes O coserve les ottios du prgrphe précédet.

15 L méthode des trpèzes 487 Pour p = 1, o x 1, =, x 1,1 = b µ 1, = µ 1,1 = 1 tdt = 1. L formule de qudrture de bse correspodte est l formule du trpèze : f x dx b f + f b. Cette formule est excte pour les polyômes de degré 1 mis ps pour x, elle est doc d ordre 1. L méthode composée est l méthode des trpèzes défiie pr : T f = b = b 1 f x,k + f x,k+1 f + f b 1 + k=1 f x,k où o oté x,k = + k b pour tout k compris etre et. L formule de Tylor vec reste itégrl et le théorème de l moyee ous permettet d obteir ue estimtio de l erreur d pproximtio ds l méthode du trpèze. Comme pour l méthode du poit milieu, u chgemet de vrible ous rmèe à [ 1, 1]. Le lemme qui suit ous ser utile pour obteir cette estimtio de l erreur. Lemme.5 Soit h ue foctio de clsse C sur [, 1] telle que h =. Pour tout x ds ], 1] il existe u réel c x ds [, 1] tel que : h t dt xh x = h c x x. Démostrtio. L formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre 1 ous permet d écrire : h x = h + h x + = h + x t h t dt x t h t dt. De même, l formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre pour l primitive de h ulle e, H : x h t dt qui est de clsse C ous doe : H x = H + H x + H x x + = h x + h x + = h x + x t H t dt x t h t dt x t h t dt.

16 488 Clcul pproché des itégrles défiies O e déduit lors que : = h t dt xh x = H x xh x x t h t dt x = x t h t dt x t h t dt. Pour x ], 1], l foctio t x t étt à vleurs positives sur [, x], le théorème de l moyee ous dit qu il existe c x [, x] tel que : h t dt xh x = h c x x t dt = h c x x. Lemme.6 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : f x dx b f + f b = b f c 1 Démostrtio. Le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1] ous rmèe à l itervlle [ 1, 1]. E défiisst l foctio g sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t, l erreur ds l méthode du trpèze pour f sur [, b] s écrit : E f = = b f x dx b f + f b 1 g t dt g 1 + g 1. 1 E désigt pr h l foctio défiie sur [ 1, 1] pr h t = g t + g t, o : E f = b 1 h x dx h 1, l foctio h étt de clsse C sur [ 1, 1] vec h = g g = et le lemme précédet ous dit qu il existe u réel c 1 ds [, 1] tel que : E f = b h c = b g c 1 + g c 1. Le lemme.1 ous dit qu il existe d 1 ds [, 1] tel que g c 1 + g c 1 = g d 1. O doc : E f = b b g d 1 = f c 1

17 L méthode des trpèzes 489 vec c = + b + b d 1 ds [, b]. O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode du trpèze pour ue foctio f de clsse C sur [, b] : f x dx b f + f b f b 1 Remrque.8 Ue démostrtio élémetire, mis plus stucieuse, du lemme précédet peut se fire comme suit voir [1]. O peut remrquer qu ue itégrtio pr prties ous doe pour f de clsse C 1 sur [, b] : x + b [ f x dx = x + b ] b f x = b f + f b f x dx f x dx Pour f de clsse C sur [, b] ue utre itégrtio pr prties ous doe : et e coséquece : f x dx b x + b [ f x dx = f x 1 x + b ] b b 1 b x + b b f x dx = 1 b b x + b f x dx f + f b = 1 = 1 = 1 x + b b f x dx x +b b x +b b x x f x dx. + b f x dx Comme sur l itervlle [, b], o b x x, o déduit du théorème de l moyee qu il existe c [, b] tel que : b x x f x dx = f c f x dx b b x x dx = f c f + f b = b f c 1 b 6 Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt.

18 49 Clcul pproché des itégrles défiies Théorème.8 Soit f ue foctio de clsse C sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : b f x dx T f = f c 1 f x dx T f b 1 f Démostrtio. O : b 1,k+1 f x dx T f = 1 x,k x,k+1 x,k = 1 f x dx x,k+1 x,k f b 1 c,k = 1 f x,k + f x,k+1 f c,k où chque c,k est ds [x,k, x,k+1 ]. Le lemme.1 ous dit qu il existe c ds [, b] tel que 1 f c,k = f c. O doc : b f x dx T f = f b c 1 = f c 1 De ce théorème, o déduit que : Remrque.9 Pour 1, o : 1 f x dx T f lim T f = + b 1 f x dx. T f = R f + R f f où R f = b f x,k+1 est ue pproximtio de f x dx pr l méthode composée des rectgles à droite. O doc ccéléré l covergece des suites R f 1 R f 1 e utilist l suite T f 1 formée des moyees de R f et R f vec les poids 1 et 1 respectivemet. Remrque.1 O ussi : M f = T f T f Pour o : T f = b f + f b 1 + f x,k.

19 L méthode des trpèzes 491 E remrqut que pour tout j compris etre et 1 o : o déduit que : T f = b { x,j = x,j x,j+1 = x,j + b f + f b 1 + = T f + M f. Ce résultt étt ecore vlble pour = 1. j= = m,j 1 f x,j + f m,j Exercice. Doer ue suite d pproximtios rtioelles de l et π e utilist les 4 méthodes composées des trpèzes. Doer ue expressio de l erreur d pproximtio. Solutio. O pplique, pour tout etier 1, l méthode composée des trpèzes à l foctio f : t 1 sur l itervlle [, 1] découpé e itervlles égux, ce qui doe : 1 + t l = 1 j= dt 1 + t u = k +. Ue expressio de l erreur d pproximtio est doée pr : k=1 l u f 1 = 1 6. Nous verros plus loi que l formule d Euler-Mcluri ous doe le développemet symptotique : l u = b f 1 f 1 b 4 4 f 4 ξ 1 4 = ξ 5, vec ξ [, 1]. L suite v 1 défiie pr : coverge vers l plus vite que v 1. Pour = 1, o : v = k + k=1 u , v , l Pour π 1, o procède de même vec l foctio f : t sur l itervlle [, 1] t

20 49 Clcul pproché des itégrles défiies Exercice. Vérifier que, pour, l formule des trpèzes composées sur [, π] est excte pour l foctio cos. Qu e est-il pour l foctio x si x sur [, π]. Solutio. L formule composée des trpèzes pour l foctio cos sur [, π]s écrit : où : τ = π = π = π cos t dt τ, cos + cos π 1 + k=1 1 cos k π. cos k π Pour = 1, o : et pour, o : 1 cos k π 1 = R L formule est doc excte pour tout. Pour f x = si x, o T = π π si x dx =, τ f = π τ 1 = π e ikπ 1 k=1 = R si k π 1 e iπ 1 e iπ =. = π si π cos π 1..6 L méthode de Simpso Pour p = ds l méthode de bse de Newto-Cotes, o x, =, x,1 = + b, x, = b µ, = µ, = 1 t t 1 dt = 1 µ,1 = t t dt = 4 L formule de qudrture correspodte est l formule de Simpso : f x dx b + b f + 4f + f b. 6 O vérifie fcilemet, e se plçt sur I = [ 1, 1] o s y rmèe toujours pr chgemet de vrible ffie que cette formule est excte pour les polyômes de degré mis ps pour x 4, elle est doc d ordre.

21 L méthode de Simpso 49 L méthode composée de Simpso est défiie pr : S f = ϕ, f = b 1 f x,k + 4f m,k + f x,k+1 6 = b f b f 1 + f x,k + f m,k où o oté x,k = + k b pour tout k compris etre et et m,k = x k + b le milieu de [x k, x k+1 ] pour tout k compris etre et 1. Pour ue mjortio de l erreur ous utiliseros le lemme suivt, logue à celui utilisé pour l méthode des trpèzes. Lemme.7 Soit h ue foctio de clsse C 4 sur [, 1] telle que h = et h =. Pour tout x ds ], 1] il existe u réel c x ds [, 1] tel que : h x + h h t dt x = h4 c x x Démostrtio. L formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre ous permet d écrire : h x = h + h x + h x + h +! = h + h x x x t + h 4 t dt.! x t h 4 t dt! h x + h = h + h x x x t + h 4 t dt.!! De même, l formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre pour l primitive de h ulle e, H : x h t dt qui est de clsse C 5 ous doe : H x = H + H x + H = h x + h x + h! = h x + h x +! O e déduit lors que : h x + h h t dt x x + H! x + h x 4 + 4! x t 4 4! h 4 t dt. x + H4 x 4 x t 4 + H 5 t dt 4! 4! x t 4 h 4 t dt 4! h x + h = H x x x t 4 = h 4 t dt x = = 4! x t! x t! x h 4 t x t 4 h 4 t x + t 1 dt x t h 4 t dt! dt

22 494 Clcul pproché des itégrles défiies Pour x ], 1], l foctio t x t x + t étt à vleurs positives sur [, x], le théorème de l moyee ous dit qu il existe c x [, x] tel que : h x + h h t dt x = h4 c x 1! = h4 c x 1! x t x + t dt 5 x5 = h4 c x x Lemme.8 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C 4 sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : f x dx b + b b 5 f + 4f + f b = 6 88 f 4 c Démostrtio. Le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1] ous rmèe à l itervlle [ 1, 1]. E défiisst l foctio g sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t, l erreur ds l méthode de Simpso sur [, b] : E f = f x dx b 6 f + 4f + b + f b s écrit lors : E f = b 1 g t dt 1 1 g 1 + 4g + g 1. E désigt pr h l foctio défiie sur [ 1, 1] pr h t = g t + g t, o : E f = b 1 h 1 + h h x dx, l foctio h étt de clsse C 4 sur [ 1, 1] vec h = h = et le lemme précédet ous dit qu il existe u réel c 1 ds [, 1] tel que : E f = b h 4 c 1 18 x 5 = b g 4 c 1 + g 4 c Comme pour l méthode du poit milieu ou du trpèze, le lemme.1 ous dit qu il existe d 1 ds [ 1, 1] tels que g 4 c 1 + g 4 c 1 = g 4 d 1 E f = b g 4 d 1 9 b 5 = 5 9 f 4 b 5 c = 88 f 4 c vec c = + b + b d 1 ds [, b]. O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse de Simpso pour ue foctio f de clsse C 4 sur [, b] : f x dx b + b f + 4f + f b f 4 b

23 L méthode de Simpso 495 Remrque.11 Cette méthode d évlutio de l erreur e foctioe ps pour les méthodes de Newto-Cotes plus géérles. Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt. Théorème.9 Soit f ue foctio de clsse C 4 sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : b 5 f x dx S f = 88 f 4 c 4 f x dx T f b f 4 Démostrtio. O : 1,k+1 f x dx S f = 1 x,k x,k+1 x,k 5 = 88 f x dx x,k+1 x,k 6 f 4 b 5 1 c,k = 88 5 f x,k + 4f m,k + f x,k+1 f 4 c,k où chque c,k est ds [x,k, x,k+1 ]. Le lemme.1 ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 f 4 c,k = f 4 c. O doc : b 5 f x dx S f = 88 f 4 b 5 c 5 = 88 f 4 c 4 f x dx S f b f 4 De ce théorème, o déduit que : lim S f = + Remrque.1 Pour tout etier 1 o : f x dx. S f = T f + M f S f = 4T f T f c est l première étpe ds l méthode d ccélértio de Romberg. Pour l première formule, il suffit de l vérifier pour les méthodes de bse, c est-à-dire ds le cs = 1. Ds ce cs o : S 1 f = 1 b f + f b + b f m

24 496 Clcul pproché des itégrles défiies où m = + b, ce qui doe bie l reltio : S 1 f = T 1 f + R 1 f. Puis e élimit M f ds les équtios : S f = T f + M f T f = T f + M f o obti soit S f = 4T f T f. 4T f S f = T f,