6. Equations du deuxième degré et les paraboles

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1 Deuxième Degré 6. Equations du deuxième degré et les paraboles 6. Equation du deuxième degré à une inconnue et ses coefficients Une équation du deuxième degré (ED) à une inconnue est une équation dans laquelle l'inconnue apparaît au deuxième degré. Exemples : a) x x 8 x b) x + x( x) c) x 6x x x Définition : Une équation du deuxième degré à une inconnue est dite homogène si elle est sous la forme réduite : ax + bx + c où a, b et c sont des nombres fixés appelés les coefficients. Exemples d'équations réduites : a) x + x + a b c b) 7x + 9x a b c c) x + x a b c d) x a b c e) -x x 9 a b c f) x a b c Exercice : Réduire les équations ci-dessous et trouver a,b et c. a) x x 78 b) 6x x 8x c) x + x 8x x 7 d) x ( x ) x e) (x + )(x ) x + f) x + x g) x( x)

2 Deuxième Degré 6. Méthode pour résoudre une équation du deuxième degré réduite Définition : Soit l'équation réduite : ax + bx + c Le discriminant de l'équation est le résultat de l'expression suivante : b ac Notation : On note le discriminant par Δ Donc : Δ b ac Exercice : Complétez le tableau suivant : a b c Δ Exercice : Calculer les discriminants des équations ci-dessous a) x +x 8 b) x (x ) x c) x( x) x d) x ( x ) e) x + x 6 x f) (x )(x + ) x g) x x x + h) x + x 6x x + Théorème : Les solutions* d'une équation de la forme ax + bx + c sont : b + Δ x et x a b a Δ *Remarque : En fait il y a trois cas possibles : cas i) cas ii) cas iii) Δ >, alors il y a deux solutions Δ, alors il y a qu'une solution Δ <, alors il n'y a pas de solution

3 Deuxième Degré Méthode complète pour résoudre une équation du deuxième degré ) Réduire l'équation et la mettre sous sa forme homogène ) Calculer Δ ) Calculer les solutions avec les formules ci-dessus (si Δ ) Exemples : a) x +x 6 b) x +x - Ex : Résoudre les équations suivantes a) x + x 6 b) x 7x - c) x + x 6 d) x + 8 8x e) x f) x Ex : Résoudre les équations suivantes a) x + x b) x + x - c) x - d) (x + )(x ) e) (x + )(x ) -9 f) (x + )(x ) - Ex 6 : Résoudre les équations suivantes a) (x + )(x ) 6 b) x(x ) + (x ) c) (x + )(x ) + x (x ) x d) x + 9 x e) x (x ) f) (x + )(x ) x g) x + 9 x h) + x 8 x + i) x j) + x 6 x +

4 6. Systèmes d'équations du deuxième degré et problèmes Méthode conseillée : La substitution Deuxième Degré Exemple : résoudre x+ y 8 xy 6 Exercice 7 : Résoudre les systèmes suivants x+ y xy xy a) b) c) xy 6 x + y 8 x+ y x x + y 9 x y e*) f*) g*) y x+ y x + xy 6 xy 8 d) xy 8 x y 6

5 Deuxième Degré Exercice 8 : Problèmes ) Quel est le nombre qui, multiplié par ses /6 donne 8? ) La somme du carré et du double d'un nombre donne 99. Quel est ce nombre? ) La somme de deux nombres vaut et leur produit vaut. Quels sont ces nombres? ) Le rapport de deux nombres vaut / et leur produit. Quels sont ces nombres? ) Trouver les dimensions d'un rectangle dont l'aire est de 8,6 m, et dont la largeur vaut les / de la longueur 6) Trouver les dimensions d'un rectangle sachant que son aire vaut cm, et que son périmètre vaut cm. 7) Quelles sont les dimensions d'un rectangle dont l'aire est de 87 cm et dont la longueur surpasse la largeur de cm? 8) La différence de deux nombres vaut 76, et le plus grand vaut fois le carré du plus petit. Quels sont ces nombres? 9*) Jean possède un certain nombre de livres qu'il désire empiler de façon à obtenir des piles de 8 cm de hauteur. Il y a deux sortes de livres, les gros et les minces. Les gros ont cm d'épaisseur en plus que les minces. Sachant qu'une pile de livres minces possède livres de plus qu'une pile de livres épais, calculer le nombre de livres par pile ainsi que l'épaisseur de chaque sorte de livre. 6. Notions de base sur les applications ) Les trois notations ci-dessous sont équivalentes : f : x x + f(x) x + y x + Elles désignent l'application f ) Que signifie f()? f() est le résultat que l'on trouve en remplaçant x par dans la formule de f Dans l exemple ci-dessus : on trouve f ( ) + on dit que est l'image de par f

6 Deuxième Degré Exercice 9 : Soient f : x x g : x x + et h : x, x + x + Calculer : f() g() h() f() g() h() ) Dessin d'une application Pour dessiner une application, on établit un tableau des valeurs (tableau des images); puis on place les points dans un système d'axes. Exemple : dessin de l'application g : x x + x y x +

7 6. Les applications du deuxième degré : «Les paraboles» Deuxième Degré Définition : Une application du deuxième degré est une application de la forme : f : x ax bx + +c Exercice : Dessiner les applications suivantes a) f(x) x b) g(x) x - c) h(x) x + x + d) i(x) -x + x + e) j(x) -x + x + f) k(x) -x - Remarque : Ces applications sont appelées : PARABOLES

8 Deuxième Degré Les points particuliers d'une parabole () Les zéros () L ordonnée à l origine () La valeur en x de l axe de symétrie () La valeur de son extremum Exercice : Déterminer les points particuliers des paraboles de l'exercice.

9 Deuxième Degré 6.6 Recherche algébrique des points particuliers d'une parabole Définitions : Parabole Convexe Parabole Concave Théorèmes : Soit l'application f : x ax bx + +c ) Son ordonnée à l'origine vaut : c ) Son axe de symétrie vaut : ) Son extremum vaut : y f ( x ) x s s b a Δ s a ) Pour trouver les Zéros il suffit de résoudre : ax + bx + c ) Si a > alors la parabole est convexe Si a < alors la parabole est concave Marche à suivre pour l'étude complète d'une parabole ) Calculer les points particuliers ) Placer ces points sur un graphique ) Calculer d'autres points si nécessaire ) Dessiner la parabole Exemple : Faire une étude complète de h: x,x +,x+

10 Ex : Dessinez les quatre paraboles ci-dessous : Ordonnée à l'o. x s Extremum Zéros a) -, -6 -,9 et - b) et 7 c) -6 -, -6, et - d) 6, 6, - et Deuxième Degré Ex : Etudiez les paraboles ci-dessous : a) f : x,x,x +, b) g : x,x +,x 7 c) h : x,x, 8x d) i : x,x, x,

11 Deuxième Degré Solutions Ex : a) a b - c -78 b) a b - c c) a - b 9 c -6 d) a 7 b c - e) a 8 b c - f) a b c - g) a - b 8 c Ex : 7 ; 8 ; 7 ; 7 ; ; ; - Ex : a) ; b) 9 ; c) 9 ; d) - ; e) ; f) 8 ; g) - ; h)- Ex : Ex : Ex 6: x x x x x x a) -6,68 -,68 a),87 -,87 b) Pas de sol. b) c) -, -, c),68 -,68 d) - d) Pas de sol. e) e) 7 f),6 -,6 Pas de sol. f), -, g) -. h) 6-9 i) -. j) -6 Ex 7 : a) < ; 8 > et < ; > b) < - ; > et < ; -> c) < ; > et <, ; > d) < 8 ; > et < - ; -6> e) < ; - > et < -,77 ;,8> f) < ; > et < -,8 ;,886 > g) < ; 6 > et < - ; -6 > Ex 8 : ) 6 ou -6 ) 9 ou - ) et ou et ) et 7 ou - et -7 ),6 par, 6) 6 et 9 ou 9 et 6 7) 8 par 8) 8 et ou 7, et -,8 9) livres de cm et 6 livres de cm Ex 9 : f() - g(), h(), f() g(), h() 6 Exemple : (page 6) x y

12 Deuxième Degré Ex : a) d) b) e) c) f) Ex : a) b) c) d) Ex : a) b) OàO. OàO Xs -. Xs -. - Extr.. - Extr. -. X_ - - X_ X_ - X_ -7 c) d) OàO Xs -. - OàO -. Xs - Extr.. X_ -9 X_ - - Extr. -6. X_ X_

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