Intégration. Intégrale d une fonction. II - Interprétation graphique : calcul d aire. 1) Aire d une fonction positive. T ale STI

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1 Intégrtion T le STI I - Intégrle d une fonction Définition Soit F une primitive de l fonction f sur [; ], lors, on note Exemple : Clcul de Clcul de 4 (3x ) dx = = [F(x)] = F() F() xdx : Une primitive de f(x) = x est F(x) = x, et donc, 4 xdx = [ ] 4 x = 4 = 6 4 = 6 (3x ) dx : Une primitive de f(x) = (3x ) est F(x) = 9 (3x )3, et donc, [ ] (3x )3 = 9 9 (3 )3 9 (3 )3 = 3 9 ( )3 9 = II - Interpréttion grphique : clcul d ire ) Aire d une fonction positive Propriété Soit f une fonction positive sur [; ], lors est égl à l ire du domine compris entre l coure f, l xe des scisses, et les droites d équtions x = et x =, exprimé en unités d ire du grphique. Exemple : Soit f(x) = x +. Alors, 3 = 3 (x + ) dx = [ x + x ] 3 = (3 + 3) ( + ) = Géométriquement, A est l ire d un trpèze : A = + B h = = Y. Morel Intégrtion - T le STI /5

2 ) Intégrle d une fonction négtive J K Soit f une fonction continue et négtive sur un intervlle [; ], et s coure représenttive dns un repère orthogonl (;,). I Dns ce cs, l intégrle de f de à est l opposée de l ire du domine D compris entre l xe des scisses et : f(x)dx = ire (D) 3) Intégrle d une fonction de signe quelconque Pour une fonction f continue de signe quelconque sur un intervlle [; ], l intégrle de f est l somme des ires lgériques des domines sur lesquels f grde un signe constnt. f(x)dx = ire (D ) ire (D )+ire (D 3 ) ire (D 4 ) 3 4 n convient de plus que : f(x)dx = f(x)dx. Exemple : Soit f(x) = cos(x). Alors, π π π = (cosx ) dx = [sin x x] π π <. = ( π) ( ) = π Exemple : Soit f(x) = 3x. Alors, = (3x ) dx = [ x 3 x ] = (8 4) ( + ) = 3 Y. Morel Intégrtion - T le STI /5

3 4) Lien intégrle - primitive Propriété L fonction F définie pr F(x) = Démonstrtion : Soit G une primitive de f, lors, F(x) = est l primitive de f qui s nnule en. F vérifie, F (x) = G (x) = f(x), et F() = G() G() =. Exemple : Soit f(x) = x 3 6x +. Alors, F(x) = = (x 3 6x + ) dx [ ] x = 4 x4 3x + x ( ) = 4 x4 3x + x = 4 x4 3x + x + 4 est l primitive de f qui s nnule en : F() =. = [G(x)] x ( ) = G(x) G(), et III - Propriété de l intégrle ) Reltion de Chsles Propriété Reltion de Chsles Soit f une fonction continue sur [; c], et soit un réel de [; c], lors c = + c ) Linérité de l intégrle c Propriété Soit f et g deux fonctions définies sur [; ] et k un nomre réel, lors, (f(x) + g(x)) dx = + g(x) dx Exemple : k = k 3) Inéglités (3x + x ) dx = 3xdx + x dx = 3 xdx + x dx Y. Morel Intégrtion - T le STI 3/5

4 Propriété Soit f et g deux fonctions dérivles sur [; ],, lors Exercice : si pour tout x [; ], f(x), lors Si pour tout x [; ], f(x) g(x) lors ) Démontrer que pour tout réel t [; ], on ) En déduire que t + t dt. t + t t. g(x) dx IV - Vleur moyenne d une fonction l vleur moyenne d une fonction est définie comme le nomre réel µ qui vérifie : µ( ) = µ A= A=µ( ) Définition Soit f une fonction définie sur [; ],. L vleur moyenne de f sur [; ] est le nomre réel : µ = Exercice : Déterminer l vleur moyenne de l fonction crré f(x) = x sur [; ]. Exercice : Déterminer l vleur moyenne de f(x) = 3x sur [; 3]. Exercice : Déterminer l vleur moyenne de f(x) = sur [; 4]. (x ) Propriété Inéglités de l moyenne : Soit f une fonction continue sur [; ], vec <, telle que, pour tout x [; ], m f(x) M, lors m M ou, de mnière équivlente, m( ) M( ) Démonstrtion : Pour tout x [; ], m f(x) M, et donc, d près l propriété de l ordre des intégrles : r, m dx = m( ) et, m dx M m M dx M dx = M( ), d où l encdrement de l moyenne. A=M( ) A=m( ) Y. Morel Intégrtion - T le STI 4/5

5 Exercice : Soit l fonction f définie pr f(x) = + t. Déterminer le sens de vrition de f sur [; ], puis donner un encdrement de. Exercice : Soit f et g les fonctions définies sur IR pr f(x) = x x + et g(x) = x. n note et C g les coures représenttives de ces fonctions dns un repère orthonorml (;,) (unité grphique cm).. Déterminer les coordonnées des points d intersection des deux coures et C g.. Dresser le tleu de vritions de l fonction f. 3. Trcer les coures et C g. 4. Soit P l prtie du pln comprise entre les coures et C g, et les droites d éqution x = et x = 3. Hchurer sur le grphique le domine P, et clculer son ire en unités d ire puis en cm. Exercice : (D près cclurét STI, Génie électronique, électrotechnique, optique, Métropole 9) Soit f l fonction définie sur IR pr f(x) = e x + x + 3x n note C l coure représenttive de l fonction f dns un repère (;,) (unité grphique cm).. Clculer l mesure excte, en unités d ire, de l ire A de l prtie du pln comprise entre l coure C, l xe des scisses et les droites d éqution x = et x =.. En déduire, en cm, l mesure rrondie u centième de l ire A. Exercice : (D près cclurét STI, Génie électronique, électrotechnique, optique, Métropole 7) n considère l fonction f définie sur ]; + [ pr f(x) = x lnx x n note C l coure représenttive de l fonction f dns le pln P muni d un repère orthonorml (;,). n note A l mesure, exprimée en cm, de l ire de l prtie du pln P comprise entre l coure C, l xe des scisses et les droites d équtions x = et x = e.. n considère l fonction H définie sur ]; + [ pr H(x) = (ln x). n désigne pr H l fonction dérivée de l fonction H. ) Clculer H (x). ) En déduire une primitive F de l fonction f sur l intervlle ]; + [.. ) Clculer A. ) Donner l vleur de A rrondie u mm. Exercice : (D près cclurét STI, Génie électronique, électrotechnique, optique, Métropole ) n considère l fonction f définie sur l intervlle ]; 5] pr : f(x) = 4 ln x + x x x Soit C s coure représenttive dns un repère (;,) du pln. n note de plus Γ l hyperole d éqution y = 4 x.. n considère l fonction H définie sur l intervlle [; 5] pr H(x) = x ln x x. Montrer que H est une primitive de l fonction ln sur l intervlle [; 5].. Clculer l ire du domine compris entre l coure C, l coure Γ et les droites d équtions respectives x = et x =. Le résultt ser donné en unités d ire. Y. Morel Intégrtion - T le STI 5/5

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