B TRAVAUX DIRIGES I - RESISTANCE DE L AIR CAS LINEAIRE

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1 MECANIQUE : TD n A APPLICATIONS DU COURS 1 ) On suppose que le champ de pesanteur g=-ge z est uniforme et que les autres forces sont négligés. Un projectile est lancé à la date t= depuis le point O (point origine). Le vecteur vitesse initiale, parallèle au plan (Oxz) est défini par sa valeur v et l angle α qu il fait avec Ox. a) Déterminer l équation du mouvement z=f(x). b) En déduire la portée d un tel mouvement c est à dire la distance x p lorsque z vaut de nouveau O. Rép : a) z=-1/.gx²/vo²cos²α+xtanα b) xp=vo²sin(α)/g ) En présence de frottements la portée sera t-elle inférieure ou supérieure. Expliquez. Rép : la portée sera inférieure car la force de frottement s oppose au mouvement 3 ) On suppose le mouvement d un solide dans un fluide selon l axe Oz. On supposera la fluide soumis à la poussée d Archimède Π=-Mg, au poids et à la force de frottement fluide modélisé ici par hv. Démontrer que le point matériel atteint une vitesse limite dont on donnera son expression. Rép : v =(m-m)/h.g 4 ) On considère un pendule simple de longueur l, retrouvez l équation différentielle de ce pendule en appliquant le théorème de la puissance cinétique. En prenant comme conditions initiales θ()=θ et dθ/dt()=, donnez la solution θ(t) de ce mouvement. Rép : d²θ/dt²+ω ²θ= où ω ²=g/l et θ(t)=θ cos(ω t) B TRAVAUX DIRIGES I - RESISTANCE DE L AIR CAS LINEAIRE Dans le repère terrestre R, un point matériel M de masse m est soumis à la force de pesanteur -mg.e z et à la force de frottement -kv. 1 ) Etudier la chute libre (v =) et mettre en évidence une vitesse limite v et un temps de relaxation τ tel que v=v (1-e -t/τ ). ) Etudier le tir (v =v cosαe x +v sinα e z ) et établir les équations du mouvement suivantes: x(t)=v τcosα(1-e -t/τ ) & z(t)=τ(v sinα+ v )(1-e -t/τ )- v t 3 ) Tracer la trajectoire z(x). Quelle est la principale différence avec le mouvement sans résistance de l air Rép : 1 ) v =gτ où τ=m/k ) On peut noter x(t)=x max(1-e -t/τ ) 3 ) z(x)=(v sinα+v )/V cosα.x+τv.ln[1-x/v τcosα]. Ici x possède une valeur limite qu il ne peut dépasser quelquesoit t. II ENROULEMENT D UN FIL SUR UN CYLINDRE Un cylindre de révolution, d axe vertical, de rayon R, repose sur un plan horizontal et fixe par rapport à un référentiel (Ox, Oy, Oz). On attache une extrémité d un fil parfaitement souple, infiniment mince et de masse négligeable à la base du cylindre, et on l enroule plusieurs fois dans le sens trigonométrique autour de cette base. L autre extrémité du fil est fixée à une particule M de masse m, astreinte à glisser sur le plan horizontal (Oxy). La partie IOM non enroulée du fil est tendue. Données numériques : R=,m ; m=,4kg ; l =I M=,5m ; v =,1ms ) A l instant t=, on communique à la particule M une vitesse v horizontale à I M et orienté comme l indiquent les deux figures ci-après. On admet que le fil reste tendu au cours du mouvement. A l instant t, on appelle θ l angle dont s est enroulé le fil et l la longueur IM du fil non encore enroulé. Le fil étant inextensible, donner la relation entre l, l, R et θ. ) Exprimer les composantes de OM suivant les vecteurs unitaires u r et u θ en fonction de l, R et θ. 3 ) En déduire les composantes de la vitesse v de la particule M suivant les vecteurs u r et u θ. 4 ) Montrer que la norme v de la vitesse reste constante au cours du mouvement. 5 ) Déduire des questions 3 ) et 4 ) la relation entre θ, & θ, l, R et v.

2 6 ) Exprimer θ en fonction de t, l, R et v. 7 ) Déterminer l instant final t f pour lequel le fil est entièrement enroulé autour d un cylindre. Effectuer l application numérique. 8 ) a) Déterminer la tension T du fil en fonction de t, m, l, R et v. b) En réalité, il y a rupture du fil dès que sa tension dépasse la valeur T rup =5.1-3 N. Déterminer l instant t rup et l angle θ rup lorsqu intervient la rupture du fil. Effectuer l application numérique. Rép : 1 ) l=l -Rθ ) OM=Ru r+(l -Rθ)u θ 3 ) v=- & θ ( l Rθ ) u 4 ) Appliquez le PFD sur u r r 5 ) v & = θ l uur ( Rθ ) 6 ) v t=l θ-rθ²/ 1/ l Rvt θ ( t) = 1 1 mv Rvt R l 7 ) t f=6,5s 8 ) a) T = 1 l l b) t rup=6,9s et θ rup=1 C EXERCICES SUPPLEMENTAIRES I CONDITION DE NON-DECOLLAGE Une automobile, assimilée à un point matériel, circule à la vitesse v uniforme, sur une piste au profil accidenté. Elle franchit une bosse, modélisée par deux portions rectilignes raccordées par un arc de cercle de rayon l et d ouverture angulaire α. 1 ) A quelle condition la voiture garde-t-elle le contact avec le sol ) Déterminer la vitesse maximale remplissant cette condition. A.N: α=1 & l=5m Rép : 1 ) Si v (glcosθ) ) v (glcosα)=6,9ms -1.. II PLAN INCLINE ET POULIES Le solide S 1 de masse m 1 =4g, glisse sans frottements sur le plan incliné. Le solide S de masse m =g, se déplace verticalement. Les solides en translation sont considérés comme des points matériels. Les poulies sont idéales, les fils sont inextensibles et sans masse. (Donnée α=3 ) 1 ) On considère le premier dispositif. Déterminez l accélération du solide S et la tension du fil. ) On rajoute une poulie. La poulie P est fixe, la poulie P 1 se déplace parallèlement au plan incliné. Le fil est attaché en A. Déterminer l accélération du solide S et les tensions du fil. Rép : 1 ) a(s )=(m 1sinα-m )/(m 1+m ).ge z= et T =m 1m /(m 1+m ).(1+sinα)g=1,96N ) a(s )=(m 1sinα-m )/(m 1+m ).ge z=1,96ms - e z et T =m 1m /(m 1+m ).(1+sinα)g=,35N III MOUVEMENT D UN POINT MATERIEL SUR UN CERCLE Un point matériel M de masse m se déplace sans frottements sur un cercle de rayon a passant par le point O. Il est soumis à la force f=f(r)u r avec OM=ru r et à la réaction du support. 1 ) Déterminer la fonction f(r) pour que la réaction R exercée par M sur le cercle soit constante. & θ et θ ) Déterminer la relation entre faisant intervenir les conditions initiales. 3 ) Décrire le mouvement du point M dans les différents cas possibles. Rép : 1 ) f(r)=a/r 5 ) & A 1 θ = + K 3 ) Tout dépend du signe de la valeur de 5 4 la constante A 3ma θ cos ( )

3 C-II) PLAN INCLINE ET POULIES

4 C-III) MOUVEMENT D UN POINT MATERIEL SUR UN CERCLE

5 B-II) ENROULEMENT D UN FIL SUR UN CYLINDRE

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