I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur Ω à valeurs dans R.

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1 Chapitre 5 VARIABLES ALEATOIRES LOIS FONDAMENTALES Objectifs : o o o Défiir la otio de variable aléatoire das les différets cas d uivers. Détermier la loi de probabilité d ue variable aléatoire et calculer ses valeurs caractéristiques. Etudier les trois lois fodametales de référece :loi biomiale, loi de Poisso, loi ormale (ou de Gauss). I] VARIABLE ALEATOIRE DISCRETE (A NOMBRE FINI DE VALEURS) : ) Variable aléatoire Variable discrète : Soit Ω u uivers probabilisé. Ue variable aléatoire X est ue foctio défiie sur Ω à valeurs das R. L esemble image X(Ω ) ou esemble fodametal de X est ue partie de R. La variable aléatoire X est dite discrète si X(Ω ) est fii. Rq : X peut être discrète si Ω est fii ou ifii. 2 ) Variable aléatoire sur u uivers fii : Soit X ue variable aléatoire défiie sur l uivers fii à N évetualités : Ω = { ω ; ω 2 ; ;ω N }. L esemble image X(Ω ) = {x,x 2,,x } est écessairemet fii et comporte u ombre de valeurs ( N). Partie de l uivers (X=x i ) associée à la valeur x i : O coviet de oter par (X = xi), la partie (ou l'évéemet) de Ω formée de toutes les évetualités ω k ayat pour image xi (au lieu d utiliser la otatio {ω Ω /X ( ω)=xi }.) Ces parties sot au ombre de. Toute évetualité ω appartiet à l'ue de ces parties et à ue seule puisqu'elle a ue image uique. L esemble de ces parties costitue doc ue partitio de Ω. Notatios utilisées Ue variable aléatoire est habituellemet représetée par ue majuscule. O ote : (X > x) la partie de Ω formée de toutes les évetualités dot l'image par X est strictemet supérieure à x. (x < X < y) la partie de Ω formée de toutes les évetualités dot l'image par X est strictemet comprise etre x et y. - -

2 La variable aléatoire X état ue foctio, les covetios habituelles d'écriture permettet d'écrire, quel que soit ω Ω et so image x par X : ax: ω a ax ; X + b: ω a x+b ; X²: ω a x² etc. X et Y état deux variables aléatoires défiies sur le même uivers Ω, quel que soit ω Ω et ses images x par X et y par Y, o a : X +Y : ω a x+y; XY : ω a xy. Le couple (X, Y) est u couple aléatoire défii sur Ω. 3 ) Loi de probabilité et foctio, de répartitio : Loi de probabilité : Soit u uivers fii probabilisé Ω et X ue variable aléatoire sur Ω : O appelle loi de probabilité de X, la foctio qui à chaque valeur image x i fait correspodre la probabilité p i de la partie (X = x i ) de Ω. O a doc p i = P (X = Xi) et p i = P ( Ω ) =, La loi de probabilité d'ue variable aléatoire est gééralemet présetée sous forme d'u tableau complet des valeurs x i et p i, souvet sas référece à l'uivers iitial Ω. Valeurs x i x x 2 x i x P(X=x i ) p p 2 p i p La coaissace des probabilités pi permet de calculer la probabilité pour que la variable aléatoire X ait so image das l'itervalle [x k ;x h ]. O a: P [X k X X h ] =P k +P k+ + +P h Foctio de répartitio La foctio de répartitio F de la variable aléatoire X associe à tout réel x la probabilité P (X x). O a doc : P (X x) = F (x) et aussi P (X > x) = - F (x). O a de même P(x<X y)=f(y)-f(x). Comme ue probabilité est toujours positive, F (y) F (x) quels que soiet x et y, (x < y). La foctio de répartitio F est croissate. 4 ) Valeurs caractéristiques (ou paramètres) : Soit X ue variable aléatoire preat les valeurs x i, i {;2;3 ; ;} avec les probabilités p i

3 Espérace mathématique de X O appelle espérace mathématique de X, le ombre E (X) défii par : m = E (X) = p i.x i = p.x i + p 2.x 2 + +p.x (autre otatio X ) Comme la somme des probabilités est égale à, l'espérace mathématique peut s'iterpréter comme la moyee des valeurs x i podérées par leur probabilité p i. Iterprétatio : das le cas d'u jeu où les valeurs x i sot les gais et les valeurs pi des probabilités calculées ou estimées, E (X) est la somme moyee qu'o a l'espoir de gager par partie sur u grad ombre d'épreuves. Variable cetrée : ue variable aléatoire est dite cetrée si so espérace mathématique est ulle. C'est le cas de la variable : X - m. E (X - M)= p i (x i - m) = p i.x i m p i = m m. = 0 Propriétés faisat iterveir ue costate réelle k E (k) = k (variable certaie preat la seule valeur k avec la probabilité ). E (X+k) = E(X) + k E (k.x) = k.e (X). Variace et écart-type O appelle variace de X l'espérace mathématique du carré de la variable cetrée X - m. Elle est otée V (X). V (X) = p i.x i ² - m² = L écart type σ (X) est la racie carrée de la variace : σ (X) = V (X) p i.x i ² - X ² Propriétés faisat iterveir ue costate réelle k : V (k) = 0. V (X+k) = V(X). V (k.x) = k².v(x) d où σ (X) = k. σ (X) 5 ) Variable discrète à uivers ifii : Les parties (X = x i ) associées à ue valeur image x i sot défiies comme das le cas d'u uivers fii. S'il correspod à chacu de ces évéemets ue probabilité, la loi de probabilité de la variable X est parfaitemet détermiée. L étude d'ue telle - 3 -

4 variable et e particulier le calcul des valeurs caractéristiques e présete pas de difficulté particulière. De telles variables se recotret e particulier das des régioemets fiis de la droite, du pla ou de l'espace, chaque régio état probabilisée. Exemple : cible umérotée. II] VARIABLE ALEATOIRE A NOMBRE INFINI DE VALEURS Deux cas fodametaux, correspodat au cas d'u esemble image ifii, peuvet se produire : L'esemble image est déombrable (o peut uméroter chaque valeur) La variable aléatoire est cotiue. ) Variable aléatoire à esemble déombrable de valeurs : La suite des valeurs : x, x 2,..., x i,... état coue, la loi de probabilité de la variable aléatoire X est détermiée par la coaissace de p i = P(X=xi) pour toute valeur de i. Les valeurs caractéristiques X serot défiies comme somme de séries (sous réserve de covergece). O a alors : p +p p i + = V = p i. (x i - X )² p i X = E (X) = 2 ) Desité de probabilité. Variable aléatoire cotiue : Différets cas peuvet se produire suivat que l'esemble des valeurs de X est R ou des itervalles de R. La présetatio de cette partie état destiée à préparer l'étude de la loi ormale ous ous limiteros au cas où cet esemble est R. O dit alors que : La variable aléatoire X est cotiue s'il existe ue foctio positive f, cotiue sur R, appelée desité de probabilité de X, telle que + f(t)dt =. La loi de probabilité P de X vérifie : p i.x i P (X a) = f(t)dt a ; P (a < x b) = b f(t)dt a ; P (X = a) = 0 3 ) Foctio de répartitio : O appelle foctio de répartitio de X la foctio F défiie sur R par : 4 ) Valeurs caractéristiques : F (x) = f(t)dt x X = E (X) = + xf(x)dx ; V(X) = + f(x)(x X)² dx ; σ (X) = V (X) - 4 -

5 III] LES LOIS FONDAMENTALES DE REFERENCE: ) Loi de Beroulli : Défiitio : Ue variable aléatoire X défiie sur u uivers probabilisé Ω est ue variable de Beroulli si elle e pred que les deux valeurs et 0 avec les probabilités respectives p et q = -p. Valeurs caractéristiques : 2 ) Loi biomiale : Défiitio : E(X) = p ; V(X) = p.q ; σ (X) = p. q Il s'agit de la loi de probabilité du ombre de succès das ue épreuve de Beroulli répétée fois (par exemple tirages répétés das ue ure, avec remise). Ue variable aléatoire X à valeurs etières : 0 ; ; 2 ; ; suit ue loi biomiale de paramètres et p (p [0;]) si, et seulemet si, pour toute valeur etière k [0, ], o a : P (X = k) = C k. p k.q -k (avec q = p) Valeurs caractéristiques : E (X) =.p ; V(X) =.p.q ; σ (X) =.p. q 3 ) Loi de Poisso: Rq : o admettra que + x =0! Défiitio : = e x C est ue loi ou l esemble des valeurs est N (esemble ifii déombrable). Ue variable aléatoire déombrable X à valeurs das N suit ue loi de Poisso de m k paramètre m (m>0) si, et seulemet si P (X = k) = e m. k! Valeurs caractéristiques : E (X) = m ; V(X) = m ; σ (X) = m - 5 -

6 4 ) Loi de Laplace Gauss ou loi ormale Ν (m, σ ) La loi ormale est la loi de référece la plus utilisée. Elle doit so importace d'ue part au fait qu'elle est costatée expérimetalemet de faço fréquete, e particulier das tous les cas de dispersio de valeurs au hasard autour d'ue valeur cetrale (mesures de gradeurs liées à ue productio de série, écarts d'u projectile autour du poit visé,... ) : elle est souvet qualifiée de loi du hasard. Comme ous le verros, de ombreuses lois «tedet» vers la loi ormale das certaies coditios. Cette loi a e outre l'avatage de bie se prêter aux calculs théoriques. Défiitio : C'est ue loi cotiue dot la desité de probabilité f est défiie sur R. O appelle loi de Laplace - Gauss la loi d'ue variable aléatoire cotiue dot la desité de probabilité est : f (x) = σ 2π exp ( x m )² 2 σ Variables caractéristiques : = Loi ormale cetrée réduite N (0,): exp σ 2π ( x m )² 2 σ E (X) = m ; V(X) = σ ² ( σ R * + ; m R). E preat comme ouvelle origie m et e divisat les abscisses par σ, doc e faisat le chagemet de variable t = x m, o obtiet ue variable aléatoire cetrée σ ormale T = X m, dite variable ormale réduite, satisfaisat à la loi N (0, ) σ E (T ) = 0 ; σ (T) = Dot la desité de probabilité Ψ est défiie e foctio de t par : Ψ (t) = 2π e t 2² O obtiet alors ue courbe uique de référece, e dépedat plus d autat de paramètres, o utilise des tables doat les valeurs des foctios Ψ (t) ou Π (t) (foctio de répartitio) et G(t) défiies par : Π (t) = Φ (t) = t dt G(t) = 2 e t 2² 0 π t dt 2 e t 2² π - 6 -

7 Les relatios suivates sot à coaître : P (T t) = Φ (t) = Π (t) () P(T>t) = - Φ (t) = Φ (-t) (2) P(t 0 T t ) = Φ (t ) - Φ (t 0 ) (3) P(-t T t) = 2Φ (t) (4) P(t -T ou T t) = 2 Φ (-t) = 2( Φ (t) ) ( 5 ) Les iégalités peuvet être idifféremmet strictes ou larges. Tracé de la courbe de desité : La desité Ψ est représetée par la courbe de Gauss (courbe e cloche) (figure page suivate). La probabilité Φ (t) est égale à la mesure de l aire ombrée. Il est utile de reteir les probabilités suivates déjà utilisées e statistiques, correspodat aux itervalles de référece : Itervalles Probabilités Pourcetages Correspodats m - σ X m + σ m,96 σ X m +,96 σ m 2,58 σ X m +2,58 σ m t X m + t α α - T -,96 T,96-2,58 T 2,58 t T t α α 0,683 0,95 0,99 - α 68,3 % 95 % 99 % 00 (-α) % Approximatio de la loi biomiale et de la loi de Poisso par la loi ormale : Le calcul de la probabilité P (X = x) das le cas de la loi biomiale est assez log ; il e est de même du calcul de la probabilité P (X x) das le cas de cette loi et de la loi de Poisso (sauf à disposer de tables ou de moyes de calculs programmés). Des démostratios théoriques, parfaitemet vérifiées expérimetalemet, motret que, das les coditios idiquées, les tracés des courbes représetatives des foctios de répartitio des lois suivates sot très voisis. B(,p) P(,p) B(,p) P(.p,.p. q ) P(m) N(m, m ) p 0,, pq 0 et >30 pq>0 et 50 m>20-7 -

8 Selo les coditios d'utilisatio, d'autres critères voisis peuvet être idiqués suivat les ouvrages spécialisés. Das la pratique il coviet de s'assurer que l'o se trouve bie, au départ, das la situatio d'ue loi biomiale : Répétitio das les mêmes coditios, d'ue épreuve à deux évetualités. Probabilité costate p de succès de l'évetualité à laquelle o s'itéresse. Si le calcul demadé est trop log, e particulier : ombre de succès compris etre deux valeurs etières k, et k 2 ou ombre de succès supérieur (ou iférieur) à k, il est utile de voir si les coditios sot remplies pour utiliser ue loi approchée de Poisso ou de Gauss, redat les calculs plus faciles. Les lois B et P sot des lois discrètes dot les foctios de répartitio ot des représetatios e escalier, leur approximatio par ue loi cotiue N 'est valable que sur u itervalle avec e pricipe les mêmes précautios que pour u calcul d'aire. O aura aisi aux erreurs d'approximatio près: P[k <X<k 2 ] = Φ(t2) - Φ (t) avec t = k σ m et t 2 = k 2 σ m. Correctio de cotiuité : o obtiet e pricipe ue valeur plus précise e effectuat ue correctio de cotiuité cosistat à remplacer k, par k - 2 et k2 par k EXERCICES RESOLUS Exercice Variable aléatoire associée à ue loterie à roue Ue roue de loterie comporte ciq secteurs iégaux dot les couleurs otées : R (rouge), V (vert), J (Jaue), B (bleu), 0 (orage) costituet l'uivers Ω ={R,V,J, B,O}. Cet uivers est probabilisé par la probabilité p et l'o a : p R = p B = 0, ; p O = 3 p J ; p J + 2 p V = 0,55 (p R est mis pour p ({R}). La sortie de R ou de B rapporte poit, celle de J ou de V rapporte 2 poits, celle de 0 rapporte 3 poits. Dresser le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X dot les valeurs sot égales au ombre de poits obteus. Calculer E (X) et σ (X). Résolutio O trouve : p O = 0,45 ; p J = 0,5 ; p V = 0,20. D'où le tableau de la loi de X : x 2 3 P (X=x) 0,2 0,35 0, 45 D où E (X) = 2,5 ; V(X) = 0,5875 ; σ(x) 0,

9 Exercice 2 Variable aléatoire associée à u tir sur cible associée à ue loterie à roue Ue cible est délimitée par des cercles cocetriques de rayos respectifs (cm), 2, 3, 4, 5. Le cercle cetral et les couroes successives défiisset des zoes affectées respectivemet d'u ombre de poits égal à 5, 4, 3, 2,. L'extérieur de la cible est affecté de 0 poit. O cosidère que la probabilité d'impact das ue zoe est proportioelle à l'aire de cette zoe. Elle est expérimetalemet de 0,2 pour l'extérieur de la cible. X est la variable aléatoire qui à chaque poit d'impact fait correspodre le ombre de poits affecté à la zoe correspodat à ce poit. Dresser le tableau de la loi de probabilité de X. Calculer E (x), V (X) et σ (X). Résolutio Les aires des zoes sot égales respectivemet à π, 3π, 5π, 7π et 9π. Les probabilités correspodates sot proportioelles à, 3, 5, 7 et 9 et leur total est égal à 0,8 (0,2 pour l'extérieur). O obtiet alors le tableau suivat : x P (X=x) 0,2 0,288 0,224 0,6 0,096 0,032 E (X) =,76 ; V (X) =,8624 ; σ (X) -,36. Exercice 3 Calculs de probabilités à l aide des lois les mieux adaptées. O cosidère u tirage de Beroulli répété fois, où le succès sur ue épreuve a ue probabilité p et où X est la variable aléatoire doat le ombre de succès. Calculer les probabilités demadées e précisat les lois utilisées.. = 20 p = 0,3 P (X = 7)? Rép. B,0, = 20 p = 0, P (X = 5)? Rép. B,0, = 40 p = 0,4 P (X = 5)? Rép. B,0, = 50 p = 0,08 P (X = 8)? Rép. P, 0,030 ;(B,0,027). 5. = 00 p = 0,05 P (X = 0)? Rép. P, 0,08; (B, 0,07). 6. = 200 p = 0,2 P (30 X 45)? Rép. N, 0, = 200 p = 0,2 P (X = 42)? Rép. N, 0,066; (B,0,065). 8. = 200 p = 0,02 P (X = 6)? Rép. P, 0, = 400 p = 0,4 P (30 < X < 50)? Rép. N, 0, = 500 p = 0,8 P (400 < X < 40)? Rép. N, 0,368. Exercice 4 - Articles défectueux das ue fabricatio e série Das ue fabricatio e série 8 % d'articles présetet des défauts. Calculer les probabilités :. pour que das u cotrôle portat sur 40 articles a) il y ait 4 articles défectueux? b) il y ait 4 articles défectueux au plus? 2. pour que das u cotrôle portat sur 00 articles a) il y ait 6 articles défectueux? b) il y ait 9 articles défectueux? - 9 -

10 Résolutio. a) La probabilité demadé est : C 4 40 x0,08 4 x 0, , 86. b) L'évéemet «4 articles défectueux au plus» est costitué par l'uio des évéemets idépedats «0 ou ou 2 ou 3 ou 4 articles défectueux». E otat que les coditios d'applicatio de la loi de Poisso avec m= p= 3,2 sot remplies, la probabilité demadée est : e -3,2 + e -3,2 x 3,2 + e -3,2 x 3,2² 2 + e -3,2 x 3,2 3 + e -3,2 x 6 2. O applique directemet la loi de Poisso avec m = p = 8. 3,2 4 0,78 24 a) e -8 x b) e -8 x 8 6 0,22 6! 8 9 0,24 9! - 0 -

11 TD APPLICATION DU COURS UTILISATION DES LOIS DE REFERENCE Exercice Comparaiso des résultats obteus par la loi biomiale et par la loi de Poisso. Ue machie produit e série des articles avec ue proportio d'articles défectueux costatée sur ue productio élevée de ciq pour mille. U cotrôle est effectué sur u lot de 200 articles. Quelles sot les probabilités d'obteir das ce lot : 0,, 2, 3, 4 ou 5 articles défectueux? O utilisera :. La loi biomiale B (200 ; 0,005) 2. La loi de Poisso P, avec m = 200 x 0,005 =. Exercice 2 - Utilisatio de la loi ormale La variable aléatoire X suit ue loi ormale N (8 ; 2,5). Calculer à 0-3 près les probabilités P (X < 7) ; P (X < 9) ; P (X > 20) ; P (6 < X < 9,5). Idicatio : T = X 2,5 8 suit la loi ormale cetrée N(0,) Exercice 3 Temps d'attete clas u cetre de reseigemets Das u cetre de reseigemets téléphoiques, ue étude statistique a été réalisée sur le temps d'attete, exprimé e secodes, subi par la clietèle avat d'amorcer la coversatio avec u employé. Les résultats de cette étude coduiset à supposer que la variable aléatoire X qui associe à tout cliet le temps d'attete qu'il subit, suit la loi ormale de moyee 8 et d'écart type 7,2.. Calculer les probabilités que, lors d'u appel au cetre, u cliet : N'ait à subir aucue attete (c'est-à-dire P (X <, 0) Ait à subir ue attete de plus de vigt secodes. 2. O imagie qu'au cours d'ue certaie semaie, u même cliet doit doer au cetre ciq appels, idépedats les us des autres. O ote Y la variable aléatoire exprimat le ombre de fois où, lors de ces ciq appels, le temps d'attete est supérieur à vigt secodes. Préciser la loi de probabilité suivi par Y et doer ses paramètres. Calculer P (Y = 2) et P (Y ). - -

12 TD 2 APPLICATION DU COURS CHOIX D UNE LOI DE REFERENCE ET APPLICATION Exercice Nombre de commades suite à u evoi de documetatio Ue agece de vete propose aux persoes cotactées de leur fourir ue documetatio complète sur le produit qui les itéresse. E moyee ue persoe sur dix passe alors commade. Le ombre de demades de documetatio ayat été de 600, quelle est la probabilité :. Pour qu'il y ait au mois 70 commades? 2. Pour qu'il y ait plus de 50 commades? Exercice 2 Problème lié à la gestio des charges das u immeuble U sydicat a relevé qu'e moyee 6 % de persoes effectuet e retard le règlemet de leurs charges.. Détermier la loi de probabilité de la variable aléatoire X doat le ombre retards de paiemet pour u esemble résidetiel comportat 2 0 appartemets. 2. Peut-o approcher cette loi par ue loi de Poisso? Par ue loi ormale. 3. Détermier la probabilité pour qu'il y ait plus de 5 règlemets e retard ; pour qu'il y ait 9 règlemets e retard. O pourra utiliser la loi de Poisso das le 2 ème cas (k = 9). Exercice 3 - Applicatio de la loi de Poisso et de la loi de Gauss das l'étude d'ue fabricatio. Das ue certaie fabricatio e série o trouve e moyee 0,3 % de pièces à rejeter sur ue machie ormalemet réglée. Quelle loi de probabilité peut-o utiliser pour étudier la variable aléatoire X doat le ombre de pièces à rejeter das u échatillo de 200 pièces choisies au hasard. 2. U échatillo de 200 pièces prélevées sur ue machie récemmet mise e service, fourit 7 pièces défectueuses. Quelle coclusio peut-o tirer quat au réglage? 3. Même questio avec = 200, p = 0,05 et k = 20 pièces défectueuses, puis avec k =