Chapitre 1 Équations et Inéquations du 2nd degré

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1 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Chpitre 1 Équtions et Inéqutions du nd degré A) Les Polynômes 1) Définitions On ppelle monôme une expression de l forme xn, où est un réel non nul et n est un entier nturel (n >= 0). Un polynôme est une somme de monômes. Exemples P1 = x - 3x 3 + x 4x + 3x 5 P = x5 x3 + x4 x + x5 +1 On ppelle fonction polynôme correspondnt à P l fonction qui à tout x fit correspondre l vleur P(x) prise pr P qund on remplce x pr s vleur dns l expression de P. On ppelle polynôme réduit un polynôme où l'on regroupé les monômes de même degré et où on les triés du plus grnd u plus petit degré. Exemples (réduction des deux exemples précédents) P1 = -3x 3 + 3x x 7 P = x5 + x4 x3 x +1 On ppelle coefficient de rng n le coefficient de xn dns le polynôme. On ppelle degré de P le degré de son monôme de plus hut degré. ) Églité de deux polynômes Deux polynômes sont égux si les fonctions polynômes correspondntes sont égles : P = Q si et seulement si x, P x =Q x. Théorème (dmis) : Deux polynômes sont égux si et seulement si leurs formes réduites sont identiques. Exemple : Soit Q = P1 ci-dessus et Q= x3 + x + cx + d : Alors, on ur = - 3, = 3, c = - 1 et d = - 7. Appliction : Soit Q = x + x + c. Déterminer les vleurs de, et c pour que l'on it : (x 1) Q = x3 + x 6 x Somme lgérique, produit et quotient de polynômes L somme lgérique de deux polynômes un degré inférieur ou égl u degré le plus hut des deux polynômes. Le produit de deux polynômes comme degré l somme des degrés des deux polynômes. Le quotient de deux polynômes n'est en générl ps un polynôme. On dit lors que c'est une frction rtionnelle et l fonction correspondnte est une fonction rtionnelle. pge 1 sur 7

2 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Soit P3 = -x5 +7 et les P1 et P précédents : clculer P1 + P, P + P3 et P1 * P3. 4) Fctoristion pr x Théorème (dmis) Soit P un polynôme et un réel, si P() = 0, on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P = (x )Q. De plus, si P est de degré n, Q ser de degré n 1. P(x) = x3 7x + x + 18 : Clculer P() puis fctoriser P(x) x3 7x + x + 18 = (x - )( x + x + c) = x3 + ( )x + (c )x - c =1 Q(x) = 5x??? - = -7 d'où = -5 c - = 1 d'où c = -9 -c = 18 d'où c = -9 (ceci permet de vérifier qu'on ne s'est ps trompé!). Donc, P(x) = (x )(x -5x 9) (ne ps oulier de conclure insi!). Même question vec Q(x) = 5x3-4x + 3x 4 en clculnt Q(1). B) Résolution de l'éqution du second degré 1) Définitions On ppelle éqution du second degré une éqution de l forme x² + x + c = 0, où, et c sont trois réels donnés, vec différent de 0. Résoudre l'éqution, c'est trouver tous les nomres tels que cette églité soit vrie. Ces nomres sont ppelés "solutions" de l'éqution ou "rcines" du polynôme (on peut ussi dire rcines de l'éqution, mis ttention ux inéqutions!). ) Résolution Soit l'éqution x² + x + c = 0, vec non nul. On clcule Δ = ² 4c. Si Δ < 0, il n'y ps de solutions. Δ s'ppelle le discriminnt., qu'on ppelle "rcine doule". Δ + Δ et x = Si Δ > 0, il y deux solutions distinctes x 1 = Si Δ = 0, il y une solution unique x 1 = Démonstrtion : On : c ² c ² 4c x² x c = x² x = [ x ] = [ x ], 4² 4² ² cr en effet : x. = x² x = x² x 4² pge sur 7

3 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré En posnt Δ = ² 4c, on voit lors que l'églité ne peut être vrie que si Δ >= 0, uquel cs on peut lors utiliser l'identité remrqule ² ² = ( )( + ) et en déduire que x² x c = [ x x ] = x x. Comme un produit est nul si et seulement si l'un de ses termes est nul, on voit que l'éqution est vérifiée lorsque x prend une des deux vleurs ci-dessus, qui sont égles si Δ = 0. CQFD Remrque : On ussi démontré, lorsque Δ > 0, que le polynôme x² + x + c peut s'écrire (x x1)(x x) où x1 et x sont les deux rcines vues ci-dessus. De même, si Δ = 0, x² + x + c peut s'écrire x 3) Compléments ) Équtions incomplètes Dns ces cs il est inutile et même mldroit (à cuse du risque d'erreur) de clculer Δ et d utiliser les formules ci-dessus : Si = 0 Exemple x² 7 = 0 (donc x² = 7 ) x= 7 ou 7 Si c = 0 Exemple x² x = 0 (donc x(x -) = 0) x=0 ou x = ) Somme et produit des rcines x1 x = x1 x = et c (vérifiez le vous-mêmes à prtir des formules!) Conséquences : - Lorsqu'on connît déjà une rcine, on peut fcilement trouver l deuxième grâce à l somme ou u produit ci-dessus! - L'éqution x² + x + c = 0 est équivlente à l'éqution x² Sx + P = 0, où S et P sont respectivement l somme et le produit des rcines (ttention, ces deux polynômes ne sont ps égux pour utnt). - Trouver l'utre rcine de P(x) = x² 7x + 6 (1 est rcine évidente). - Trouver x et y schnt que x + y = 15 et x y = 14. c) Signe de Δ Lorsque et c sont des signes contrires, c < O donc on Δ > O et on est sûr de trouver deux rcines distinctes. d) Voculire - On ppelle ussi "trinôme" un polynôme du second degré. C) Signe du trinôme pge 3 sur 7

4 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré 1) Fctoristion Comme on l' vu en A), si f(x) = x² + x +c : si Δ > 0, on ur deux rcines x1 et x, et l'identité f x = x x1 x x. Si Δ = 0, on ur une rcine doule x1 et f x = x x1 ². Δ. f ( x )= ( x + ) 4² [ Si Δ < 0, on n ps de rcines réelles et ] ) Signe du trinôme Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de. Si Δ = 0, f(x) est du signe de suf lorsque x =, qui donne f(x) = 0 Si Δ > 0, f(x) ser du signe de en dehors des rcines, et du signe contrire entre les rcines. Démonstrtion - Si Δ > 0, on peut fctoriser donc fire un tleu de signes : Tleu de signes x - x1 x + (x - x1) (x - x) f(x) Signe de + Signe de Signe de + - Si Δ < 0, on - Δ > 0 donc x > 0 et f(x) toujours du signe de. 4² >= 0 >0 - Si Δ = 0, f x = x x1 ² donc f(x) du signe de, suf pour x = x1 uquel cs f(x) = 0. 3) Appliction Lorsqu'on une inéqution du second degré, donc du type x² + x + c < 0 ou x² + x + c > 0, il suffit de clculer Δ et d'en déduire le signe de f(x) en fonction du signe de et de l position de x pr rpport ux rcines (lorsqu'il y en ). Résoudre les inéqutions : ) x² + 3x 1 > 0 ) 5x² + x + 4 < 0 c) -4x² + 1 > 0 d) 3x² -x -1 < 0 pge 4 sur 7

5 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré D) Équtions de degré supérieur à Il existe des méthodes de résolution pour les équtions polynomiles de degré 3 et 4, mis il est impossile de donner une expression générle à se de rcines et d opértions simples des solutions des équtions de degré supérieur à 4 (cel été démontré en 183 pr Ael). Pr contre, si on connît déjà une solution dns une éqution de degré 3, on peut trouver les utres grâce u théorème vu en A4). De même les équtions "icrrées", c est à dire comprennt uniquement des termes en x4, en x² et une constnte, peuvent se rmener à une séquence de deux éqution du second degré. Résoudre les équtions suivntes : ) x4 3x² + = 0 ) x4 + 5x² 6 = 0 c) x3 3x² + 4x = 0 pge 5 sur 7

6 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Fiche de révision pge 1 Forme cnonique du trinôme du second degré f(x) = x² + x + c : ( f(x) = x+ ) 4 c 4 ou encore f(x) = (x α)² + β 4 c et β=f (α)= 4 vec α= Tleu de vrition du trinôme du second degré x² + x +c si < 0 : x α= - β= x² + x + c + 4 c 4 si > 0 : x α= - + x² + x + c β= 4 c 4 Résolution générle de l éqution du second degré x² + x + c = 0 : On clcule Δ = ² 4c. Si Δ < 0, il n'y ps de solutions. Δ s'ppelle le discriminnt., qu'on ppelle "rcine doule". Δ + Δ et x = Si Δ > 0, il y deux solutions distinctes x 1 = Si Δ = 0, il y une solution unique x 1 = On ussi S=x1 +x = et P=x 1 x = c insi que x² Sx + P = 0 Signe du trinôme Si Δ < 0, f(x) est toujours du signe de. Si Δ = 0, f(x) est du signe de suf lorsque x =, qui donne f(x) = 0 Si Δ > 0, f(x) ser du signe de en dehors des rcines, et du signe contrire entre les rcines. Ceci permet de résoudre les inéqutions du second degré! pge 6 sur 7

7 Cours de Mthémtiques Première S Chpitre 1 : équtions et inéqutions du second degré Fiche de révision pge Représenttion grphique des polynômes du second degré pge 7 sur 7

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