Université de Rennes 2 Licence MASS 2 Année 2006/2007 Premier Semestre. Suites & Séries. Arnaud Guyader

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1 Uiversité de Rees 2 Licece MASS 2 Aée 26/27 Premier Semestre Suites & Séries Araud Guyader

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3 Table des matières Séries umériques. Suites umériques : rappels et complémets Gééralités Limite, covergece Relatios de comparaiso Séries umériques : gééralités Séries à termes positifs Résultats gééraux Règles pratiques Comparaiso série/itégrale Sommatio des relatios de comparaiso Séries à termes quelcoques Séries absolumet covergetes Séries alterées Techiques classiques Trasformatio d Abel Produit de deux séries Exercices Suites et séries de foctios Suites de foctios Covergece simple Covergece uiforme Séries de foctios Covergece simple, covergece absolue Covergece uiforme, covergece ormale Exercices Séries etières Domaie de covergece Somme d ue série etière Opératios sur les séries etières Covergece et cotiuité Dérivatio, itégratio Foctios développables e séries etières Propriétés géérales Applicatios Exercices A Aales o corrigées 97 i

4 ii Table des matières B Aales corrigées 7 Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

5 Chapitre Séries umériques Itroductio Soit (u ) ue suite umérique, c est-à-dire de ombres réels ou complexes. O s itéresse au comportemet de la suite des sommes partielles de (u ) : u, u + u, etc. C est ce qu o appelle l étude de la série umérique u. A de rares exceptios près, o e saura pas calculer la limite évetuelle, appelée somme de la série. O tetera cepedat de préciser sa ature (covergete ou divergete) aisi que des équivalets asymptotiques. O commece par quelques rappels sur les suites.. Suites umériques : rappels et complémets O appelle suite umérique (u ) toute suite de ombres réels ou complexes. O otera (u ) la suite e commeçat qu à l idice. Das les éocés, o supposera que les suites commecet à l idice. O otera alors plus simplemet (u ) la suite, à e pas cofodre avec u, qui est so terme de rag... Gééralités Défiitio. (Mootoie, Majoratio, Mioratio) Soit (u ) ue suite de réels. O dit que (u ) est : croissate (respectivemet : strictemet croissate, décroissate, strictemet décroissate) si :, u + u (respectivemet : >,, <). mootoe si elle est croissate ou décroissate. statioaire si elle costate à partir d u certai idice. majorée (respectivemet miorée) s il existe u réel M (respectivemet m) tel que :, u M (respectivemet u m). borée si elle est majorée et miorée, ce qui reviet à dire que la suite ( u ) est majorée, i.e. il existe u réel M > tel que :, u M. Soit plus gééralemet (u ) ue suite de ombres complexes. Notos z R + le module de z. O rappelle qu o peut décomposer z e partie réelle/partie imagiaire : z = a + ib, avec a et b réels, auquel cas z = a 2 + b 2 ; ou bie décomposer z e module/argumet z = re iθ, avec r et θ [,2π[, auquel cas z = r. Comme pour le cas d ue suite de réels, o dira que (u ) est borée si la suite ( u ) des modules est majorée. E otat : u = a + ib = r e iθ,

6 2 Chapitre. Séries umériques raiso = raiso = -/ raiso = / raiso = Fig.. Suites géométriques de premier terme u = et pour différetes valeurs de la raiso. ceci reviet à dire que les deux suites réelles (a ) et (b ) sot borées, ou ecore que la suite (r ) est majorée. Exemple : la suite géométrique O cosidère la suite géométrique (u ) défiie par : { u = u + = αu où α est u réel, appelé raiso de la suite. Le terme gééral s écrit : u = α. Le comportemet de la suite déped doc de la valeur de la raiso (voir figure.) : α ],+ [ : la suite est strictemet croissate, miorée par, o majorée. α = : la suite est costate égale à (doc borée). α ],[ : la suite est strictemet décroissate, majorée par et miorée par. α = : la suite est statioaire à. α [,[ : la suite est majorée par, miorée par α. α ], [ : la suite est i miorée, i majorée. Si o cosidère ue suite géométrique de raiso α C, o vérifie aisémet qu elle est borée si et seulemet si α. Etudios le cas particulier où α = /2 : o a alors u = ( /2). O vérifie que la suite des termes pairs (u 2 ) est ue suite géométrique de premier terme u = et de raiso /4, doc décroissate. La suite des termes impairs (u 2+ ) est ue suite géométrique de premier terme u = /2 et de raiso /4, doc croissate. Les suites (u 2 ) et (u 2+ ) sot appelées suites extraites, ou sous-suites, de la suite (u ). Doos ue défiitio géérale. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

7 .. Suites umériques : rappels et complémets Fig..2 Suite u = + ( ). Défiitio.2 (Sous-suite) Soit (u ) ue suite umérique. O dit que (u ϕ() ) est ue sous-suite, ou ue suite extraite de (u ) si l applicatio ϕ : N N est strictemet croissate. Par exemple, pour la sous-suite (u 2 ), l applicatio ϕ : 2 est bie strictemet croissate de N das N...2 Limite, covergece Défiitio.3 (Suite covergete) O dit que la suite umérique (u ) coverge (ou ted) vers L si : ε >, N, u L < ε. O ote alors lim u = L, ou lim u = L, ou ecore u L. Cette défiitio est valable aussi bie pour les suites à termes réels qu à termes complexes : le symbole. correspod respectivemet à la valeur absolue et au module. Propositio. La suite à termes complexes (u ), où u = a + ib, ted vers L = a + ib si et seulemet si (a ) ted a et (b ) vers b. Nous e rappelos pas ici les propriétés classiques des limites : uicité si existece, stabilité par combiaiso liéaire, produit, quotiet lorsque la limite du déomiateur est o ulle, etc. Das le cas d ue suite réelle o covergete, o distigue ecore les divergeces vers plus ou mois l ifii. Défiitio.4 (Limite ifiie) Soit (u ) ue suite de réels. O dit que (u ) ted vers + si : O ote ecore lim u = + ou u M >, N, u > M. +. Remarque. Ue suite qui ted vers + est pas écessairemet croissate. Predre par exemple la suite défiie par u = + ( ), représetée figure.2. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

8 4 Chapitre. Séries umériques O a bie sûr ue défiitio équivalete pour ue suite qui ted vers mois l ifii. Noter qu o dit das ces situatios que (u ) admet ue limite, mais pas qu elle est covergete. Reveos u peu aux sous-suites. Propositio.2 Si (u ) admet ue limite (fiie ou ifiie), toute sous-suite de (u ) admet la même limite. Il faut bie sûr oter qu ue suite peut admettre des sous-suites covergetes sas être elle-même covergete. Par exemple si u = ( ), la sous-suite (u 2 ) est costate égale à doc covergete, et la sous-suite (u 2+ ) est costate égale à doc covergete aussi. Pour autat (u ) est pas covergete. Eoços u résultat utile das l étude des séries. Propositio.3 Si les sous-suites (u 2 ) et (u 2+ ) admettet la même limite L, alors (u ) admet pour limite L. Le cas des suites mootoes est paisible, car o a toujours ue limite. Propositio.4 (Suite mootoe) Soit (u ) ue suite de réels. Supposos (u ) croissate. Ou bie (u ) est majorée, auquel cas elle est covergete. Ou bie elle e l est pas, auquel cas elle ted vers plus l ifii. De même, ue suite décroissate est covergete si elle est miorée, ted vers mois l ifii sio. Remarque. Ce résultat, assez aodi a priori, sera particulièremet utile das l étude des séries à termes positifs. Corollaire. (Suites adjacetes) Soit (u ) et (v ) deux suites de réels. Supposos : (u ) croissate, (v ) décroissate, v u, alors (u ) et (v ) sot covergetes de même limite. O verra u exemple d applicatio de ce résultat das l étude des séries alterées...3 Relatios de comparaiso Das le cas gééral, deux suites umériques (u ) et (v ) état doées, o dit que : - (u ) est u petit o de (v ), ou que (u ) est égligeable par rapport à (v ) et o ote u = o(v ) si : N, (ε ), u = ε v et lim ε =. - (u ) est équivalete à (v ) et o ote u v si : N, (ε ), u = ( + ε )v et lim ε =. L idice red ces défiitios u peu lourdes. Sa raiso d être est la suivate : si (v ) s aule u ombre fii de fois, il y a aucue raiso d imposer la même cotraite à (u ), puisqu o e s itéresse qu à la comparaiso asymptotique des deux suites. De fait, si (v ) reste différet de, ce qui sera gééralemet le cas, o peut réécrire les choses bie plus simplemet. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

9 .. Suites umériques : rappels et complémets 5 Défiitio.5 (Relatios de comparaiso) Soit (u ) et (v ) deux suites umériques avec v pour tout. O dit que : u - (u ) est u petit o de (v ), ou est égligeable devat (v ), et o ote u = o(v ) si lim v =. u - (u ) est équivalete à (v ) et o ote u v si lim v =. Remarques. Aisi o pourra écrire sas problème qu ue suite (u ) qui coverge vers L est équivalete à L si L est différet de zéro. Si L est ul, dire que u L reviet à dire qu à partir d u certai rag, tous les u sot uls. Par exemple, la suite (u = ) ted vers zéro, mais o e peut pas écrire que u. Ceci deviet crucial lorsqu o compose ue suite avec ue foctio : si u L, o e peut a priori écrire f(u ) f(l) que si f est cotiue e L avec f(l). Exemple typique : o a +, mais l( + ) l =, puisque la suite est pas ulle à partir d u certai rag. De même, dire qu ue suite (u ) est u petit o d ue costate o ulle sigifie qu elle ted vers zéro. Dire qu ue suite (u ) est u petit o de sigifie qu à partir d u certai rag, tous les u sot uls. Exemples. Si u = , o a u 3. De faço géérale, si P est u polyôme et u = P(), la suite (u ) est équivalete au moôme de plus haut degré. Si u = 2 ++si +2, o a u. Propriétés. (Propriétés opératoires classiques) Soit (u ), (v ) et (w ) trois suites umériques. - si u = o(w ) et si v = o(w ) alors u + v = o(w ). - si u = o(v ) alors u w = o(v w ). - si u v et si (u ), (v ) et (w ) sot toutes de même sige, alors u + w v + w. - si u v alors u w v w. Exemple. E exploitat les résultats ci-dessus, o a directemet si et ( ) 2 ++si +2 3 = 4. Achtug! Se méfier des sommes d équivalets lorsque les suites e sot pas de même sige, comme le motre l exemple suivat : u = + v = + 2, mais si w =, il est clair que u + w = v + w = 2, puisque le rapport des deux suites ted vers /2 et o vers. La compositio d u équivalet par la foctio expoetielle e se passe pas toujours sas heurt. Preos u = + et v =. O a bie u v, mais : e u = e, v e doc e u e v. De faço géérale, o retiedra que : e u e v u v. Lorsque la suite (u ) est défiie par u = f(), o pourra souvet utiliser les critères de comparaisos classiques. Propositio.5 (Comparaisos des suites classiques) Pour toutes costates strictemet positives α, β, γ, δ, o a : (l ) α = o( β ), β = o(e γ ) et e γ = o(! δ ). Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

10 6 Chapitre. Séries umériques Fig..3 Suite ( ) (croix) et série harmoique (cercles). E bref, o retiedra que le factoriel l emporte sur l expoetielle qui l emporte sur la puissace qui l emporte sur le logarithme..2 Séries umériques : gééralités Défiitio.6 (Série umérique, somme partielle) Soit (u ) ue suite umérique. O appelle série de terme gééral u, otée u ou plus simplemet u, la suite des sommes partielles (s N ) N, défiie par s N = N u. Remarque. Si la suite (u ) est défiie qu à partir d u certai idice, il e va de même pour la série, que l o ote alors u. La suite des sommes partielles est (s N ) N, avec s N = N = u. Exemples : La série harmoique A la suite ( ) est associée la série harmoique. Les premières sommes partielles sot doc :, + 2, , etc. Voir figure.3 pour la représetatio. La série géométrique O part de la suite géométrique défiie par u = et u + = αu, où α est u ombre réel ou complexe fixé différet de. Les premières sommes partielles sot doc :, + α, + α + α 2, etc. O peut calculer explicitemet les sommes partielles s N de cette suite géométrique par la formule valable e toutes circostaces : Somme = (er terme écrit-er terme o écrit)/( α), ce qui doe ici : s N = αn+ α. Le développemet décimal Tout ombre réel x de l itervalle [,[ s écrit de faço uique sous la forme : x = = x = x + x x +... avec x {,,...,9} pour tout. C est le développemet décimal de x et o écrit ecore x =,x x 2...x... O coviet e gééral que ce développemet décimal e fiit pas par ue ifiité de 9 : c est-à-dire qu o écrit x =.378 ou plus succictemet x =.378, plutôt que x = Voir aussi l exercice.8 (Nombres ratioels et développemet décimal). Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

11 .2. Séries umériques : gééralités Fig..4 Suites et séries géométriques pour α =.6 (à gauche) et α =.7 +.i (à droite). Défiitio.7 (Nature d ue série, reste d ue série covergete) O dit que la série u coverge (respectivemet diverge) si la suite (s N ) des sommes partielles coverge (respectivemet diverge). E cas de covergece, la limite s = lim N s N est appelée somme de la série et otée : s = Das ce cas, o peut défiir le reste r N à l ordre N par r N = s s N, qui s écrit aussi : r N = lim N+p p =N+ u. u = =N+ Remarques. O parle de ature d ue série pour désiger la covergece ou la divergece de celle-ci. Par exemple, il est clair qu o e chage pas la ature d ue série si o chage u ombre fii de termes. Par cotre, e cas de covergece, la somme est chagée. Se méfier du symbole de sommatio das l écriture de la somme d ue série s = + u : ce est pas ue somme au ses usuel, car elle est pas commutative e gééral (voir l exercice Problème de commutativité ). Les sommes partielles d ue série sot toujours défiies, mais les restes e le sot que lorsque la série est covergete : (r N ) est alors ue suite de limite ulle. Si le terme gééral u = a +ib est complexe, la série u coverge si et seulemet si les deux séries réelles a et b coverget, auquel cas : + u = + a + i + b. Exemple : la série géométrique D après le calcul de la somme partielle s N, o voit que si la raiso α est de module strictemet iférieur à, alors lim N α N+ =, doc la série coverge (voir aussi figure.4), de somme : u. u = lim N s N = /( α). Le reste à l ordre N s écrit : r N = α N+ /( α). La suite (r N ) ted à vitesse géométrique vers. Propriétés.2 (Structure d espace vectoriel). Si λ, les séries u et (λu ) sot de même ature, avec e cas de covergece : + (λu ) = λ + u. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

12 8 Chapitre. Séries umériques Fig..5 Suites et séries géométriques pour r =.2 et r =. + i Si les séries u et v sot covergetes, alors la série somme (u + v ) est covergete, avec : + (u + v ) = + u + + v. 3. Si u est covergete et v divergete, alors (u + v ) est divergete. Preuve.. Notos respectivemet (s N ) et (σ N ) les sommes partielles des séries u et (λu ). Il est clair que pour tout N, o a σ N = λs N. Si λ, o a doc (σ N ) covergete si et seulemet si (s N ) l est, auquel cas : (λu ) = lim σ N = lim λs N = λ lim s N = λ u. N N N 2. Notos respectivemet (s N ), (σ N ) et (Σ N ) les sommes partielles des séries u, v et (u + v ). Il est clair que pour tout N, o a Σ N = s N + σ N. Doc si (s N ) et (σ N ) sot covergetes, (Σ N ) l est aussi avec : (u + v ) = lim Σ N = lim (s N + σ N ) = lim s N + lim σ N = N N N N u + 3. O repred les otatios du poit précédet, o a toujours pour tout N : Σ N = s N + σ N, or la somme d ue suite covergete et d ue suite divergete est divergete doc (Σ N ) diverge, i.e. la série (u + v ) est divergete. Remarque. Si u et v sot divergetes, o e peut rie dire a priori de la série somme : predre par exemple u =, v =, w =. Les trois séries u, v et w sot divergetes. Mais (u + v ) est divergete, alors que (u + w ) est covergete. Propositio.6 (Critère de triviale divergece) Si la série u est covergete, alors so terme gééral (u ) ted vers zéro. Autremet dit, si (u ) e ted pas vers zéro, la série diverge. O dit das ce cas qu elle diverge trivialemet, ou grossièremet. Exemple : la série géométrique Si α, o a α = α pour tout, doc la série diverge trivialemet (voir figure.5). Preuve. Soit s N = N u la somme partielle. Si la série est covergete de somme s, o a lim N s N = s, aisi que lim N s N = s, doc lim N (s N s N ) =, i.e. lim N u N =. v. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

13 .2. Séries umériques : gééralités 9 Remarque. La propositio précédete doe ue coditio écessaire de covergece : elle est ullemet suffisate, comme le motre la série télescopique l(+ ). O a s N = N = l(+ ) = l(n + ) doc (s N) N est divergete : la série l(+ ) est divergete. Néamois, so terme gééral ted vers zéro : lim l( + ) = lim l( + ) = l =. Exercice. Via ue mioratio des sommes partielles (s N ), motrer que la série est divergete, mais o trivialemet. Exemple : la série harmoique La série harmoique est u exemple typique de série divergete o trivialemet divergete. Pour motrer qu elle diverge, cosidéros ses sommes partielles (s N ). O a : s 2N s N = N N N 2N = 2. Or si (s N ) covergeait vers s, o aurait aussi covergece de la sous-suite (s 2N ) vers s, doc (s 2N s N ) tedrait vers, ce qui est exclu vu l iégalité précédete. Pour l étude des suites umériques, o dispose du critère de Cauchy : celui-ci est surtout d u emploi théorique (théorème du poit fixe, absolue covergece covergece pour les itégrales gééralisées, etc.). Il est utile dès que l o veut motrer la covergece d ue suite dot o igore la limite. Il e va de même pour les séries. Rappel : Critère de Cauchy pour les suites Ue suite umérique (u ) est covergete si et seulemet si : ε >, N,, p u +p u < ε. Théorème. (Critère de Cauchy pour les séries) La série u est covergete si et seulemet si la suite (s N ) des sommes partielles satisfait le critère de Cauchy : ε >, N N, N N, p s N+p s N < ε. O retrouve la même applicatio de ce critère pour les séries que pour les itégrales gééralisées : absolue covergece implique covergece. Défiitio.8 (Série absolumet covergete) Soit u ue série umérique. O dit que cette série est absolumet covergete si la série u est covergete. Ue série covergete o absolumet covergete est dite semi-covergete. Exercice. O cosidère la série u défiie par : u 2 = + et u 2+ = +. Calculer les sommes partielles (s N ) e foctio de la parité de N. E déduire que la série est semi-covergete. Exemple : la série harmoique alterée La série harmoique alterée est u exemple typique de série semi-covergete. O a déjà vu que la série harmoique est divergete, o verra das le paragraphe sur les séries alterées que Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2 ( )

14 Chapitre. Séries umériques Fig..6 Suite ( ( ) ) et série harmoique alterée ( ). la série ( ) est cepedat covergete. Remarque. Le symbole. désige la valeur absolue ou le module selo que u est réel ou complexe. O rappelle l iégalité triagulaire : (z,...,z ) C z + + z z + + z. Das le cas d ue série absolumet covergete, cette iégalité passe à la limite. Théorème.2 (Absolue covergece covergece) Si la série u est absolumet covergete, alors elle est covergete et o a l iégalité triagulaire gééralisée : u u. Preuve. Supposos u absolumet covergete, alors d après le critère de Cauchy : ε >, N, N N, p u N+ + + u N+p < ε, et d après l iégalité triagulaire o a doc : ε >, N, N N, p u N+ + + u N+p < ε. Aisi la série u vérifie le critère de Cauchy : elle est doc covergete. Toujours par l iégalité triagulaire, o a alors pour tout N : N u N u. Les deux suites sot covergetes et l iégalité est ecore vérifiée e passat à la limite sur N, ce qui doe le résultat voulu. Pour étudier la ature d ue série à termes de siges variables, o commecera doc par regarder si elle est absolumet covergete. Pour les séries à termes positifs, o dispose de ombreuses méthodes pratiques, qui fot l objet de la sectio suivate. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

15 .3. Séries à termes positifs Fig..7 Suite ( 2 ) et série 2..3 Séries à termes positifs.3. Résultats gééraux Das le cas d ue série u de terme gééral u positif, la suite (s N ) des sommes partielles est croissate puisque s N+ s N = u N+. Il y a doc que deux comportemets possibles pour ue telle série : ou bie elle coverge vers s R +, ou bie elle diverge vers +. Propositio.7 (Critère de covergece) Ue série à termes positifs u coverge si et seulemet si la suite (s N ) des sommes partielles est majorée. Exemple : covergece de 2 Pour tout 2, o a 2 ( ) =, d où l o déduit que : s N = N = 2 + ( 2 ) + ( 2 3 ) + + ( N N ) = 2 N 2. Les sommes partielles sot majorées par 2, doc la série est covergete. O peut motrer que sa somme est π (voir aussi figure.7). Que viet-o de faire? Majorer ue série par ue autre, dot o coaît la ature. Cette méthode est géérale : Corollaire.2 (Comparaiso de séries positives) Soit u et v deux séries à termes positifs telles que pour tout : u v. - Si v coverge, u coverge. - Si u diverge, v diverge. Preuve. Das le premier cas, o a pour tout N : N u N v + v, ce qui prouve que u coverge. Le secod poit est la cotraposée du premier. Exemple. si 2 est ue série covergete, via l iégalité si x x valable pour tout x positif, et la covergece de la série géométrique de raiso 2. Aisi, o peut déduire la ature d ue série de celle d ue série plus simple. Plus précisémet, il suffit de comparer asymptotiquemet les termes gééraux, i.e. u et v lorsque l idice ted vers l ifii. E ce ses, les otios de petit o et d équivalet serot ici d ue redoutable efficacité. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

16 2 Chapitre. Séries umériques Fig..8 A gauche : suites ( ) (+) et ( ) (o). A droite : séries associées. Propriétés.3 (Sommatio des relatios de comparaiso) Soit u et v deux séries à termes positifs. a- Si u = o(v ) et si v coverge, alors u coverge. b- Si u = o(v ) et si u diverge, alors v diverge. c- Si u v, alors les séries u et v ot même ature. Preuve. Notos (s N ) et (σ N ) les sommes partielles respectives des séries u et v. a - Puisque u = o(v ), il existe N tel que : N, u v. O e déduit que : N N, s N s N + (σ N σ N ) s N + (σ s N ). Doc (s N ) est majorée et u coverge. b - est la cotraposée de a -. c - Puisque u /v, il existe N tel que : N, 2 v u 3 2 v. O e déduit que : N N 2 (σ N σ N ) s N s N 3 2 (σ N σ N ), d où l o déduit que (s N ) est majorée si et seulemet si (σ N ) l est, i.e. les séries u et v ot même ature. Exemple. La série est divergete puisque 2 + figure.8). 3 + et la série harmoique diverge (cf Nota Bee. Reveos à ce qui a été dit plus haut sur les équivalets e cosidérat la série l( + ). L erreur classique pour coclure sur sa ature cosiste à écrire : +, ce qui est vrai, doc l(+ ) l =, ce qui est faux. Or est covergete, doc l(+ ) est covergete, ce qui est faux. Das ce gere de situatio, il faut être plus fi et dire que l(+ ) >, or est divergete doc l( + ) est divergete. Remarques. O s est coteté ici de doer des résultats de covergece. Des résultats plus précis sur les comparaisos des sommes partielles et restes des séries serot doés plus loi. Pour que le résultat sur les séries à termes équivalets soit valide, il suffit e fait que l ue des deux séries soit à termes positifs. Par cotre, ça peut déraper si les deux suites sot de siges variables. Voir l exercice Equivalets de siges alterés..3.2 Règles pratiques E gééral, o e saura pas calculer la somme d ue série. Par cotre, grâce aux relatios de comparaiso ci-dessus, o saura préciser sa ature e se rameat à des séries plus simples, telles Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

17 .3. Séries à termes positifs Fig..9 Suites ( α ) et séries de Riema α. A gauche, α = 3 2. A droite, α = 2. les séries de Riema. Propositio.8 (Séries de Riema) La série α coverge si α >, diverge si α. Preuve. Si α, alors, or la série harmoique diverge, doc il e est de même pour la α série. Si α > et si o ote β = α >, la série télescopique α ( ) est β (+) β doc covergete. Or o a aussi : β ( + ) β = β ( ( + ) β ) β β = β β+ = α α. Par la propriété des séries (positives) équivaletes, o e déduit que pour tout α >, la série α coverge, c est-à-dire que la série de Riema α coverge. α Remarque. Le résultat est doc le même que pour les itégrales gééralisées dites de Riema + x dx. Le lie etre séries et itégrales gééralisées sera détaillé plus loi. O retrouve aussi α pour les séries la fameuse règle de Riema des itégrales gééralisées e +. Propositio.9 (Règle de Riema, ou règle α u ) - S il existe α > tel que ( α u ) ted vers, alors u coverge. - S il existe α tel que ( α u ) ted vers +, alors u diverge. Preuve. Das le premier cas, c est exactemet dire que u = o(/ α ), avec α >, doc covergece de / α, et a fortiori de u. Das le secod cas, o a par cotre : / α = o(u ), avec α, doc divergece de / α, et a fortiori de u. Exemple. la série e 2 est covergete, puisqu o a par exemple lim 2 e 2 =. Remarque. O peut doer ue formulatio plus fie de ce pricipe, mais celle-ci suffira très souvet e pratique. Propositio. (Règle de d Alembert, ou règle u + u ) Soit u ue série à termes strictemet positifs telle que ( u + u ) ted L [,+ ]. Alors - Si L <, u coverge. - Si L >, u diverge trivialemet. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

18 Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Ο Chapitre. Séries umériques Ο Ο 2.4 Ο 2. Ο Ο Ο Fig.. A gauche : suite (! ) et série!!. A droite : suite ( ) et série!. Preuve. - Si L < : soit m = +L 2. Il existe u idice tel que pour tout, o ait : < u + u < m <. O aura doc pour tout : u u m. Doc pour les sommes partielles s N = N u : N N s N s + u k= m k = s + u m N + m s + u m, bore idépedate de N. Aisi les sommes partielles sot majorées et la série est covergete. - Si L > : soit M = +L 2. Il existe u idice tel que pour tout, o ait : u + u > M >. C est-à-dire que pour, la suite (u ) est positive et strictemet croissate : elle e peut doc tedre vers zéro et la série est trivialemet divergete. Exemples : La foctio expoetielle : soit z u ombre complexe fixé, alors la série z! est absolumet covergete (doc covergete). C est clair si z =, auquel cas la somme vaut. Si z, o applique le critère de d Alembert à la série à termes strictemet positifs z! = z!, o obtiet : z + ( + )! z = z! + <. Ceci est ue faço de défiir la foctio expoetielle pour tout ombre réel ou complexe : e z = + z!. Voir figure. à gauche pour e = e et l exercice Foctio expoetielle. La série! est covergete (voir figure. à droite). C est u peu mois immédiat que das l exemple précédet : u + u = ( + ) = e l(+ ) = e ( +o( )) e <. Remarque. Das le cas L =, les deux comportemets sot possibles, comme le motret les séries de Riema. Lorsque L =, o peut s e sortir e écrivat u développemet limité à l ordre e de u + u. C est l objet du résultat suivat (admis), que l o peut doc voir comme u raffiemet du critère de d Alembert. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

19 .3. Séries à termes positifs Fig.. Suite ( e! ) et série e!. Propositio. (Critère de Raabe-Duhamel) Soit u ue série à termes strictemet positifs telle que u + u - si α >, u coverge. - si α <, u diverge. = α + o( ), alors Exemple. La série (e!/ ) est divergete (voir figure.). O obtiet cette fois : u + = e l(+ ) e ( 2 u 2 +o( 2 )) = e 2 +o( ) = + ( ) 2 + o. O voit doc que la règle de d Alembert e permettrait pas de coclure, mais que le critère de Raabe-Duhamel s applique avec α = /2 <, d où la divergece de la série. Plus précisémet, o peut e fait motrer la formule de Stirlig : ( )! 2π. e.3.3 Comparaiso série/itégrale Lorsque le terme gééral correspod à ue foctio facilemet itégrable, l étude de la série e découle très simplemet. Théorème.3 Soit f : [,+ [ R + cotiue et décroissate, alors la série f() a même ature que l itégrale gééralisée + f(x)dx. Preuve. Par décroissace de f, o a :, x [, + ] f( + ) f(x) f(), d où l o déduit e itégrat etre et ( + ) (voir figure.2) :, x [, + ] et par suite pour tout : f( + ) + f(x)dx f(), + f(x)dx f() f(x)dx, Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

20 6 Chapitre. Séries umériques f(x) f() f( + ) + x Fig..2 Illustratio de l iégalité : f( + ) + f(x)dx f(). ce qui doe u ecadremet de la somme partielle s N = N f() : N+ N f(x)dx s N f() + f(x)dx, doc deux situatios possibles : - ou bie + f(x)dx < +, auquel cas s N f() + + f(x) dx < + : les sommes partielles sot majorées, doc la série est covergete. - ou bie + N+ f(x)dx = +, auquel cas lim N f(x)dx = + et l iégalité de gauche assure qu il e est de même pour (s N ) : la série est divergete. Remarques. E particulier, si o a covergece, la preuve motre e passat à la limite e N : + f(x)dx f() f() + + f(x)dx. Si la série u e commece pas à l idice, mais à l idice, o cosidère bie etedu l itégrale gééralisée de à l ifii. Exemple. O retrouve aisi très simplemet le résultat sur les séries de Riema pour α > : la série a même ature que l itégrale + α x dx. α Propositio.2 (Estimatio du reste ou de la somme partielle) Sous les mêmes hypothèses que précédemmet, la suite (s N N f(x)dx) N N est covergete. Et : - Si l itégrale coverge, alors + N+ f(x)dx r N + N f(x)dx. - Si l itégrale diverge, o a l équivalece s N N f(x)dx. Preuve. Soit w N = s N N f(x)dx. La suite (w N) est décroissate puisque : N w N w N = f(n) f(x)dx, N Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

21 .3. Séries à termes positifs Fig..3 A gauche : sommes partielles de la série harmoique (o) et suite (l ) (x). A droite : suite ( N l N) N, covergece vers la costate d Euler γ.577. d après la majoratio de f(n) déjà vue. Par ailleurs, o a vu égalemet que : s N N+ f(x)dx, d où il viet : N N+ w N = s N f(x)dx f(x)dx, N par positivité de f. Aisi (w N ) est décroissate miorée : elle coverge. - Si l itégrale coverge : soit r N = + =N+ f(), or o a vu que pour tout : + f(x)dx f() f(x)dx, ce qui doe e sommat membre à membre de (N + ) à (N + p) et e faisat tedre p vers l ifii : + + f(x)dx r N f(x)dx. N+ - Si l itégrale diverge, alors e otat L la limite de (w N ), o a le développemet asymptotique : s N N f(x)dx = L + o(), avec lim N L + o() = L, doc : N N s N L + o() = + N f(x)dx f(x)dx. N + Exemples : L erreur faite e remplaçat π2 6 = + = par la somme des premiers termes est de l ordre 2 de 2. De faço géérale, la suite (r N ) des restes de la série est équivalete à la suite 2 ( N ). La série harmoique est divergete, de somme partielle (s N) équivalete à (l N). Plus précisémet, la suite ( N l N) admet ue limite γ, appelée costate d Euler : N l N N γ = autremet dit o a le développemet asymptotique : N.3. = = l N + γ + o(), illustré figure Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

22 8 Chapitre. Séries umériques.3.4 Sommatio des relatios de comparaiso Ue fois établie la covergece ou la divergece d ue série, o voudrait : e cas de covergece, savoir à quelle vitesse, i.e. obteir ue évaluatio des restes (r N ) (qui tedet vers zéro); e cas de divergece, avoir u équivalet des sommes partielles (s N ) (qui tedet vers l ifii). Tout comme pour la détermiatio de la ature d ue série, o se ramèe e gééral à des séries plus simples. O précise aisi les résultats de la propriété.3. Propriétés.4 (Sommatio des relatios de comparaiso) Soit u et v deux séries à termes positifs. Leurs sommes partielles sot respectivemet otées (s N ) et (σ N ), leurs restes lorsqu ils sot défiis (r N ) et (ρ N ). O a alors a - si u = o(v ) et v coverge, alors u aussi et r N = o(ρ N ). b - si u = o(v ) et u diverge, alors v aussi et s N = o(σ N ). c - si u v, les deux séries ot même ature avec e cas de covergece (respectivemet de divergece) : r N ρ N (respectivemet s N σ N ). Preuve. Si u = o(v ), soit ε >, alors il existe N tel que : N u εv. a - Si la série coverge, o a doc pour tout N N, pour tout p : O fait tedre p vers l ifii pour obteir : s N+p s N ε(σ N+p σ N ). r N ερ N, ce qui prouve bie que r N = o(ρ N ). b - Si la série diverge : pour N comme ci-dessus, puisque lim N σ N =, il existe N tel que : mais alors pour tout N max(n,n ) : ce qui prouve bie que s N = o(σ N ). c - Même pricipe que ci-dessus. N N s N εσ N, s N = s N + (s N s N ) εσ N + ε(σ N s N ) 2εσ N, Nota Bee. Les relatios de comparaiso e peuvet se sommer que pour l évaluatio des restes des séries covergetes, et des sommes partielles des séries divergetes. Exemples : La série est divergete puisque De plus, la suite (s N) de ses sommes partielles est équivalete à celle de la série harmoique : s N N = l N. La série est covergete puisque De plus, la suite (r 2 N ) de ses restes est équivalete à celle de la série : 2 r N =N+ 2 N. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

23 .4. Séries à termes quelcoques 9.4 Séries à termes quelcoques.4. Séries absolumet covergetes Soit u ue série umérique géérale, i.e. ses termes e sot plus écessairemet positifs. O a motré grâce au critère de Cauchy que si la série est absolumet covergete, c est-à-dire si u coverge, alors elle est covergete. Puisque u est ue série à termes positifs, o peut lui appliquer les critères de la sectio précédete, que l o récapitule ici. Propriétés.5 (Critères d absolue covergece) Soit u ue série à termes quelcoques et v ue série à termes positifs. si u v avec v covergete, alors u est absolumet covergete. si u = o(v ) avec v covergete, alors u est absolumet covergete. si u v avec v covergete, alors u est absolumet covergete. s il existe α > tel que lim α u =, alors u est absolumet covergete. u si lim + u = L <, alors u u est absolumet covergete ; si lim + u = L >, alors u est trivialemet divergete. s il existe α > tel que u + u = α + o( ), alors u est absolumet covergete. Nota Bee. Pour des séries à termes quelcoques, le critère d équivalece est plus valable : o peut avoir u v, v covergete, mais u divergete (cf l exercice Equivalets de siges variables )..4.2 Séries alterées Défiitio.9 (Série alterée) O appelle série alterée toute série du type ( ) a, avec a de sige costat. Covetio. Das la suite, o supposera par commodité a. Tous les résultats se traduiset sas problème das le cas cotraire e cosidérat la suite u = a. ( ) Exemple. ( ) et sot des séries alterées. La première est trivialemet divergete. Le théorème suivat motre que la secode est covergete. Théorème.4 (Critère des séries alterées) Soit la série alterée ( ) a. Si la suite (a ) décroît vers, alors la série est covergete. Preuve. C est u raisoemet de suites adjacetes, dot o rappelle le pricipe : si (u ) est croissate, (v ) décroissate, avec u v pour tout et lim (v u ) =, alors (u ) et (v ) coverget vers la même limite. Ici, les suites adjacetes serot les sous-suites (s 2N+ ) et (s 2N ) de la suite des sommes partielles. E effet : (s 2N+ ) est croissate puisque : De même, (s 2N ) est décroissate puisque : s 2N+3 s 2N+ = a 2N+2 a 2N+3. s 2N+2 s 2N = a 2N+2 a 2N+. Par ailleurs, pour tout N, s 2N s 2N+, puisque s 2N s 2N+ = a 2N+, et par hypothèse lim N s 2N s 2N+ = lim N a 2N+ =. Doc il existe u réel s tel que lim N s 2N = lim N s 2N+ = s, c est-à-dire que lim N s N = s : la série ( ) a est covergete, de somme s. La figure.4 illustre le phéomèe. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

24 2 Chapitre. Séries umériques s s 2 +a s = P + a a 3 s 3 a +a 2 s Fig..4 Illustratio du critère des séries alterées. ( ) Exemple. La série harmoique alterée est doc covergete. C est u exemple typique de série semi-covergete. O peut motrer que sa somme est l2.693 (voir l exercice Série harmoique alterée ). La covergece est illustrée Figure.6. Exercice. Motrer que la série si(π 2 + ) est covergete. Mieux, si la série ( ) a vérifie le critère des séries alterées, o a ue majoratio très simple du reste de la série. Propositio.3 (Reste d ue série alterée) Si la série alterée ( ) a vérifie le critère des séries alterées, alors le reste à l ordre N est majoré par le premier terme égligé : r N a N+. Preuve. Puisque (s 2N ) est décroissate et (s 2N+ ) est croissate, o a pour tout N : s 2N+ s s 2N, d où l o déduit que : a 2N+ = s 2N+ s 2N r 2N = s s 2N. De même, l iégalité : s 2N+ s s 2N+2 doe : r 2N+ = s s 2N+ s 2N+2 s 2N+ = a 2N+2. Aisi o obtiet bie de faço géérale : N, r N a N+. Remarque. La preuve motre même que r N est du sige du premier terme égligé ( ) N+ a N+. E cas de doute, le plus simple est de faire u dessi comme figure.4. Applicatio. L erreur faite e remplaçat + = iférieure à 4. ( ) 2 par la somme des premiers termes est Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

25 .4. Séries à termes quelcoques Fig..5 Suite ( ( ) +( ) ) 2 et série associée. Nota Bee. Pour pouvoir appliquer le critère des séries alterées, il est essetiel que la suite (a ) elle-même soit décroissate : il e suffit pas qu u équivalet le soit. Par exemple, la série ( ) a = ( ) 2 +( ) est alterée, avec a et ( ) décroissate vers zéro. Mais (a ) est pas décroissate puisque a 2+ = 2 a 2 = 2+ : o e peut appliquer directemet le critère des séries alterées (voir figure.5). Néamois, par u développemet limité e de ( ) +( ), o motre que la série est bie covergete (voir l exercice.24 Série alterée sas critère )..4.3 Techiques classiques a - Développemets asymptotiques Das de ombreuses situatios, o coclut sur la ature d ue série e se rameat à ue série plus simple. O a vu que pour les séries à termes positifs, il suffit de se rameer à u équivalet. Ceci est plus le cas avec des séries à termes quelcoques (peser au cotre-exemple doé das l exercice Equivalets de siges alterés ). Par ailleurs, u équivalet correspod à ue approximatio au premier ordre, laquelle e permet pas forcémet de coclure. Das ces deux situatios, il suffit souvet d écrire u développemet asymptotique du terme gééral, c est-à-dire d être plus précis das l approximatio. Celui-ci est gééralemet e ou e et s arrête au premier terme absolumet coverget, e ou. 2 3/2 Exemples :. La série ( ) 2 l( + ) est divergete. E effet, o sait que pour x voisi de : l( + x) = x x 2 /2 + x 3 /3 + x 3 ε(x), avec lim x ε(x) =. Puisque lim ( ) =, o e déduit : avec lim ε =. Or la série ) l ( + ( ) = ( ) 2 + ( ) 3 3/2 + ε 3/2, ( ) est covergete par le critère des séries alterées, ( ) 3 3/2 et ε 3/2 sot absolumet covergetes par le critère de Riema, les séries mais 2 est divergete par ce même critère. Il s esuit que 2 l( + ( ) ) est Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

26 22 Chapitre. Séries umériques Fig..6 Suite (l( + ( ) )) 2 et série associée. divergete. O e déduit plus précisémet que la série diverge vers mois l ifii à la vitesse 2 l N, ce qu illustre la figure La série u = ( si ) est absolumet covergete. Au voisiage de : si x = x + x 2 ε(x), avec lim x ε(x) =, doc si = + ε 2, et par suite : si = 3/2ε, c est-à-dire que u = o( ). Or la série 3/2 est absolumet covergete par le critère 3/2 de Riema, doc la série qui ous itéresse l est aussi. Les restes r N tedet vers zéro plus vite que N. Rappel. Presque tous les développemets limités classiques au voisiage de se déduiset des trois développemets suivats : e x = + x + x2 2! + x3 3! + + x! + x ε(x), dot o déduit les développemets limités de cos x, si x, cosh x, sihx, etc. x = + x + x2 + x x + x ε(x), dot o déduit les développemets limités de ±x α, l( ± x α ), arcta x, etc. Celui-ci peut d ailleurs être vu comme u cas particulier du développemet limité de la foctio puissace : ( + x) α = + αx + α(α ) x ! α(α )... (α + ) x + x ε(x).! b - Groupemets de termes Cosidéros ue série umérique u dot o veut détermier la ature. O commece par s assurer que le terme gééral (u ) ted vers zéro, sio la série est trivialemet divergete. Ceci fait, il faudrait motrer que la suite (s N ) des sommes partielles est covergete, ce qui est pas toujours facile. E particulier, il est parfois plus simple de motrer qu ue sous-suite de (s N ) Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

27 .4. Séries à termes quelcoques 23 coverge, par exemple e effectuat des regroupemets de termes, et de coclure esuite. Cadre typique d applicatio : o réussit à motrer que (s 2N ) coverge, disos vers s. Alors pour la sous-suite (s 2N+ ), il suffit d écrire : s 2N+ = s 2N + u 2N+, et si la série e diverge pas trivialemet, o a lim N s 2N+ = lim N s 2N = s, c est-à-dire que lim N s N = s = + u : la série coverge. Exemple. Das l exercice ititulé Covergece de la série harmoique alterée, e otat s N = N ( ) =, o commece par prouver que la sous-suite (s 2N ) coverge vers l 2. La covergece de la série découle alors directemet de l argumet ci-dessus..4.4 Trasformatio d Abel Théorème.5 (Critère d Abel) Soit la série a b. Si la suite (a ) décroît vers et si les sommes partielles de la série b sot borées alors a b coverge. Remarque. Dire que les sommes partielles de la série b sot borées sigifie qu il existe M > tel que : N N b M. Si par exemple b = si, o motre que : B N = N si = si N 2 si 2 si N+ 2 d où l o déduit que les sommes partielles B N sot borées, avec : N B N si. 2 Preuve. Le résultat se motre e effectuat ue trasformatio d Abel : c est l aalogue d ue itégratio par parties pour les séries. E ce ses, otos : α = a a B =, b k. (α ) peut être vu comme la dérivée de (a ) et (B ) comme la primitive de (b ). Pour prouver que la série a b coverge, puisqu o a aucue idée de sa limite, o passe par le sacro-sait critère de Cauchy. Notos comme d habitude S N = N a b les sommes partielles. Voici e quoi cosiste l affaire : S N+p S N = N+p =N+ a b = O réidexe alors la secode somme : S N+p S N = N+p =N+ N+p =N+ a (B B ) = k= N+p =N+ a B N+p a B a + B = a N+p B N+p a N+ B N + =N N+p =N+ N+p =N+ a B. (a a + )B, Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

28 24 Chapitre. Séries umériques pour obteir i fie : S N+p S N = a N+p B N+p a N+ B N N+p =N+ α + B. C est ce qu o appelle ue trasformatio d Abel. O ote M u majorat des B N et o utilise les hypothèses de positivité et de décroissace de (a ) pour majorer : S N+p S N a N+p M + a N+ M + N+p =N+ or la derière somme est télescopique, doc il reste simplemet : S N+p S N 2Ma N+p 2Ma N, α + M, par décroissace de la suite (a ). Puisque (a ) ted vers zéro, o e déduit que : ε >, N, N N < a N < ε 2M, Ceci prouve que la suite (S N ) des sommes partielles vérifie le critère de Cauchy, doc que la série a b est covergete. Remarque. La formule obteue par trasformatio d Abel : N+p =N+ a b = a N+p B N+p a N+ B N est à rapprocher de l itégratio par parties : b a F(x)g(x)dx = F(b)G(b) F(a)G(a) N+p =N+ b a α + B f(x)g(x) dx. Exemple. La série siα est covergete pour tout α (voir figure.7 avec α = ). Das le cas particulier α = π, o retrouve la covergece de la série harmoique alterée. Remarques. Le critère des séries alterées ( ) a peut e fait se voir comme u cas particulier du critère d Abel : avec b = ( ), o a B N = N b qui vaut ou, doc les sommes partielles sot bie borées. Il existe u résultat aalogue pour les itégrales du type + f(x)g(x)dx : si f décroît vers et si les itégrales X g(x)dx sot borées idépedammet de X >, alors l itégrale gééralisée + f(x)g(x) dx est covergete..4.5 Produit de deux séries Défiitio. (Produit de deux séries) Soit u et v deux séries. La série produit w est défiie par w = i= u iv i. Remarques. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

29 .4. Séries à termes quelcoques Fig..7 Applicatio de la trasformatio d Abel : suite ( si ) et série si.. O l appelle aussi produit de Cauchy ou produit de covolutio des deux séries. Il faut bie sûr oter que le terme gééral w de la série produit est pas le simple produit terme à terme de u et v. Pour se souveir de la défiitio de w, il suffit de peser au coefficiet de X das le produit de deux polyômes de coefficiets u et v. Ceci deviedra tout à fait clair das le chapitre sur les séries etières. 2. Si o cosidère des séries u et v e commeçat pas à l idice, il suffit de compléter les deux suites par u = v =, ce qui doe : w = i= u iv i. Par exemple, le produit de la série harmoique par elle-même est la série w, avec w = et w = k= k( k). Exemple. Si u = v = /2, alors w = i= u iv i = + 2. Théorème.6 (Covergece d ue série produit) Si les séries u et v sot absolumet covergetes, alors w est absolumet covergete, avec l égalité : ( + ) ( + ) w = u v. Remarque. Ce résultat justifie l appellatio série produit. Preuve. O commece par traiter le cas où les deux séries a et b sot covergetes à termes positifs. O ote c la série produit. O utilise des majuscules pour les sommes partielles. La série c est clairemet à termes positifs, doc pour établir sa covergece, il suffit de motrer que ses sommes partielles sot majorées, ou plus simple : que la sous-suite (C 2N ) est majorée (rappelos qu ue suite croissate dot ue sous-suite coverge est covergete). Or o vérifie sas problème la double iégalité (voir figure.8) : ( N ) ( N ) ( 2N 2N ) ( 2N ) A N B N = a b C 2N = c A 2N B 2N = a b. Or, si N ted vers l ifii, les membres de gauche et de droite tedet vers la même limite. Ceci motre que la série c est covergete, de somme : ( + ) ( + ) c = a b. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

30 26 Chapitre. Séries umériques b b 2N b N b a b b a a a a N a 2N Fig..8 Illustratio de l iégalité : A N B N C 2N A 2N B 2N. Le résultat est doc établi das le cas de séries positives. Passos maiteat au cas gééral de séries umériques u et v absolumet covergetes et otos : c = u i v i. Par le poit précédet, c est covergete, avec l égalité : ( + ) ( + ) c = u v. Cosidéros l esemble T N = {(i,j) : i,j N,i + j > N}, alors o a : ( N ) ( N ) N u v w = u i v j (i,j) T N u i v j. (i,j) T N i= Or o peut écrire : ( N ) ( N ) u i v j = u v (i,j) T N N c, quatité qui ted vers zéro, doc le terme de gauche de l iégalité précédete aussi, et puisque les sommes partielles des u et des v coverget toutes deux, celles des w égalemet, avec à la limite : ( + ) ( + ) w = u v. Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

31 .5. Exercices 27 Exemple. Si u = v = /2, o e déduit que : ( + ) = 2 = 4. Remarques.. O peut e fait motrer mieux : il suffit que l ue des séries soit covergete et l autre absolumet covergete pour obteir la covergece de la série produit, avec toujours la relatio somme de la série produit= produit des sommes. 2. Le produit de deux séries semi-covergetes peut être coverget (u = v = ( ) ) ou diverget (u = v = ( ), voir l exercice Produit de séries semi-covergetes ). C est la vie, que voulez-vous, les chemis parfois se croiset et d autres fois diverget et diverget, c est beaucoup pour u seul homme... Pierre Desproges, Chroiques de la haie ordiaire..5 Exercices Exercice. (Calculs de limites) O rappelle qu au voisiage de, o a l(+x) x et e x +x. Détermier les limites suivates :. lim ( + ). 2. lim ( + ). 3. lim 2 (( + ) ). 4. lim ( + ( 2 + ) ( ) ). 5. lim l (l ). Exercice.2 (Utilisatio de développemets limités) O cosidère la suite (u ) défiie par : u = + a + + b + 2 où a et b sot deux paramètres réels.. O fixe a = b =. Quelle est la limite de la suite? Doer u équivalet. 2. O fixe a = et b = 3. Mêmes questios. 3. O fixe a = et b = 2. Mêmes questios. Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2

32 28 Chapitre. Séries umériques Exercice.3 (Equivalets) Doer des équivalets simples des suites : + (+l) ( ) +( ) ( ) l (l ) 25 l + e e si + si si e l cos sih ( ) ( ) cosh +2 arcta 2 +3 si ( ) ( ) cos l( 2 + ) l ( 2 + ) e ( + ) (( + )/3 /3 ) ( ) ! 2 + cos l l + Exercice.4 (Suite défiie par récurrece) O cosidère la suite (u ) défiie par : { u = 2 u + = 2 + u. Motrer que : u 2 < 4. E déduire que la suite (u ) est borée. 2. Motrer que la suite (u ) est mootoe (étudier par exemple le sige de u 2 + u2 ). 3. La suite (u ) est-elle covergete? Si oui, calculer sa limite. 4. Retrouver graphiquemet ce résultat e représetat la foctio x 2 + x. Exercice.5 (Le pricipe de l étau) O défiit la suite (u ) > par : u = Ecadrer la suite (u ) par deux suites (v ) et (w ) de même limite. 2. E déduire la limite de la suite (u ). Exercice.6 (Floco de Vo Koch (94)) Le floco de Vo Koch est u exemple de courbe fractale : o le costruit itérativemet à partir d u triagle équilatéral et comme idiqué figure.9 pour les étapes, et 2. Précisémet, si o Araud Guyader - Rees 2 Suites & Séries

33 .5. Exercices 29 ote K l itérieur du polygoe obteu à la -ème itératio, le floco de Vo Koch est défii par : K = + K. Doer le ombre C et la logueur L des côtés du polygoe à la -ème étape (o suppose que le triagle équilatéral iitial a pour côté ). E déduire que le périmètre P ted vers l ifii. 2. Motrer qu à l étape, la surface du polygoe vaut : 3 S = ( ( ) 3 4 ). 2 9 E déduire la surface du floco de Vo Koch. Remarque : Les polygoes successifs état de surface croissate mais tous coteus das le cercle circoscrit au triagle, o pouvait coclure directemet sur le fait que le floco est de surface fiie. Fig..9 Premiers flocos Exercice.7 (Covergece de suite via ue série). Détermier la ature de la série 2 u, avec : 2. O cosidère la suite (v ), défiie par : u = + l. v = l. Déduire de la questio précédete que (v ) admet ue limite γ. Corrigé Cet exercice est corrigé e aexe, sujet de décembre 24. Exercice.8 (Nombres ratioels et développemet décimal). O veut écrire le ombre x = sous la forme p q. (a) Première méthode : comparer x 7 à x et e déduire x sous forme de fractio. (b) Secode méthode : remarquer que x = + = 7 et retrouver le résultat précédet grâce à ue série géométrique. 2. Par l ue des deux méthodes ci-dessus, mettre sous forme de fractio le ombre x =, Suites & Séries Araud Guyader - Rees 2