Exercice : Espagne 00 tableau thématique La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n est pas en vraie grandeur.

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1 cadémies et années Trigonométrie : calcul Thèmes abordés ngle Longueur Pythagore Cercle Thalès ngle insc. espace ordeaux 00 x x Espagne 00 x x x Grenoble 00 x x x Nancy 00 x x x Paris 00 x Grenoble 01 x x x Paris 01 x x Nice 01 x x x Exercice : ordeaux 00 (première partie du problème) tableau thématique I 1- Tracer un segment [] tel que = 12. Placer le point H du segment [] tel que H = 1. Tracer un demi-cercle de diamètre [] et la perpendiculaire en H à la droite (). n désigne par C leur point d'intersection. 2- Quelle est la nature du triangle C? - Exprimer de deux façons le cosinus de l angle C ; en déduire que C = 2. Donner la mesure arrondie au degré de l angle C. I 1/ Voir figure à la fin du corrigé. 2/ C est un triangle dont un des côté [ ] est un diamètre du cercle dans lequel il est inscrit, c est donc un triangle rectangle. / Dans le triangle C rectangle en C, cos C = C C = C 12. Dans le triangle HC rectangle en H, cos C = H C = 1 C ➁. Donc C 12 = 1 C et C C = 12 1 et C2 = 12. Finalement C = 12.= 4 = 2 De ➁, on tire C = cos Exercice : Espagne 00 tableau thématique La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n est pas en vraie grandeur. C est un triangle rectangle en. H est le pied de la hauteur issue de. n donne : = 8 cm H= 4 cm C= Calculer, en centimètres, la mesure du segment [H], arrondie au mm. 2. Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC], approchée à 0,1 prés par défaut. J 1

2 La figure ci-dessous, donnée à titre indicatif, n est pas en vraie grandeur. C est un triangle rectangle en. H est le pied de la hauteur issue de. n donne = 8 cm H= 4 cm C = Calculer, en centimètres, la mesure du segment [H], arrondie au mm. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle H rectangle en H donne : H 2 = 2 -H 2 H 2 = =48 H = 48 6,9 cm à 1 mm prés 2. Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC], approchée à 0,1 prés par défaut. Dans le triangle HC rectangle en H, on a : Tan CH = H CH Tan 60 = 4 CH CH = 4 =4 2, cm à 0,1 cm prés par défaut. 1. Soit J le point du segment [C] tel que J C =1. La parallèle à la droite (C) passant par J 4 coupe le segment [] en K. Expliquer pourquoi K=2 cm. Les points,k et sont alignés, ainsi que les points, J et C (C) // (KJ) le théorème de Thalès donne : K = J C ainsi K= 1 4 = 1 *8 =2 cm 4 or J C =1 4 donc K =1 4 Exercice : Grenoble 00 tableau thématique L unité est le centimètre. Un jouet a la forme d une demi boule surmontée d un cône de révolution de sommet, comme l indique la figure ci contre. C

3 1. a) Construire en vraie grandeur le triangle rectangle. b) Calculer la valeur exacte de. c) Calcule la valeur exacte du sinus de l angle. En déduire une mesure de l angle (on donnera le résultat arrondi au degré près). 2. Calculer le volume de ce jouet, cône et demi boule réunis (on donnera le résultat arrondi au cm près). 1/ a) Voir ci-contre. b) Le triangle est rectangle en, et est le milieu de [C]. Donc 2 = 2 2 = = 49 9 = 40 donc = 40. c) sin = = donc _ / π π _ 116 Le volume de ce jouet est environ 116 cm. Exercice : Nancy 00 tableau thématique 1. Construire un cercle de centre et de rayon cm. Placer sur ce cercle trois points,, C de telle façon que C = 4 cm et C ˆ = 65ϒ. Construire le point F diamétralement opposé au point sur ce cercle. 2. Démontrer que le triangle FC est un triangle rectangle.. Calculer le sinus de l'angle F ˆ C et en déduire la mesure de cet angle arrondie à un degré près. 4. Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle C. C 65 F

4 Un des côtés du triangle est un diamètre du cercle. Le troisième sommet, C, 2) appartient au cercle : le triangle CF est un triangle rectangle en C. ) Dans le triangle rectangle CF, ( ˆ C 4 2 sin FC) = = =. F 6 un degré près : F ˆC = 42ϒ. 4) Pour le cercle dessiné, l'angle ˆ C est l'angle au centre correspondant de l'angle inscrit F ˆ C : sa mesure est donc le double. un degré près : ˆC = 84ϒ. Dans le triangle C, isocèle de sommet, (=C), les deux angles à la base sont égaux à la moitié de un degré près, C ˆ = Cˆ = 48ϒ. Exercice : Paris 00 tableau thématique Gazon. Voici le plan d'un terrain d'entraînement de javelot. ire de lancement E (Les dimensions ne sont pas respectées dans le schéma) La piste d'élan se termine par l'arc de cercle E de centre. F Le javelot doit atterrir dans le gazon délimité par les arcs de cercle E et F de même centre et par les segments [] et [EF]. n donne = 8 m, = 90 m et E = 0. 1) n remarque que l'aire de la portion de disque E est une fraction de l'aire du disque de centre et de rayon. a) Déterminer cette fraction et déduire que l'aire de la portion E est égale à 16 π m2. b) Montrer que l'aire de la zone en gazon est égale à 2009 π m 2. 2)I est le milieu du segment [E]. a) Donner sans explication la valeur de I. b) Calculer I à 1 cm près. En déduire E. Exercice : Grenoble 01 tableau thématique Dans cet exercice, toutes les longueurs données sont en centimètres. 1. Placer trois points M,, F alignés dans cet ordre tels que M = 9 et F = 6. Construire le cercle C de diamètre [ F ]. n note son centre. Sur ce cercle C, placer un point tel que = 5. Tracer la parallèle à ( F ) passant par M ; elle coupe la droite ( ) en N. 2. Calculer N.. a) Quelle est la nature du triangle F? Justifier la réponse. b) Calculer la mesure de l'angle F ( on donnera la valeur arrondie au degré près ).

5 2/ D'après la propriété de Thalès on a : N = M F N 5 = 9 6 N = 5 2 = 15 2 = 7, 5 cm /a/ Le triangle F est rectangle car il est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ F ]. b/ sin F = F = 5 6 La mesure de l'angle F est de 56 à un degré prés par défaut. 4/ La mesure de l'angle est le double de celle de l'angle F soit 112 car est un angle au centre interceptant le même arc que l'angle inscrit F. Exercice : Paris 01 tableau thématique C est un triangle rectangle en tel que : = 5 cm et C = 7, 5 cm.

6 1) Calculer l'angle C au degré près. 2) Le point M est sur la droite ( ), à l'extérieur du segment [ ] tel que M = 2 cm. La parallèle à ( C ) passant par M coupe la droite ( C ) en N. Calculer MN. 1/ Le triangle C est rectangle en. Donc : sin C = C = 5 7, 5 = 2 = 0, 67 à 10 2 près n obtient C = 42 ( arrondi au degré, par excès ) 2/ D'après la propriété de Thalès appliquée à C et MN, on a : M = MN C et donc MN = C M MN = 7, = cm Exercice : Nice 01 tableau thématique CDEFGH est un pavé droit à base carrée. n donne D = cm, CG = 4 cm. 1. Calculer le volume en cm de la pyramide de sommet G et de base CD. 2. Calculer DG.. n admet que le triangle DG est rectangle en D. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l'angle GD. Calculer la valeur exacte de la longueur G, puis en donner la valeur arrondie au millimètre.

7 corrigé : 1/ V = 1 h = 1 ( ) 4 = 12 cm 2/ ppliquons la propriété de Pythagore au triangle rectangle DCG : n a : DG 2 = DC 2 + CG 2 DG 2 = DG 2 = 25 soit DG = 5 cm. / tan GD = D DG = 5 = 0, 6 donc GD = 1 à un degré près. ppliquons la propriété de Pythagore au triangle rectangle DG. G 2 = D 2 + DG 2 G 2 = G 2 = 4 d'où G = 4 soit G = 5, 8 cm au millimètre près