Chapitre 3: Mouvement d'une particule soumise à une force centrale. Gravitation

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1 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 4 Chapite : Mouveent d'une paticule souise à une foce centale. Gavitation 1. Paticule en ouveent ciculaie unifoe Il a été établi plus haut que : Un cops de asse, en ouveent ciculaie unifoe de ayon et de vitesse v (de v vitesse angulaie ), a une accéléation centipète a de noe a. D'apès le pincipe fondaental de Newton, un cops de asse, anié d'une accéléation a est souis à une seule foce ou à un enseble de foces de ésultante F a Conclusion : F, suivant la elation : La ésultante de toutes les foces s'exeçant su un cops en ouveent ciculaie unifoe v est centipète et de noe F a Exeple : Masse suspendu à un fil en ouveent ciculaie unifoe ; souis à deux foces, la tension T du fil et le poids P. (Le fil fait un angle constant avec la veticale.) La ésultante de ces deux foces est constaent centipète, colinéaie à l'accéléation de la asse.

2 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 5. Loi de Newton de la gavitation a) Foce d inteaction gavitationnelle En analysant les ouveents planétaies, Newton a pu onte que la foe elliptique des tajectoies obsevées ésulte d'une foce * diigée ves le cente du soleil * d'intensité inveseent popotionnelle au caé de la distance à ce cente. Cette constatation l'a aené à généalise cette conclusion et à foule la loi d'attaction des asses qui est une popiété univeselle de la atièe : Deux paticules atéielles ponctuelles A et B de asses espectives A et B, situées l'une de l'aute à la distance, s'attient utuelleent avec une foce d'intensité A B FA su B FB su A K * F A su B est la foce gavitationnelle que A exece su B. F B su A est la foce gavitationnelle que B exece su A. D'apès le pincipe de l'action et de la éaction : F A F su B B su A * K est la constante de gavitation univeselle qui vaut K = 6, N /kg * Reaque : Cette foulation de la loi de Newton ne s applique qu à des asses ponctuelles ; cependant on déonte qu'une sphèe hoogène de asse et de ayon R équivaut à un point atéiel se touvant au cente de la sphèe et dont la asse est égale à. Ceci est notaent le cas pou la plupat des cops célestes. b) Foe vectoielle Soit u AB un vecteu unitaie de la doite (AB) oienté de A ves B. Les foces attactives qui s execent ente les deux asses ponctuelles s expient pa F A su B F B su A A K B u AB

3 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 6. Chap de gavitation a) Qu est-ce qu on entend pa chap de gavitation? Un chap de gavitation est une potion de l'espace où une asse est souise à une foce de gavitation F. b) Définition du vecteu chap de gavitation G Le vecteu chap de gavitation en un point de l espace est caactéisé pa le vecteu G égal à la foce de gavitation pa kg de asse placée en ce point. Unité S.I. de G : N/kg. F F G Noe : G F=G >, donc G a êe diection et sens que F. Le vecteu chap G est une caactéistique du point considéé ; il est indépendant de la asse qui est placée en ce point. c) Chap de gavitation céé pa une asse ponctuelle (ou pa un cops sphéique hoogène) Considéons une gande asse ponctuelle M située en un point A (ou bien un cops sphéique de ayon R, de asse M et de cente A). La asse M cée un chap de gavitation autou d elle! Plaçons (pa la pensée) dans ce chap une petite asse en un point B situé à la distance du point A. La asse se touve dans le chap céé pa la asse M et subit une foce de gavitation F : M F K u AB ( u AB un vecteu unitaie diigé de A ves B) G au point B : F G M G K u M Noe : G K AB

4 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 7 d) Chap de gavitation de la Tee (supposée ête une sphèe hoogène) L intensité du chap de gavitation de la Tee (ou de tout aute cops céleste) diinue losqu on s éloigne du cente C de la Tee. Soit R le ayon et M la asse de la Tee ; considéons un point P situé à l altitude z au-dessus de la suface teeste. En P: = R + z M G = K R + z (1) M A la suface de la Tee, z = : G K () R R (1) et () G G (R z) e) Reaque : Chap de gavitation et chap de pesanteu On ne fait généaleent pas de distinction ente la foce d'attaction de la Tee : F = G (G : intensité du chap de gavitation) et le poids : P = g (g : intensité du chap de pesanteu ou accéléation de chute libe) La déteination de g pa la chute libe se fait dans un epèe teeste, qui, à cause de la otation de la Tee, n'est pas galiléen ; il s en suit qu en toute igueu G g. Mais coe la vitesse angulaie de la Tee est elativeent faible, ces deux foces sont patiqueent identiques et on peut écie en peièe appoxiation : g G A la suface d une Tee sphéique (asse teeste = 5, kg, ayon teeste oyen = 671 k) G = 9,8 N/kg. A cause de la otation teeste et de l aplatisseent de la Tee (ayon polaie = 657 k, ayon équatoial = 678 k), g o vaie avec la latitude du lieu : équateu : g = 9,78 /s ; Luxeboug : g = 9,81 /s ; aux pôles g = 9,8 /s (Unités : /s ou N/kg).

5 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 8 4. Mouveent des planètes et satellites : Lois de Keple Patisan du systèe de Copenic qu il voulait déonte en le confontant à des obsevations pécises, Keple constata que les tajectoies des planètes ne sont pas ciculaies ais elliptiques. a) Peièe loi Les tajectoies planétaies sont des ellipses dont le soleil occupe l un des foyes. b) Deuxièe loi En des duées égales, les aies balayées pa le segent qui joint le cente de la planète au cente du soleil sont égales. Si t t1 t4 t alos A1 A. (On copend aiséent qu à cause de la consevation de l énegie écanique totale du systèe «planète-soleil», la vitesse de la planète est plus gande si sa distance au Soleil est plus petite!) c) Toisièe loi Le caé de la péiode de évolution T d une planète est popotionnel au cube du deigand axe a de son obite. T1 T constante a a 1

6 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 9 (T 1 : péiode d une peièe planète de dei-gand axe a 1 ; T : péiode d une deuxièe planète de dei-gand axe a ) d) Reaque Coe une tajectoie non ectiligne iplique nécessaieent la pésence d une foce (pincipe d inetie), Newton a pu déduie des lois de Keple l expession de la foce d inteaction gavitationnelle. Il en déduisit d ailleus que sous cetaines conditions des tajectoies paaboliques ou hypeboliques sont égaleent possibles (ce qui est p.ex. le cas pou les cetaines coètes). 5. Satellite en ouveent ciculaie et unifoe a) Données Le cecle peut ête considéé coe une ellipse paticulièe où les deux foyes sont confondus. Dans ce cas le gand axe et le petit axe sont égaux et coespondent au diaète. L étude suivante se liite aux tajectoies ciculaies, ce qui coespond en peièe appoxiation * aux obites des satellites atificiels de la Tee dans le éféentiel géocentique (constitué pa le cente de la Tee et tois étoiles fixes bien déteinées) ; * à la plupat des obites planétaies dans le éféentiel héliocentique de Copenic (constitué pa le cente du Soleil et les tois êes étoiles fixes). On considèe un satellite de asse tounant autou d un aste (Tee) de asse M su un cecle de ayon = R + z, R = ayon de l aste et z = altitude. avec Le cente de la tajectoie coïncide avec celui de l aste.

7 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation b) Systèe. Réféentiel. Repèe * Le systèe étudié est le satellite de asse évoluant, avec une vitesse v, à la distance pa appot au cente C de l'aste. * Le éféentiel dépend du cas qu'on étudie : Cas d'un satellite atificiel de la Tee : éféentiel géocentique. Cas d'une (petite) lune en ouveent autou d'une planète : éféentiel constitué pa le cente de la planète et les êes étoiles fixes que celles du éféentiel géocentique. Cas d'une planète en ouveent autou du Soleil : éféentiel héliocentique de Copenic. * Pou les ouveents ciculaies on utilise de péféence le epèe de Fenet (expessions athéatiques plus siples). c) Foces extéieues Uniqueent la foce gavitationnelle F diigée ves le cente de l'aste : M F K u d) Accéléation Pincipe fondaental : M F a K u a M a K u G Pojection su l'axe tangentiel : a T (1) Pojection su l'axe noal : M a N K () e) Vitesse dv (1) T dt v T = v = constant Conclusion 1 : Le ouveent d'un satellite en obite ciculaie est unifoe. Coe v a N, () v M K G v G

8 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation 1 R O : G G et : R z (R z) On obtient : v R z R G R z Conclusion : La vitesse d'un satellite est indépendante de la asse du satellite. Elle dépend pa conte de la asse de l'aste cental et de la distance du satellite pa appot au cente de cet aste. v R z R G R z f) Péiode de évolution La péiode de évolution est le teps que et le satellite pou effectue un tou coplet su sa tajectoie ; la distance pacouue vaut : s = = (R+z) Finaleent : T R z T v v R z R (R z) G g) Cas paticulie : satellite géostationnaie Pou un satellite teeste tounant dans le plan de l'équateu, on peut calcule l'altitude z pou que T = h 56 in 4 s (péiode de otation teeste = jou sidéal). Dans ce cas, la péiode de évolution du satellite est égale à la péiode de otation de la Tee. Alos le satellite este toujous à la veticale d un point de l équateu et paaît donc iobile dans le éféentiel teeste. Le satellite est dit géostationnaie. T R G 7 R z 4, z 4, 1 6,4 1,58 1 On touve pou l'altitude z du satellite à peu pès 6 k. Pouquoi n y a-t-il pas de satellite géostationnaie placé à la veticale de Luxeboug? (Quel doit ête le cente de sa tajectoie ciculaie?)

9 1e B et C Paticule souise à une foce centale. Gavitation h) La toisièe loi de Keple est valable pou les satellites Elevons la elation pécédente au caé : T T R z 4 4 (R z) 4 4 R G o R G o T T 4 = constante 4 R G = constante Le caé de la péiode de évolution d'un satellite est popotionnel au cube du ayon de son obite. Cette foule s'utilise en astonoie pou déteine la asse M d'un aste à pati de la péiode de évolution d'un satellite.