OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES Académie d AIX-MARSEILLE Session 2008

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1 CLASSES DE PREMIERES GÉNÉRALES ET TECHNOLOGIQUES OLYMPIADES DE MATHÉMATIQUES Académie d AIX-MARSEILLE Session 2008 Durée : 4 heures Série S Les calculatrices sont autorisées. Ce sujet comporte 4 eercices indépendants. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche qu il aura développée. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Le sujet comporte 6 pages dont celle-ci. La page 6 est une annee à rendre avec la copie. 1/6

2 Eercice 1: Les bons nombres On dit qu un nombre entier supérieur ou égal à 2 est «bon» s il peut s écrire comme la somme de nombres entiers naturels non nuls, distincts ou non, dont la somme des inverses est égale à 1. On dit qu il est «mauvais» s il n est pas «bon». Ainsi, par eemple : 2 = 1+ 1 et , donc 2 est «mauvais» (la seule décomposition possible pour étant 1+1) = 1+ 2 et + 1 ; 3 = et ; donc 3 est également «mauvais» (les deu décompositions possibles pour 3 ayant été eaminées). 1. Déterminer pour chacun des nombres entiers de 4 à 10 s il est «bon» ou «mauvais». 2. Montrer que le carré de tout nombre entier supérieur ou égal à 2 est «bon». 3. Montrer que si n est «bon», alors 2 n + 2 et 2 n + 9 sont «bons». 4. On admet que tous les nombres entiers de 24 à 55 sont «bons». Qu en est-il de tout nombre entier supérieur ou égal à 56? 2/6

3 Eercice 2: Un partage équitable 1. Léonard est géomètre. Il veut partager un carré de côté 1 en trois parties de même aire selon le schéma ci-contre. Quelle valeur doit-il donner à pour arriver à ses fins? 2. Mais Léonard est aussi esthète. Ne trouvant pas élégante sa construction, il décide de supprimer la zone triangulaire hachurée. Ainsi les trois parties restantes sont triangulaires. Peuvent-elles avoir la même aire? D J C I 3. Et Léonard est mathématicien. Ayant réalisé grossièrement (ci-contre) la construction de la question 2., il mène du point H la perpendiculaire AB. ( HJ ) à la droite ( ) Il a l impression que les droites ( HJ ), ( ) ( AC ) sont concourantes. Qu en est-il? DI et A H B 3/6

4 Eercice 3: Les caisses On considère quatre objets qui sont : - un cylindre - une pyramide - un pavé droit - un prisme Les poids, eprimés en kilogrammes, de ces objets sont des nombres entiers strictement positifs distincts. n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 Les contenus des caisses ci-dessus pèsent, dans le désordre, 15 kg, 21 kg, 24 kg, 27 kg, 30 kg et 45 kg. Répondre par Vrai ou Fau au quatre affirmations suivantes en détaillant avec précision les étapes du raisonnement. 1. Le contenu de la caisse n 5 pèse 24 kg ou 30 kg. 2. Le poids du contenu de la caisse n 6 est supérieur ou égal à la moitié de celui du contenu de la caisse n Le prisme pèse 15 kg. 4. Le cylindre pèse 6 kg. 4/6

5 Eercice 4: À propos de jeu de billard 1. a. Question préliminaire : Sur la figure ci-dessous, les points B et B sont symétriques par rapport à la droite( D ). On note M le point d intersection de la droite ( RB ) et de la droite( D ), et ( ) la droite perpendiculaire à la droite( D ) passant par M. Justifier que la droite ( ) est la bissectrice de l angle RMB. b. Le billard français se joue avec trois billes : une rouge et deu blanches. On peut y jouer de différentes façons et notamment dans la modalité «3 bandes». Dans ce cas, pour marquer un point, un joueur doit parvenir à faire entrer en contact la bille rouge (avec laquelle il joue) avec les deu autres billes en faisant en sorte que la bille rouge rebondisse sur au moins 3 bandes avant de toucher la dernière bille blanche. Dans cette question, on ne considère que deu billes, une rouge (bille R) et une blanche (bille B). Tracer sur le schéma N 1 fourni en annee (page 6 à rendre avec la copie), en laissant apparents les traits de construction, une trajectoire possible pour la bille R afin qu elle percute la bille B après 3 rebonds sur les bandes 1, 2 et 3 du billard. (On rappelle que lorsqu une bille rebondit sur une bande, sa trajectoire est symétrique par rapport à la droite perpendiculaire à la bande au point de contact). 2. Nous sommes maintenant en Les billards classiques ont fait leur temps et ont cédé leur place à des billards circulaires! Pour simplifier la situation, on ne considère plus que la bille R. a. Question préliminaire : si ABC est un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon r, justifier que le cercle inscrit dans le triangle a pour rayon 2 r. b. Construire sur le schéma N 2 fourni en annee (page 6 à rendre avec la copie) une trajectoire possible pour la bille R lui permettant de repasser par sa position initiale après trois rebonds sur le bord sans passer par le centre O du billard. Préciser soigneusement le raisonnement justifiant la construction. 5/6

6 ANNEXE (à rendre avec la copie) Eercice 4, question 1.b. Schéma N 1 Eercice 4, question 2.b. Schéma N 2 6/6