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1 ATELIER La loi de la gravitation appliquée a la détection des plan etes extrasolaires Caroline Terque Ao^ut 2006 Plusieurs techniques sont utilisées pour ettre en évidence la présence d'une plan ete autour d'une étoile située loin de notre syst ee solaire. Sauf dans des cas tr es particuliers, les plan etes ne sont pas vues directeent, c'est a dire que la lui ere qu'elleséettent (et qu'elles réfléchissent de l'étoile autour de laquelle elles tournent) n'est pas détectable par les techniques actuelleent utilisées. Les astrophysiciens ont donc recours a deséthodes dites indirectes, pari lesquelles celle des vitesses radiales et celle des transits, que nous allons présenter ici en détail. Au cours de cet atelier, nous allons suivre la déarche de l'astrophysicien qui, a partir d'un jeu de données obtenues en observant une étoile, déduit les caractéristiques de la plan ete en orbite autour de cette étoile. A Méthode des vitesses radiales A.1 Question préliinaire: La force exercée par le Soleil sur la Terre pointe" de la Terre vers le Soleil (voir schéa ci contre). La Terre est donc attirée par le Soleil. Coent expliquer, dans ces conditions, que la Terre ne tobe" pas sur le Soleil, ais que sa trajectoire soit approxiativeent un cercle centré sur le Soleil? On rappelle que selon la loi de Newton, l'accélération ~a d'un objet de asse M est donnée par M~a = F ~, o u F ~ est la force qui s'exerce sur l'objet. Si la vitesse de l'objet change de ~v pendant le teps t, alors on peut aussi écrire de faοcon approchée M( ~v= t) = F ~. Soleil Terre F orbite de la Terre 1

2 A.2 Mouveents dans un syst ee binaire de deux étoiles de ^ee asse: On a coutue de dire que la Terre tourne autour du Soleil... Iaginons cependant un syst ee constitué dedeuxétoiles ayant des asses identiques M. Y a t il une raison pour que l'une des étoiles tourne autour de l'autre plut^ot que l'inverse? En fait, chacune des étoiles tourne autour du centre de asse du syst ee (situé ici exacteent entre les deux étoiles). Nous supposerons que les trajectoires sont circulaires (d'une ani ere générale, les trajectoires sont des ellipses). Représenter la trajectoire de chacune des étoiles, et leur position a un instant quelconque. Coent est orientée la vitesse des étoiles? A.3 Mouveents dans un syst ee binaire de deux étoiles de asses différentes: Supposons aintenant que les étoiles ont des asses différentes, M 1 et M 2 avec M 1 <M 2.!! On rappelle que le centre de asse O du syst ee est tel que M 1 OA1 + M 2 OA2 = ~0, o u A 1 et A 2 désignent les positions des étoiles. Que deviennent les trajectoires? Donner la relation qui existe entre leurs rayons respectifs R 1 et R 2 et les asses M 1 et M 2. Représenter les trajectoires, ainsi que la position des étoiles a un instant quelconque. Coparer les teps de révolution (ou périodes) des étoiles. La vitesse des étoiles le long de leur trajectoire est unifore. Donner la relation qui existe entre la nore de la vitesse, le rayon de la trajectoire et la période de révolution pour chacune des étoiles. Le cas d'une plan ete en orbite autour d'une étoile correspond a la liite o u M 1 est tr es petite coparée a M 2. Pourquoi dit on dans ce cas l a, de ani ere un peu abusive, que la plan ete tourne autour de l'étoile? A.4 Syst ee étoile plan ete: On note la asse de la plan ete, M celle de l'étoile, a le rayon de la trajectoire de la plan ete et a? celui de la trajectoire de l'étoile. (On se liite ici au cas de trajectoires circulaires.) 2

3 On définit un syst ee d'axes de référence (Ox; Oy) o u O représente le centre de asse du syst ee étoile plan ete. La position A de l'étoile sur son orbite est repérée par le rayon a? et l'angle (voir figure ci contre). L'axe Ox est choisi de sorte qu'il co ncide avec la ligne de visée, qui est la direction dans laquelle se trouve l'observateur. Donner la projection v r de la vitesse de l'étoile le long de la ligne de visée en fonction de, a? et de la période T du ouveent. Cette coposante de la vitesse est dite vitesse radiale. y A (etoile) a * θ x O Observateur Dans p le cas o u est tr es petite coparée a M, la troisi ee loi de Kepler donne T ' 2ß a 3 =(GM), o u G est la constante universelle de la gravitation. En déduire v r en fonction de, a, M et. Si la ligne de visée n'est pas dans le plan de l'orbite, ais fait un angle i avec la perpendiculaire a ce plan, coent est odifiée cette expression de v r? A.5 Interprétation des observations: Dans son ouveent le long de son orbite, l'étoile tant^ot se rapproche, tant^ot s'éloigne de l'observateur (voir schéa ci contre). Du fait de l'effet Doppler, les raies spectrales qui nous parviennent del'étoile ( a travers un spectro etre) sont en conséquence tant^ot décalées vers le bleu (longueurs d'onde plus courtes), tant^ot décalées vers le rouge (longueurs d'onde plus grandes). Plus préciséent, si et 0 sont respectiveent les longueurs d'onde propre et esurée par l'observateur, on a ( 0 )= = v r =c, o u v r est la vitesse de la source en direction de l'observateur (c'est a dire projetée sur sa ligne de visée) et c est la vitesse de la lui ere (on a supposé ici que v r était tr es petite coparée a c). Si la source se rapproche de l'observateur, v r > 0 et donc 0 <. Dans le cas contraire, 0 >. C'est la esure de ce décalage spectral, appelé effet Doppler, qui peret a l'observateur de déduire la présence de la plan ete. 3

4 Le graphe ci dessous représente la vitesse radiale de l'étoile Pegasi 51 ainsi esurée. Les données couvrent une période d'un ois a partir du 12 octobre 1995, et ont été obtenues a l'observatoire Lick en Californie par G. Marcy et P. Butler (les points représentent les observations, et la ligne en trait plein est un ajusteent théorique): En utilisant l'expression de v r obtenue ci dessus, expliquer pourquoi la courbe est périodique. Mesurer la période. La asse de l'étoile Pegasi 51 est connue, et vaut environ 1 asse solaire. Calculer a a partir de la période. Déduire finaleent delaforule obtenue ci dessus pour v r la asse projetée sin i. Et voil a, c'est ainsi que Michel Mayor et Didier Queloz, de l'observatoire de Gen eve, ont découvert la prei ere plan ete extrasolaire en orbite autour d'une étoile seblable au Soleil! 4

5 A.6 Type de plan etes pouvant ^etre détectées par la éthode des vitesses radiales: Le graphe ci dessous représente la asse des plan etes (en unité de asse de Jupiter) en fonction du dei grand axe de leur orbite (en unité astronoique) pour les 188 plan etes détectées a ce jour (fin juillet 2006) par la éthode des vitesses radiales (les échelles sont logarithiques): Pourquoi n'y a t il pas de points en bas a droite" du graphe, c'est a dire de plan etes de faible asse éloignées de l'étoile? (Le calcul de v r ci dessus a été fait pour une orbite circulaire, ais il est facile de voir que certaines conclusions restent valables pour des orbites elliptiques). 5

6 B Méthode des transits Le passage répété d'une plan ete devant son étoile parente provoque une diinution périodique du flux reοcu de l'étoile si le syst ee est observé sous un angle adéquat, c'est a dire si la plan ete traverse la ligne de visée de l'observateur. Ce processus est illustré sur la figure ci dessous: B.1 Probabilité de détecter un transit: On peut ontrer que la probabilité dedétecter un transit vaut R? =a, o u R? est le rayon de l'étoile et a le rayon (ou dei grand axe pour une orbite elliptique) de l'orbite de la plan ete. En 1999, une dizaine de plan etes avec a = 0:05 unité astronoique avait été détectées par la éthode des vitesses radiales autour d'étoiles de type solaire. Est-ce surprenant qu'un transit ait été détecté cette année l a? B.2 Caractéristiques de la plan ete esurées lors d'un transit: L'énergie éise parlasurfacede l'étoile par unité de teps est appelée flux et est notée F?. Lorsque la plan ete passe devant l'étoile, le flux diinue de F?. Donner l'expression de F? =F? en fonction des rayons de l'étoile et de la plan ete. Quelles sont les caractéristiques de la plan ete qui peuvent ^etre esurées lors d'un transit? Quelle est la grandeur al contrainte par la éthode des vitesses radiales qui peut ^etre précisée ici? 6

7 B.3 Interprétation des observations: Le graphe ci dessous représente la courbe de lui ere de l'étoile HD obtenue au printeps 2000 par le Télescope Spatial Hubble. Le transit avait déj a été observé depuis le solennovebre 1999 par D. Charbonneau et collaborateurs. Les esures correspondant a quatre transits sont en fait reportées sur ce graphe: Une plan ete autour de HD a d'autre part été détectée parlaéthode des vitesses radiales, qui donne a =0:045 unité astronoique et sin i =0:66 asse de Jupiter. La asse et le rayon de l'étoile sont 1.03 asse solaire et 1.15 rayon solaire respectiveent. Déduire de la courbe de transit le rayon de la plan ete. Quelle est la densité de asse oyenne de la plan ete? Que peut on en conclure quant a la nature de cette plan ete? (Pour coparaison, la oins dense des plan etes du syst ee solaire, Saturne, a une densité d'environ 700 kg 3,inférieure a celle de l'eau!). 7

8 B.4 Eclipse secondaire: Le graphe ci dessous représente la courbe de lui ere dans l'infra rouge de l'étoile TrES 1, autour de laquelle gravite une plan ete, obtenue par D. Charbonneau et collaborateurs avec le télescope spatial Spitzer: La diinution du flux apparente sur ces courbes se produit lorsque la plan ete passe derri ere l'étoile, non l'inverse. Pourquoi? Quelques données: Constante de la gravitation: G =6: N 2 kg 2 Vitesse de la lui ere: c =3: s 1 Unité astronoique (distance Terre Soleil): 1ua=1: Parsec: 1pc=3: Année lui ere: 1al=9: Masse du Soleil: 1Mfi =1: kg Rayon du Soleil: 1Rfi =6: Masse de Jupiter: 1M J =1: kg Rayon de Jupiter: 1R J =7: Masse de Saturne: 1M S =5: kg Masse de la Terre: 1MΦ =5: kg Rayon de la Terre: 1RΦ =6:

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