CINQUIEME PARTIE ANALYSE DE VARIANCE A UN FACTEUR CONTROLE

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1 64 CINQUIEME PARTIE ANALYSE DE ARIANCE A UN FACTEUR CONTROLE. Application à la coparaison de plusieurs oyennes. L analyse de variance est souvent utilisée coe un test d égalité de oyennes. Mais elle a beaucoup d autres applications, c est pourquoi on l étudie à part. a) But du test Lorsqu'on veut ontrer l'égalité des oyennes de plusieurs séries de esures, il n'est pas possible d'effectuer un test de Student sur les oyennes prises deux à deux parce que les tests statistiques peuvent déontrer une non-différence, ais pas une égalité au sens athéatique du tere. Le problèe de l'égalité des oyennes revient, dans ce cas à ontrer si elles peuvent être différenciées ou non en fonction d'un certain facteur, appelé facteur différenciant. b) Notion de facteur différenciant Il s'agit d'une grandeur qualitative ou quantitative suivant laquelle on peut discerner les résultats d'une êe étude. Exeple : Nuéro de lot ou date dans une fabrication Laboratoire, appareil ou opérateur dans une série de esures physico-chiiques Lieu géographique Grandeur physique (tepérature, pression) si l'on veut déontrer une corrélation avec cette grandeur c) Principe du test On partage l'échantillon en "groupes" suivant le facteur discriinant que l'on veut prendre en copte. Dans le doaine de la validation de éthodes de esure, ce partage est naturel puisqu'on s'intéresse à des séries de esures d'une êe grandeur, effectuées à des oents différents, sur des appareils différents ou par des laboratoires différents. La variabilité existe toujours d'un groupe à l'autre, ais celle-ci peut être due au hasard. L'analyse de variance peret de ontrer si la variabilité d'un groupe à l'autre peut s'expliquer uniqueent par le hasard ou si le facteur discriinant intervient dans cette variabilité.

2 65 Pour ceci, on copare à l'aide d'un test de Fisher-Snédécor la variance à l'intérieur des groupes ou "variance intra-goupes" à la variance entre les groupes appelée "variance inter-groupes". Si la variance inter-groupes n'est pas significativeent supérieure à la variance intra-groupes, les différentes oyennes sont déclarées globaleent égales (il n'y a pas de facteur différenciant). Il faut évideent que le facteur choisi soit pertinent, c'est à dire qu'il existe des raisons physiques ou expérientales perettant de préconiser l'influence de ce facteur sur les esures. Lorsqu'on veut tester plusieurs facteurs il faut les considérer globaleent par une analyse de variance ultifactorielle car l'influence de deux ou de plusieurs facteurs n'équivaut pas à la soe des influences des facteurs pris séparéent (il peut y avoir synergie ou au contraire inhibition de l'effet de deux facteurs). d) Calcul de la variance intra-groupes On calcule les variances à l'intérieur de chaque groupe. s j ( xij j ) n j i variant de à n j (38) x ij : ièe valeur dans le jèe groupe j : oyenne du jèe groupe Ensuite on fait la soe sur les k groupes : n j : effectif du jèe groupe ( ) INTRA n j s j S j variant de à k (39) S Intra peut égaleent être calculé directeent à l'aide d'une double soe : S INTRA k n x ij j i j ( ) j A partir de S Intra on calcule la variance intra-groupes INTRA S S INTRA INTRA avec N Σn j et υ INTRA N - k (40) N k υintra

3 66 e) Calcul de la variance inter-groupes On calcule la oyenne générale M et la variance des oyennes de chaque groupe par rapport à cette oyenne générale. En d'autres teres chaque groupe de oyenne j est considéré par rapport à la oyenne générale coe une esure de poids n j. ( ) SINTER nj j M j variant de à k (4) et INTER Sinter k (4) f) Test propreent dit En principe INTER > INTRA. Si ce n'est pas le cas on peut conclure que les oyennes sont égales ou encore que le facteur discriinant est al choisi puisqu'il a tendance à regrouper les oyennes. (une forte inhoogénéité des variances peut égaleent conduire à ce résultat) On terine par un test de Fisher. F INTRER INTRA et F F(k-, N-k,-α) (43) Si la condition (43) est vraie, alors le facteur considéré est un facteur discriinant et les oyennes varient significativeent avec ce facteur. Dans le cas contraire les oyennes sont égales lorsqu'on fait varier le facteur en question. Le choix du facteur différenciant est par conséquent très iportant. Dans les problèes de aintenance on pourra effectuer le test en fonction de l'âge d'un coposant électronique ou d'une colonne chroatographique par exeple. En validation de éthodes de esures, le facteur étudié est sipleent le nuéro de la série de esures, l'échantillon étant évideent identique. g) ariance Totale On définit la variance totale coe la variance de toutes les esures par rapport à la oyenne générale : S T k n j x ( j i ij M ) (44) TOTAL ST N (45)

4 67 h) Tableau d analyse de variance Les trois variances ne sont pas indépendantes. Origine SCE Degrés de liberté ariances Intra-groupes S INTRA N-k INTRA Inter-groupes S INTER k- INTER Totale S T N- TOTAL On peut déonter que les soes des carrés des écarts (notés SCE) ainsi que les degrés de libertés sont additifs. Cette équation est appelée équation de l'analyse de variance. On en déduit : S T SIntra + et N-(N-k)+(k-) SInter N k + k N (( ) ( ) ) TOTAL INTRA INTER (46) L'équation 46 est intéressante puisqu'elle peret de calculer la variance totale à partir de résultats partiels ( j, s j et n j ) sans avoir à reonter aux résultats bruts. i) ariance liée au facteur discriinant, variance inter-laboratoire La variance inter-groupes ne dépend pas uniqueent de l'effet du facteur discriinant sur les esures, ais égaleent des erreurs aléatoires "naturelles", donc de la variance intra-groupes. On peut décoposer INTER en ses deux coposantes, la variance intra-groupe et la variance due uniqueent au facteur discriinant. On peut ontrer que : INTER INTRA + n A (47) A est la contribution du facteur discriinant (appelé A par convention) à la variance intra-groupes. A est appelé "variance liée au facteur A". Lorsque l'effet de A est nul INTER INTRA. n représente le nobre oyen de esures par série. n n'est pas une oyenne arithétique, il est défini par l'équation : n n N k N j soe étendue de j à k (48) INTER INTRA A n (49) Dans les essais inter-laboratoires on effectue des séries de esures dans des laboratoires différents sur le êe échantillon. On fait ensuite une analyse de variance en considérant coe facteur contrôlé, le no du laboratoire. L'influence du facteur "laboratoire" est une variable aléatoire de variance A appelée dans ce cas "ariance inter-laboratoire" et notée L.

5 68 j) Interprétation graphique de l'analyse de variance Traçons sur un êe graphique toutes les valeurs de x ij en faisant apparaître claireent les séries de esures. On place en abscisse la valeur de i + 0 (j-) par exeple si les effectifs de chaque série sont inférieurs à 0. x i,j Série Série Série 3 Série 4 3 i+8(j-) Fig. 9 a Distribution des esures brutes x ij dans une analyse de variance L'analyse de variance peret de scinder ce graphique en deux graphiques ettant en évidence la variance intra-groupes et la variance inter-groupes. Traçons les différences r ij x ij - j c'est à dire les esures rapportées aux oyennes de chaque groupe. x i,j - j Série Série Série 3 Série 4 0 i+8(j-) - Fig. 9 b Distribution des différences x ij - j dans une analyse de variance On obtient une distribution de oyenne nulle qui adet coe variance globale lorsqu'on élange toutes les valeurs de r ij, la variance intra-groupe INTRA. Dans le cas d'une analyse inter-laboratoire, cette variance reflète les incertitudes liées à une éthode de esure, les différentes variances s j doivent donc en principe être hoogènes. (une faible variation de sj d'un groupe à l'autre est acceptable puisque les esures sont effectuées par des personnes différentes avec des appareils différents).

6 69 Lorsqu'on a retranché les fluctuations r ij sur la figure 9 a, il reste une distribution statistique de oyennes autour de la oyenne générale M. j Série Série Série 3 Série 4 3 M i+8(j-) Fig. 9 c Distribution des oyennes j dans une analyse de variance La variance de cette distribution est la variance inter-groupes INTER. L'objet de l'analyse de variance est de ontrer que cette dernière peut être expliquée uniqueent par les fluctuations aléatoires c'est à dire qu'elle est du êe ordre de grandeur que INTRA ou au contraire qu'il faut invoquer l'effet du facteur différenciant.. Conditions pour une bonne ise en application de l analyse de variance. a) Distribution gaussienne des données L analyse de variance peut conduire à des résultats inexacts si les données de chaque groupe ne sont pas distibuées suivant une loi Norale. Il faudrait donc faire un test de Shapiro-Wilk pour les données de chaque groupe, ce qu on fait rareent. Lorsque le nobre de esures de chaque groupe est > 0 la condition de noralité est supposée vérifiée. b) Hoogénéité des variances à l intérieur des groupes. Noraleent, la variance inter-groupes doit être supérieure à la variance intra-groupes, faute de quoi la variance due au facteur différenciant devient négative ce qui est anoral. Si les variances des groupes sont inhoogènes c'est-à-dire s il en existe une qui est netteent supérieure aux autres, la variance intra-groupes devient anoraleent élevée et parfois supérieure à la variance inter-groupes. Il est donc recoandé de vérifier préalableent l hoogénéité des variances à l aide d un test de Cochran ou de Bartlett. Si l hoogénéité des variances est en défaut on recherchera l existence de points aberrants.

7 70 physique. 3. Application de l analyse de variance à l évaluation de la qualité d une esure La qualité d une esure physique s exprie par sa fidélité et son exactitude. a) Définitions concernant la fidélité La fidélité est l'étroitesse de l'accord entre des résultats d'essais indépendants obtenus dans des conditions de variabilité expérientales stipulées. On considère trois définitions de la fidélité suivant la variabilité des conditions expérientales : La répétabilité représente la qualité de l'accord entre des esures d'un êe échantillon effectuées dans des conditions expérientales très faibleent variables. Elle s'obtient en répétant un protocole de esure sur un êe échantillon, l'appareillage et l'opérateur étant identiques et les esures étant effectuées dans un faible intervalle de teps. Evideent la répétabilité n'intègre pas les erreurs systéatiques ou les défauts d'appareillage. Elle donne sipleent une esure de la dispersion du signal pour un protocole de esure effectué sur un appareil donné et par un opérateur donné. La reproductibilité correspond à la êe définition, ais dans le cas de esures effectuées dans des conditions forteent variables (opérateurs, appareillages, époques et souvent laboratoires différents). Plus la variabilité des conditions expérientales est grande, plus le nobre de causes d'erreurs prises en copte dans la dispersion des résultats est grande. En principe, une étude de reproductibilité iplique une capagne d'essais inter-laboratoires ipliquant des entreprises différentes et parfois des pays différents. Un niveau interédiaire de variabilité des conditions expérientales a été préconisé lorsque de véritables essais inter-laboratoires sont ipossibles (le plus souvent pour des raisons de confidentialité lorsqu'on étudie un produit ou un atériau nouveau). On liite les facteurs de variabilité à l'équipeent, au personnel et au teps. Parfois, seul le facteur teps peut être pris en considération. On parle alors de Fidélité interédiaire ou reproductibilité intralaboratoire b) Calculs concernant la fidélité On effectue une analyse de variance en prenant coe facteur différenciant, le labo ou l appareillage ou le jour de la esure. On exprie toujours une non-fidélité, c'est à dire qu'on donne un nobre d'autant plus grand que la fidélité est plus auvaise.

8 7 ariance de répétabilité et de reproductibilité. La variance de répétabilité appelée r n'est autre que la variance intra-groupes INTRA. La variance de reproductibilité R s'exprie par deux relations différentes suivant l'influence du facteur différenciant : si l'influence du facteur différenciant est négligeable R T et voisin de INTRA dans le cas contraire R LABO + INTRA Ecarts-types de répétabilité et de reproductibilité Ce sont les racines carrés des variances correspondantes. Leur intérêt est qu'ils s'exprient dans les êes unités que les oyennes s r r et s R R Coefficients de variation de répétabilité et de reproductibilité Ce sont les écarts-types divisés par la oyenne générale s C r r M et C s R R M b) Définition de l exactitude L'exactitude d'une éthode de esure exprie l'étroitesse de l'accord entre la valeur esurée et la valeur adise coe exacte La valeur exacte peut être un poids étalon, une résistance étalon etc.., ais aussi un produit naturel ou un atériau de coposition certifiée ou ayant les propriétés physiques certifiées. b) Evaluation de l exactitude d une esure physique L'exactitude d'une éthode d'analyse n'est pas à propreent parler une grandeur esurable. On évalue l'exactitude en coparant la valeur expérientale à la valeur théorique par un test de Student au seuil de 95 %, ou en ontrant que la valeur théorique se trouve dans l'intervalle de confiance de 95 % de la valeur expérientale. On répond à ce test par "oui" ou "non". Pour oduler la réponse, on peut agir sur le risque α du test de Student ais la valeur α 5 % est counéent adise.

9 7 On peut égaleent exprier quantitativeent l exactitude au oyen d un biais qui exprie la différence entre la oyenne esurée et la valeur exacte. Ce biais peut être exprié coe une différence algébrique ou une différence relative ou encore un taux de recouvreent. Si R représente la variance de reproductibilité et si la valeur exacte M 0 est connue, on adet qu'une éthode est exacte si la oyenne générale M n'est pas significativeent différente de M 0 au risque bilatéral de 5 %. M M t R 0 ( N, ) (50) N N : nobre total de esures ; M : oyenne générale Dans ce cas l exactitude s exprie par RAI ou FAUX sans considération quantitative. On peut égaleent un biais algébrique ou relatif. D M-M 0 ou encore D (M-M 0 )/M 0 (biais relatif parfois exprié en %) Si l intervalle de confiance sur le biais est faible (l intervalle de confiance sur le biais D est égal à l intervalle de confiance sur M) on peut l utiliser coe facteur correctif de la éthode de esure, ais seuleent dans un doaine expériental voisin de M. Si on veut corriger la éthode de esure dans un large doaine, il faut faire l étude d exactitude à plusieurs points de ce doaine et odéliser le biais par une fonction adéquate.

10 73 ANALYSE DE ARIANCE CE QU IL FAUT ABSOLUMENT RETENIR Principe de l analyse de variance. Calcul des variances intra et inter-groupes. SINTRA ( ) n s j j j variant de à k INTRA S N k INTRA avec N Σn j inter j j ( ) S n M j variant de à k INTER Sinter k Test de Fisher pour l analyse de variance. F INTRER et F F(k-, N-k,-α) INTRA (conclusion : oyennes dépendantes du facteur différenciant) ariance totale et variance inter-laboratoire ( ij ) S x M T k n j j i TOTAL S T N Labo INTER n INTRA avec n n N k N j pour j à k Définition de la répétabilité et de la reproductibilité d une esure Calcul de l écart-type de répétabilité et de reproductibilité. Définition et évaluation de l exactitude d une esure