Les auteurs. Avant-propos. Remerciements. Partie 1 Algèbre 1

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1 Table des matières Les auteurs Avant-propos Remerciements v xvii xviii Partie 1 Algèbre 1 1 Espaces vectoriels, applications linéaires 3 I Bases I.1 Combinaisons linéaires I.2 Familles libres I.3 Familles génératrices I.4 Bases et composantes I.5 Applications linéaires et vecteurs I.6 Algèbres II Somme directe de sous-espaces vectoriels III Image et noyau d une application linéaire IV Dualité en dimension finie V Trace d un endomorphisme VI Calcul matriciel et système d équations linéaires VII Déterminant VII.1 Groupe symétrique VII.2 Forme n-linéaire alternée sur un espace de dimension n VII.3 Déterminants de n vecteurs VII.4 Déterminant d un endomorphisme VII.5 Déterminant d une matrice carrée VII.6 Calcul du déterminant d une matrice VII.7 Cofacteurs et comatrice VII.8 Formules de Cramer VIII L essentiel du cours IX Préparation à l interrogation orale

2 TABLE DES MATIÈRES X Exercices XI Problème Cœur et nilespace d un endomorphisme d après Ovaert et Verley Réduction des endomorphismes 43 I Polynômes I.1 Rappels de première année sur K[X] I.2 Idéal d un anneau commutatif intègre I.3 Idéal de l anneau K[X] II Sous-espaces stables par un endomorphisme II.1 Stabilité d un sous-espace vectoriel II.2 Déterminant par blocs II.3 Étude d une famille finie de sous-espaces stables III Éléments propres d un endomorphisme III.1 Valeurs propres, vecteurs propres III.2 Exemples et propriété des espaces propres III.3 Expression matricielle III.4 Diagonalisabilité IV Polynôme caractéristique IV.1 Définition du polynôme caractéristique IV.2 Exemples de polynômes caractéristiques IV.3 Coefficients d un polynôme caractéristique IV.4 Multiplicité d une valeur propre IV.5 Utilisation du polynôme caractéristique pour l étude de la diagonalisabilité 69 V Polynômes d endomorphismes V.1 Définition d un polynôme d endomorphisme V.2 Polynômes annulateurs d un endomorphisme V.3 Compléments VI Réduction VI.1 Diagonalisabilité et polynôme d endomorphisme VI.2 Trigonalisation VII Applications et compléments VII.1 Suites récurrentes VII.2 Démonstrations du théorème de Cayley-Hamilton VII.3 Topologie d un espace de matrices VIII L essentiel du cours IX Préparation à l interrogation orale X Exercices XI Problème Endomorphismes vérifiant u v v u = u viii

3 3 Espaces préhilbertiens 101 I Formes bilinéaires symétriques, formes quadratiques II Espaces préhilbertiens réels III Formes sesquilinéaires hermitiennes, formes quadratiques IV Produits scalaires complexes, espaces préhilbertiens complexes V Produits scalaires et orthogonalité V.1 Vecteurs orthogonaux V.2 Existence de bases orthonormales en dimension finie V.3 Sous-espaces orthogonaux et projecteurs orthogonaux V.4 Propriétés des projecteurs orthogonaux VI L essentiel du cours VII Préparation à l interrogation orale VIII exercices IX Problème Ajustement polynomial par la méthode des moindres carrés Espaces euclidiens 131 I Automorphismes orthogonaux I.1 Définition I.2 Expression analytique I.3 Le groupe orthogonal II Isomorphisme avec le dual III Adjoint d un endomorphisme III.1 Définition III.2 Expression analytique III.3 Propriétés du passage à l adjoint III.4 Sous-espaces associés IV Endomorphismes autoadjoints IV.1 Définition IV.2 Réduction des endomorphismes autoadjoints IV.3 Norme d un endomorphisme autoadjoint IV.4 Endomorphismes autoadjoints positifs V Formes quadratiques sur un espace euclidien V.1 Expression analytique V.2 Formes quadratiques et endomorphismes autoadjoints V.3 Réduction d une forme quadratique VI Coniques et quadriques VI.1 Coniques VI.2 Quadriques VII L essentiel du cours ix

4 TABLE DES MATIÈRES VIII Préparation á l interrogation orale IX Exercices X Problème Décomposition en valeurs singulières Partie 2 Analyse Espaces vectoriels normés 167 I Un peu de vocabulaire et des exemples I.1 Espace vectoriel normé I.2 Exemple des espaces préhilbertiens I.3 Distance associée à la norme, boules I.4 Parties bornées, applications bornées I.5 Applications lipschitziennes II Suites d un espace vectoriel normé II.1 Suites convergentes, suites divergentes II.2 Opérations algébriques sur les suites convergentes II.3 Suites extraites II.4 Suites réelles III Changement de norme III.1 Le modèle III.2 Notion de normes équivalentes III.3 Équivalence des normes d un espace de dimension finie III.4 En dimension infinie III.5 Structure d espace vectoriel normé produit IV Suites d un espace vectoriel normé de dimension finie IV.1 Parties et applications bornées IV.2 Convergence et suites coordonnées IV.3 Critère de Cauchy de convergence d une suite V Topologie d un espace de dimension finie V.1 Point adhérent à une partie V.2 Parties ouvertes, parties fermées V.3 Point intérieur à une partie VI Limite et continuité en un point VI.1 Limite en un point, continuité VI.2 Propriétés élémentaires VI.3 Caractérisation séquentielle de la continuité VI.4 Opérations algébriques sur les limites VI.5 Fonctions à valeurs réelles x

5 VII Applications continues VII.1 Généralités VII.2 Propriétés opératoires VII.3 Problème de la continuité d une application réciproque VII.4 Effet d une application continue sur une partie ouverte ou fermée VII.5 Effet d une application continue sur une partie compacte VII.6 Effet d une application continue sur un intervalle VII.7 Continuité des applications linéaires et multilinéaires VIII Relations de comparaison asymptotique VIII.1 Relations de comparaison asymptotique entre suites VIII.2 Relations de comparaison asymptotique entre fonctions VIII.3 Propriétés des relations de comparaison VIII.4 Relations de comparaison et opérations IX L essentiel du cours X Préparation à l interrogation orale XI Exercices XII Problème Méthode des approximations successives et accélération de convergence d après ENSAE MP Séries de nombres réels ou complexes 235 I Définitions et premières propriétés II Séries de nombres réels II.1 Séries de nombres réels positifs II.2 Séries alternées II.3 Développement décimal d un nombre réel positif II.4 Équivalent de n! (formule de Stirling) II.5 Comparaison d une série à une intégrale III Séries de nombres rééls ou complexes III.1 Séries absolument convergentes III.2 Produit de Cauchy IV Compléments sur les séries IV.1 Critère d Abel IV.2 Critère de Duhamel V L essentiel du cours VI Préparation à l interrogation orale VII Exercices VIII Problème Quelques propriétés des séries numériques avec une approche algorithmique d après Centrale xi

6 TABLE DES MATIÈRES 7 Fonctions vectorielles d une variable réelle. Courbes paramétrées 257 I Dérivation des fonctions vectorielles I.1 Dérivabilité en un point I.2 Dérivabilité sur un intervalle I.3 Opérations sur les fonctions dérivables I.4 Dérivées d ordre supérieur I.5 Fonctions de classe C p par morceaux I.6 Difféomorphismes II Définition de l intégrale sur un segment II.1 Intégrale d une fonction en escalier II.2 Intégrale d une fonction continue par morceaux II.3 Intégrale d un produit II.4 Sommes de Riemann III Lien entre dérivation et intégration des fonctions à valeurs vectorielles IV Inégalités des accroissements finis IV.1 Cas réel : rappels IV.2 Cas vectoriel V Formules de Taylor VI Théorème de relèvement VII Courbes d un espace vectoriel normé de dimension finie VII.1 Arcs paramétrés VII.2 Étude locale VII.3 Étude des branches infinies d une courbe plane VII.4 Longueur d un arc, abscisse curviligne VII.5 Repère de Frenet, courbure VIII L essentiel du cours IX Préparation à l interrogation orale X Exercices XI Problèmes Intégrales de Dirichlet Polynômes de Bernoulli Suites et séries de fonctions 305 I Suites de fonctions I.1 Convergence d une suite de fonctions I.2 Limite et continuité I.3 Intégration d une suite de fonctions I.4 Dérivation II Séries de fonctions II.1 Convergences des séries de fonctions II.2 Propriétés de la somme xii

7 II.3 Exemple d étude de séries de fonctions, remarques sur l étude aux bords. 318 III Approximation des fonctions III.1 Fonctions continues par morceaux III.2 Les théorèmes d approximation IV L essentiel du cours V Préparation à l interrogation orale VI Exercices VII Problèmes Développement eulérien du sinus et formule des compléments Convergence de séries trigonométriques Séries entières 331 I Rayon de convergence d une série entière I.1 Série entière d une variable réelle ou complexe I.2 Rayon de convergence d une série entière I.3 Nature de la convergence d une série entière I.4 Somme de deux séries entières I.5 Produit de Cauchy de deux séries entières II Séries entières d une variable réelle II.1 Propriétés de la somme d une série entière II.2 Fonction développable en série entière III Méthodes III.1 Développement d une fonction en série entière III.2 Détermination de la somme d une série entière IV Applications IV.1 Régularité d une fonction IV.2 Définition de l exponentielle complexe IV.3 Fonction génératrice d une suite IV.4 Exemples de fonctions analytiques (hors programme) IV.5 Fonctions absolument monotones IV.6 Comportement de la somme d une série entière au voisinage de R V L essentiel du cours VI Préparation à l interrogation orale VII Exercices VIII Problème Convergence au sens d Abel Séries de Fourier 361 I Préliminaires I.1 Fonctions de classe C k par morceaux I.2 Produit scalaire pour les fonctions 2π-périodiques xiii

8 TABLE DES MATIÈRES II Coefficients de Fourier II.1 Définition II.2 Premières propriétés II.3 Comportement asymptotique des coefficients de Fourier III Convergence des séries de Fourier III.1 Théorème de Dirichlet III.2 Théorème de convergence uniforme III.3 Convergence en moyenne quadratique IV Fonctions de période quelconque V L essentiel du cours VI Préparation à l interrogation orale VII Exercices VIII Problèmes Unicité du développement en série trigonométrique d après les concours nationaux marocains Théorème de Fejér Intégration sur un intervalle 387 I Intégrales impropres I.1 Définition d une intégrale impropre convergente I.2 Nature des intégrales des fonctions usuelles I.3 Intégrales impropres des fonctions positives I.4 Intégrales absolument convergentes I.5 Notion de fonction intégrable II Propriétés de l intégrale des fonctions intégrables II.1 Propriétés élémentaires II.2 Changement de variable, intégration par parties II.3 Convergence en moyenne, en moyenne quadratique III L essentiel du cours IV Préparation à l interrogation orale V Exercices VI Problème Le problème du transport de Monge d après Mines-Ponts PSI Théorème de convergence dominée, intégrales dépendant d un paramètre 417 I Intégration des suites et séries de fonctions I.1 Théorème de convergence dominée I.2 Intégration terme à terme d une série de fonctions II Intégrales dépendant d un paramètre II.1 Théorèmes de continuité et de dérivabilité II.2 Théorèmes avec hypothèses de domination locale II.3 Fonction Γ xiv

9 III L essentiel du cours IV Préparation à l interrogation orale V Exercices VI Problème Transformée de Fourier Équations différentielles 437 I Systèmes d équations linéaires d ordre I.1 Généralités I.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz I.3 Système homogène I.4 Système complet I.5 Solutions réelles des systèmes réels II Équations scalaires II.1 Lien avec les systèmes d ordre II.2 Équation scalaire d ordre II.3 Équation scalaire d ordre II.4 Équation scalaire d ordre n III Systèmes à coefficients constants III.1 Utilisation de valeurs propres III.2 Utilisation d un changement de base III.3 Étude des systèmes dans R IV Équations différentielles non linéaires IV.1 Deux exemples IV.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz IV.3 Équation autonome IV.4 Équations à variables séparées V Approximation numérique des solutions VI L essentiel du cours VII Préparation à l interrogation orale VIII Exercices IX Problème Équation de Sturm-Liouville d après concours de l École polytechnique Fonctions de plusieurs variables réelles 473 I Calcul différentiel I.1 Différentiabilité en un point I.2 Différentiabilité des fonctions de classe C I.3 Propriétés générales des fonctions de classe C k I.4 Fonctions numériques de classe C k, k xv

10 TABLE DES MATIÈRES II Applications à la géométrie différentielle II.1 Tangente en un point régulier d une courbe de classe C II.2 Plan tangent en un point régulier d une surface de classe C II.3 Intersection de surfaces. Position d une surface par rapport à son plan tangent III L essentiel du cours IV Préparation à l interrogation orale V Exercices VI Problème Courbures des surfaces dans l espace euclidien R 3 d après École polytechnique, Math II Intégrales multiples et curvilignes 521 I Intégrales doubles et triples I.1 Intégrale double sur un pavé compact I.2 Intégrale double sur un pavé quelconque I.3 Intégrale double sur une partie simple I.4 Changement de variables I.5 Extension aux intégrales triples II Intégrales curvilignes II.1 Formes différentielles de degré II.2 Intégrales curvilignes II.3 Formule de Green-Riemann III L essentiel du cours IV Préparation à l interrogation orale V Exercices VI Problème Intégrale de Dirichlet Partie 3 Solutions des tests 545 Partie 4 Solutions des colles 579 Partie 5 Solutions des exercices 599 Partie 6 Solutions des problèmes 689 Index 737 xvi

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