Devoir n 3 - Le 19 septembre - 4H

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1 Phyique PC Dupuy de Lôme Devoir Devoir n 3 - Le 19 eptembre - 4H Le calculatrice ont interdite. **** N.B. : Le candidat attachera la plu grande importance à la clarté, à la préciion et à la conciion de la rédaction. Si un candidat et amené à repérer ce qui peut lui embler être un erreur d énoncé, il la ignalera ur a copie et devra pouruivre a compoition en expliquant le raion de initiative qu il a été amené à prendre. **** Ce ujet comporte deux problème indépendant. Chaque problème comporte pluieur partie largement indépendante. PREMIER PROBLEME : (Extrait TSI 2005) Première partie : Charge d un condenateur à traver une réitance Un dipôle comporte entre deux borne A et B une réitance R et un condenateur de capacité C placé en érie. On place aux borne A et B du dipôle un générateur de tenion idéal de force électromotrice contante E et un interrupteur K. Initialement le circuit et ouvert et le condenateur déchargé. Soit condenateur. A l intant t = 0, on ferme l interrupteur K. v la tenion aux borne du E K A R i C v B 1/ Quel et le comportement du condenateur au bout d un temp trè long (infini) aprè la fermeture de l interrupteur? En déduire le valeur correpondante de v et de l intenité i dan le circuit au bout d un temp trè long. Tournez la page S.V.P.

2 2 2/ On poe τ = RC. On e place à t 0. Quelle et l unité de τ dan le ytème international? Démontrer le réultat. Quel et le nom donné à cette contante? 3.1/ Etablir l équation différentielle à laquelle obéit v(t). 3.2/ Etablir l expreion de la tenion v(t) au cour du temp (pour t 0 ). Trouver à partir de cette expreion la valeur de v(t) pour un temp trè long. Vérifier que cette valeur correpond au comportement du condenateur prévu dan la quetion / Donner l allure de la courbe repréentative de la fonction v(t) en préciant on aymptote. Calculer la valeur de la pente de la courbe à t = 0. Tracer la tangente à l origine et calculer le coordonnée du point d interection de cette tangente avec l aymptote. 3.4/ Déterminer, en fonction de τ, l expreion du temp t 1 à partir duquel la charge du condenateur diffère de moin de 1% de a charge finale. 4/ Déterminer l expreion de l intenité i(t) du courant qui circule dan le circuit pour t 0. (L orientation de i(t) et préciée ur le chéma). Deuxième partie : Etude énergétique de la charge du condenateur 5.1 / Exprimer l énergie E c emmagainée par le condenateur lorque a charge et terminée en fonction de C et de E. 5.2/ Déterminer, à partir de réultat de la partie précédente, l expreion de l énergie E j diipée par effet Joule dan la réitance au cour de la charge. On exprimera E j en fonction de C et de E. 5.3/ Montrer, à partir de réultat de la partie précédente, que l énergie E g fournie par le générateur au cour de la charge et égale à E g = CE². Vérifier la conervation de l énergie au cour de la charge du condenateur. 5.4/ Définir et calculer le rendement énergétique ρ de la charge du condenateur par le générateur à traver une réitance non inductive.

3 3 6/ Afin d améliorer le rendement de la charge du condenateur, on effectue celle-ci en deux étape. On conidère pour cela le montage uivant : E 2 E 1 2 K A R i C v B A la date t = 0, le condenateur étant déchargé, on ferme l interrupteur K dan la poition 1 (phae 1). Lorque la charge ou la tenion 2 E et terminée, on bacule K dan la poition 2 (phae 2) et on procède à la charge du condenateur ou la tenion E. 6.1/ Quelle et l énergie E g1 fournie par le générateur au cour de la première phae de charge? Quelle et l énergie E c1 emmagainée par le condenateur au cour de la première phae de charge? Ce réultat pourront être déduit de quetion précédente. 6.2/ Quelle et l équation différentielle vérifiée par la tenion v au cour de la deuxième phae de charge? En prenant pour origine de temp (t=0) la date à laquelle on bacule l interrupteur de la poition 1 dan la poition 2, déterminer l expreion de v(t) en fonction du temp au cour de la deuxième phae de charge. 6.3/ En déduire, en fonction du temp, l expreion de l intenité i(t) qui travere le circuit au cour de la deuxième phae de charge. 6.4/ En utiliant le expreion de v et de i en fonction du temp, déterminer : l expreion de l énergie E g 2 fournie par le générateur au cour de la deuxième phae de charge en fonction de C et E. l expreion de l énergie E c2 emmagainée par le condenateur au cour de la deuxième phae de charge en fonction de C et E. 6.5/ Calculer le rendement ρ ' de la charge du condenateur lorque cette dernière et effectuée en deux étape. 7/ Compte tenu de rendement obtenu lor de la charge du condenateur avec le deux méthode précédente, indiquer comment il faudrait procéder pour faire tendre le rendement de la charge du condenateur ver 1. Aucun calcul n et demandé dan cette quetion. Tournez la page S.V.P.

4 4 Troiième partie : Circuit en régime inuoïdal On applique entre le borne A et B du dipôle de la première partie une tenion alternative inuoïdale de pulation ω : ve ( t) = Ve.co( ω. t) où V e et une contante et où la pulation ω du générateur peut varier. ve et la tenion d entrée du filtre et v la tenion de ortie. v e (t) A R i C v B 8/ Comment e comporte le condenateur à trè bae et à trè haute fréquence? En déduire la nature du filtre (pae haut, pae ba, pae bande, réjecteur de bande ). 9/ En faiant varier la pulation (et donc la fréquence) de la tenion d entrée v e, on obtient aux borne du condenateur une tenion de la forme : v ( t) = V ( ω ).co( ω. t + ϕ( ω)) V ( ω) On appelle gain en amplitude G (ω) le rapport de tenion maximale : G( ω ) = Ve Le gain en décibel g et défini par g = 20.log G ( ω ) où log repréente la fonction logarithme décimal. On poe ω 0 = 1 RC Remarque : On pourra utilier le notation complexe i néceaire. Il faudra pour cela définir clairement le notation utiliée. 9.1/ Déterminer l expreion du gain du filtre G (ω) en fonction de ω, R et C pui en fonction de ω et ω 0. Déterminer l expreion du déphaage ϕ (ω) de la tenion de ortie par rapport à la tenion d entrée en fonction de ω, R et C pui en fonction de ω et ω 0.

5 Phyique PC Dupuy de Lôme Devoir 9.2/ Indiquer le valeur de G, g, ϕ lorque : La pulation ω tend ver 0 La pulation ω et égale à ω 0 La pulation ω tend ver l infini. On pourra, pour plu de clarté, préenter le réultat dan un tableau. 9.3/ Déterminer, en jutifiant votre répone, le diagramme pourlaphaeetlegaincorrepondantau filtre étudié. (a) : (b) : (c) : G db G db G db G db (d) : (e) : (f) : ϕ ϕ / On appelle pulation de coupure ω c la pulation telle que g (ω c )=g max 3 db. Exprimerω c en fonction de R et C pui en fonction de ω 0.Quelleetlavaleurdeω 0 pour le filtre étudié? 5

6 Phyique PC Dupuy de Lôme Devoir Problème 2 - Meure de l indice de l air On utilie une ource S uppoée ponctuelle et monochromatique de longueur d onde dan le vide λ = 632 nm. Ledeuxlentilleutiliéeontunemêmeditancefocalef = 20 cm. L objectif de l expérience décrite et de déterminer la valeur de l indice de l air. On notera n air cet indice. On réalie l expérience repréentée ci-contre : La ource S et placée au foyer objet de la première lentille On place deux cuve de longueur L = 50 cm en avant de deux trou d Young S 1 et S 2 ditant de a = 5 mm On place un écran dan le plan focal image de la econde lentille On place au foyer image de la econde lentille un photo-détecteur D F 1 S (L 1 ) (L 2 ) C 2 C 1 L a S 2 S 1 M F 2 D écran x Q1 -Rappelerlavaleurdel indiceduvide,n vide Q2 -Repréenterenannexe1lerayoniudeS et arrivant en D, paantl unpars 1 et l autre par S 2. En déduire l expreion de la différence de marche δ entre ce deux rayon, notant n 1 et n 2 le indice de cuve 1 et 2. Q3 -Audébutdel expérience(étati), le vide règne dan le deux cuve. A la fin de l expérience (état F ), on a rempli la première cuve d air. On déduire le expreion de δ I et δ F. Q4 -Rappelerl expreiondel intenitélumineueauniveaudu détecteur D en fonction de δ, λ 0 et l intenité I 0 d un rayon aociée à un rayon. Retrouver la condition ur δ donnant un maximum d intenité en D Q5 -Aucourdel expérience,l étudedevariationd intenité en D fait apparaître N = 237 maxima. En déduire la valeur de l indice de l air Q6 -On intéreedéormaiàlafigured interférenceobtenueurl écran. Repréenter en annexe 2 le rayon iu de S et arrivant en M(x), paantl unpars 1 et l autre par S 2. En déduire l expreion de la différence de marche δ entre ce deux rayon, notant n 1 et n 2 le indice de cuve 1 et 2. Q7 -Déterminerlevaleurdex pourlequelle l intenité era maximale. Définiretexprimer l interfrange. 6

7 PHYSIQUE II Filière TSI PHYSIQUE II Étude ommaire d un appareil photo jetable Le appareil photo jetable ont conçu pour ne ervir qu une eule foi. Il ont donc de conception trè imple afin que le prix de revient oit le plu ba poible. Nou étudieron tour à tour l optique, pui l électronique de tel appareil. Nou nou intéreeron enfin à un ca de prie de vue d un ujet en mouvement et à la dépene énergétique de ce ujet. Chaque partie et indépendante de autre (I, II, III et IV). Partie I - Étude de la partie optique L objectif n et compoé que d une eule lentille mince ( L), de diamètre utile D L, et la pellicule e itue à une ditance d fixe de la lentille. Aucune mie au point n et poible, c et-àdire que la ditance d et fixée lor de la fabrication et n et pa modifiable par l utiliateur. Nou travailleron dan le condition de Gau. I.A - I.A.1) Rappeler en quoi conitent le condition de Gau aini que leur avantage et leur inconvénient. I.A.2) Gau? I.B - Problème III Comment fait-on en pratique pour travailler dan le condition de I.B.1) En fonctionnement uuel, le objet et le image donnée par L ur la pellicule ont réel. En intéreant à la nature convergente ou divergente du faiceau incident et du faiceau émergent, déterminer la nature convergente ou divergente de la lentille L ervant d objectif. Par la uite a ditance focale image era notée f. lentille de focale f pellicule d Concour Centrale-Supélec /7

8 PHYSIQUE II Filière TSI Filière TSI I.B.2) Préenter en quelque ligne la méthode dite d auto-collimation mie en œuvre en travaux pratique pour placer préciément une ource lumineue au foyer d une lentille convergente. I.C - L objet à photographier étant itué à l infini, déterminer la valeur de la ditance d qu il faut prévoir lor de la fabrication pour que on image oit nette ur la pellicule. I.D - I.D.1) Quelle et alor la dimenion X, ur la pellicule, de l image de la Lune qui a un diamètre apparent α (on pourra aider d une contruction pour répondre). I.D.2) Faire l application tache de numérique avec f = 3, 0 cm diamètre D A et α = 05,. A A I.E - Un objet ponctuel A, O qui n et pa itué à l infini, a d A on image en dehor du plan de la pellicule et donne ur la pellicule une tache de diamètre lentille de focale f pellicule D A. Soit d A la ditance entre le point A et la lentille ( d A et une ditance et donc poitive). I.E.1) Exprimer OA en fonction de f et d A. I.E.2) Montrer que l expreion de D A en fonction de D L (diamètre utile de la lentille), f et d A et : D A = D f L d A I.F - La pellicule et formée de grain que l on uppoera circulaire et de même diamètre ε. Une image, aprè développement de la pellicule, paraît nette i un point objet n a éclairé qu un eul grain et a donc donné, ur la pellicule, une tache de diamètre inférieur ou égal à ε. Sachant que f = 3, 0 cm, que D L = 2 mm (partie utile de la lentille) et que ε = 20µm, calculer numériquement la poition du point A ( d A ) le plu proche qui et encore net aprè développement. Concour Centrale-Supélec /7

9 PHYSIQUE II Filière TSI I.G - Afin de pouvoir diminuer d A, on augmente, lor de la fabrication, la ditance d afin qu un point à l infini oit à la limite de netteté (il donne donc une tache de diamètre ε ur la pellicule). I.G.1) l infini. Faire un chéma du dipoitif montrant la tache donnée par l objet à I.G.2) Déterminer d et faire l application numérique. I.G.3) Déterminer la nouvelle ditance d A correpondant au point le plu prè donnant lui aui une tache de diamètre ε ur la pellicule et faire l application numérique. Partie II - Étude du flah Attention : l ouverture d un appareil photo jetable et dangereue car le circuit électrique comporte un condenateur pouvant être chargé juqu à une tenion de 300 V (même i la pellicule et terminée). Le rique de choc électrique et important. Le chéma électrique du circuit commandant le flah et fortement implifié dan la uite du problème. L alimentation et une pile dont la f.e.m. continue et de E = 1, 5 V. Pour atteindre de tenion de l ordre de 300 V il faut utilier un tranformateur, lequel ne «fonctionne» qu avec de tenion alternative. La première partie du montage comporte donc un circuit RLC ocillant qui permet d obtenir une tenion variable à partir d une tenion continue. Le circuit étudié, dont l interrupteur et fermé lorque l opérateur arme le flah (à l intant t = 0 ), et repréenté ci-contre. La réitance R i et la réitance interne de la pile d alimentation. Le condenateur et initialement déchargé. II.A - II.A.1) Déterminer la valeur de u L au bout d un temp trè long. II.A.2) Que vaut u L à l intant t = 0 +, c et-à-dire jute aprè la fermeture de l interrupteur? II.A.3) Déterminer l équation différentielle vérifiée par u L au cour du temp en dérivant deux foi par rapport au temp l équation donnée par la loi de maille. II.A.4) Réoudre cette équation en négligeant R i (on prendra R i = 0 ). R i E C u L L Concour Centrale-Supélec /7

10 Phyique PC Dupuy de Lôme Devoir Annexe 1 NOM - Prénom : (L 1 ) (L 2 ) C 2 S 2 F 1 S F 2 D C 1 L S 1 écran Annexe 2 (L 1 ) (L 2 ) F 1 C 2 S 2 M F 2 x S C 1 L S 1 écran 10

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