Intégration. 1 Intégrale d une fonction. 2.1 Définition Propriétés Ensemble des primitives d une fonction... 6

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1 Tble des mtières Intégrle d une fonction. Définition Propriétés Notion de primitive d une fonction 5. Définition Ensemble des primitives d une fonction Clcul de primitives 7 3. Eistence de primitives Primitives des fonctions usuelles Lien entre primitive et intégrle Propriétés 9 5 Vleur moyenne 9 6 Eemples 6. Clcul d une primitive vec une fonction de l forme e u() Clcul de l ire entre deu courbes Intégrle d une fonction. Définition Définition : Intégrle d une fonction Soit f continue et positive sur un intervlle [; b] ( < b), et C s courbe représenttive dns un repère orthogonl (es orthogonu), l intégrle de f sur [; b] notée f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = b, cette ire étnt eprimée en unités d ire. Une unité d ire correspondnt à un rectngle dont les côtés ont une longueur de une unité sur l e des bscisses et de une unité sur l e des ordonnées. /

2 Eemple : eemple d intégrle f est l fonction ffine définie sur R définie pr f() = +. Trcer l représenttion grphique de f dns un repère orthonormé (es orthogonu et même unité sur chcun des es). En déduire f()d L représenttion grphique de f est une droite pssnt pr les points A(; ) et B(; 4) Grphiquement, f()d est l ire, en unités d ire, du trpèze OABB (zone rouge sur le grphique). Un unité d ire est égle à l ire du crré bleu sur le grphique. On donc f()d = 6 Eemple : Lecture grphique d intégrles Dns chque, l fonction f définie sur R est représentée grphiquement. Déterminer grphiquement 4 f()d. Dns chque cs, sur [; 4] l courbe est u-dessus de l e des bscisses donc on f() 4 f()d est l ire en unités d ire de l zone (en rouge sur le grphique) délimitée pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = (e des ordonnées) et = 4 Une unité d ire (zone bleue sur le grphique) est l ire d un rectngle (ou un crré si le repère est orthonormé) de une unité selon l e des bscisses et une unité selon l e des ordonnées. On donc pour l figure : l zone rouge contient 6 rectngles du qudrillge et une unité d ire contient deu rectngles du qudrillge. donc 4 f()d = 6 = 8 (unités d ire) /

3 Pour l figure : l zone rouge contient 4 = rectngles du qudrillge et une unité d ire contient un crré du qudrillge. donc 4 f()d = (unités d ire) Eemple 3 : Encdrement d une intégrle On donne ci-contre l représenttion grphique de l fonction f. En utilisnt le mimum et le minimum de f sur [; 3], donner un encdrement de f() sur [; 3] En déduire lors un encdrement de 3 f()d Le minimum de f sur [; 3] est et le mimum 4 donc pour tout réel [; 3], on f() 4 Sur [; 3] l courbe est u-dessus de l e des bscisses donc f() > 3 f()d est l ire en unités d ire de l zone (en rouge sur le grphique) délimitée pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = 3 Une unité d ire est l ire d un rectngle du qudrillge. cette ire est comprise entre l ire du rectngle (en bleu) de lrgeur unités et de huteur unité et celle du rectngle (en vert) de lrgeur 3 unités et de huteur 4 unités. on donc < 3 f()d < 8 3/

4 Eemple 4 : Encdrement d une intégrle L fonction f définie sur R est représentée grphiquement c-dessous. Déterminer grphiquement un encdrement de 5 f()d. Sur [; 5] l courbe est u-dessus de l e des bscisses donc f() > 5 f()d est l ire en unités d ire de l zone (hchurée sur le grphique) délimitée pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = (e des ordonnées) et = 5 Une unité d ire est l ire d un rectngle du qudrillge. L ire de l zone rouge est de 3 unités d ire et celle de l zone bleue de 4 unités d ire donc 3 < 5 f()d < 4. Propriétés Propriété : reltion de Chsles Soit f continue et positive sur [; b] ( < b), pour tout réel c de [; b], on : f()d = c f()d + c f()d Interpréttion grphique : Grphiquement, si f est continue et f() sur [; b], on : c f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = c (zone rouge sur le grphique). c f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = c et = b (zone bleue sur le grphique). f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = b (zone rouge+zone bleue sur le grphique). Propriété : Ordre Soit f et g continues et positives sur [; b] ( < b), telles que f() < g() pour tout réel de [; b]. f()d < g()d 4/

5 Interpréttion grphique : Grphiquement, si f et g sont continues et g() > f() sur [; b], on : b f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = b (zone hchurée en rouge sur le grphique). f()d est l ire du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = et = b (zone bleue sur le grphique). L courbe de représenttive de f est en-dessous de l courbe représenttive de g donc f()d < g()d (l ire de l zone rouge est inférieure à l ire de l zone bleue). Notion de primitive d une fonction. Définition Définition : Primitive d une fonction Soit f définie sur un intervlle I. L fonction F est une primitive de f sur I si pour tout réel de I, F est dérivble sur I et F () = f() Remrque On note en générl une primitive d une fonction vec l lettre mjuscule correspondnte Eemple 5 : Primitive d une fonction ffine Soit f définie sur R pr f() = Déterminer une primitive F de f sur R On ( ) = et () = donc F () = est une primitive de f sur R F () = En effet F () = = f() Remrque En prennt F () = +, on F () = + = = f() donc F définie sur R pr F () = + est ussi une primitive de f sur R Plus générlement F () = + C vec C R est une primitive de f sur R. On bien F () = + = = f() (l dérivée d une fonction constnte est nulle) Remrque Si l fonction F est donnée dns l énoncé, vérifier que F est bien une primitive de f sur un intervlle I de R revient à clculer F () et vérifier que F () = f() pour tout réel I Eemple 6 : Recherche de primitives Déterminer une primitive de f sur D f. f() = 4 3 vec D f = R. f() = + vec D f = R 3. f() = vec D f =]; + [ 4. f() = e vec D f = R 5/

6 . f() = = 4 F () = 4. F () = = F () = F () = ln() 4. F () = e Remrque On demnde dns l eemple une primitive de f mis il y une infinité de primitives possibles. Pr eemple, pour le cs 4. F () = 3e + C vec C R ets l ensemble des primitives de f. Pr eemple, F () = 3e + est une utre primitive possible.. Ensemble des primitives d une fonction Propriété :Ensemble des primitives d une fonction Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Si F est une primitive de f sur I lors les primitives de f sur I sont de l forme G() = F () + C, C étnt une constnte réelle quelconque. Propriété :Primitive vérifint une condition Soit f une fonction définie sur un intervlle I. Si F est une primitive de f sur I lors il eiste une unique primitive de f sur I telle que F ( ) = y où et y sont deu réel donnés. Eemple 7 : Recherche des primitives Soit f définie sur R pr f() = 3 +. Vérifier que F définie sur R pr F () = 3 + est une primitive de f sur R. Déterminer une epression de l ensemble des primitives de f sur R 3. En déduire l primitive F de f sur R telle que F () =. F () = 3 + = 3 + = f() donc F est une primitive de f sur R. G() = F () + C = C vec C R est l ensemble des primitives de f sur R. 6/

7 3. F () = C et F () = F () = C = + C = C = F () = 3 + est l unique primitive de f sur R telle que F () = F () = Clcul de primitives 3. Eistence de primitives Théorème : Eistence de primitives (dmis) Toute fonction continue sur un intervlle I de R dmet des primitives sur I 3. Primitives des fonctions usuelles f() = Primitive F () = sur l intervlle f() = Primitive F () = sur l intervlle R ln() ]; + [ R R (Tous les réels suf ) R R 3 n n R (n ) n R n N n n+ n + R e e R Eemple 8 : Utilistion des primitives des fonctions usuelles L fonction f est définie sur ]; + [ pr f() = +. f est continue(somme de fonctions continues sur : + [) sur ]; + [ donc dmet des primitives sur ]; + [ En utilisnt les primitives usuelles des fonctions et données dns le tbleu ci-dessus, on : F () = 3 + ln() est une primitive de f sur ]; + [ 3 et l ensemble des primitives de f sur ]; + [ est de l forme G() = 3 + ln() + C vec C constnte 3 réelle. 7/

8 Eemple 9 : Appliction à l recherche de primitives Déterminer une primitive F de f sur D f dns chque cs :. f() = 5 + e sur D f = R. f() = vec D f = R 3. f() = e + vec D f =]; + [. F () = e = e F () = e. F () = = F () = 3. F () = e + ln() 3.3 Lien entre primitive et intégrle Théorème (dmis) Si f est continue et positive sur un intervlle I de R lors pour tout réel de I, l fonction F définie pr F () = f()d est dérivble sur I et F () = f() Remrque F est lors l primitive de f s nnulnt en =. En effet, F () = f()d = F () F () = Eemple : Primitive de l fonction eponentielle L fonction F définie sur R pr F () = e d est l primitive de f définie sur R pr f() = e telle que F () =. On F () = e d = e e = e (rppel :(e ) = e ) Théorème (dmis) Si f est continue sur un intervlle I = [; b] de R et F est une primitive de f sur I lors f()d = F (b) F () Eemple : Clcul d une ire Soit f définie sur R pr f() = et C f s courbe représenttive dns un repère orthonormé d unité cm. Clculer l ire du domine limité pr l courbe C f, l e des bscisses, l e des ordonnées et l droite d éqution = 3 en cm Méthode : Vérifier que f est continue et positive sur [; 3] Déterminer une primitive F de f sur R 8/

9 Fire le lien entre l question posée et le clcul de l intégrle (voir eemples, et 3) Clculer A = 3 f()d (en unités d ire) et clculer ensuite l ire en cm d une unité d ire puis de A en cm f() = donc f est continue sur R et f() sur R F () = 3 est une primitive de f sur R 3 f est continue sur R et f() donc l ire A en unités d ire du domine limité pr l courbe C f, l e des bscisses, l e des ordonnées et l droite d éqution = 3 est égle à 3 f()d A = 3 33 f()d = F (3) F () = 3 3 = 9 u. (unités d ire) 3 Une unité d ire correspond à une ire de = 4 cm donc A = 9 4 = 36 cm 4 Propriétés Propriétés : propriétés de l intégrle f et g sont deu fonctions continues sur [; b] ( < b), k R et c R.. Linérité : f() + g()d = f()d + g()d et kf()d = k f()d. Reltion de Chsles : f()d = c f()d + c f()d 3. signe de f()d Si f() < g() sur [; b], f()d < g()d 4. comprison Si f() > sur [; b], f()d > Démonstrtion : propriété 3 Si on note F une primitive de f sur [; b], on lors F () = f() f() > sur [; b] donc F () > et F est donc strictement croissnte sur [; b] donc F () < F (b). On donc f() = F (b) F () et F (b) > F () donc f() > 5 Vleur moyenne Définition : Vleur moyenne de f sur [; b] L vleur moyenne d une fonction f continue sur [; b] est définie pr m = b f()d Interpréttion grphique dns le cs où f est continue et positive sur [; b] : m = b f()d donc f()d = m(b ) m(b ) est l ire du rectngle dont les côtés ont pour longueur b et m (voir grphique) f()d est l ire du domine limité pr l courbe représenttive de f, l e des bscisses et les droites d équtions = et = b et est égle à l ire du rectngle dont les côtés ont pour longueur b et m (rectngle bleu sur le grphique). 9/

10 6 Eemples 6. Clcul d une primitive vec une fonction de l forme e u() Eemple : primitive de e u() Soit l fonction f définie sur R pr f() = e + et on note C F s courbe représenttive dns un repère orthonormé d unité cm.. Clculer l dérivée de l fonction définie sur R pr e +. En déduire une primitive F de f sur R. 3. Clculer l ire du domine limité pr l courbe C f, l e de bscisses, l e des ordonnées et l droite d éqution = 3 en unités d ire puis donner l vleur de cette ire en cm rrondie u mm près.. (e + ) = e + (rppel : (e u() ) = u ()e u() ). F () = e+ En effet, on lors : F () = e+ = e + = f() 3. Pour tout réel, on e + > donc f est continue et f() > sur R donc sur [; 3] L ire A du domine limité pr l courbe, l e des bscisses et les droites d équtions = (e des ordonnées) et = 3 est don égle à A = 3 f()d A = 3 f()d = F (3) F () F () = e+ et F (3) = e6+ = e = e = e7 donc A = e7 e = e7 e A = e7 e unités d ire Le repère est orthonormé d unité cm donc une unité d ire correspond à une ire de = 4 cm. A = 4 e7 e = (e 7 e) 87, 83 cm A = 87, 83 cm Remrque Les mm correspondent u chiffre des centièmes /

11 6. Clcul de l ire entre deu courbes Eemple 3 : Clcul de l ire du domine délimité pr deu courbes On donne les fonctions f et g définies sur ]; + [ pr f() = et g() = et on donne ci-dessous C f et C g les représenttions grphiques de f et g dns un repère orthogonl. On note A l ire, en unités d ire, du domine limité pr C f, C g et les droites d équtions = et = 4. Pr lecture grphique, donner une encdrement de A. Etudier le signe de f() g() et en déduire que C f est en-dessous de C g sur [; + [ 3. Clculer 4 f()d puis 4 g()d 4. En déduire l ire du domine limité pr C f, C g et les droites d équtions = et = 4. Une unité d ire correspond à un crreu du qudrillge. A est comprise entre l ire du polygone vert et du tringle bleu (voir figure) /

12 donc 4, 5 < A < 7, 5. f() g() = + = > donc f() g() est du signe de Polynôme du second degré) = = = ou = (on peut ussi clculer = 4) Signe de sur R donc sur [; + [, f() g() soit f() g() donc C f est en-dessous de C g sur [; +?infty[ 3. f() = donc F () = ln() est une primitive de f sur ]; + [ g() = donc G() = est une primitive de g sur ]; + [ F () = ln() et G() = sur ]; + [ 4. Sur [; 4], on f et g continues et f() > et g() > donc l ire A, en unités d ire, du domine limité pr C f, l e des bscisses et les droites d équtions = et = 4 est : A = 4 f()d) = F (4) F () = ln(4) ln() = ln(4)u. (rppel ln() = ) De même, l ire A, en unités d ire, du domine limité pr C g, l e des bscisses et les droites d équtions = et = 4 est : A = 4 4 g()d) = G(4) G() = = 7 u. Sur [; 4], on f() < g() donc A = A A = 7 ln(4) 7, u. A = 7 ln(4) u. /

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