Jeux sous forme normale: stratégies mixtes

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1 Jeux sous forme normale: stratégies mixtes Cours de Théorie des Jeux de l ENPC 4 octobre 2016

2 1 Motivation 2 Extension mixte d un jeu et équilibres de Nash 3 Stratégies dominantes et stratégies dominées 4 Calcul des équilibres de Nash en stratégies mixtes

3 1 Motivation 2 Extension mixte d un jeu et équilibres de Nash 3 Stratégies dominantes et stratégies dominées 4 Calcul des équilibres de Nash en stratégies mixtes

4 Concepts vus dans le chapitre précédent : équilibres en stratégies dominantes, résolution par élimination des stratégies strictement dominées, équilibres de Nash en stratégies pures... Problème : ces solutions n existent pas toujours, même sur des jeux très simples, comme le Penalty : G D G 1, 1 1, 1 D 1, 1 1, 1

5 Pourquoi les Nash n existent pas toujours? Dans certains jeux, un joueur n a pas intérêt à ce que sa stratégie soit connue à l avance. Idée des stratégies mixtes On autorise les joueurs à introduire de l aléatoire dans leurs choix. Jeu du Penalty Exemple de stratégie mixte : chaque joueur joue G avec probabilité 1/2, et D avec probabilité 1/2.

6 1 Motivation 2 Extension mixte d un jeu et équilibres de Nash 3 Stratégies dominantes et stratégies dominées 4 Calcul des équilibres de Nash en stratégies mixtes

7 Soit (N, S, g) un jeu sous forme normale. On supposera dans tout ce chapitre que pour tout i, S i est fini. Définition Une stratégie mixte du Joueur i est une distribution de probabilités sur S i.

8 Quel sens donner aux stratégies mixtes? Une stratégie mixte peut être interprétée comme : Une croyance sur la façon dont joue un joueur, Une façon dont les stratégies pures sont distribuées au sein d une population. Certains joueurs utilisent vraiment un générateur (pseudo)-aléatoire pour jouer : poker, jeu du Pierre-Feuille-Ciseau...

9 Vocabulaire et formalisme On note (S i ) l ensemble des stratégies mixtes. (S i ) est convexe, et s identifie à { p R S i k, p k 0, k p k = 1 }. Les éléments de S i seront désormais appelés stratégies pures du Joueur i. Une stratégie pure s i S i s identifie à la Dirac δ si (S i ) : S i (S i ), donc une stratégie pure est un cas particulier de stratégie mixte.

10 Paiement espéré On étend chaque fonction de paiement g i en une fonction n g i : (S j ) R : j=1 g i (σ 1,..., σ N ) := s S N σ j (s j ) g i (s). j=1 Proposition σ i (S i ), σ i j i (S j ) g i (σ i, σ i ) = s i S i σ i (s i )g i (s i, σ i ) Exemple : jeu du Penalty Exprimer le paiement en stratégies mixtes du jeu du Penalty.

11 Extension mixte d un jeu Notations : pour i [ 1, N ], Σ i = (S i ) et Σ i = j i Σ j N Σ = Σ j. j=1 Définition L extension mixte du jeu (N, S, g) est le jeu sous forme normale (N, Σ, g).

12 Equilibre de Nash en stratégies mixtes Définition Un équilibre de Nash en stratégies mixtes de (N, S, g) est un équilibre de Nash de son extension mixte (N, Σ, g), c est-à-dire un profil σ Σ tel que pour tout i [ 1, N ], pour tout τ i Σ i, g i (σ i, σ i ) g i (τ i, σ i ). ( 1 Exemple : 2 G D, 1 2 G + 1 ) 2 D est un Nash du jeu du Penalty. On appellera désormais un équilibre de Nash de (N, S, g) équilibre de Nash en stratégies pures.

13 Proposition σ Σ est un équilibre de Nash en stratégies mixtes équivaut à i [ 1, N ], s i S i, g i (σ i, σ i ) g i (s i, σ i ). Corollaire Tout équilibre de Nash en stratégies pures est un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

14 Le théorème de Nash Théorème (Nash) Tout jeu fini admet un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

15 1 Motivation 2 Extension mixte d un jeu et équilibres de Nash 3 Stratégies dominantes et stratégies dominées 4 Calcul des équilibres de Nash en stratégies mixtes

16 Stratégies dominantes, stratégies dominées L extension mixte d un jeu est aussi un jeu! On peut donc réutiliser les concepts du cours précédent. Par exemple : Définition Une stratégie σ i Σ i est strictement dominée s il existe τ i Σ i tel que σ i Σ i, g i (σ i, σ i ) < g i (τ i, σ i ). On dit alors que σ i est strictement dominée par τ i, et que τ i domine strictement σ i. Proposition σ i Σ i est strictement dominée par τ i Σ i si et seulement si s i S i, g i (σ i, s i ) < g i (τ i, s i ).

17 Une stratégie non strictement dominée par une stratégie pure peut être strictement dominée par une stratégie mixte. G C D H 1, 1 0, 2 0, 4 M 0, 2 5, 0 1, 6 B 0, 2 1, 1 2, 1

18 Elimination des stratégies (pures) strictement dominées On pose Γ 1 = Γ. A chaque étape k 1 : Si Γ k n a pas de stratégies pures strictement dominées par une stratégie mixte, la procédure s arrête. Sinon, soit i [ 1, N ] et s i Si k une stratégie pure strictement dominée. On pose Γ k+1 := (N, S k+1, g) avec S k+1 i = S i k et S k+1 i = S k+1 i \ {s i }.

19 Proposition Soit (Γ k ) la suite de jeux obtenue par une procédure d élimination des stratégies (pures) strictement dominées. Alors pour tout k 1, NE mix (Γ k ) = NE mix (Γ). Bien sûr on a aussi pour tout k 1, NE pur (Γ k ) = NE pur (Γ).

20 1 Motivation 2 Extension mixte d un jeu et équilibres de Nash 3 Stratégies dominantes et stratégies dominées 4 Calcul des équilibres de Nash en stratégies mixtes

21 Principe d indifférence faible Soit i [ 1, N ], σ i Σ i et σ i BR i (σ i ). Alors s i, t i supp (σ i ), g i (s i, σ i ) = g i (t i, σ i ). Principe d indifférence fort Soit i [ 1, N ] et σ i Σ i. Alors σ i BR i (σ i ) équivaut à 1 2 s i, t i supp (σ i ), g i (s i, σ i ) = g i (t i, σ i ), s i / supp (σ i ), g i (s i, σ i ) g i (σ i, σ i ).

22 Méthode générale pour calculer les Nash mixtes Rechercher les stratégies strictement dominantes, Éliminer les stratégies strictement dominées, Identifier les équilibres de Nash purs, Utiliser les principes d indifférence pour trouver les Nash non purs.

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