Remarque : La suite nulle est une suite géométrique particulière dont la raison est q = 0. (mode récurrent et terme général)

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1 LGL Cours de Mathématiues 27 D uites géométriues ) Défiitio Défiitio 4 : Ue suite ( ) u est dite géométriue lorsu il existe u ombre réel o ul tel ue, pour tout de, o ait : u+ = u Remarue : La suite ulle est ue suite géométriue particulière dot la raiso est =. 2) Expressio de u (mode récurret et terme gééral) u = u 3 Exemple : oit la suite u défiie par : u = Détermiez les premiers termes de la suite. Détectez ue formule géérale permettat de calculer directemet u Résolutio : u = = 3 u u u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9 u O costate ue le résultat est à chaue fois multiplié par 3, doc o a : de u = u 3 E gééral : E gééralisat ce procédé, o obtiet facilemet la formule géérale : u = u ou ecore u = u Remarue : Pour cotrôler si ue suite est géométriue, o vérifie si le uotiet de deux termes cosécutifs est toujours costate. Exemple : Est-ce ue la suite ( u ) doée par : ; ; ; ; ;... est ue suite géométriue? Répose : Oui, car pour passer d'u terme au suivat, o multiplie toujours par le même facteur 5 5 o-ul =, doc: u = u avec u = Bera - Cours-uites3 uites géométriues - -

2 LGL Cours de Mathématiues 27 3) omme des premiers termes d'ue suite géométriue Eigme 2: L'histoire du jeu du roi Explicatio: U jeue roi était faatiue de jeux et avait u maître ui avait u pechat mathématiue. Le roi lui demada u jour: "Ne pourrais-tu pas m'iveter u jeu ui e m'euye pas?" Le maître ivetait esuite le jeu d'échec et l'appelait, e hoeur du jeue souverai, le jeu du roi. Le roi était tellemet ethousiaste de ce jeu u'il dit au maître u'il 'avait u'à formuler ue demade et u'il la lui accorderait, uelle u'e soit la ature. Maître à part etière, il décida de doer ue petite leço au roi et demadait à ce ue l'o lui mette u grai de blé sur la première case de l'échiuier, tout e doublat la mise e passat d'ue case à la prochaie. Le roi lui demadait: "C'est déjà tout?". Expliue pouruoi la promesse du roi était impossible à teir. 64termes 64termes = i 9 = = 2,845 i= grais Comme chaue grai de blé pèse,5 g, la masse totale du blé vaut eviro 4 9,223 kg = 9,223 toes, ce ui correspod à eviro 5 as de productio modiale actuelle. Coclusio: Le pauvre roi a eu droit à ue redoutable leço de mathématiues! Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 2 -

3 LGL Cours de Mathématiues 27 Propriété: i) La somme des premiers termes cosécutifs d'ue suite géométriue, dot le premier terme est 2 u et la raiso ( ), est égale à = u ( ). ii) Puisue la raiso est différete de, la somme peut s'écrire sous la forme: = u. iii) Déductio immédiate de cette propriété: k 2 3 : = = (*) k= Démostratios de i) et ii): Ad i) Ad ii) = u + u + u u = u + u + u + + u 2 (... ) = u = u + u + u + u u () = u + u2 + u u + u = u2 + u3 + u u + u+ (2) ()-(2): ( ) = u u + ( ) = = ( ) u u u Comme : = u+ u u = c..f.d. 4) Démostratios par récurrece Démotros la formule ue l'o a déduite de la propriété e utilisat ce procédé de démostratio. Pricipe d'ue telle démostratio: E face d'ue formule à démotrer, o la vérifie d'abord sur u exemple (trivial), p.ex. pour k = O suppose esuite ue la formule soit vraie pour k =, ce ui costitue otre hypothèse de récurrece. O démotre esuite, à l'aide de l'hypothèse de récurrece, ue la formule est ecore vraie pour k = +. Il s'esuit alors ue la formule est vraie uel ue soit k, e appliuat le pricipe de l'itératio. Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 3 -

4 LGL Cours de Mathématiues 27 Applicatio à la formule: Cas de base: Hypothèse de récurrece: 2 3 k : = 2 2 k ( + )( )? k = 2( k = ): + = or = = k = : : = Démotros ue sous cette hypothèse, o a, pour k = + : : = Démostratio: 2 3 : = + par hypothèse de recurrece ( ) = = = : = c.. f. d. Coclusio: La formule état vraie pour k = 2, elle deviet automatiuemet vraie pour k = 3, puis pour 4 k. k = etc. Elle est doc vraie { } D'autres démostratios utilisat ce procédé suivet das la partie "Exercices". Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 4 -

5 LGL Cours de Mathématiues 27 Exercices sur les suites géométriues ) O cosidère ue suite géométriue ( u ) de premier terme u = 5 et de raiso icoue. Détermiez sachat ue: u 9 = ) O cosidère ue suite géométriue ( u ) de premier terme u = 7 et de raiso icoue. Détermiez sachat ue: u 9 = ) i) Calculez la raiso et le premier terme 256 u = 3etu5 = 27 3 ii) Détermiez le plus grad etier tel ue u <. 4) O cosidère la suite géométriue ( ) u d' ue suite géométriue ( ) u telle ue 8 u 2 = et u3 u =. 3 i) Motrez ue u et u 3 sot iverses l'u de l'autre. u, sachat ue : ii) Détermiez la raiso de la suite ( u ), sachat u'elle est égative. Précisez les valeurs de u, u et u 3. iii) Détermiez le terme gééral de cette suite ( u ) e foctio de et calculez 5) O cosidère la suite géométriue croissate ( ) = u. u dot tous les termes sot égatifs. i) Calculez u, u2 et u 3 sachat ue: u u = et u+ u2 + u3 = ii) Détermiez le terme gééral de cette suite ( ) 9 9 u e foctio de. 6) O cosidère la suite géométriue ( u ) de raiso Calculez le terme gééral de cette suite ( u ) e foctio de. 7) O cosidère la suite géométriue ( ) u i= > et telle ue u4 = 2 et u8 = 4 u. de raiso > telle ue 2 8 u = 27 u3 et u2 =. 9 i) Calculez la raiso et le premier terme de cette suite. u e foctio de. ii) Détermiez le terme gééral de cette suite ( ) 8) Détermiez les 5 premiers termes d'ue suite géométriue ( u ), sachat ue 35 u, u, u2, u3 et u 4 sot positifs et ue u u4 = 25 et u+ u2 + u3 =. 2 9) Détermiez les 5 premiers termes d'ue suite géométriue ( u ), sachat ue 2 u, u, u2, u3 et u 4 sot positifs et ue u u4 = 9etu+ u2 + u3 =. 2 i Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 5 -

6 LGL Cours de Mathématiues 27 Problèmes cocrets de mathématiues fiacières à traiter sur EXCEL ) U locataire paye so loyer par trimestres, les paiemets état toujours effectués au début de chaue trimestre. O appelle u la valeur du loyer trimestriel au er octobre 24. Le propriétaire propose alors au locataire de choisir etre deux cotrats valables à partir du er javier 25. Cotrat Cotrat 2 Ue augmetatio régulière de 3% au début de chaue trimestre (la première augmetatio ayat lieu au er javier 25). Trouvez e foctio de u et sas effectuer le détail du calcul: u loyer au //5, u loyer au début du -ième trimestre ui suit le //5. Calculez le loyer auel 25, puis la somme des loyers payés pedat les trois aées 25, 26 et 27. Applicatio umériue à cotrôler sur Excel: u = 84. Ue augmetatio de % au er javier de chaue aée (la ere augmetatio ayat égalemet lieu au er javier 25). E cosidérat ue le loyer de 24 était uiformémet de u = 84 par trimestre, calculez le loyer auel 25, puis la somme des loyers pedat les aées 25, 26 et 27. Comparez ces deux cotrats. 2) Madame oja Mèredefamille veut costituer ue dot à so efat. Elle verse au début de chaue aée ue somme de 5, depuis la aissace de cet efat. Quel est le motat de la dot aisi costituée à la fi de sa 7 me aée, si o suppose ue le taux est fixé à 4,5% par a? 3) Ue persoe place, au début de chaue trimestre, ue somme de à 5% et à itérêts composés. Quelle somme recevra-t-elle au bout de 2 as? 4) U idustriel amortit ue machie, achetée.75 avec des auités e progressio arithmétiue de er terme 25 et de raiso 75. Combie d'aées faudra-t-il pour amortir la machie? 5) Le er javier 996, la populatio d'u village était de 24 habitats. D'après les évaluatios des derières aées, cette populatio décroît d'eviro 3% par a. E admettat ue l'évolutio se poursuive suivat la même loi, prévoyez: Combie le village comptait-t-il le er javier 26, comptera-t-il d'habitats le er javier 2? Au cours de uelle aée la populatio du village descedra-t-elle e-dessous de 62 habitats? Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 6 -

7 LGL Cours de Mathématiues 27 5) Applicatios cocrètes des suites géométriues Exercice d'applicatio: Das l'atiuité, o cosidérait u'u rectagle était harmoieux si sa logueur a était moyee géométriue etre sa largeur b et la somme de sa logueur et de sa largeur. a. Détermiez la valeur du uotiet = pour u rectagle harmoieux; était appelé b "ombre d'or". 2. O cosidère u rectagle harmoieux R de logueur a et de largeur b. A partir de R, o costruit u rectagle R 2 e supprimat u carré de côté b. Calculez a b e foctio de b et deéduisez-e ue le rectagle R 2 aisi obteu est harmoieux; o ote sa logueur a 2 et sa largeur b Par le procédé décrit sous 2. o costruit ue suite de rectagles harmoieux R ( ); o ote a et b respectivemet la logueur et la largeur du rectagle R. a. Motrez ue les suites ( a ) et ( b ) sot des suites géométriues dot o détermie la raiso. Déduisez-e l'expressio de a e foctio de a et de et celle de b e foctio de b et de. b. O ote A l'aire du rectagle R ; calculez l'aire A e foctio de A et. oit Motrez ue lim = A + = A. k= k Bera - Cours-uites3 uites géométriues - 7 -

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