Didactique des nombres décimaux

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1 Didactique des nombres décimaux Les programmes de 2008 ne donnent aucune indication épistémologique, théorique ou didactique aux professeurs pour programmer l enseignement des nombres décimaux. Les enseignants sont libres des moyens pédagogiques à mettre en œuvre pour atteindre les objectifs fixés. Les programmes de 1985 proposaient que l enseignement des nombres décimaux réponde à des besoins de mesure ou de repérage, celui des rationnels correspondant plutôt à des besoins algébriques. Plusieurs aspects sont à mettre en place concernant les nombres décimaux : l écriture à virgule est une autre écriture des fractions décimales, les décimaux sont de bons outils pour la mesure des grandeurs, pour repérer des points sur la droite numérique (aspect important pour la comparaison, l encadrement, les approximations,...), les décimaux permettent d approcher les quotients de deux entiers... On trouve ce type de présentations dans les manuels pour le CM1 et le CM2 ainsi que dans des brochures destinées aux enseignants. On doit mesurer un segment [A], on dispose d une unité de longueur et d une graduation. La mesure de la longueur du segment [A] est comprise entre les deux nombres entiers 6 et 7 ; ce qui n est pas très précis... Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre 6 et 7 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6 et 7 qui mesure une unité de longueur, en dix segments de longueur 1/10 On complète la graduation en marquant 6 + 1/10, 6 + 2/10, etc. On peut écrire 6 + 1/10 = 6,1 puis 6 + 2/10 = 6,2 etc. La mesure du segment [A] est comprise entre 6,3 et 6, ,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 6,7 6,8 6,9 7 A Il y a alors un débat éventuel dans la classe sur les moyens possibles à mettre en œuvre pour améliorer la précision de la mesure. Ce qui est plus précis mais...

2 Le professeur propose de mieux voir ce qui se passe entre 6,3 et 6,4 en agrandissant dix fois cet intervalle. On subdivise alors le segment compris entre 6,3 et 6,4 qui mesure 1/10 unité de longueur, en dix segments de longueur 1/100. On complète la graduation par 6 + 3/10 + 1/100 etc. On peut écrire 6 + 3/10 + 1/100 = 6,31 etc. La mesure du segment [A] est comprise entre 6,37 et 6,38. 6,3 6,31 6,32 6,33 6,34 6,35 6,36 6,37 6,38 6,39 6,4 Le processus s arrête après un nombre fini d étapes (trois ou quatre) : - soit parce que est précisément situé sur une marque de graduation ; - soit parce que la précision de la mesure est jugée suffisante. Sur le plan théorique, il se peut que ce processus ne s arrête jamais. Si le processus s arrête, la mesure du segment [A] est exprimée par une écriture décimale limitée, sinon l écriture décimale est illimitée. Cette activité repose sur le postulat que tout point de la droite numérique peut être associé à un nombre. Une conception unificatrice de la notion de nombre s en dégage : les nombres sont les représentants des points de la droite numérique. Ce qui est plus précis mais Critique de Guy rousseau Cette présentation des décimaux repose sur le fait que les subdivisions successives de l unité peuvent s effectuer indéfiniment mais, dans la pratique, de telles subdivisions sont impossibles et cela renforce la confusion entre les entiers et les décimaux. C est ce que signale Guy rousseau (1998) : Même si la définition laisse entendre que toutes les unités de grandeur peuvent être divisées en dix, ces divisions, ne sont jamais - dans l enseignement élémentaire - poursuivies impunément au-delà de l utile et du raisonnable (...) Dans ces conditions, les décimaux restent munis d un ordre discret, celui des naturels (...) Souvent les comparaisons et les sommes de décimaux ne seront correctes que si ces derniers sont écrits avec le même nombre de chiffres après la virgule (...) et donc s ils s interprètent comme des naturels. a) Un problème théorique difficile La situation pratique n est pas la même si, pour la longueur du segment [A], on obtient la mesure 6, parce que zoom après zoom on s approche au plus près de 6,373 ou si l on obtient 6, parce que zoom après zoom on ne s éloigne pas de 6,373. Pourtant, «on le comprend», théoriquement, il n y a pas de différence entre 6, et 6, Les programmes de 1971 pour la classe de quatrième, comportait les développements décimaux illimités afin de présenter les nombres réels. Le problème que nous venons d évoquer n était pas ignoré : «On fera comprendre qu il n existe pas de développement entre 7, et 7, ce qui conduit à identifier de tels développements».

3 a) Un problème théorique difficile Aujourd hui, aucun apprentissage n est associé à ces écritures numériques. Mais elles sont rencontrées lors de la division de deux entiers «poussée après la virgule» lorsque «la division ne s arrête pas». En 3e ou en 2nde, certains professeurs montrent que 0, et 1 désignent le même nombre en utilisant les deux écritures de un tiers : 1/3 et 0,333 en effet 1/3 = 0, donc 3 ä 1/3 = 3 ä 0,333 or 3 ä 1/3 = 1 et 3 ä 0, = 0, b) Écriture décimale des nombres rationnels On effectue la division décimale. Soit elle s arrête et l écriture décimale est limitée : 9/8 = 1, , b) Écriture décimale des nombres rationnels On effectue la division décimale. Soit elle ne s arrête pas et l écriture décimale est illimitée : 41 / 33 = 1, , ilan: L écriture décimale des nombres rationnels est limitée ou illimitée périodique à partir d un certain rang. c) Les décimaux illimités périodiques sont-ils tous rationnels? On vient de voir que l écriture décimale des rationnels est limitée ou illimitée périodique à partir d un certain rang. Réciproquement, on sait que toutes les écritures décimales limitées représentent des rationnels, mais qu en est-il des illimitées périodiques à partir d un certain rang? Considérons par exemple a = 3, a = 38,75 et 1000 a = 3 875,75 Donc 990 a = 3 875,75 38,75 = = et donc a = / 990 soit a = / 330 ilan: Tout nombre possédant une écriture décimale illimitée périodique à partir d un certain rang est un quotient de deux entiers.

4 d) L écriture décimale des nombres réels Les nombres de la droite numérique sont les nombres réels, tous ces nombres ont une écriture décimale, la partie décimale étant éventuellement illimitée. Les nombres rationnels sont des quotients de deux entiers, ils ont tous une écriture décimale illimitée périodique à partir d un certain rang. Les nombres décimaux sont des rationnels particuliers, on peut les écrire sous la forme d une fraction décimale (dont le dénominateur est 1, 10, 100 ) et parfois sous la forme d une autre fraction. Ils ont une écriture décimale limitée. Ils ont aussi deux écritures décimales illimitées, par exemple 2,5 = 2,5000 = 2,4999 Les nombres réels qui ne sont pas des nombres rationnels sont les irrationnels, leur écriture décimale est illimitée et non-périodique. 4. Les décimaux pour approcher les réels et les appréhender Pour qu une écriture prenne la signification d un nombre, il nous est utile de pouvoir penser cette écriture par rapport aux autres nombres, autrement dit, de pouvoir comparer. Les comparaisons étant plus faciles avec les écritures décimales, les approximations décimales des nombres réels sont utiles pour avoir une idée de leur valeur. Exemples : 22/7 et 10 La division permet d obtenir une approximation décimale de 22/7. Hier (avant 1962), il y avait aussi une opération pour approcher la racine carrée d un nombre entier. Aujourd hui, les approximations décimales sont instrumentées : on effectue les opérations à la calculatrice ou on pratique la technique de balayage. 5. Conclusion La présentation des décimaux comme une somme (2 + 1/10 + 5/100) évite l association immédiate entre un nombre décimal et un couple de deux entiers. La conception sous-jacente des fractions est la plus accessible : le partage de l unité en parties égales. La conception sous-jacente des nombres est unificatrice : les points de la droite numériques sont associés aux nombres réels. Cette présentation pose néanmoins deux problèmes : - le premier est pratique, les divisions successives de l unité s arrêtent vite et les décimaux sont limités à des nombres à deux ou trois décimales ; - le second est théorique, en prolongeant indéfiniment la partie décimale, il n y a pas unicité de l écriture pour tous les nombres. 1. Concernant la notion Les rationnels répondent à différents besoins : -topologiques pour mesurer des grandeurs plus précisément qu avec des entiers (mais ils ne suffisent pas) ; -algébriques pour résoudre des équations sans solution dans l ensemble des entiers, et des problèmes numériques que ces équations modélisent (mais ils ne suffisent pas). Les décimaux répondent différemment aux même besoins (mais ils ne suffisent pas non plus) et permettent d effectuer les calculs et les comparaisons plus facilement que les rationnels. Les réels répondent mieux que les rationnels et les décimaux à ces besoins, on peut en donner une approximation aussi précise qu on le souhaite par un rationnel ou un décimal.

5 Depuis un demi-siècle, les instructions officielles pour l école primaire ont beaucoup évolué sur l enseignement des nombres décimaux. Jusqu en 1970, ils sont réduits à une écriture des mesures des grandeurs familières. Ils sont désignés comme des nombres concrets par opposition aux nombres abstraits qui n expriment aucune mesure. De 1970 à 1980, c est l écriture décimale qui est mise en avant, traduction des nombres entiers après un changement d unité. L approche est plus abstraite mais l opposition est conservée entre le nombre-mesure dont l écriture est décimale et le nombre-opérateur dont l écriture est fractionnaire. Depuis 1980, l ambition de transformer le paysage numérique est nettement affirmée : face aux nombres entiers, les fractions et les décimaux sont les nouveaux nombres qui vont pallier les insuffisances des premiers. Diverses situations permettront aux enfants de prendre conscience de la nécessité de disposer d autres nombres. Ainsi, les documents d accompagnement des programmes de 2002 précisaient : (...) la fonction «diviser par 100» dans l ensemble des entiers naturels n est pas définie pour 22, pour 1 110, etc. (...) Lorsqu on veut exprimer la mesure de la longueur d un objet avec une unité choisie, l ensemble des nombres naturels est peu satisfaisant. (...) de nombreux points ne correspondent à aucun naturel. On peut chercher à affecter un nombre à d autres points de la droite ; par exemple : au milieu du segment défini par les «points» 102 et 103. À l école primaire, les décimaux sont souvent présentés à partir des fractions décimales. Les facilités de calculs et de comparaisons que permettent les décimaux expliquent que ceux-ci sont privilégiés à l école comme dans la vie courante. En 6e, les professeurs sont chargés de prolonger le travail commencé sur la signification des écritures fractionnaires et décimales. En 4e, les décimaux sont revus avec l enseignement des puissances de 10. En 3e un chapitre des programmes prévoit une première synthèse sur les nombres qui permet d adopter un point de vue historique puis de classer les nombres rencontrés dans la scolarité : entiers naturels, rationnels et irrationnels. Cependant aucune nouvelle étude de la notion même de nombre décimal n est proposée après l enseignement élémentaire. 3. Concernant l apprentissage Pour que les élèves attribuent aux décimaux un statut complet de nombre, il faut qu ils en aient les trois fonctions ordinales, cardinales et calculatoires qui sont en jeu dans les activités de repérage sur la droite, de mesure d une grandeur ou d une transformation, de comparaison de mesures, et de composition de mesures ou de transformations. Les évaluations montrent beaucoup de confusion concernant le vocabulaire et sa signification. Elles montrent le poids considérable d une conception des décimaux qui est erronée, mais qui donne des réussites. Selon cette conception identifiée par la recherche en didactique, les décimaux sont composés de deux entiers séparés par une virgule. Une recherche publiée récemment (Roditi, 2007) montre que l on peut aider les élèves en difficulté pour comparer des nombres décimaux en leur proposant un travail de mise en relation entre : -les procédures de comparaison (correctes ou non) qui portent sur l'écriture chiffrée des nombres, -les représentations diverses de ces nombres (écriture chiffrée, monnaie, quadrillage, graduation) ; -l ordre de grandeur des nombres.

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