Chapitre 1 Suites. Table des matières. Chapitre 1 Suites TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 1 Suites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 1 Suites Table des matières I Exercices I I I I I I-3 6 Suites arithmétiques, géométriques, et autres I-3 7 Utilisation du tableur (1) I-3 8 Utilisation du tableur (2) I I I I I I I I I I I I I-6 II Cours II-1 1 Rappels de 1 re sur pourcentages et évolutions II-1 1a Pourcentage, fraction et nombre décimal II-1 1b Appliquer ou calculer un pourcentage II-1 1c Taux d évolution, coefficient multiplicateur II-1 1d Évolutions successives de même taux, suites géométriques II-1 2 Rappels de 1 re sur les suites II-2 2a Généralités sur les suites II-2 2b Suites arithmétiques II-3 2c Suites géométriques de raison positive II-3 3 Somme des termes d une suite géométrique II-4 4 Limite d une suite géométrique de raison strictement positive II-4 5 Suites arithmético-géométriques II-5

2 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 La suite u est définie, pour tout nombre entier naturel 1 n, par u n = n Calculer u, u 1, u 2, u 3, u 4, u Tracer la représentation graphique de cette suite. 3. Quel semble être le sens de variation de cette suite? 4. Justifier la réponse précédente en étudiant le signe de u n+1 u n. Indications : justifier d abord que, pour tout nombre entier naturel n, on a : u n+1 u n = 2n + 1 ; justifier quel est le signe de u n+1 u n quand n est un entier naturel? 5. Écrire un algorithme permettant de calculer un terme de rang donné. 2 Nous allons reprendre les questions 1, 2, 3 de l exercice 1 à la calculatrice. Les indications données sont valables pour la TI Choix du mode «suite». Appuyer sur mode ; sur la 4 e ligne, sélectionner Suit (suite) au lieu de Fct (fonction) ; sur la 5 e ligne, sélectionner NonRelié au lieu de Relié ; quitter en appuyant sur 2nde [quitter]. 2. Saisie de l expression u n = f(n) Appuyer sur f(x) ou Y= Compléter l écran pour obtenir ceci : nmin= u(n)=n 2 +3 u(nmin)= 3. Réglage de la table et tableau de valeurs Appuyer sur 2nde [déf table] Compléter l écran pour obtenir ceci : DébTable= PasTable=1 Pour voir le tableau de valeurs de la suite, appuyer sur 2nde [table] 4. Réglage de la fenêtre et représentation graphique Appuyer sur fenêtre Compléter le haut de l écran pour obtenir ceci : nmin= nmax=5 PremPoint=1 Pas=1 Compléter ensuite les autres valeurs Pour voir la représentation graphique de la suite, appuyer sur graphe 1. Un nombre entier naturel est un nombre entier positif ou nul.

3 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-2 3 On considère à nouveau la suite de l exercice 1, définie par : u n = n Nous allons calculer u 999 à la calculatrice de différentes manières re manière : effectuer tout simplement le calcul : e manière : on peut aussi utiliser la commande table de la calculatrice, mais pour cela, il faut d abord la régler sur «Valeurs à la demande». Procéder ainsi : Appuyer sur 2nde [déf table] Compléter l écran pour obtenir ceci : DébTable= PasTable=1 Valeurs : Auto Dem Appuyer sur 2nde [table] saisir le nombre 999, et la valeur de u 999 apparaît après dix à quinze secondes e manière : on peut enfin utiliser un programme de la calculatrice (a) Appuyer sur les touches prgm,,, entrer. (b) Compléter ce qui est à l écran pour obtenir ceci : PROGRAMME Nom=SUITE1 Sur la calculatrice, les lettres A, B, C, etc. sont au dessus des touches. (c) Appuyer sur la touche entrer (d) Compléter ce qui est à l écran pour obtenir ceci : PROGRAM:SUITE1 :Prompt N :N 2+3 U :Disp U Pour obtenir Prompt, appuyer sur les touches prgm,, 2 Pour obtenir les lettres, appuyer sur la touche alpha avant chaque lettre. À la fin de chaque ligne, appuyer sur la touche entrer Pour obtenir la flèche à droite, appuyer sur la touche sto Pour obtenir Disp, appuyer sur les touches prgm,, 3 (e) Pour revenir à l écran «normal», appuyer sur les touches 2nde [quitter] Nous allons maintenant exécuter ce programme. (f) Appuyer sur la touche prgm, aller sur le nom du programme, puis appuyer deux fois sur la touche entrer (g) Compléter ce qui est à l écran pour obtenir ce qui est en dessous (à la fin de chaque ligne, appuyer sur la touche entrer ). prgmsuite1 N=?999 On retrouve le résultat précédent : le mot Fait veut dire que l exécution du programme est terminée.

4 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-3 4 On considère la suite v définie par récurrence par : v = 3 et pour tout nombre entier naturel n, v n+1 = 2v n 1. On pourra utiliser la calculatrice pour répondre aux questions ci-dessous. Pour définir cette suite définie par récurrence, appuyer sur f(x) ou Y=, puis compléter ainsi : nmin= u(n)=2*u(n-1)-1 u(nmin)= Calculer v 1, v 2, v 3, v 4, v 5. Pour obtenir u, appuyer sur 2nde 2. Observer la représentation graphique de cette suite sur l écran de la calculatrice. 3. Quel semble être le sens de variation de cette suite? 4. Écrire un algorithme permettant de calculer de calculer v 5. Même exercice que l exercice 4 pour les suites définies ci-dessous. (1) u n = 5 + 8n (2) u n = 64, 5 n (3) u = 7 et u n+1 = u n 12 (4) u = 1, 5 et u n+1 = 2 u n 6 Suites arithmétiques, géométriques, et autres. Pour les six suites étudiées dans les exercices précédents, lesquelles sont arithmétiques, géométriques, ou ni l un ni l autre? Justifier chaque fois par des calculs. Rappel : une suite arithmétique de raison a est une suite telle que l on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a ; une suite géométrique de raison q est une suite telle que l on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q. u n 7 7 Utilisation du tableur (1) Le tableau ci-contre représente une feuille de calcul dans un tableur. A B C 1 n Un Vn Dans la cellule B2, on saisit la formule =A2*5 et on la recopie vers le bas, jusqu à la cellule B6. (a) Quels résultats seront affichés de B2 à B6? Compléter dans le tableau. (b) Donner la formule qui se trouve dans la cellule B4 : (c) Donner la définition de la suite U n de la colonne B en fonction de n ou par récurrence. 2. Dans la cellule C3, on saisit la formule =C2*3 et on la recopie vers le bas, jusqu à la cellule C6. (a) Quels résultats seront affichés de C3 à C6? Compléter dans le tableau. (b) Donner la formule qui se trouve dans la cellule C6 : (c) Donner la définition de la suite V n de la colonne C en fonction de n ou par récurrence.

5 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-4 8 Utilisation du tableur (2) Le tableau ci-contre représente une feuille de calcul dans un tableur. A B C 1 n Un Vn Pour obtenir les nombres 1, 2, 3 dans les cellules A3, A4, A5, on saisit une formule en A3 et on la recopie vers le bas jusqu à A5. Quelle est cette formule? Dans la colonne B, on veut afficher les termes de la suite définie par : u = 5 et u n+1 = 2u n + 3 (a) Compléter les cellules B3, B4, B5 (écrire simplement les résultats affichés dans le tableau ci-dessus). (b) Quelle est la formule à saisir en B3 et à recopier vers le bas? Dans la colonne C, on veut afficher les termes de la suite définie par : u n = 4 n + 1 (a) Compléter les cellules C3, C4, C5 dans le tableau ci-dessus (résultats). Arrondir au centième si nécessaire. (b) Quelle est la formule à saisir en C3 et à recopier vers le bas? Une entreprise a vendu exemplaires d un nouvel article pendant le mois de janvier, en espérant une progression des ventes de,6 % par mois. On pose V = et V n le nombre de ventes pendant le n ième mois (V 1 février, V 2 mars, etc.) 1. En utilisant le coefficient multiplicateur, calculer le nombre de ventes estimé en février, mars, avril, décembre. 2. Écrire en fonction de n le nombre V n de ventes estimé pendant le n ième mois. 3. Si la progression des ventes continuait de la même façon pendant 5 ans, calculer le nombre total de ventes en ans (de janvier à décembre 14 inclus). Calculer les sommes suivantes : , 3 +, , , 2 + 1, , Un appartement est loué 84 euros par an, et le loyer est augmenté de 2 % par an Calculer le loyer après 5 ans. 2. Calculer le total des loyers payés après 12 ans. La production d un aérosol s élève à 4 unités. On veut arrêter progressivement la production, en diminuant la production de % par mois et en arrêtant lorsque la production mensuelle est inférieure à unités. 1. Calculer le nombre d unités produite le 4 e mois. 2. Après quelle durée la production sera-t-elle arretée? Donner la réponse en années et mois. 3. Calculer le nombre total d unités produites.

6 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-5 13 Une entreprise achète début une machine outil neuve pour 2 e. Cette machine se déprécie de 15 % par an. On appelle v n la valeur estimée de la machine au bout de n années de fonctionnement à partir de Écrire v n en fonction de n. 2. Calculer la valeur estimée début Déterminer le sens de variation de la suite (v n ) et interpréter le résultat. 4. Comment évolue la valeur de cette machine à très long terme? On pourra utiliser un tableur et une représentation graphique pour observer l évolution du prix. 1. Écrire un algorithme permettant, dans l exercice 13 de déterminer à partir de combien d années la valeur estimée sera inférieure à 1e. 2. Quel est ce nombre d années? Une légende raconte que l empereur Shiram aimait beaucoup le jeu d échec, et qu il voulut remercier son inventeur Sissa en lui faisant le cadeau suivant : «Sur la première case, je déposerai un grain de riz, puis le double sur la 2 e case, et ainsi de suite, en doublant chaque fois le nombre de grains de riz.» Le jeu d échec comporte 64 cases Déterminer le nombre de grains de riz à poser sur la 5 e case. 2. Déterminer le nombre de grains de riz à poser sur la 64 e case, écrire le résultat en notation scientifique (a n ), en arrondissant à l unité près le nombre a. Donner aussi le résultat en langage parlé. 3. Sachant que dans un kg de riz, il y a environ 3 grains, calculer le nombre de tonnes de riz à placer dans la 64 e case (1 t = 1 kg). 4. Sachant que la production annuelle est de 6 8 tonnes de riz, comparer le nombre de tonnes de riz à placer dans la 64 e case à cette production. 5. La suite des nombres de grains de riz dans les cases successives est une suite (c n ). (a) Quelle est la nature de la suite (c n )? (b) Écrire (c n ) en fonction de n. (c) Comment évolue c n lorsque n augmente indéfiniment? 1. Déterminer chaque fois le sens de variation de la suite (u n ) et sa limite lorsque n tend vers +. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur. ( ) (a) u n =, 9 n 1 n (b) u n = (c) u n = 3 n (d) u n = 1, 2 n 2 2. Pour un nombre q strictement positif, la suite (u n ) est définie par : u n = q n. Selon les valeurs de q, quels sont apparemment le sens de variation de la suite (u n )? la limite de (u n ) lorsque n tend vers +?

7 Chapitre 1 Suites I EXERCICES page I-6 17 On considère la suite définie par : S n = 1 +, 5 +, , 5 n Autrement dit : S = 1 S 1 = 1 +, 5 S 2 = 1 +, 5 +, 5 2 etc Cette suite est-elle géométrique? Justifier par des calculs. 2. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur pour répondre aux deux questions ci-dessous. (a) Quel est le sens de variation de la suite (S n )? (b) Quelle semble être la limite de cette suite? 1. On dispose d un capital initial de e. Ce capital est placé à intérêts composés annuels de 5 % et on retire 4echaque année. On pourra utiliser la calculatrice ou le tableur pour répondre aux deux questions ci-dessous. (a) Comment évolue la valeur de ce capital? (b) Comment évolue-t-elle à très long terme? 2. Mêmes questions pour la situation suivante : on dispose d un capital initial de e, on dépense 4 % de ce capital par an, et on retire 5eàla fin de l année. Une ville compte initialement habitants. Chaque année, elle saccroit naturellement de 5 %, mais personnes la quittent et 3 personnes arrivent. 1. Comment évolue la population de cette ville? 2. Comment évolue-t-elle à très long terme? Un stock de nourriture de 6 tonnes au départ diminue chaque mois : 3 % sont perdus pour cause de pourriture, 15 % sont consommés et on achète 4,3 tonnes par mois. 1. Comment évolue ce stock de nourriture? 2. Comment évolue-t-il à très long terme?

8 Chapitre 1 Suites II COURS page II-1 II Cours 1 Rappels de 1 re sur pourcentages et évolutions 1a Pourcentage, fraction et nombre décimal Exemples : 13 % = =, % = = 2, 47 1b Appliquer ou calculer un pourcentage Exemple Les bénéfices d un opérateur téléphonique sont de 145 millions d euros. 1c 1. Appliquer un pourcentage à une quantité : calculer le bénéfice réalisé sur les textos sachant qu il représente 6 % du bénéfice total. Calcul : = 8, 7 Réponse : le bénéfice est de 8,7 millions d euros. 2. Calculer le pourcentage qu une quantité Q 1 représente par rapport à une autre Q 2 : le bénéfice réalisé sur les abonnements est de 84,1 millions d euros. Calculer le pourcentage que cela représente par rapport au bénéfice total. Calcul : Q 1 = 84, 1 =, 58 = 58 % Réponse : le pourcentage cherché est égal à 58 %. Q Taux d évolution, coefficient multiplicateur Vocabulaire : une évolution désigne une augmentation ou une diminution d un taux t. Exemple : un prix de 346eaugmente de 8 %. La valeur initiale est V I = 346e Calcul de la valeur finale après l augmentation : V F = = , 8 = 346 (1 +, 8) = 346 1, 8 = 373, 68 Le calcul détaillé ci-dessus montre que pour calculer la valeur finale on multiplie la valeur initiale par 1,8 qui est le coefficient multiplicateur. À retenir t est le taux d évolution, 1 + t est le coefficient multipicateur. V I est la valeur initiale (avant évolution), V F est la valeur finale, (après évolution). (1 + t) Schéma : V I V F Formules : V I (1 + t) = V F t = V F V I V I Exemples Une population de 157 habitant a augmenté de 13 %. Calcul de la population après augmentation : 157 (1 +, 13) = 157 1, 13 = Une population de 93 habitant a baissé de 6 %. Calcul de la population après la baisse : 93 (1, 6) = 93, 94 = De 1 à 2, le nombre de participants à une course est passé de 142 à Calcul du taux d évolution : t =, 14 = + 14 % 142 1d Évolutions successives de même taux, suites géométriques La définition d une suite géométrique est rappelée plus loin au paragraphe 2c. n est un entier positif. Si une valeur u subit n évolutions successives de même taux t, alors la valeur finale est donnée par la formule : u n = u (1 + t) n. La suite (u n ) est alors une suite géométrique de premier terme u et de raison 1 + t

9 Chapitre 1 Suites II COURS page II-2 Exemple : une population de bactéries s élève à 9 et diminue de 4 % par jour, calculons le nombre de bactéries après jours. 9 (1, 4) = 9, Rappels de 1 re sur les suites 2a Généralités sur les suites Définition Une suite u est une fonction définie sur l ensemble IN des nombres entiers naturels. L image d un entier naturel n par u est noté u(n) ou u n. Différentes façons de définir une suite Exemple 1 (relation explicite) : u(n) = n ou u n = n u = = 3 u 1 = = 4 u 2 = = 7 u 3 = = 12 Exemple 2 (relation de récurrence) : v = 3 et v n+1 = 2v n 1 v = 3 v 1 = 2 v 1 = = 5 v 2 = 2 v 1 1 = = 9 v 3 = 2 v 2 1 = = 17 Une suite où, pour tout entier naturel n, chaque terme u n est écrit en fonction de n, c est à dire u n = f(n), est une suite définie par une relation explicite. Une suite où chaque terme est défini en fonction du précédent, est une suite définie par une relation de récurrence. Sens de variation d une suite numérique. Dire qu une suite u est croissante signifie que pour tout entier naturel n, u n+1 u n ; Dire qu une suite u est décroissante signifie que pour tout entier naturel n, u n+1 u n ; Dire qu une suite u est constante signifie que pour tout entier naturel n, u n+1 = u n ; Exemple : reprenons la suite u de l exemple 1. On étudie le signe l expression u n+1 u n. u n+1 u n = (n + 1) (n 2 + 3) = n 2 + 2n n 2 3 = 2n + 1 Or, pour n IN, 2n + 1 >, donc la suite u est croissante. Exemples d algorithmes permettant de calculer un terme de rang donné. Exemple 1 : u n = n Exemple 2 : v = 3 et v n+1 = 2v n 1 Saisir n Saisir n u prend la valeur n Afficher n et u. Pour des valeurs de k allant de à n de 1 en 1 v prend la valeur 2v 1 Fin de la boucle «pour» Afficher n et v. Utilisation du tableur pour afficher les termes d une suite Exemple 1 : u n = n Exemple 2 : v = 3 et v n+1 = 2v n 1 A B A B 1 n Un 1 n Vn Formule dans la cellule B2 : =A2 2+3 Formule dans la cellule B2 : =2*B2-1

10 Chapitre 1 Suites II COURS page II-3 Représentation graphique des termes d une suite. Exemple 1 : u n = n Exemple 2 : v = 3 et v n+1 = 2v n b Suites arithmétiques Définition Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre a, s appelle une suite arithmétique de raison a. Relation de récurrence pour une suite arithmétique : Pour tout n IN, u n+1 = u n + a Relation explicite pour une suite arithmétique Si u est le premier terme de la suite, pour tout n IN, u n = u + na ; si u p est le premier terme de la suite, pour tout n p, u n = u p + (n p)a. Sens de variation d une suite arithmétique Si la raison d une suite arithmétique est positive, cette suite est croissante ; si la raison d une suite arithmétique est négative, cette suite est décroissante. Exemples de représentation graphiques de suites arithmétiques u n = 5 + 8n u n = 7 12n c Suites géométriques de raison positive. Définition Une suite telle que l on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, s appelle une suite géométrique de raison q. Relation de récurrence pour une suite géométrique : Pour tout n IN, v n+1 = q v n Relation explicite pour une suite géométrique si v est le premier terme de la suite : v n = v q n ; si v p est le premier terme de la suite : v n = v p q n p.

11 Chapitre 1 Suites II COURS page II-4 Sens de variation de la suite géométrique (q n ) où q est posif Si < q < 1, la suite (q n ) est décroissante ; si q = 1, la suite (q n ) est constante ; si q > 1, la suite (q n ) est croissante. Exemples de représentation graphiques de suites géométriques v n = 1, 5 2 n, puis u n = 64, 5 n Somme des termes d une suite géométrique Propriété Pour tout nombre q 1 et pour tout entier naturel n, 1 + q + q q n = 1 qn+1 1 q Exemple q = Exemple 2 = = , 6 + 1, , 6 59 = (1 + 1, 6 + 1, , 6 59 ) 1 1, 66 = , 6 4 Limite d une suite géométrique de raison strictement positive Propriété Si < q < 1, alors la limite de q n lorsque n tend vers + est ; Si q > 1, alors la limite de q n lorsque n tend vers + est +. Exemple 1 : <, 9 < 1 donc la limite de, 9 n lorsque n tend vers + est. Exemple 2 : 1, 2 > 1 Exemple 3 : v n = 2, 85 n donc la limite de 1, 2 n lorsque n tend vers + est +. <, 85 < 1 donc la limite de, 85 n lorsque n tend vers + est, donc la limite de 2, 85 n lorsque n tend vers + est aussi. Algorithme Dans l exemple 3 ci-dessus, on indique que la limite de 2, 85 n est quand n tend vers +. Voici un algorithme permettant de déterminer à partir de quel rang n, le nombre 2, 85 n est inférieur à 1.

12 Chapitre 1 Suites II COURS page II-5 Le programme indique qu un élève de terminale ES doit savoir mettre en œuvre un algorithme de ce type. Initialisation n prend la valeur v prend la valeur 2 Traitement Tant que v > 1 n prend la valeur n + 1 v prend la valeur 2, 85 n Fin de la boucle tant que Sortie Afficher n 5 Suites arithmético-géométriques Définition Une suite arithmético-géométrique est une suite définie sous la forme u n+1 = au n + b, où a et b sont deux nombres réels fixés. Exemples : voir les exercices sur fiche n o 18, 19,.

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