Manuel d exercices. Yves Debard. Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique

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1 RDM Éléments finis Manuel d exercices Yves Debard Institut Universitaire de Technologie du Mans Département Génie Mécanique et Productique 26 juin mars 2011

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3 Table des matières 1 Élasticité 1 ELA 1 : Plaque percée d un trou circulaire, sollicitée en traction ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise à l action de la pesanteur ELA 3 : Disque annulaire en rotation ELA 4 : Tube épais soumis à un gradient thermique ELA 5 : Réservoir sphérique soumis à une pression intérieure et à un gradient thermique.. 9 ELA 6 : Cylindre à paroi épaisse sous pression ELA 7 : Déformations et contraintes d origine thermique dans une poutre Flexion des plaques 16 PLA 1 : Flexion d une plaque circulaire et encastrée sur son contour PLA 2 : Vibrations de flexion d une plaque mince, carrée et encastrée sur un côté PLA 3 : Vibrations de flexion d une plaque mince, carrée et libre PLA 4 : Plaque ou poutre Section droite : caractéristiques et contraintes 25 SEC 1 : Triangle équilatéral Thermique Problèmes stationnaires TS L 1 : Températures imposées TS L 2 : Convection TS L 3 : Températures imposées facteur de forme TS L 4 : Convection et source volumique TS L 5 : Convection et source volumique TS L 6 : Températures imposées et source volumique TS L 7 : Température imposée et convection TS L 8 : Convection TS NL 1 : Convection et rayonnement TS NL 2 : Convection et rayonnement TS NL 3 : Convection et rayonnement Problèmes transitoires TT L 1 : Plaque soumise à un choc thermique TT L 2 : Plaque et convection TT L 3 : Sphère et convection TT L 4 : Milieu semi-infini et convection TT NL 1 : Radiation et source de chaleur volumique TT NL 2 : Convection et radiation

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5 Chapitre 1 Élasticité ELA 1 : Plaque percée d un trou circulaire, sollicitée en traction Référence : solution analytique. La plaque carrée de côté 2 L et d épaisseur t représentée sur la figure est percée en son centre d un trou circulaire de rayon R petit devant L. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau. La plaque est soumise à une contrainte de traction σ sur les côtés situés à x = ±L. On donne : L = 400 mm, R = 20 mm, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.27 σ = 10 MPa Modélisation et calcul : Le problème étant symétrique par rapport aux plans x = 0 et y = 0, il suffit donc de modéliser le quart de la pièce.

6 2 RDM Éléments finis Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Modifier les unités courantes Longueur : mm Fichier Bibliothèque Structure 10 : x O = y O = 0, L = H = 400, R = 20, sans sous-domaines Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 400 Modifier localement la taille des éléments En C : 0.5, en A et B : 5 Discrétiser le domaine en triangles à 6 nœuds à bords curvilignes Fichier Élasticité/Thermique Problème : contraintes planes Matériau Module de Young = MPa, coefficient de Poisson = 0.27 Épaisseur L épaisseur est égale à 10 mm Liaisons/Symétries Symétrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0 Cas de charges La pression sur la face x = L est égale à -10 MPa Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul référence : pour une plaque infinie (L très grand) : σ xx (A) = 3 σ = MPa, σ yy (B) = σ = MPa solution éléments finis : σ xx (A) = MPa, σ yy (B) = MPa Pour extraire ces quantités : 1. effectuer un zoom autour du trou. 2. afficher les faces principales. 3. désigner les points A et B à l aide du bouton droit de la souris. Remarque : pour visualiser la concentration de contrainte autour du trou, effectuer une coupe le long de la ligne AA.

7 Élasticité 3 ELA 2 : Plaque rectangulaire soumise à l action de la pesanteur Référence : S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Théorie de l élasticité, Librairie Polytechnique Béranger, 1961, page 266. Géométrie : plaque rectangulaire : L = 1000 mm, H = 3000 mm, épaisseur = 100 mm Propriétés du matériau : masse volumique : ρ = 7800 kg m 3 module de Young : E = MPa coefficient de poisson : ν = 0.3 Conditions aux limites : au point A(0, H) : u = v = 0 au point B(0, 0) : u = 0 Charges : la face supérieure est soumise à une force de pression égale à ρ gh où g est l accélération de la pesanteur (g = 10 m s 2 ) la plaque est soumise à son poids propre Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Fichier Bibliothèque structure 1 : x O = y O = 0, L = 1000, H = 3000 Points ajouter un point au milieu de la face supérieure (A)

8 4 RDM Éléments finis ajouter un point au milieu de la face inférieure (B) ajouter un point au milieu du rectangle (M) Points à mailler transformer les points A, B et M en points à mailler (nœuds du maillage) Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 200 Discrétiser la structure en triangles à 6 nœuds Fichier Élasticité/Thermique Problème : contraintes planes Matériau module de Young = MPa coefficient de Poisson = 0.3 masse volumique = 7800 kg m 3 Épaisseur l épaisseur est égale à 100 mm Liaisons au point A : u = v = 0 au point B : u = 0 Cas de charges poids propre pression : MPa sur la face supérieure Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Référence : σ xx = 0, σ xy = 0, σ yy = ρ g y u = ν ρ g x y E, v = ρ g 2 E (y2 + ν x 2 H 2 ) Solution éléments finis : Référence RDM Éléments finis v en B mm mm v en C mm mm u en D mm mm σ yy en M MPa MPa σ yy en A MPa MPa

9 Élasticité 5 ELA 3 : Disque annulaire en rotation Référence : A. Bazergui, T. Bui-Quoc, A. Biron, G. McIntyre, C. Laberge, Résistance des matériaux, Éditions de l École Polytechnique de Montréal, 1987, page 294. Géométrie : Disque annulaire d axe z : Rayon intérieur : R i = 10 mm, rayon extérieur : R e = 100 mm Épaisseur : 2 t = 20 mm Propriétés du matériau : Masse volumique : ρ = 7800 kg/m 3 Module de Young : E = MPa Coefficient de Poisson : ν = 0.3 Conditions aux limites : w = 0 pour tous les points du plan moyen du disque Chargement : Le disque tourne autour de l axe z : vitesse de rotation N = 3000 tours/min Modélisation et calcul : Il suffit de modéliser la moitié d une section méridienne. Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Fichier Bibliothèque structure 1 : x O = 10, y O = 0, L = 90, H = 10 Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 200 Discrétiser la structure triangles à 6 nœuds

10 6 RDM Éléments finis Fichier Élasticité/Thermique Problème : Élasticité axisymétrique Matériau module de Young = MPa coefficient de Poisson = 0.3 masse volumique = 7800 kg/m 3 Liaisons w = 0 sur AB Cas de charges vitesse de rotation = 3000 tours/min Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Référence (ω = 2 π N/60 rad s 1 ) : r = R i : ( σ rr = 0, σ θθ = 1 ν 4 ρ ω2 Re ν 1 ν + u = 3 + ν 4 E ρ ω2 R i R 2 e ( ν 3 + ν ( Ri R e ( Ri R e ) 2 ) ) 2 ) r = R e : ( σ rr = 0, σ θθ = 1 ν 4 ρ ω2 Re ν 1 ν ) ) 2 u = 3 + ν 4E ρ ω2 R 3 e ( 1 ν 3 + ν + la contrainte radiale est maximale pour r m = R i R e et σ rr (r m ) = 3 + ν ( 8 ρ ω2 Re 2 1 R ) 2 i R e Solution éléments finis : ( Ri R e ( Ri R e ) 2 ) Référence RDM Éléments finis u en A mm mm σ θθ en A 6.36 MPa 6.43 MPa u en B mm mm σ θθ en B 1.41 MPa 1.41 MPa σ rr max 2.57 MPa à 30 mm 2.58 MPa à 32.5 mm Remarque : pour extraire ces quantités, sélectionner la commande Coupe suivant ligne puis désigner les points A et B.

11 Élasticité 7 ELA 4 : Tube épais soumis à un gradient thermique Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 332. Géométrie : Cylindre creux d axe z : R i = 20 mm, R e = 80 mm, H = 20 mm Propriétés du matériau : Module de Young E = MPa Coefficient de Poisson ν = 0.3 Coefficient de dilatation α = 10 5 K 1 Conditions aux limites : La structure est axisymétrique w = 0 sur les faces AB et CD Charges thermique : Température intérieure T i = 100 C Température extérieure T e = 0 C Température de référence T 0 = 0 C Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Bibliothèque structure 1 : x O = 20, y O = 0, L = 60, H = 20 Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 200 Discrétiser la structure triangles à 6 nœuds Fichier Élasticité/Thermique

12 8 RDM Éléments finis Problème : Élasticité axisymétrique Matériau module de Young = MPa coefficient de Poisson = 0.3 coefficient de dilatation = 1E 5 K 1 Liaisons w = 0 sur AB et CD Charges thermiques température imposée : T AC = 100 C, T BD = 0 C Cas de charges gradient thermique : température de référence = 0 C Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul On obtient : r Grandeur Référence RDM Éléments finis R i σ θθ MPa MPa σ zz MPa MPa u r mm mm R e σ θθ MPa MPa σ zz MPa MPa u r mm mm Remarque : pour extraire ces quantités, sélectionner la commande Coupe suivant droite.

13 Élasticité 9 ELA 5 : Réservoir sphérique soumis à une pression intérieure et à un gradient thermique Références : L. Landau, E. Lifchitz, Théorie de l élasticité, Mir, 1967, page 31. S.P. Timoshenko, J.N. Goodier, Théorie de l élasticité, Librairie Polytechnique Béranger, 1961, page 452. Géométrie : Rayon intérieur de la sphère : R i = 100 mm Rayon extérieur de la sphère : R e = 200 mm Propriétés du matériau : Module de Young : E = MPa Coefficient de Poisson : ν = 0.3 Coefficient de dilatation : α = 12 E 6 K 1 Chargement thermique : Température intérieure : T i = 100 C Température extérieure : T e = 0 C Cas de charge 1 : La face intérieure de la sphère est soumise à une pression égale à : p = 100 MPa. Cas de charge 2 : La sphère est soumise au gradient thermique défini ci-dessus. La température initiale T 0 est égale à 0 C.

14 10 RDM Éléments finis Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Il suffit de modéliser la moitié d une section méridienne de la sphère Fichier Bibliothèque structure 20 : rayon intérieur = 100 mm, rayon extérieur = 200 mm (pas de sous-domaine) Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 400 Discrétiser la structure triangles à 6 nœuds et à bords curvilignes Fichier Élasticité/Thermique Élasticité : problème de révolution Matériau module de Young = MPa coefficient de Poisson = 0.3 coefficient de dilatation = 12 E 6 K 1 Liaisons symétrie par rapport au plan z = 0 (AB) Charges thermiques température imposée surfacique : T i = 100 C, T e = 0 C Cas de charges la surface intérieure de la sphère est soumise à une pression : p = 100 MPa Ajouter un cas de charges la sphère est soumise à un gradient thermique : T 0 = 0 C Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Cas de charge 1 : Référence : Posons : p R3 i A = Re 3 Ri 3, B = A Re 3 Le déplacement radial est : u = 1 2 ν E A r ν B E 2 r 2 Les composantes non nulles du tenseur des contraintes sont : σ rr = A B r 3, σ θθ = A B 2 r 3

15 Élasticité 11 Solution éléments finis : Référence RDM Éléments finis u(r = R i ) mm mm u(r = R e ) mm mm σ rr (r = R i ) 100 MPa MPa σ rr (r = R e ) MPa σ θθ (r = R i ) MPa MPa σ θθ (r = R e ) MPa MPa Remarque : pour extraire ces résultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB. Cas de charges 2 : Référence : où ( σ rr = C 0 C 1 C 2 r + C ) 3 r 3 ( σ θθ = C 0 C 1 C 2 2 r + C ) 3 2 r 3 C 0 = α E T i 1 ν R i R e R 3 e R 3 i C 1 = R i + R e, C 2 = R 2 i + R i R e + R 2 e, C 3 = R 2 i R 2 e La contrainte σ rr est maximale lorsque r 2 = 3 C 3 C 2. Solution éléments finis : Référence RDM Éléments finis u(r = R i ) mm u(r = R e ) mm u maximal mm à r = 161 mm σ rr (r = R i ) MPa σ rr (r = R e ) MPa σ rr maximal MPa à r = mm MPa à r = mm σ θθ (r = R i ) MPa MPa σ θθ (r = R e ) MPa MPa Remarque : pour extraire ces résultats, effectuer une coupe suivant la ligne AB.

16 12 RDM Éléments finis ELA 6 : Cylindre à paroi épaisse sous pression Référence : solution analytique. On considère un cylindre creux d axe z. Ce cylindre est en acier de module de Young E et de coefficient de Poisson ν. Il est soumis successivement à une pression intérieure p i et à une pression extérieure p e. On donne : R i = 100 mm, R e = 200 mm E = MPa, ν = 0.3 p i = p e = 100 MPa Modélisation : Structure paramétrée 1 : x O = 100 mm, y O = 0, L = 100 mm, H = 10 mm. Discrétiser la structure en 400 triangles à 6 nœuds. Problème de révolution d axe z. Cas de charge 1 : le cylindre est soumis à une pression intérieure. Référence : u = r E ((1 ν) A + (1 + ν) Br 2 ) avec A = p i R 2 i R 2 e R 2 i, B = A R 2 e σ rr = A B r 2, σ θθ = A + B r 2 On obtient : Référence RDM Éléments finis u(r = R i ) mm mm u(r = R e ) mm mm σ rr (r = R i ) 90 MPa MPa σ rr (r = R e ) 0 MPa 0.00 MPa σ θθ (r = R i ) MPa MPa σ θθ (r = R e ) MPa MPa

17 Élasticité 13 Cas de charge 2 : le cylindre est soumis à une pression extérieure. Référence : u = r E ((1 ν) A + (1 + ν) Br 2 ) avec A = p e Re 2 Re 2 Ri 2, B = A R 2 i σ rr = A B r 2, σ θθ = A + B r 2 Le déplacement radial u passe par une valeur maximale pour : r m = R i 1 + ν 1 ν si d où On obtient : R i < r m < R e soit ν < R2 e R 2 i R 2 i + R2 e (1 + ν)(1 ν) u(r m ) = A R i E Référence RDM Éléments finis u(r = R i ) mm mm u(r = R e ) mm mm u maximal mm à r = mm mm à r = mm σ rr (r = R i ) 0 MPa 0.04 MPa σ rr (r = R e ) 90 MPa MPa σ θθ (r = R i ) MPa MPa σ θθ (r = R e ) MPa MPa

18 14 RDM Éléments finis ELA 7 : Déformations et contraintes d origine thermique dans une poutre Référence : théorie des poutres. Considérons la poutre OM de longueur L et de section droite rectangulaire (hauteur H, épaisseur t) représentée sur la figure ci-dessus. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et α son coefficient de dilatation. Le déplacement horizontal de AB est nul. Le déplacement vertical du point O est nul. La poutre est soumise à un gradient thermique : les températures des surfaces BC et AD sont respectivement égales à T BC et T AD. La température de référence ( température de montage ) est égale à T O = 0.5 (T BC + T AD ). On donne : L = 300 mm, H = 30 mm, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.3, α = C 1 T BC = 50 C, T AD = 30 C d où T O = 40 C Première étude : Évaluer le déplacement vertical du point M. Deuxième étude : On bloque le déplacement vertical du point M. Évaluer l action de liaison en M et la contrainte σ xx en B. Modélisation : Ajouter un point à mailler en M. Discrétiser la structure en 600 triangles à 6 nœuds. Problème : contraintes planes.

19 Élasticité 15 Posons : T = T BC T AD H Première étude : Référence : Le déplacement vertical du point M est égal à : v M = 1 2 α T L2 = mm Solution éléments finis : v M = mm Deuxième étude : Référence : L action de liaison en M est solution de l équation : ( L 3 F ym + L ) 1 3 EI z GA k y 2 α T L2 = 0 avec I z = t H3 E, A = t H, G =, k y = (1 + ν) 6 d où F ym = N La contrainte σ xx en B est alors égale à : σ xx = L F ym I z H 2 = MPa Solution éléments finis : F ym = N σ xx = MPa

20 Chapitre 2 Flexion des plaques PLA 1 : Flexion d une plaque circulaire et encastrée sur son contour Référence : solution analytique. Considérons une plaque circulaire de rayon R, d épaisseur t, encastrée sur son contour. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau. Le cisaillement transversal est négligé (hypothèse de Kirchhoff). On donne : R = 1 m, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.3 Cas de charge 1 : la plaque porte en son centre une force d intensité P = 5000 N. Cas de charge 2 : la plaque porte sur toute sa surface une force uniformément répartie d intensité q = MPa par unité de surface. Modélisation et calcul : Le problème étant symétrique par rapport aux plans x = 0 et y = 0, il suffit de modéliser le quart OAB de la pièce. Lancer le module Dessin et maillage Fichier

21 Flexion des plaques 17 Bibliothèque Structure 40 avec : x O = y O = 0, R = 1000 mm (sans sous-domaines) Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 400 Modifier localement la taille des éléments 5 en O Discrétiser la structure triangles à 3 nœuds Fichier Flexion des plaques Matériau Module de Young = MPa, coefficient de Poisson = 0.3 Épaisseur L épaisseur est égale à 10 mm Liaisons Symétrie par rapport aux plans x = 0 et y = 0 La plaque est encastrée sur l arc Cas de charges Le point O porte la charge 1250 N (le quart de la plaque porte le quart de la charge) Cas de charges Ajouter un cas de charges La plaque porte sur toute sa surface la charge MPa Calculer Paramètres Le cisaillement transverse est négligé : modèle de Kirchhoff Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Posons : D = E t 3 12 (1 ν 2 ) Cas de charge 1 : Référence : M xx (A) = P 4 π w(o) = P R2 16 π D, M yy (A) = ν P, M xx (O) = M yy (O) = 4 π

22 18 RDM Éléments finis On obtient : Théorie (Kirchhoff) Éléments finis (DKT) w(o) mm mm M xx (A) 398 N 402 N M yy (A) 119 N 121 N M xx (O) 2971 N M yy (O) 2957 N Cas de charge 2 : Référence : On obtient : M xx (A) = q R2 8 w(o) = q P R4 64 D, M yy (A) = ν q R2 8 M xx (O) = M yy (O) = q R2 (1 + ν) 16 Référence Éléments finis (DKT) w(o) mm mm M xx (A) N 126,28 N M yy (A) N 37,87 N M xx (O) N N M yy (O) N N Remarque : si le cisaillement transversal est pris en compte (modèle de Mindlin), la flèche au centre est égale à : ( ) ) t 2 w = w K ( R où w K est la solution de Kirchhoff. On obtient pour w/w K : t en mm Référence Éléments finis (DST)

23 Flexion des plaques 19 PLA 2 : Vibrations de flexion d une plaque mince, carrée et encastrée sur un côté Référence : R.D. Blevins, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, page 254. Considérons une plaque carrée de côté L, d épaisseur t, encastrée sur l un de ses côtés. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique. On donne : L = 1 m, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.3 ρ = 8000 kg m 3 Le cisaillement transversal est négligé (hypothèse de Kirchhoff). Problème : étude des 6 premiers modes propres de la plaque. Modélisation et calcul : Lancer le module Dessin et maillage Fichier Bibliothèque Structure 1, x O = y O = 0, L = H = 1000, pas de sous-domaines Mailler par blocs La structure est discrétisée en 10 x 10 quadrangles à 4 nœuds Fichier Flexion des plaques Matériau Module de Young = MPa Coefficient de Poisson = 0.3 Masse volumique = 8000 kg m 3 Épaisseur t = 10 mm

24 20 RDM Éléments finis Liaisons Encastrement sur un côté Calculer Paramètres Le cisaillement transversal est négligé (éléments DKQ) Calculer Analyse dynamique 6 modes propres, méthode : itération sur sous-espace Enregistrer les données et lancer le calcul Référence : où n est le numéro du mode. Et ω n = B 2 n 12 ρ (1 ν 2 ) n B n Solution éléments finis : pulsations en radians/seconde : Mode Référence 3 x 3 DKQ 5 x 5 DKQ 10 x 10 DKQ 30 x 30 DKQ

25 Flexion des plaques 21 PLA 3 : Vibrations de flexion d une plaque mince, carrée et libre Référence : R.D. Blevins, Formula for natural frequency and mode shape, Krieger, 1993, p Considérons une plaque carrée de côté L, d épaisseur t. Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique. On donne : L = 1 m, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.3, ρ = 7800 kg m 3 Le cisaillement transversal est négligé (hypothèse de Kirchhoff). Problème : étudier les 6 premiers modes propres élastiques de la plaque. Modélisation : Discrétiser la structure en quadrangles (maillage par blocs) Calcul : Introduire un décalage spectral égal à 10 Hz (il y a 3 modes rigides) Référence : avec f i = λ2 i 2 π a 2 Et 2 12 ρ (1 ν 2 ) λ i = 13.49, 19.79, 24.43, 35.02, 35.02, 61.53

26 22 RDM Éléments finis On obtient (fréquences en Hz) : Mode Référence 3 x 3 DKQ 5 x 5 DKQ 10 x 10 DKQ 30 x 30 DKQ

27 Flexion des plaques 23 PLA 4 : Plaque ou poutre Référence : théorie des poutres. Considérons la poutre AB de longueur 4 L et de section droite rectangulaire représentée sur la figure. Cette poutre est modélisée comme une plaque. Le cisaillement transversal est négligé (hypothèse de Kirchhoff). Soient E et ν les caractéristiques élastiques du matériau et ρ sa masse volumique. La plaque est encastrée en x = 0 et repose sur un appui simple en x = 3 L. On donne : L = 100 mm, d = 30 mm, t = 10 mm E = MPa, ν = 0.3, ρ = 8000 kg/m 3 Charges : Cas de charge 1 : la plaque porte le long de la ligne x = 4 L une force verticale d intensité p = 10 N/mm. Cas de charge 2 : la plaque porte le long de la ligne x = 4 L un couple d intensité c = 100 N. Cas de charge 3 : la plaque porte sur toute sa surface une force d intensité q = 0.1 N/mm 2. Cas de charge 4 : la plaque est soumise à son poids propre (g = 10 m/s 2 ).

28 24 RDM Éléments finis Modélisation : Ajouter un point à mailler en B. Discrétiser la structure en 600 triangles à 3 nœuds. Référence (théorie des poutres) : Le moment quadratique de la poutre par rapport à y est égal à : I y = d t3 12 = 2500 mm4. Cas de charge 1 : Cas de charge 1 : Cas de charge 1 : Cas de charge 1 : w B = w B = w B = 13 p d L3 12 EI y = mm 5 c d L2 4 EI y = mm 3 q d L4 48 EI y = mm Solution éléments finis (plaque) : Cas de charge 1 : w B = mm Cas de charge 1 : w B = mm Cas de charge 1 : w B = mm Cas de charge 1 : w B = mm w B = 3 ρ g h d L4 48 EI y = mm

29 Chapitre 3 Section droite : caractéristiques et contraintes SEC 1 : Triangle équilatéral Référence : solution analytique. Géométrie : triangle équilatéral de côté c = 10 mm Force intérieure : moment de torsion M x = 1000 N.mm Modélisation et calcul : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin et maillage Nouvelle étude Cadre de travail : origine = (0, 0), longueur = 20, hauteur = 20 Point Point O = (0, 0) mm Point A = (10, 0) mm Le point B est défini par ses coordonnées polaires (O, 60, 10 mm) Segment Dessiner le triangle

30 26 RDM Éléments finis Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 200 Discrétiser la structure triangles à 6 nœuds Fichier Section droite Calculer Analyse statique Enregistrer les données et lancer le calcul Référence : Centre de gravité G : Constante de torsion de Saint Venant : x G = 1 2 c, y G = 3 6 c Contrainte de cisaillement maximale : J = 3 80 c4 Solution éléments finis : τ max = 20 M x c 3 Référence RDM Éléments finis x G 5 mm 5 mm y G mm mm J mm mm 4 τ max MPa MPa

31 Chapitre 4 Thermique 4.1 Problèmes stationnaires TS L 1 : Températures imposées Référence : Guide de validation des progiciels de calcul de structures, AFNOR, 1990, page 276. Géométrie : AF = EF = 800 mm BC = CD = 400 mm épaisseur = 1 mm Propriété du matériau : coefficient de conductivité = 1 W/(m.K) Conditions aux limites : segment AF : température T AF = 10 C segment DE : température T DE = 0 C

32 28 RDM Éléments finis Modélisation : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin-Maillage Fichier Bibliothèque Structure 50 : x O = y O = 0, L = H = 800, a = b = 400 Points Ajouter un point au milieu de EF Points à mailler Transformer le point G en point à mailler Mailler (Delaunay) Nombre d élements 400 Discrétiser la structure en triangles à 6 nœuds Fichier Élasticité/Thermique Problème : Thermique problème plan Matériau Coefficient de conduction : 1 W/(m.K) Épaisseur Épaisseur : 1 mm Charges thermiques Température imposée : T AF = 10 C Température imposée : T DE = 0 C Calculer Enregistrer les données et lancer le calcul Températures obtenues (en C) : Référence RDM Éléments finis T C T B T G

33 Thermique TS L 2 : Convection Référence : solution analytique. Géométrie : Cylindre creux d axe z : R i = 100 mm, R m = 250 mm, R e = 300 mm, H = 20 mm Conductivité thermique : Matériau [1] coefficient de conductivité : λ 1 = 100 W/(m.K) Matériau [2] coefficient de conductivité : λ 2 = 50 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face intérieure : coefficient h i = 120 W/(m 2.K), température du fluide T fi = 100 C Convection sur la face extérieure : coefficient h e = 50 W/(m 2.K), température du fluide T fe = 20 C Modélisation : Les étapes de la modélisation sont : Lancer le module Dessin-Maillage Fichier Nouvelle étude Ébauche Cadre de travail (en mm) : origine x O = y O = 0, longueur = 300, hauteur = 20 Horizontale Ajouter deux droites horizontales à y = 0 et y = 20 Verticale Ajouter trois droites verticales à x = 100, x = 250 et x = 300 Fin ébauche Modifier le trait du segment intérieur Trait plein trait pointillé

34 30 RDM Éléments finis Mailler (Delaunay) Nombre d éléments 300 Discrétiser la structure en triangles à 6 nœuds Fichier Élasticité/Thermique Analyse thermique problème axisymétrique Matériaux Créer le deuxième groupe de matériau : modifier la couleur courante et attribuer cette couleur à l un des sous-domaines Définir le matériau 1 : coefficient de conductivié = 100 W/(m.K) Définir le matériau 2 : coefficient de conductivié = 50 W/(m.K) Charges thermiques Convection sur la face intérieure : coefficient de convection = 120 W/(m 2.K) température du fluide = 100 C Convection sur la face extérieure : coefficient de convection = 50 W/(m 2.K) température du fluide = 20 C Calculer Enregistrer les données et lancer le calcul Les températures T i, T m et T e sont les solutions de l équation : k 1 + R i h i k 1 0 T i R i h i T fi k 1 k 1 + k 2 k 2 T m = 0 0 k 2 k 2 + R e h e T e R e h e T fe avec : k 1 = λ 1 ln R, k 2 = m ln R e R i R m Les densités de flux ϕ ri et ϕ rm et ϕ re sur les faces i, m et e dans la direction r sont : λ 2 On obtient : ϕ ri = h i (T fi T i ), ϕ rm = k 1 R m (T i T m ), ϕ re = h e (T e T fe ) Référence RDM Éléments finis T i C C T m C C T e C C ϕ ri W/m W/m 2 ϕ rm W/m W/m 2 ϕ re W/m W/m 2

35 Thermique TS L 3 : Températures imposées facteur de forme Référence : B. Eyglunent, Manuel de thermique,hermès, 2000, page 117. Géométrie : Cylindres d axes parallèles, de longueur L, de rayon R e et R i et excentrés de h. On donne : R e = 200 mm, R i = 50 mm h = 100 mm, L = 1000 mm Conductivité thermique : λ = 50 W/(m.K) Conditions aux limites : Face extérieure : T e = 0 C Face intérieure : T i = 100 C Modélisation : Densifier le maillage le long du cercle intérieur (coefficient = 5). Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds à bords curvilignes Problème thermique plan : épaisseur = L Les flux thermiques Φ i et Φ e sur les faces intérieure et extérieure sont : Φ i = Φ e = K λ ( T i T e ) où K = 2 π L cosh 1 ( R 2 e + R 2 i h2 2 R e R i ) est le facteur de forme (il s exprime en m). Rappel : cosh 1 (x) = arg cosh(x). On obtient : Référence RDM Éléments finis Φ i W W Φ e W W K m m, m

36 32 RDM Éléments finis TS L 4 : Convection et source volumique Référence : solution analytique. La structure plane représentée sur la figure est constituée de trois domaines : [1], [2] et [3]. On donne : L 1 = 50 mm, L 2 = 300 mm, L 3 = 40 mm H = 20 mm épaisseur : t = 10 mm Conductivité thermique : Domaine [1] : λ 1 = 1 W/(m.K) Domaine [2] : λ 2 = 3 W/(m.K) Domaine [3] : λ 3 = 10 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face A : coefficient h A = 120 W/(m 2.K), température du fluide T fa = 30 C Convection sur la face D : coefficient h D = 200 W/(m 2.K), température du fluide T fd = 10 C Source volumique dans le domaine [2] : q = 3000 W/m 3 Modélisation : Mailler la structure en 400 triangles à 6 nœuds.

37 Thermique 33 Les températures T A, T B, T C et T D sont les solutions de l équation : k 1 + h A k T A h A T Ae k 1 k 1 + k 2 k 2 0 T B q L 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 = 2 /2 T C q L 2 /2 0 0 k 3 k 3 + h D T D h D T De Dans le domaine [2], la température est égale à : avec k i = λ i L i T (ξ) = T B (1 ξ) + T C ξ + ql2 2 2 λ 2 ξ (1 ξ) où ξ = x L 1 L 2 La température est maximale dans le domaine [2] à l abscisse x m égale à : Soit ϕ x la densité de flux suivant l axe x. On obtient : x m = L 1 + L λ 2 ql 2 (T C T B ) Référence RDM Éléments finis T A C C T B C C T C C C T D C C ϕ xa = ϕ xb W/m W/m 2 ϕ xc = ϕ xd W/m W/m 2 Température maximale C à x = mm C à x = mm

38 34 RDM Éléments finis TS L 5 : Convection et source volumique Référence : solution analytique. Géométrie : cylindre plein d axe z : Rayon : R = 40 mm Hauteur : H = 10 mm Conductivité thermique : λ = 200 W/(m.K) Conditions aux limites : Source volumique d intensité : q = W/m 3 Convection sur la face E : coefficient : h = 20 W/(m 2.K), température du fluide : T f = 20 C Modélisation : mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds. La densité de flux ϕ E sur la face extérieure du cylindre est égale à : ϕ E = q R 2 = h (T f T E ) Les températures T E et T O à l extérieur et au centre du cylindre sont respectivement égales à : On obtient : T E = T f + qr 2 h, T O = T E + qr2 4 λ Référence RDM Éléments finis T O C C T E C C ϕ E W/m W/m 2

39 Thermique TS L 6 : Températures imposées et source volumique Référence : solution analytique. Géométrie : rectangle : Longueur : L = 100 mm Hauteur : H = 10 mm Épaisseur t = 10 mm Conductivité thermique : λ=20 W/(m.K) Conditions aux limites : Source volumique d intensité : q = W/m 3 Température imposée sur la face O : T O = 10 C Température imposée sur la face E : T E = 30 C Modélisation : mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds. Le champ de températures T (x) et la densité de flux ϕ x (x) ont pour expression : T (x) = T O + x L (T E T O ) + q x (L x) 2 λ ϕ x (x) = λ ( L (T O T E ) + q x L ) 2 d où : ϕ O = ϕ x (0) = λ L (T O T E ) q L 2 La température est maximale à l abscisse : On obtient :, ϕ E = ϕ x (L) = λ L (T E T O ) q L 2 x = L 2 + λ q L (T E T O ) Référence RDM Éléments finis Température maximale C à x = mm C à x = mm ϕ O W/m W/m 2 ϕ E 6000 W/m W/m 2

40 36 RDM Éléments finis TS L 7 : Température imposée et convection Les dimensions sont en mm. Conductivité thermique : λ = 200 W/(m.K) Conditions aux limites : Température imposée sur la paroi intérieure : T = 500 K Convection sur la paroi extérieure (entre A et B) : h = 50 W/(m 2.K), T f = 300 K Modélisation : Discrétiser la structure en 1000 triangles à 6 nœuds. Problème de révolution d axe z La température minimale dans les ailettes est : 490 K. Le flux de chaleur qui traverse le mur est égal à W (commande Flux entrant) d où le flux moyen par unité de surface : = W/m2 2 π

41 Thermique TS L 8 : Convection Référence : Y. A. Cengel, Heat transfer A practical approach, McGraw-Hill, 1988, pages Les dimensions sont en mm. Conductivités thermiques : Brique : λ = 0.72 W/(m.K) Plâtre : λ = 0.22 W/(m.K) Isolant : λ = W/(m.K) Charges thermiques : Convection sur la paroi extérieure : h = 25 W/(m 2.K), T f = 10 C Convection sur la paroi intérieure : h = 10 W/(m 2.K), T f = 20 C Modélisation : Discrétiser la structure en 1000 triangles à 6 nœuds. Problème plan : épaisseur = 1000 mm Le flux de chaleur qui traverse le mur est égal à 4.43 W (commande Flux entrant) d où le flux moyen par unité de surface : = W/m2 (référence : 17.5 W/m 2 )

42 38 RDM Éléments finis TS NL 1 : Convection et rayonnement Référence : solution analytique. Géométrie : Rectangle : Longueur : L = 300 mm Hauteur : H = 50 mm Épaisseur : t = 20 mm Conductivité thermique : λ = 1 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face 1 : coefficient : h = 30 W/(m 2.K), température du fluide T f = 20 C Rayonnement sur la face 2 : émissivité : ε = 0.8, température extérieure T = 500 C Modélisation : mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds. Soient ϕ 1 et ϕ 2 les densités de flux sur les faces 1 et 2. Les températures T 1 et T 2 (exprimées en Kelvin) sur les faces 1 et 2 sont les solutions de l équation : { ϕ1 ϕ 2 } = C [ ] { } T1 = T 2 { } h (Tf T 1 ) ε σ (T 4 T2 4) avec C = λ L Cette équation est résolue numériquement par la méthode de Newton-Raphson. La matrice tangente de cette équation est : [ ] [ ] 1 1 h 0 [K t ] = C ε σ T2 3 On obtient : Référence RDM Éléments finis T C C T C C ϕ 1 = ϕ W/m W/m 2

43 Thermique TS NL 2 : Convection et rayonnement Référence : solution analytique. Géométrie : cylindre creux d axe z Rayon intérieur : R 1 = 200 mm Rayon extérieur : R 2 = 400 mm Hauteur : H = 10 mm Conductivité thermique : λ = 40 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face 1 : coefficient : h = 120 W/(m 2.K), température du fluide T f = 20 C Rayonnement sur la face 2 : émissivité : ε = 0.6, température extérieure T = 500 C Modélisation : mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds. Soient ϕ 1 et ϕ 2 les densités de flux sur les faces 1 et 2. Les températures T 1 et T 2 (exprimées en Kelvin) sur les faces 1 et 2 sont les solutions de l équation : { } R1 ϕ 1 = C R 2 ϕ 2 [ ] { } T1 = T 2 { } R1 h (T f T 1 ) R 2 ε σ (T 4 T2 4) avec C = λ ln R 2 R 1 Cette équation est résolue numériquement par la méthode de Newton-Raphson. La matrice tangente de cette équation est : [ ] [ ] 1 1 R1 h 0 [K t ] = C R 2 ε σ T2 3 On obtient : Référence RDM Éléments finis T C C T C C ϕ W/m W/m 2 ϕ W/m W/m 2

44 40 RDM Éléments finis TS NL 3 : Convection et rayonnement Référence : solution analytique. Géométrie : sphère creuse Rayon intérieur : R 1 = 300 mm Rayon extérieur : R 2 = 400 mm Conductivité thermique : λ = 40 W/(m.K) Conditions aux limites : Convection sur la face 1 : coefficient : h = 140 W/(m 2.K), température du fluide T f = 20 C Rayonnement sur la face 2 : émissivité : ε = 0.6, température extérieure T = 500 C Modélisation : modéliser la moitié d une section méridienne de la sphère puis discrétiser la structure en 300 triangles à 6 nœuds à bords curvilignes. Soient ϕ 1 et ϕ 2 les densités de flux sur les faces 1 et 2. Les températures T 1 et T 2 (exprimées en Kelvin) sur les faces 1 et 2 sont les solutions de l équation : { } [ ] { } { } R 2 1 ϕ T1 R 2 R2 2 ϕ = C = 1 h (T f T 1 ) λ T 2 R2 2 ε σ (T 4 T2 4 avec C = 1 1 R 1 R 2 Cette équation est résolue numériquement par la méthode de Newton-Raphson. La matrice tangente de cette équation est : [ ] [ ] 1 1 R 2 [K t ] = C + 1 h R2 2 ε σ T 2 3 On obtient : Référence RDM Éléments finis T C C T C C ϕ W/m W/m 2 ϕ W/m W/m 2

45 Thermique Problèmes transitoires TT L 1 : Plaque soumise à un choc thermique Référence : solution analytique. Géométrie : rectangle Longueur : 2 L = 50 mm Hauteur : H = 2 mm Épaisseur : t = 1 mm Matériau : Conductivité : λ = 50 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 7800 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 450 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Température imposée sur les faces 1 et 2 : T 1 = T 2 = T e = 100 C Modélisation : Ajouter un point à mailler au centre de la pièce et à x = mm Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds Durée du chargement = 60 s nombre de pas de temps = 60 α = 0.667

46 42 RDM Éléments finis Le champ de températures est égal à : T (x; t) T e T 0 T e = n=1,3,5,... C n cos(ω n x) exp( ω 2 n a t) où : a = λ, ω n = n π ρ c P 2 L, C n = 4 n π sin n π 2 La température (en C) au centre est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis La température (en C) à x = mm est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis

47 Thermique TT L 2 : Plaque et convection Référence : solution analytique. Géométrie : rectangle Longueur : 2 L = 200 mm Hauteur : H = 5 mm Épaisseur : t = 1 mm Matériau : Conductivité : λ = 50 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 7800 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 450 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Convection sur les faces 1 et 2 : coefficient h = 200 W/(m 2.K), température du fluide T f = 500 C Modélisation : Ajouter un point à mailler au centre de la plaque Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds Durée du chargement = 26 min 40 s nombre de pas de temps = 120 α = 0.667

48 44 RDM Éléments finis Le champ de températures est égal à : T (x; t) T f T 0 T f = n=1,2,3,... C n cos(ω n x) exp( ω 2 n a t) où : a = λ ρ c P, C n = 2 sin ξ n, ω n = ξ n ξ n + sin ξ n cos ξ n L Les coefficients ξ n sont les solutions de l équation : ξ n tan ξ n = h L λ On obtient : Température (en C) au centre de la plaque : Temps (s) Référence RDM Éléments finis Température (en C) à la surface de la plaque : Temps (s) Référence RDM Éléments finis

49 Thermique TT L 3 : Sphère et convection Référence : solution analytique. Géométrie : Sphère pleine de rayon : R = 40 mm Matériau : Conductivité : λ = 50 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 7800 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 450 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = (x, 0) = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Convection sur la face extérieure : coefficient : h = 200 W/(m 2.K), température du fluide : T f = 1000 C Modélisation : Modéliser la moitié d une section méridienne de la sphère Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds à bords curvilignes Durée du chargement = 6 min 40 s Nombre de pas de temps = 120 α = 0.667

50 46 RDM Éléments finis Le champ de températures est égal à : T (r; t) T f T 0 T f = n=1,2,3,... C n sin(ω n r) ω n r exp( ω 2 n a t) où : a = Les coefficients ξ n sont les solutions de l équation : λ, C n = 2 sin ξ n ξ n cos ξ n, ω n = ξ n ρ c P ξ n sin ξ n cos ξ n R 1 ξ n tg ξ n = h R λ On obtient : Température (en C) au centre de la sphère : Temps (s) Référence RDM Éléments finis Température (en C) à la surface de la sphère : Temps (s) Référence RDM Éléments finis

51 Thermique TT L 4 : Milieu semi-infini et convection Référence : solution analytique. Géométrie : rectangle Longueur : L = 250 mm Hauteur : H = 5 mm Épaisseur : t = 1 mm Matériau : Conductivité : λ = 50 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 7800 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 450 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Convection sur la face 1 : coefficient h = 100 W/(m 2.K), température du fluide T f = 500 C Modélisation : Ajouter un point à mailler à x = 50 mm Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds Durée du chargement = 2 min Nombre de pas de temps = 120 α = 0.667

52 48 RDM Éléments finis Le champ de températures est égal à : T (x; t) T f T 0 T f = erfc (u) erfc (u + v) e h x λ e v 2 où : où est la fonction erreur. a = λ, u = x ρ c P 2 a t erfc (u) = 1 erf (u) erf (u) = 2 u e ξ2 dξ π 0, v = h a t λ Au bout de deux minutes la température sur la face 2 est égale à C, ce qui valide l hypothèse milieu semi-infini. La température (en C) sur la face 1 est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis La température (en C) à x = 50 mm est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis

53 Thermique TT NL 1 : Radiation et source de chaleur volumique Référence : solution analytique (hypothèse isotherme). Géométrie : rectangle Longueur : L = 20 mm Hauteur : H = 2 mm Épaisseur : t = 1 mm Matériau : Conductivité : λ = 800 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 8000 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 450 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Rayonnement sur les faces 1 et 2 : émissivité : ε = 0.8, température extérieure T = 500 C Source de chaleur volumique : q = W/m 3 dans toute la structure Modélisation : Ajouter un point à mailler à au centre du rectangle Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds Durée du chargement = 33 min 20 s (2000 s) Nombre de pas de temps = 100 α = 0.667

54 50 RDM Éléments finis La température T (t) supposée constante dans toute la structure est solution de l équation : avec : T (0) = T 0. ρ L c P dt dt = q L + 2 ε σ (T 4 T 4 ) Cette équation est résolue numériquement : entre les instants t s et t s+1, on est amené à résoudre le problème non linéaire : C T t = F ( T ) avec : C = ρ L c P, F = q L + 2 ε σ (T 4 T 4 ) t = t s+1 t s, T = T s+1 T s, T = T s + α T Ce problème est résolu de manière itérative par la méthode de substitution : C T i = t F ( T i 1 ) avec les paramètres suivants : pas de temps = 1 s, α = La température (en C) dans la structure est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis RDM Éléments finis (faces 1 et 2) (centre)

55 Thermique TT NL 2 : Convection et radiation Référence : solution analytique (hypothèse isotherme). Géométrie : cylindre plein d axe z : Longueur : R = 10 mm Hauteur : H = 1 mm Matériau : Conductivité : λ = 800 W/(m.K) Masse volumique : ρ = 8000 kg/m 3 Capacité thermique massique : c P = 400 J/(kg.K) Condition initiale : La température est uniforme dans la structure et égale à : T 0 = 20 C Remarque : il suffit d imposer cette température en un point Conditions aux limites : Rayonnement sur la face extérieure : émissivité : ε = 0.8, température extérieure T = 500 C Convection sur la face extérieure : coefficient h = 100 W/(m 2.K), température du fluide T f = 60 C Modélisation : Mailler la structure en 300 triangles à 6 nœuds Durée du chargement = 1000 s Nombre de pas de temps = 100 α = 0.667

56 52 RDM Éléments finis La température T (t) supposée constante dans toute la structure est solution de l équation : avec : T (0) = T 0. ρ R c P dt dt = 2 h (T f T ) + 2 ε σ (T 4 T 4 ) Cette équation est résolue numériquement : entre les instants t s et t s+1, on est amené à résoudre le problème non linéaire : C T t = F ( T ) avec : C = ρ R c P, F = 2 h (T f T ) + 2 ε σ (T 4 T 4 ) t = t s+1 t s, T = T s+1 T s, T = T s + α T Ce problème est résolu de manière itérative par la méthode de substitution : C T i = t F ( T i 1 ) avec les paramètres suivants : pas de temps = 1 s, α = La température (en C) dans la structure est égale à : Temps (s) Référence RDM Éléments finis RDM Éléments finis (face E) (centre)