Corps de Galois : aide mémoire

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1 Corps de Galois : aide éoire A Le Glaunec Corps de Galois : aide éoire 1 1-Corps de Galois contenant un nobre preier d éléents 1-1-Définition 1--Exeples -Corps de Galois défini coe enseble de polynôes à coefficients dans Z/ -1-Définition --Exeple 3-3-Corps d extension 4 3-Corps de Galois définis à partir d un éléent priitif4 3-1-Définition 4 3--Exeple Opérations Quelues propriétés du Corps de Galois CG( ) ou CG( ) Polynôes inial d un éléent d un Corps de Galois 6 4-Codes cycliues et Corps de Galois 7 5-Bibliographie8 1

2 Un Corps de Galois est un corps contenant un nobre fini d éléents Vous en connaissez déà 1-Corps de Galois contenant un nobre preier d éléents 1-1-Définition Considérons l enseble des entiers relatifs Z et un nobre preier appartenant à N : l enseble des entiers relatifs odulo est un corps : il contient éléents 1--Exeples L enseble Z/ est foré des éléents : { 0, 1,, 1} Les nobres 0,,-1 sont surontés d une barre pour ontrer ue les éléents du corps sont les classes des nobres 0,,-1 odulo Pour tout a appartenant à Z, a peut s écrire : a=p+r r étant le reste de la division de a par 0 r -1 a appartient à la classe de r, notée r Z/ contient éléents On peut le noter CG(), Corps de Galois à éléents L enseble Z/ ou CG() contient les classes 0 et 1 : CG()={0, 1} Les tables d addition et de ultiplication sont : X L addition odulo se réalise par un «ou exclusif», la ultiplication odulo se réalise par un «et» Un Corps de Galois défini coe une classe de nobres odulo ne peut contenir u un nobre preier d éléents Ceci est restrictif Nous allons donc ontrer coent on peut étendre la définition d un Corps de Galois à partir du CG() ou définir des extensions de CG() Ces corps contiennent éléents et nous allons en exposer la construction sans ustification théoriue : vous les trouverez par exeple dans les références citées à la fin du docuent -Corps de Galois défini coe enseble de polynôes à coefficients dans Z/ -1-Définition Considérons les polynôes en x dont les coefficients sont dans Z/ ou CG() Soit f(x) un tel polynôe : il s écrit : n n f (x) = fn 1x + fn x + + f1x + f0 Les coefficients f 0, f 1, f n-1 sont des éléents de Z/ L enseble de ces polynôes est Z/[X] Pour construire le CG( ) on va procéder de la êe façon ue pour construire les Z/ ais en raisonnant non plus sur les entiers relatifs ais sur les polynôes de Z/[X] Pour

3 cela on suppose u on connaît un polynôe p(x) de Z/[X] de degré irréductible Irréductible veut dire ui n est divisible par aucun autre polynôe de degré inférieur L enseble des polynôes odulo p(x) à coefficients dans CG() est un enseble fini : on peut déontrer ue c est un corps Pour trouver à uelle classe de polynôes odulo p(x) appartient un polynôe uelconue f(x) on effectue la division Euclidienne de f(x) par p(x) : f (x) = (x)p(x) + r(x) 0 d r(x) < d p(x) = Alors f(x) appartient à la classe de r(x)= r (x) L enseble Z/[p(x)]est foré de l enseble des classes de polynôes de degré inférieur ou égal à -1 ( puisue ce sont les restes par divisions Euclidiennes par p(x)) Par abus de langage, on dira ue l enseble Z/[p(x)]est foré de l enseble de tous les polynôes de degré inférieur ou égal à -1 Cobien contient-il d éléents? Chaue polynôe contient éléents de Z/ ui peuvent prendre valeurs : donc le nobre d éléent de Z/[p(x)] est À une condition près sur p(x) ue nous verrons dans le paragraphe suivant, cet enseble est le Corps de Galois à éléents : CG( ) De plus la caractéristiue du corps est --Exeple Très, très souvent, le corps de départ est le CG() ou Z/ Construction 3 Sur CG(), p(x) = x + x+ 1 est irréductible En effet : - x+1 ne divise pas p(x) puisue 1 n est pas racine - x ne divise pas p(x) puisue 0 n est pas racine - aucun polynôe de degré ne divise p(x) sinon p(x) serait le produit d un polynôe de degré et d un polynôe de degré 1 ce ui est ipossible puisue aucun polynôe de degré 1 ne divise p(x) Tous les polynôes de degré inférieur à 3 forent une classe de polynôes odulo p(x) Ils sont : Polynôes f 0 (x)= f 1 (x)= f (x)=x f 3 (x)=x f 4 (x)=x f 5 (x)=x f 6 (x)=x +x f 7 (x)=x +x notation utilisant les valeurs des coefficients en x x x 0 Cet enseble contient 3 éléents : c est le CG( 3 ) ou CG(8) On voit ue les éléents du CG( ) définis de cette façon ne sont pas très coodes à écrire Pour les utiliser, on peut les représenter sous fore de -uplets du corps de départ soit bits si celui-ci est CG() Nous avons défini l enseble ui n est pas très original Pour définir le corps, il faut définir les opérations d addition et de ultiplication 3

4 Addition L addition de éléents du CG( ) en général est l addition des polynôes tere à tere Il faut se souvenir de la propriété de l addition dans le corps de départ où sont pris les coefficients Dans l exeple ue nous avons pris, dans le CG() corps des coefficients : 1+1=0 ( + ou - = êe chose ) Par exeple : f 4 (x)+f 5 (x)= x + x +1=1=f 1 (x) Multiplication Pour sa définition, on fait enfin appelle à la définition du corps Cherchons par exeple : f (x)f 4 (x)=x 3 Pour trouver à uel éléent il est «égal», il faut trouver à uelle classe appartient x 3 On effectue la division de x 3 par p(x)=x 3 +x+1 : on trouve rapideent : x 3 = (x 3 +x+1)+x+1 La classe de x 3 est x+1= f 3 (x) : donc f (x)f 4 (x)= f 3 (x) Petit truc : pour trouver le reste d un polynôe par la division par x 3 +x+1, donc pour trouver à uelle classe de polynôe il appartient, il faut replacer x 3 +x+1 par 0 dans le polynôe de départ : uelle est la classe de x 3? on sait ue x 3 +x+1=0 donc x 3 =x+1-3-corps d extension Dans l exeple précédent, le CG(8) est le corps d extension du corps de départ le CG() Il contient le corps de départ En effet, toutes les constantes de CG()={0,1} sont des éléents du CG(8) puisue ce sont des polynôes de degré 0 Pouruoi «le corps d extension»? x 3 +x+1 est irréductible sur {0,1} ais x 3 +x +1 l est aussi On peut ontrer ue ces corps sont isoorphes Donc on considère ue c est le êe corps Cette représentation sous fore de polynôes est assez liitée pour des développeents théoriues : nous allons voir une autre éthode de construction de CG( ) 3-Corps de Galois définis à partir d un éléent priitif 3-1-Définition Pour définir le CG( ) preière anière, on a trouvé un polynôe irréductible p(x) de degré, à coefficients dans CG() Ce polynôe étant preier n a pas de racine dans CG()Mais on iagine u il existe des racines «ailleurs» ue dans CG(), on peut en trouver : on note α l une d elles Cette racine est alors l éléent priitif du CG( ) En effet on va trouver les éléents du corps de Galois en considérant toutes les puissances de α : { α 0, α, α } 3--Exeple On va construire le CG(8) avec cette nouvelle définition Soit touours p(x)=x 3 +x+1 le polynôe irréductible On appelle α une de ces racines, et on va exprier les différentes puissances de α en fonction de α 0 =1, α, α En effet dès α 3 on peut exprier en fonction des puissances inférieures parce ue α 3 +α+1=0, donc α 3 =α+1 On continue α 4 =α + α 4

5 α 5 =α 3 + α = α+1+ α Etc De façon générale, si on effectue la division de α n par α 3 +α+1, α n =(α)(α 3 +α+1)+r(α), coe α 3 +α+1=0, α n = r(α) Continuons de cette façon : α 6 =(α 3 +α+1)(α 3 +α+1)+α +1= α +1 α 7 =(α 4 +α +α)(α 3 +α+1)+1=1 On voit ue α 7 =1, donc α 7 +1=0 1 = Ceci est général : si le polynôe p(x) est «correcteent» choisi, α + 1 0ou encore pour 1 = un corps de caractéristiue α 0 Donc on trouve bien éléents constituant le CG( ) Attention : le polynôe p(x) est «correcteent» choisi veut dire u il n existe pas de puissance < -1 ( ou -1) telle ue α + 1= 0 (ou α = 0 ) On dit ue le polynôe est priitif Les correspondances entre la notation des éléents à l aide de puissance de α et la notation à l aide de polynôes s effectue en replaçant α par x On obtient le tableau du Corps de Galois Dans l exeple précédent le tableau de CG(8) est : α α α α α α α α Opérations ultiplication : on utilise la notation en puissances de α : i (i+ )od( 1) i (i+ )od( α α =α ou de façon générale α α =α addition : on utilise la notation en polynôes de α On fait la soe bit par bit odulo () 3-4-Quelues propriétés du Corps de Galois CG( ) ou CG( ) Le Corps de Galois CG( ), étant preier et entier est l enseble des puissances d un éléent priitif α et l'éléent 0 CG( ) = 0, 1, α, α, α Le Corps contient effectiveent 1 éléents car α = 1 Il est de caractéristiue α est une racine d un polynôe p(x) de degré irréductible dans CG() Ce polynôe doit de plus être priitif C est-à-dire u on ne trouve pas d autre puissance inférieure à -1 telle ue α = 1 1) 5

6 Pour tout, ( α ) = 1 1 = Donc : 1, α, α, α sont les racines du polynôe x 0 Coe ce polynôe de degré -1 a -1 racines, on peut écrire ue : x 1= (x)(x α)(x α )(x α )(x α )(x α ) On peut déontrer ue si un éléent β du CG( )est racine d un polynôe f(x) à 3 coefficients dans CG(), β, β, β sont aussi racines de f(x) Cela vient du fait ue f (x ) = [f(x)] : en effet ( f + f x) = f + (f x) + C f (f x or ( 1)( 1) C + =, coe est preier! ) C est proportionnel à, donc nul dans CG() ( odulo ) ( f0 + f1x) = f0 + (f1x) De plus dans CG(), on peut ontrer par récurrence ue f i =f i En procédant par p induction (!) avec f (x) = f0+ f1x + fpx, on ontre ue f (x ) = [f(x)] En particulier, les racines de p(x) sont : α =α ) Donc : 1 p(x) = (x α)(x α )(x α ) α, α, α α ( on en a puisue On voit ue p(x) est un diviseur de 1 x 1 On peut déontrer de êe ue tous les polynôes irréductibles de degré divisent 1 x Revenons sur le polynôe p(x) irréductible ui doit être priitif pour u une de ses racines définisse le Corps de Galois En général tous les polynôes irréductibles sont priitifs Sauf si ( considérons les corps de caractéristiue ) -1 n est pas preier En effet alors soit un des diviseurs de -1 x 1 1 divise x Certains polynôes 1 irréductibles de degré diviseurs de x peuvent aussi être diviseurs de x 1, alors x = 1, et une racine de p(x) ne définit plus le CG( ) Le plus petit entier tel ue β =1 est l ordre de l éléent β 3-5-Polynôe inial d un éléent d un Corps de Galois Le polynôe inial d un éléent β du CG( ) est le polynôe noralisé à coefficients dans CG() ui a pour racine β et de degré iniu Ce polynôe a aussi pour racines β, β, β β, l exposant étant pris odulo 1 et r est le preier entier tel ue β r = β Ces racines sont les racines conuguées Toutes les racines conuguées ont le êe polynôe inial Et le polynôe inial d un éléent est le polynôe ui a pour racines toutes les racines conuguées de cet éléent r 6

7 Exeple : reprenons le CG(8) construit à partir de la racine α de p(x)=x 3 +x+1 α α 1 α α α α α α α α Le polynôe priitif de 1 est 0 (x)=x+1 Le polynôe priitif de α est 1 (x)=p(x)= x 3 +x+1 Le polynôe priitif de α est (x)= 1 (x) ( les racines sont conuguées) Le polynôe priitif de α 3 est 3 (x), il a pour racines : α 3, α 6, α 1od(7) = α 5 (c est tout puisue α 10od(7) = α )Donc 3 (x) = (x α )(x α )(x α ) = x + x + 1 Le polynôe priitif de α 4 est 4 (x)= 1 (x) Le polynôe priitif de α 5 est 5 (x)= 3 (x) Le polynôe priitif de α 6 est 6 (x)= 3 (x) On peut déduire de ceci ue x + 1= 0(x) 1(x) 3(x) = (x+ 1)(x + x+ 1)(x + x + 1) 4-Codes cycliues et Corps de Galois Un polynôe générateur g(x) d un code cycliue C(n,k) divise x n -1 Donc les racines de g(x) sont aussi des racines de x n -1 Si n= -1, elles sont des éléents du CG( ) Coe un ot de code est un ultiple de g(x), ses racines sont aussi racines des ots de code Si les racines de g(x) sont α 1, α, α3, αu, c( α ) = 0 pour = 1 u Les α sont des puissances de l éléent priitif du CG( ) Ceci peut s expliciter par : c n 1 n 1 α + + c1α + c 0 = 0 pour = 1 u cn c Ou encore : [ n n n α, α, α,1] = 0 pour = 1 u c 0 n n α α α c n 1 n 1 n α α α 1 c n n Soit n α α α 1 = c 1 1 c n n 0 α α α 1 u u u 7

8 On peut identifier cette atrice à la atrice de parité ou de contrôle en décoposant i verticaleent les α en représentation binaire Mais le nobre de lignes n est pas forcéent n-k : il le devient si on enlève les lignes nulles ou cobinaison linéaires d autres lignes Exeple : Soit le code C(7,3) engendré par g(x) = (x + x+ 1)(x+ 1) = x + x + x Ses racines sont : α, α, α pour ( x 3 + x + 1) et 1 pour x α α α α α α 1 La atrice H est : Soit en représentation binaire : Dans la atrice H on n a pris en copte u une des racines correspondant au polynôe inial 5-Bibliographie Introduction aux codes correcteurs : Pierre Csillag Ed Ellipses Le site de Pierre Csillag : Codes en bloc détecteurs et correcteurs d erreurs : Gérard Attal Poly Supélec Théorie de l inforation Codage Counication nuériue : Jean-Claude Dany et Marie-Claude Duas Poly Supélec