Statique. Modélisation des actions mécaniques

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1 écanique Statique Statique S Objectifs : - odéliser mathématiquement une action mécanique ; - Calculer un moment ; - Décrire une action mécanique par un torseur en un point ; - Déterminer l action mécanique transmissible par une liaison mécanique parfaite. Statique odélisation des actions mécaniques. Définition d'une action mécanique D'une façon générale, on appelle action mécanique toute cause phsique susceptible de maintenir un corps au repos, de créer, de maintenir ou de modifier un mouvement, de déformer un corps.. Classification des actions mécaniques Les actions mécaniques sont de deu sortes: Les actions mécaniques à distance (champ de pesanteur, champ électromagnétique) Les actions mécaniques de contact (liaisons surfaciques ) On distingue les actions mécaniques etérieures et intérieures à un ensemble de corps. Soient 3 solides (S ), (S ), (S 3 ). Soit (E) l'ensemble constitué par les corps (S ) et (S ). Bilan des actions mécaniques etérieures qui agissent sur le solide (E) : Poids ction de (S 3 ) sur (E) (S) B (S) D C (S3) 3. Le torseur d action mécanique 3.. otion de force On appelle force, l'action mécanique qui s'eerce mutuellement entre deu particules élémentaires, pas forcément en contact. Une force est toujours appliquée en un point. Elle est modélisée par un vecteur, caractérisé par : - Un point d application ; - Une direction ; - Un sens ; S S F S /S - Une norme (intensité). Unité : ewton otation : F solide etérieur solide isolé Point d application S_odélisation des actions mécaniques.doc 3.. otion de moment 3... oment d une force par rapport à un point Les effets phsiques d une.. dépendent de la position et de l orientation dans l espace de la force F associée à cette.. On est amené à introduire la notion de moment de la force F pour caractériser complètement l.. odélisation des actions mécaniques page /6

2 écanique Statique Statique S On appelle moment par rapport au point de la force F appliquée au point, le vecteur d origine défini par la relation : _ ( F) _ ( F ) = _ F( ) Unité : ewton-mètre (m) Corollaire : La relation ci-dessus reste valable pour n importe quel point B appartenant à la direction ( ) de F : O d F ( ) B, _ ( F ) = _B F( ) 3... utre formule : Bras de levier _ ( F solide solide ) = d. F (solide solide ) Définition géométrique du vecteur _ ( F solide solide ) - origine : point - direction : perpendiculaire au plan ( F solide solide ; _) - sens : _, F solide solide et _ forment un trièdre direct elation fondamentale sur les moments Soit F solide solide une force appliquée en, et deu points quelconques et B. On sait, par définition, que : _ ( F solide solide ) = _ F( solide solide ) Et _ B ( F solide solide ) = _B F( solide solide ) Or _B = _B + _, par conséquent : _ B ( F sol. sol. ) = _ ( F sol. sol. ) + _B F( sol. sol. ) (et ) () B 3.3. Champ de l action mécanique d une force sur un solide L action mécanique sur un solide eercée par une force (et ) appliquée en un point de ce solide, se modélise en un point B quelconque par deu champs : - un champ uniforme défini par (et ) = (et ) appelé ésultante générale. - un champ de moment défini en tout point B par : _ B ( (et ) )= _B (et ) appelé oment résultant orseur associé à l action mécanique d une force Pour définir complètement une.. nous avons donc besoin des vecteurs (et ) et _ B ( (et ) ). L ensemble des deu vecteurs (et ) et _ B ( (et ) ), définis en tout point B, est appelé torseur associé à l action mécanique relative à la force (et ). Il est noté : (et ) { (et ) } = = B(et ) B, L B, Composantes de la résultante Composantes du moment résultant Point de réduction epère de projection odélisation des actions mécaniques page /6

3 écanique Statique Statique S emarques : Le point B n est pas nécessairement un point appartenant au solide ; (et ) et _ B (et ) sont appelés éléments de réduction du torseur { (et ) } ; 3.5. ctions mécaniques particulières orseur glisseur On appelle torseur glisseur, tout torseur associé à une action mécanique dont le moment est nul en un point. (et ) { (et ) } = (et ) = orseur couple On appelle torseur couple, tout torseur associé à une action mécanique dont la résultante est nulle. { (et ) } = (et ) emarque : les éléments de réduction d un torseur couple sont les mêmes en tout point héorème du changement de centre de réduction Somme de deu torseurs Changement de centre de réduction (et ) (et ) au point B : { (et ) } = Soit : { (et ) } = (et ) B(et ) B vec : _ B (et ) = _ (et ) + _B (et ) Somme de deu torseurs ( ) Soient : { ( ) } = alors : ( ) ( ) + (3 ) { ( ) } + { (3 ) } = (3 ) ( ) + (3 ) et { (3 ) } = (3 ) emarque importante : La somme de deu torseurs implique que les éléments de réduction de ceu-ci soient considérés au même point. 4. odélisation des actions à distance 4.. Définition L action mécanique de sur est dite «à distance», si elle ne résulte pas d une liaison mécanique entre et. 4.. Cas du champ de pesanteur G (S) P i P i P i P i en un point quelconque : { (pes S) } = (pes S) G(pes S ) = = n i= n i= pi = P (i pi ) au centre de gravité G : (pes S) = P { (pes S) } = G(pes S) = G,, odélisation des actions mécaniques page 3/6

4 écanique Statique Statique S 5. odélisation de l action mécanique de surface 5.. ction de surface entre deu solides ctions réelles appliquées de sur odélisation de ces actions F / df / L action mécanique de contact surfacique est modélisable par un vecteur F / tel que : Point d application : ; Direction : perpendiculaire au plan tangent commun ; Sens : de vers Intensité : F / = Σ df / 5.. ction mécanique due à la pression d un fluide sur une surface plane Les actions mécaniques de contact d un fluide sur une surface plane (S) peuvent se modéliser par un torseur d action mécanique au centre G de la surface (S) tel que : fluide (pression p) (S) G (fluide S) (f S) = p.s. { (fluide S) } = G(f S) = G avec : p : pression du fluide, eercée sur la surface (S). Cette pression est supposée uniforme ; S : aire de (S) ; : normale etérieure à la paroi. Unités légales : utres unités : Unités pratiques : p en Pa p en Pa p en bars S en m² S en mm² S en cm² en en en sa Pa = 6 Pa = /mm² = b 6. ction transmissible par une liaison parfaite (dans l espace) Soient et deu solides en contact. 6.. Hpothèses Une liaison parfaite entre deu solides et est caractérisée par : Des surfaces de liaison géométriquement parfaites et indéformables ; Des ajustements sans jeu ; Des contacts sans frottement. odélisation des actions mécaniques page 4/6

5 écanique Statique Statique S 6.. elation avec les degrés de liberté d une liaison Les mouvements possibles du solide par rapport au solide sont notés, et (rotations) et, et (translations). Si un mouvement (rotation ou translation) est possible suivant un ae, alors il n a pas de composante d effort (respectivement couple ou force) transmissible suivant cet ae. B : La liaison glissière hélicoïdale est une eception Eemple : La liaison pivot obilités ction transmissible = = = = = = (force) (couple) L = 7. odélisation plan des actions mécaniques Dans certains cas, l étude du mécanisme dans l espace peut être délicate. On recherche alors une possibilité de réduire l étude à un problème plan, sous certaines hpothèses. 7.. Hpothèses La surface de contact a une géométrie et des actions transmissibles qui présentent une smétrie par rapport à un plan ; On choisit alors un repère local dont les aes sont confondus avec les aes de smétrie de la liaison. 7.. Simplification : Surface de contact entre (S ) et (S ) f (P) f f H (P) plan de smétrie f f f et (points de contact) et efforts transmissibles, smétriques par rapport au plan (P) Lorsque les hpothèses sont réunies, l écriture du torseur d action mécanique transmissible par la liaison se simplifie. Subsistent : La composante du moment portée par l ae perpendiculaire au plan de smétrie ; Les composantes de la résultante contenues dans le plan de smétrie. Dans notre eemple, le plan de smétrie est (,, ), le torseur en associé au efforts transmissibles par cette liaison a la forme : Forme générale : Simplification : Forme simplifiée (smétrie) : τ { (S/S)} = S S S S S S L S S S S S S S S S S S S S S,,, (6 inconnues) (3 inconnues) Pour une liaison parfaite particulière, parmi les composantes ci-dessus, certaines sont nulles. ais il n a jamais plus de trois inconnues. Généralisation : Un mécanisme dont toutes les pièces utiles admettent un même plan de smétrie pour la géométrie et les efforts est un mécanisme plan. L S S S S S odélisation des actions mécaniques page 5/6 S S S S S

6 écanique Statique Statique S 8. ableau récapitulatif : Liaisons parfaites ableau récapitulatif de quelques torseurs transmissibles par des liaisons parfaites : pe de liaison et repère local associé =(,,, ) Pivot d ae (, ) Glissière d ae (, ) Pivot glissant d ae (, ) ppui plan De normale (, ) Sphérique de centre Linéaire circulaire de centre et d ae (, ) Linéaire rectiligne de normale (, ) droite de contact (, ) Schématisation spatiale obilités orseur d action mécanique transmissible L,,,,,,, Ce tableau n est pas ehaustif B : La liaison hélicoïdale ne permet pas une modélisation plane simple. orseur d action mécanique Simplifié Smétrie par rapport à (,, ),, Smétrie par rapport à (,, ),, Smétrie par rapport à (,, ),, Smétrie par rapport à (,, ) Smétrie par rapport à (,, ) Schématisation plan,,,, Smétrie par rapport à (,, ),, Smétrie par rapport à (,, ),, odélisation des actions mécaniques page 6/6

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