Equations et Inéquations

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1 Equations et Inéquations Table des matières I Révisions 1 I.1 Equations du premier degré I.1.1 Introduction I.1.2 Rappels sur les règles de base de l algèbre I.1.3 Formalisation I.2 Inéquations du premier degré I.2.1 Problème introductif I.2.2 Rappels sur les inégalités I.2.3 Formalisation I.3 Systèmes d équations du premier degré à deux inconnues II Equations et inéquations du second degré 10 II.1 Introduction II.2 Cas particuliers simples II.3 Méthode générale II.4 Inéquations du second degré II.4.1 Exemple II.4.2 Méthode générale III Approfondissement 1 III.1 Pour comprendre la preuve du théorème III.2 Polynômes de degré supérieur III.2.1 Equations, racines et factorisation III.2.2 Inéquations polynomiales I Révisions I.1 Equations du premier degré I.1.1 Introduction Lors d un voyage aux Etats-Unis, mon enfant de 6 mois semble abattu. Bon, je commence à avoir l habitude et j ai adopté la règle suivante : je prends sa température, puis en dessous de 38, C, je ne fais rien, entre 38, et 40 C, je considère qu il a de la fièvre et je lui donne éventuellement un antipyrétique de type paracétamol en attendant de voir un autre symptôme arriver, au-delà de 40 C, je file chez le médecin. Bref, je trouve un thermomètre et prends sa température : le thermomètre indique 100, 4. Après un instant de panique, je me rends compte que la température est affichée en degrés Fahrenheit. Je n ai aucune idée de ce que ce nombre signifie par rapport à mes habitudes. Heureusement, la notice du thermomètre indique la relation entre la température en degrés 1

2 Celsius (l échelle utilisée couramment en France), désignée par T C, et la température en degrés Fahrenheit, désignée par T F : T F = 1, 8 T C (1) Quelle conduite dois-je adopter? Pour d autres occasions, j aimerais transcrire la règle de conduite ci-dessus en une règle de conduite où les degrés Celsius sont remplacés par des degrés Fahrenheit, pouvez-vous m aider? Nous allons voir apparaître les mots-clefs suivants : variable, égalité, équation, résolution, inégalité, inéquation, inconnue, paramètre, solution, ensemble des solutions, équivalence. Première résolution. Pour répondre à la première question, remplaçons la variable T F dans (1) par ce qu elle vaut dans le cas présent : 100, 4. On obtient : 1, 8 T C + 32 = 100, 4 (2) Ça ne m évoque toujours pas grand chose, et il faut maintenant que j isole T C ou autrement dit que je résolve l équation (2) en l inconnue T C. Pour cela, on utilise les vieilles recettes de l algèbre, qui nous permettent de manipuler des équations à l aide des quatre opérations pour obtenir des équations équivalentes. On retranche 32 des deux côtés de l égalité pour obtenir : 1, 8 T C = 68, 4 et enfin on divise chaque côté de l égalité par 1, 8 pour obtenir : T C = 68, 4 1, 8 c est à dire T C = 38. Conclusion : pas de panique, je peux attendre de voir. Au passage, on a résolu l équation (2) en l inconnue T C, elle a une unique solution, qui est 38. Remarquons qu au lieu de remplacer T F par 100, 4 au début, on aurait pu le garder sous forme de variable le plus longtemps possible, et ne résoudre le problème qu à la fin. Le raisonnement ci-dessus conduit à : T C = T F 32 1, 8 La notice nous avait donné T F en fonction de T C, et on a réussi à exprimer T C en fonction de T F. L avantage est de ne pas devoir recommencer tout le calcul à partir de zéro à chaque fois pour de nouvelles valeurs de T F, mais simplement la dernière étape (remplacer T F par sa valeur dans (3)). T F joue ici le rôle de paramètre, c est à dire une variable que l on considère comme connue mais arbitraire. Remarquons à ce propos que la relation (2) exprime une relation entre deux variables, T C et T F, et que selon le contexte chacune de ces variables peut être une inconnue ou un paramètre. Dans le raisonnement qui conduit à l équation (3), T C était l inconnue et T F un paramètre. 1 Exercice n o 1 Résoudre l équation suivante en l inconnue x : 3x + 4 = Pour un américain séjournant à Paris, ce serait l inverse. (3) -2-

3 I.1.2 Rappels sur les règles de base de l algèbre Comme nous avons vu l importance des règles de base de l algèbre pour la résolution des équations, faisons tout d abord quelques rappels sur ces règles. Quelques rappels sur l addition de nombres réels Pour tous réels a, b et c, a + b = b + a (commutativité) (a + b) + c = a + (b + c) (associativité) Quelques rappels concernant la multiplication de nombres réels Pour tous réels a, b et c, a b = b a (commutativité) (a b) c = a (b c) (associativité) Notations et vocabulaire : a b est appelé le produit de a et b, et a et b sont appelés ses facteurs. Pour simplifier les écritures, lorsque cela n engendre pas de confusion, le signe de multiplication est souvent omis (il est alors sous-entendu) : par exemple, le produit de a et b est noté ab au lieu de a b. Enfin, la propriété cruciale liant l addition et la multiplication : la distributivité de l addition par rapport à la multiplication, Pour tous réels a, b et c, a (b + c) = a b + a c (distributivité) Quand, dans un raisonnement, on utilise l égalité ci-dessus en remplaçant le terme de gauche par le terme de droite, on dit qu on a effectué un développement. Quand on utilise cette égalité en remplaçant le terme de droite par le terme de gauche, on dit qu on a effectué une factorisation. En fait, il manque aux règles ci-dessus quelques règles que vous connaissez bien, et qui expliquent les rôles particuliers des nombres 0 et 1. Pour tout réel a, a + 0 = a a 1 = a a 0 = 0-3-

4 Tout nombre réel a possède un opposé, noté a, tel que a + ( a) = 0. Tout nombre réel différent de 0 possède un inverse, noté 1/a ou a 1 tel que : a (1/a) = 1 L ensemble des règles énoncées ci-dessus constitue la base de tout le reste en algèbre, au sens où tout énoncé doit pouvoir être démontré uniquement à partir de ces règles 2. Exemple 1 (Les identités remarquables) Elles correspondent simplement à un enchaînement de deux développements. Développons (a + b) 2. Le signe «2» est un simple raccourci pour dire qu on multiplie (a+b) par lui-même. En utilisant la distributivité (I.1.2), on a, pour tous nombres réels a et b, (a + b) (a + b) = (a + b) a + (a + b) b On utilise à nouveau la distributivité (et la commutativité de la multiplication) pour obtenir : (a + b) a + (a + b) b = a a + b a + a b + b b Enfin, on rassemble les termes égaux : b a + a b = 2 a b pour obtenir : Soit, en écriture plus compacte, (a + b) 2 = a a + b b + 2 a b (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Exercice n o 2 Démontrer les deux autres identités remarquables : pour tous réels a et b, Exercice n o 3 Démontrer que (a + b)(c + d) = ac + bc + ad + bd. I.1.3 Formalisation (a b) 2 = a 2 + b 2 2ab (a + b)(a b) = a 2 b 2 Donnons d abord une définition formelle de ce qu est une équation à une inconnue : Définition 1 Une équation en l inconnue x est la donnée : d une égalité entre deux fonctions 3 de la variable x, d un domaine D, ensemble des valeurs dans lequel on cherche les solutions. Une formulation typique est donc f(x) = g(x), x D. L ensemble des solutions de l équation est le sous-ensemble des valeurs x de D telles que f(x) = g(x) est vrai. Résoudre une équation, c est déterminer l ensemble de ses solutions. Deux équations de même inconnue et même domaine sont dites équivalentes si elles ont exactement les mêmes solutions. 2. La soustraction et la division peuvent être vues à partir de cela comme de simples notations : a b signifie a + ( b) et a b signifie a 1 b. -4-

5 Exemples : (a) x 2 37 = 3x x 1, (b) (2x 1)3 + (1 2x)(3 2x) = 0, (c) 34x 4 = 12x + 7, Remarquons que dans bien des cas, l inconnue x et le domaine D ne sont pas explicites et sont à déduire du contexte 4. Pour résoudre les équations, on les transforme par une suite d opérations simples (dites élémentaires), qui ne changent pas l ensemble des solutions, jusqu à arriver à une équation dont l ensemble des solutions est évident, du type x = 2, ou 1 = 3 (pas de solution). Voici les deux opérations élémentaires de base. Propriété 1 (Opérations élémentaires sur les équations) Si l on ajoute un même nombre à chaque membre d une équation, on obtient une équation équivalente. Si l on multiplie chaque membre d une équation par un même nombre non nul, on obtient une équation équivalente. Avec une définition aussi générale que la Définition 1, on peut se retrouver avec des équations très difficiles à résoudre. On se contentera dans ce premier cours d étudier les équations et inéquations les plus simples (affines, puis polynomiales). Les équations les pus simples sont les équations du premier degré, ou affines, c est-àdire celles qui peuvent se mettre sous la forme ax + b = 0 avec a et b des paramètres réels, a 0, comme celle traitée dans l exemple introductif. Propriété 2 (Equation du premier degré générale) Soient a et b des paramètres réels, avec a 0. L équation ax + b = 0 a une unique solution, x = b a. I.2 Inéquations du premier degré I.2.1 Problème introductif Revenons à l exemple introductif et à la question Pour d autres occasions, j aimerais transcrire la règle de conduite ci-dessus en une règle de conduite où les degrés Celsius sont 3. Attention l une des deux fonctions (ou même les deux!) peut ne pas dépendre de x, c est-à-dire être une fonction constante, comme par exemple dans : 2x + 1 = (ici g(x) = ), 3x + 1 = 0 (ici g(x) = 0). 4. Par défaut on prendra comme domaine D l ensemble de toutes les valeurs pour lesquelles l égalité considérée a un sens, par exemple dans l équation (a) on prend D = R {1}.. Une fonction affine est une fonction de la forme f(x) = ax + b, avec a et b des paramètres réels. Les fonctions affines sont très importantes, notamment parce que beaucoup de fonctions ressemblent à des fonctions affines lorsqu on les regarde d assez près. C est le sens de la notion de dérivée que l on étudiera plus tard. --

6 remplacés par des degrés Fahrenheit, pouvez-vous m aider? Au lieu de faire la conversion en degrés Celsius à chaque fois, j aimerais transcrire la règle de conduite ci-dessus en une règle de conduite où les degrés Celsius sont remplacés par des degrés Fahrenheit. Autrement dit, j aimerais comprendre comment s expriment sur T F les règles que j ai édictées pour T C. En se rappelant que T C = T F 32 1,8, nous sommes donc amenés à résoudre l inéquation suivante : T F 32 1, 8 38, (4) Pour transcrire mes règles de manière exacte, on utilise également les règles de l algèbre, cette fois sur des inégalités. T C 38, T F 32 38,, 1, 8 T F 32 1, 8 38, 1, 8, 1, 8 T F 32 38, 1, 8, T F , 1, , T F 38, 1, , T F 101, 3, Par conséquent, la première règle devient en dessous de 101,3 F, je ne fais rien. Nous avons résolu l inéquation (4) en l inconnue T F, et l ensemble des solutions est l ensemble des réels inférieurs ou égaux à 101, 3, que l on note mathématiquement ] ; 101, 3]. Remarquons que cet ensemble est en fait inutilement grand d un point de vue physique, car certaines températures ne peuvent être atteintes (on ne peut descendre en-dessous du zéro absolu, qui vaut environ -49,67 F ). Cela permet de souligner que l on n a pas été très précis au début de la résolution de l inéquation : en toute rigueur il faudrait préciser l ensemble dans lequel on cherche une solution, ensemble qui pourrait être ici [ 49, 67; + [, auquel cas l ensemble des solutions de l inéquation (4) serait [ 49, 67; 101, 3]. 6 Exercice n o 4 Traduire le reste de ma règle de conduite. I.2.2 Avant de traiter le cas général, commençons par revoir les règles de base sur les inégalités. Rappels sur les inégalités Pour manipuler les inéquations à l aide des quatre opérations, nous allons utiliser les règles suivantes. Propriété 3 (Règles de manipulations des inégalités) Pour tous réels a, b et c, a < b a + c < b + c 6. En fait, d un point de vue biologique, on peut ne considérer que des températures comprises entre 12 C et 42 C. À vous de trouver l ensemble dans lequel on chercherait alors une solution. -6-

7 Si c est un réel strictement positif, a < b ac < bc Si c est un réel strictement négatif, a < b ac > bc Remarquons que les mêmes énoncés sont vrais avec des inégalités larges dans les équivalences. Une autre propriété que nous utiliserons constamment est celle concernant le signe d un produit : Propriété 4 (Signe d un produit) Pour tous réels a et b ab > 0 (a > 0 et b > 0) ou (a < 0 et b < 0) Exercice n o Exprimer ces énoncés sans notation mathématique et les visualiser sur la droite réelle. Exercice n o 6 Soient a et b deux nombres réels tels que 1, 3 < a < 1, 4 et 0, 01 < b < 0, 02. Encadrer a + b, a b, ab et a/b. I.2.3 Formalisation Exercice n o 7 Ecrire une définition d une inéquation à une inconnue. Revenons sur la méthode de résolution d une inéquation du premier degré. Exercice n o 8 Résoudre 3x + 4 < 0. Exemple de résolution : On essaie d isoler x en utilisant les règles de base de l algèbre : 3x + 4 < 0 3x < 0 4 3x < 4 3x 1 3 > x > 4 3 Donc l ensemble des solutions est ] 4 3, + [. -7-

8 On peut, de la même manière, résoudre toutes les inéquations du premier degré, c est-à-dire toutes les inéquations pouvant se mettre sous l une des formes ax + b 0 ou ax + b 0 ou ax + b > 0 ou ax + b < 0, où a et b sont deux réels (avec a 0). Exercice n o 9 (Inéquation du premier degré générale) Soient a et b des paramètres réels. Résoudre l inéquation ax + b < 0. I.3 Systèmes d équations du premier degré à deux inconnues Exemple de problème. Hier, je suis allé chez mon boulanger et j ai acheté 2 baguettes et 4 croissants. J en ai eu pour 6 euros et 10 cents. Ce matin, je n ai acheté qu une baguette et trois croissants, et j en ai eu pour 4 euros et cents. Quel est le prix de la baguette et du croissant 7? Exemple de résolution. On introduit les notations suivantes : x b désigne le prix de la baguette et x c le prix du croissant. L énoncé du problème nous donne donc deux informations : 2x b + 4x c = 6, 10 et x b + 3x c = 4, 0. Il y a deux inconnues : x b et x c, et deux équations qui doivent être réalisée toutes les deux. Il s agit d un système d équations, que l on présente souvent avec une accolade 8 : { 2xb + 4x c = 6, 10 () et x b + 3x c = 4, 0 Ce qu on vient de faire s appelle une mise en equations du problème. Une méthode simple pour résoudre ce genre de système consiste à résoudre une des deux équations en x b, en faisant comme si x c était fixée, puis à substituer la valeur obtenue pour x b dans l autre équation, qui deviendra une équation à une inconnue, facile à résoudre. On appelle cette méthode la méthode par substitution. Essayons : Soient x b et x c deux nombres réels quelconques. Alors { 2xb + 4x c = 6, 10 et x b + 3x c = 4, 0 { 2xb = 6, 10 4x c et x b + 3x c = 4, 0 { xb = 6,10 4xc 2 et x b + 3x c = 4, 0 { xb = 3, 0 2x c et 3, 0 2x c + 3x c = 4, 0 { xb = 3, 0 2x c et 3, 0 2x c + x c = 4, 0 { xb = 3, 0 2x c et x c = 1 { xb = 3, et x c = 1 { xb = 1, 0 et x c = 1 7. En supposant qu il n ait pas augmenté ses prix pendant la nuit! 8. Le et entre les deux équations est en général sous-entendu -8-

9 On constate donc qu il y a une unique solution au système (), qui est : x b = 1, 0 et x c = 1. Pour éviter les confusions, on considère que le système d équations a une seule inconnue : le couple (x b ; x c ), et chaque solution est alors un couple de nombres réels. Ici on écrira que le système a une unique solution : (x b ; x c ) = (1, 0, 1). Exercice n o 10 Dans l exemple introductif ci-dessus, on change légèrement les données du problème : on suppose qu on a acheté deux croissants seulement et non trois ce matin, et qu on en a eu pour 3 euros et cents. Que se passe-t-il? Exemple 2{ x + y = 1 Le système admet une unique solution. Cette solution est (x; y) = ( 1; 2), que l on y = 2 obtient en remplaçant y = 2 dans la première équation. Exemple 3{ x + y = 1 Le système n a pas de solution : en effet, si ce système admet une solution (x; y), alors x + y = 2 x + y = 1 et x + y = 2, ce qui signifie que 1 = 2... Exemple 4{ x + y = 2 Le système On remarque que les deux équations sont équivalentes (l une est un 2x 2y = 4 multiple de l autre). On peut par exemple choisir une valeur arbitraire pour x, qu on notera par exemple t. En remplaçant x par t on voit qu alors il existe une unique solution y = 2 t. Il y a donc une infinité de solutions, qu on peut décrire comme les couples (t; 2 t), pour t parcourant R. L ensemble S des solutions s écrit alors S = {(t; 2 t), t R} Un système d équations du premier degré comme ci-dessus (aussi appelé système linéaire) n a pas toujours une unique solution. Il peut y en avoir aucune, une seule, ou une infinité. Voici quelques exemples illustrant les différentes situations que nous pouvons rencontrer. -9-

10 II Equations et inéquations du second degré II.1 Introduction Exemple de problème concret : Un enfant lance une balle en l air. Le principe fondamental de la dynamique 9 implique que tant que la balle n est soumise qu à son propre poids, sa hauteur (en mètres) au-dessus du sol à l instant t est donnée par la formule suivante 10 : h(t) = 1 + 6t t 2, où le temps t est mesuré en secondes. À quel instant la balle va-t-elle toucher le sol? Il s agit de résoudre l équation du second degré : 1 + 6t t 2 = 0, t [0, + [ (6) (où l inconnue est t). Définition 2 Une équation du second degré en l inconnue x est une équation qui peut se mettre sous la forme ax 2 + bx + c = 0 où a, b et c sont des nombres réels, avec a 0. L expression P (x) = ax 2 + bx + c est appelée un polynôme de degré 2 (car le plus grand exposant de x est 2), ou un trinôme. Une racine de P (x) est un nombre r tel que P (r) = 0. Résoudre l équation P (x) = 0, c est donc chercher les racines de P. Avant de présenter la méthode générale de résolution, et de résoudre l équation (6), nous allons nous pencher sur des cas plus simples d équations du second degré, qui se résolvent plus facilement (et qui sont à connaître). II.2 Cas particuliers simples Equations produits et factorisation. Une première remarque extrêment importante est que lorsque P (x) est factorisé (c est alors un produit P (x) = A(x)B(x) de deux facteurs du premier degré), par exemple pour : P (x) = (2x 1)(2x 4) le problème est facile à résoudre, car l équation P (x) = 0 se ramène à résoudre séparément les deux équations du premier degré A(x) = 0 et B(x) = 0. Ici : (2x 1)(2x 4) = 0 2x 1 = 0 ou 2x 4 = 0 x = 1 2 ou x = 2 9. Aussi appelé Deuxième loi de Newton. 10. la constante devant t 2 est approximative et devrait valoir g/2, où g est l accélération du champ de pesanteur terrestre -10-

11 L équation possède donc toujours ou bien deux solutions (ici x = 1 2 et x = 2), ou une seule (si les deux équations de degré 1 ont la même solution, par exemple pour (x 2)(2x 4) = 0) (On parle alors de racine double). Remarquons que nous avons utilisé la propriété suivante : un produit de deux nombres réels est nul si et seulement si l un au moins des deux nombres est nul. Sous forme plus compacte, cela s énonce comme suit : Propriété (Produit nul) Pour tous nombres réels a et b, a b = 0 (a = 0 ou b = 0) Equations de la forme x 2 + c = 0 (sans terme de degré 1) Par exemple x 2 4 = 0 Quelles sont les solutions de cette équation? Elle est équivalente à x 2 = 4. Connaissonsnous des nombres qui élevés au carré font 4? 2 est une solution bien sûr et 2 en est une autre. Pour prouver formellement qu il n y a pas d autres solutions, une méthode consiste à factoriser, en reconnaissant que x 2 4 = x et en utilisant l identité remarquable (a 2 b 2 ) = (a b)(a + b). En effet : x 2 4 = 0 (x 2)(x + 2) = 0 x 2 = 0 ou x + 2 = 0 x = 2 ou x = 2 et ainsi l équation x 2 4 = 0 a exactement deux solutions : 2 et 2. Ou encore, l ensemble des solutions est { 2; 2}. Autre exemple : x = 0 Cette équation est équivalente à x 2 = 1. Mais il n existe pas de nombre réel dont le carré est strictement négatif. Cette équation n a donc pas de solution. À noter qu on considère qu on a bien résolu l équation! On dit alors que l ensemble des solutions S est l ensemble vide, qui est noté S =. Equations de la forme (x + a) 2 + b = 0 Par exemple : (E) (x + 2) 2 3 = 0 En considérant que l inconnue est t = x + 2 (changement d inconnue, appelé changement de variable), on est ramené à résoudre l équation (E ) t 2 3 = 0 ce que l on sait faire (vu précédemment). On obtient que l équation (E ) a deux solutions t = 3 et t = 3, donc comme x = t 2, l equation (E) a deux solutions x = 3 2 et x =

12 Une autre méthode équivalente est de factoriser directement le membre de gauche de (E), pour se ramener à une équation produit en utilisant l identité remarquable (a 2 b 2 ) = (a b)(a + b) : Donc (x + 2) 2 3 = (x + 2) 2 ( 3) 2 = (x )(x + 2 3) (E) (x )(x + 2 3) = 0 x = 0 ou x = 0 x = 2 3 ou x = La technique mise en œuvre ci-dessus marche pour l équation (x + a) 2 + b = 0 générale, lorsque b 0. On obtient deux racines x 1 = a b et x 2 = a+ b, distinctes si b 0, confondues (x 1 = x 2 = a si b = 0). Si b > 0, par exemple pour : (E) (x + 2) = 0 alors il n y a aucune solution réelle : En effet, pour tout x R, on a (x + 2) 2 0, donc (x + 2) > 0, en particulier (x + 2) Minimum : Remarquons qu on a démontré au passage que P (x) = (x + 2) est toujours supérieur ou égal à 3. De plus on a P (x) = 3 (x + 2) 2 = 0 x + 2 = 0 x = 2 donc la valeur minimale possible pour P (x) est 3, et elle est atteint pour une unique valeur de x, qui est x = 3. II.3 Méthode générale Pour un polynôme du second degré général, on peut démontrer (voir section III.1) qu on peut toujours l écrire sous la forme P (x) = a((x + a ) 2 + b ), que l on sait traiter (voir précédemment). On obtient alors le théorème suivant, qui fournit une méthode simple pour savoir si on peut factoriser ou pas P (x), et pour trouver ses racines : le calcul du discriminant. Théorème 1 Soient a, b, c trois paramètres réels, avec a On souhaite résoudre l équation suivante en l inconnue x dans l ensemble des nombres réels. ax 2 + bx + c = 0 (7) On pose = b 2 4ac. Alors, Si > 0, alors on a une factorisation de la forme ax 2 +bx+c = a(x x 1 )(x x 2 ), avec x 1 = b 2a et x 2 = b + 2a En particulier, l équation (7) a deux solutions distinctes x 1 et x 2. Ordre des racines :Notons que x 1 < x 2 si a > 0, tandis que x 1 > x 2 si a < 0., -12-

13 si = 0, on a une factorisation de la forme ax 2 + bx + c = a(x x 0 ) 2, avec x 0 = b 2a en particulier l équation (7) a une unique solution x 0. si < 0, l équation (7) n a pas de solution, et le trinôme et ax 2 +bx+c ne peut pas être factorisé. est appelé le discrimant de l équation (7). Exemple Résolvons maintenant la question du problème introductif, c est à dire l équation (6) : h(t) = 1 + 6t t 2 = 0, t [0, + [ Solution : On reconnait un polynome du second degré h(t) = t 2 + 6t + 1. Le discriminant est = ( ) 1 = = 6. On a > 0, donc h(t) a deux racines distinctes dans R, qui sont t 1 = ( ) = et t 2 = ( ) = On a 6 = 4 14 donc 6 = 4 14 = 4 14 = Donc t 1 = = et t 2 = = 3 14 On a t 1 0 donc t 1 est solution de l équation (6). Comme 14 > 3 2, on a 14 > 3, donc t 2 < 0. L équation (6) a donc une unique solution t 1 = , 348s Cas où on connait une racine - Racines évidentes : Si on connait une racine x 1 de P (x), alors on sait que P (x) peut se factoriser sous la forme P (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) Il suffit donc de trouver x 2 à partir de ça. C est en général bien plus rapide que de calculer! Une méthode possible : en faisant x = 0 dans on obtient c = ax 1 x 2 et donc x 2 = ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) c ax 1. Exemple 6 Résoudre 2x x = 0 en remarquant que 1 est solution. 1 est racine donc on sait que 2x x = 2(x ( 1))(x x 2 ) = 2(x + 1)(x x 2 ). Pour x = 0 on a alors 1244 = 2x 2, donc x 2 = = 622. Conclusion : 2x x = 2(x + 1)(x 622) l équation (E) a deux solutions, 1 et Si a = 0 on a une équation du degré 1 que l on sait déjà résoudre. -13-

14 La première chose à faire quand on veut résoudre une équation du second degré ou factoriser un trinôme est donc Regarder si on connait déjà une racine ; chercher une racine évidente : c est-à-dire essayer 1, 1, voire 2 et 2. Exercice n o 11 Résoudre l équation 2x 2 3x + 1 = 0. II.4 II.4.1 Inéquations du second degré Exemple Commençons par un exemple : on voudrait résoudre (x 1)(x + 4) > 0. On sait qu un produit de deux nombres du même signe est positif, et qu un produit de deux nombres de signes opposés est négatif. Par conséquent : (x 1)(x + 4) > 0 (x 1 > 0 et x + 4 > 0) ou (x 1 < 0 et x + 4 < 0) (x > 1 et x > 4) ou (x < 1 et x < 4) (x > 1 ou x < 4) On en déduit que l ensemble des solutions est ], 4] [1, + [. Une façon plus graphique de résoudre l inéquation consiste à faire un tableau de signe : x x x (x 1)(x + 4) Cette méthode est plus facile à généraliser à un produit de plusieurs facteurs (voir la section III.2.2). Revenons à l exemple de la balle, au début de la section II.1. On aimerait savoir à quels instants la balle est à une hauteur superieure ou égale à 2 mètre. Cela revient à résoudre l inéquation : 1 + 6t t 2 2, t [0; + [ (8) Or, 1 + 6t t t t 2 0 La clef est de commencer par factoriser le polynôme 1 + 6t t 2, si c est possible, puis d utiliser la technique précédente. Exercice n o 12 Résoudre l inéquation 1 + 6t t 2 2. II.4.2 Méthode générale -14-

15 La méthode générale pour résoudre une inéquation P (x) < 0 de degré 2 est la suivante : factoriser P (x) si c est possible ; si oui étudier le signe du produit (en faisant le tableau de signe). Si on ne peut pas factoriser P (x), c est-à-dire lorsque < 0, alors P (x) n a pas de racines. Lorsque P (x) ne s annule pas, il est toujours du même signe : soit strictement positif, soit strictement négatif. Il suffit de l évaluer en un point (par exemple en x = 0) pour connaître ce signe. 12 Pour une équation avec second membre P (x) < Q(x), on se ramène à l inéquation équivalente P (x) Q(x) < 0, puis on applique la méthode précédente. En appliquant le théorème 1, on obtient la description complète suivante pour le signe des trinômes. Théorème 2 Soient a, b, c trois paramètres réels, avec a On s intéresse au signe du trinôme P (x) = ax 2 + bx + c. On pose = b 2 4ac. Alors, Si > 0, alors P (x) = a(x x 1 )(x x 2 ) est du signe de a pour x entre les deux racines, et du signe de a sinon. Si a > 0 : x x 1 x 2 + x x x x a(x x 1 )(x x 2 ) Si a < 0 : x x 2 x 1 + x x x x a(x x 1 )(x x 2 ) si = 0, ax 2 + bx + c = a(x x 0 ) 2 et ax 2 + bx + c est toujours du même signe, le signe de a (pour x x 0 ). x x 0 + a(x x 0 ) 2 signe de a 0 signe de a si < 0, ax 2 + bx + c est toujours du même signe, le signe de a. x + ax 2 + bx + c signe de a Exercice n o 13 Résoudre l inéquation x 2 + x III Approfondissement III.1 Pour comprendre la preuve du théorème 1 Nous allons expliquer comment on démontre le théorème 1 sur un exemple : x 2 + x 1 = Si a = 0 on a une inéquation de degré 1 que l on sait déjà résoudre. -1-

16 L idée est d écrire x 2 + x 1 sous la forme (x + a) 2 + b, car dans ce cas, on sera ramené à une équation sans terme de degré 1 (en faisant comme si l inconnue était x + a au lieu de x), que l on sait résoudre (voir précédemment). Quelle valeur de a permet d obtenir x comme terme de degré 1? Développons (x + a) 2 : Donc si on prend a = 1/2, on obtient : (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 D où : (x )2 = x 2 + x x 2 + x 1 = (x ) = (x )2 4 On dit que l on a mis le trinôme x 2 + x 1 sous sa forme canonique. On obtient alors, à l aide de l identité remarquable 14 (a 2 b 2 ) = (a b)(a + b) : x 2 + x 1 = (x )2 4 ( = (x )2 4 ( ) ( ) 2 = x x ) Ainsi, ( ) ( ) x 2 + x 1 = 0 x x = 0 ( ) ( ) x = 0 ou x = 0 x = ou x = Et l équation x 2 + x 1 = 0 a deux solutions, qui sont et 1 2 Exercice n o Montrer que pour tous réels x, a, b, c, forme canonique 2. Démontrer le Théorème 1. ( ax 2 + bx + c = a x + b ) 2 b2 2a 4a + c 14. On utilise aussi l existence de la racine carrée y d un nombre positif ou nul y, qui est l unique nombre positif ou nul dont le carré vaut y. L existence de la racine carrée découle entre autres du théorème des valeurs intermédiaires que l on évoquera plus tard dans ce cours

17 III.2 III.2.1 Polynômes de degré supérieur Equations, racines et factorisation Un cas particulièrement important 1 d équations est le cas des équations polynomiales, c est à dire des équations à une inconnue du type P (x) = 0 où P (x) est un polynôme. Un polynôme en la variable x est une expression comportant uniquement des sommes et des produits de nombres réels et de la variable x. Exemple 7 (3x 2 + 2x) (x 29),x 7, et x sin( π (3x 1) ) sont des polynômes en x. (x+12), x 7 et sin(x 2 + 1) + x + 2 n en sont pas. c est plus difficile à voir s il y a des paramètres : Soit a un nombre réel fixé. 1+x 1+a et sin(a) + x sont des polynômes en x. 1+a 1+x et sin(x) + a n en sont pas. Lorsqu il est développé, un polynôme peut s écrire sous la forme P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a d x d avec a 1,..., a d des nombres réels et a d non nul. On dit que d est le degré du polynôme. Exercice n o 1 1. Quel est le degré du polynôme (3x 2 + 2x) (x 29)? 2. Soit m un paramètre réel fixé. Quel est le degré du polynôme P (x) = (2mx+m 2 ) (x 2 mx 1)? Une racine de P est nombre a tel que P (a) = 0. Par exemple 0 et 1 sont tous les deux racines du polynôme x 2 x, mais 2 ne l est pas. Résoudre l équation P (x) = 0, c est donc chercher les racines de P. Chercher les racines de P est étroitement lié à la question de la factorisation de P comme le montre la proposition suivante. Propriété 6 Soit a un nombre réel. Un polynôme P (x) de degré d 1 admet a pour racine si et seulement si P (x) peut s écrire P (x) = (x a)q(x) avec Q(x) un polynôme de degré d 1. Exercice n o 16 (Difficile) Démontrer la Propriété 6. Si l on veut rester fidèle à la méthode développée pour le second degré, pour résoudre l équation P (x) = 0 il serait souhaitable de factoriser le polynôme P. En effet, il suffira ensuite de chercher les racines de chaque facteur. On souhaite donc factoriser le polynôme en produit de facteurs les plus simples possibles, c est à dire de degrés les plus bas possibles, donc si c est possible, de degré Une raison de cette importance est la relative simplicité des polynômes, associée à l observation suivante : si l approximation d une fonction par une fonction affine n est pas assez précise, on peut souvent mieux l approcher par un polynôme. -17-

18 Or à partir du degré 3, les choses se compliquent 16. Néanmoins, il arrive que certaines équations aient des solutions évidentes, comme dans l Exercice 6 et en utilisant la Propriété 6, on abaisse alors d un degré le polynôme à étudier, et avec un peu de chance on peut trouver toutes les racines. Exercice n o 17 Factoriser x 3 + x 2. De manière moins anecdotique on peut souvent, sans savoir expliciter les racines avec des fonctions simples, dire tout de même des choses d un point de vue qualitatif, ou de manière approchée, notamment grâce aux techniques d étude de fonction que l on verra dans la suite du cours. III.2.2 Inéquations polynomiales Une inéquation polynomiale est une inéquation de la forme P (x) < Q(x) (ou P (x) Q(x)) avec P et Q des polynômes. La méthode pour les résoudre est essentiellement la même que précédemment : écrire l inéquation équivalente P (x) Q(x) < 0, factoriser P (x) Q(x) et étudier le signe du produit. Déterminer le signe d un produit de plus de deux facteurs de degré 1 n est pas beaucoup plus difficile que lorsqu il n y en a que deux. Exercice n o 18 Résoudre l inéquation (x 3)(x + 2)(x 7) < 0. La difficulté principale est de factoriser le polynôme s il ne l est pas déjà. Exercice n o 19 Résoudre l inéquation 2x < x 3 + 4x. 16. Et on peut même montrer qu à partir du degré, elles se compliquent en général terriblement. Il a été démontré par Abel en 1824 qu il n existe pas de formule générale permettant d obtenir les solutions d une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à à partir des coefficients du polynôme en utilisant les quatre opérations et les racines n-èmes. -18-