POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux

Transcription

1 POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010 Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux - Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) - MATHEMATIQUES 9 : RAPPELS DE 1 ERE S - SUITES NUMERIQUES - - COURS + ENONCE EXERCICE - Olivier CAUDRELIER oc.polyprepas@orange.fr 63

2 1. Deux modes de génération d une suite : Suite définie de manière explicite : chaque terme dépend de son indice ; on dit que est fonction de, qui s écrit : Pour ce genre de suites, il est très facile d obtenir directement le terme que l on souhaite, il suffit de remplacer par le terme souhaité ex : Suite définie par récurrence : le premier terme est donné, puis, chaque terme est engendré par son terme précédent (et non par son indice comme les suites définies de manière explicite) ; chaque terme est donc fonction de son terme précédent Pour ce genre de suites, pour calculer le 1000 e terme par exemple, il faut avoir calculé les 999 précédents! On ne peut calculer qu un terme après l autre, en commençant par le premier Ex : Remarque : nombre de termes d une suite : pour une suite commençant à et finissant à il y a nombre de termes Exemple : de il y a termes 2. Monotonie d une suite : On calcule et l on compare le résultat à 0 64

3 Exemple : la suite est croissante à partir du rang Si pour tout ou pour tout, on calcule et l on compare le résultat à 1 Exemple : Si et uniquement ce cas (jamais utiliser cette méthode pour les suites définies par récurrence), on étudie le sens de variation de la fonction associée définie sur : le sens de variation de f sera le même que celui de Exemple : 65

4 est définie de manière explicite par, et l on a, pour tout avec, c est-à-dire f est croissante sur la suite est croissante à partir du rang 3. Suites arithmétiques : On dit qu une suite est arithmétique sur s il existe un entier r tel que : (formule par récurrence) le réel r est alors appelé raison de la suite arithmétique Théorème : si est arithmétique de raison r, on a alors : si on commence au rang 0 pour un rang p quelconque Pour montrer qu une suite est arithmétique, on calcule, et il faut obtenir un réel r (plus aucun n) : Somme de termes d une suite arithmétique : 66

5 4. Suites géométriques : On dit qu une suite est géométrique sur s il existe un entier r tel que : (formule par récurrence) Le réel q est alors appelé raison de la suite géométrique Théorème : si est géométrique de raison q, on a alors : si on commence au rang 0 pour un rang p quelconque Pour montrer qu une suite est géométrique, on calcule et il faut obtenir un réel q (plus aucun n) : Somme de termes d une suite arithmétique : 5. Suites arithmético-géométriques et homographiques : On sera parfois amené à tenter d exprimer une suite définie par récurrence sous sa forme explicite (en fonction de n) afin éventuellement d étudier sa limite et sa convergence ; ceci est direct et aisé pour les suites arithmétiques et les suites géométriques, plus difficiles pour les autres (qui ne sont ni géométriques ni arithmétiques). Pour les suites arithmético-géométriques ( de la forme : ) ou homographiques ( de la forme d un quotient ex : ), on nous guide selon la méthode suivante : On pose une suite auxiliaire fontion de, qui elle s avère arithmétique ou géométrique On peut donc aisément exprimer en fonction de n, puis, on revient à la suite initiale, que l on peut donc exprimer à présent sous sa forme explicite Il est donc possible de calculer sa limite (cf exercices 4 et 5) 67

6 Exercices d application sur le chapitre : Suites Numériques Rappels 1 ère S exercice 1 : Etudier la monotonie des suites suivantes : a) b) c) d) exercice 2 : La suite est arithmétique de raison r 1. On donne et a) calculer r, b) exprimer c) 2. On donne et ; sur le même modèle de questions qu au-dessus, calculer et exercice 3 : La suite est géométrique de raison q 1. On donne et a) calculer b) exprimer en fonction de n c) calculer ) 2. On donne et 1 a) calculer (il peut y avoir plusieurs résultats et donc plusieurs suites possibles) b) exprimer en fonction de n ; on distinguera deux cas c) calculer ; on distinguera deux cas 68

7 exercice 4 : (ne pas faire les limites sauf si souvenirs ) exercice 5 : (ne pas faire les limites sauf si souvenirs ) 69