Exercice 1 (4 points)

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1 Exercice (4 points) Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Barème : pour chaque question, une réponse exacte rapporte point ; une réponse inexacte enlève 0, point ; l absence de réponse n apporte, ni n enlève de point. i la somme des points de cet exercice est négative, la note est ramenée à 0. Les deux parties sont indépendantes. Première partie A Dans cette partie, on considère la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [ ; ] (voir ci-contre). On note f la dérivée de la fonction f. ) On peut affirmer que : Réponse A : f (4, ) = 0 ; Réponse B : f () = 0 ; Réponse C : f () = 4,. ) oit F une primitive sur l intervalle [ ; ] de la fonction f. Alors : Réponse A : F est décroissante sur l intervalle [ ; 4, ] ; Réponse B : F présente un minimum en x = 0 ; Réponse C : F présente un maximum en x = 4,. Deuxième partie ] On considère la fonction h définie sur l intervalle ; [ par ( ) x + h(x) = + ln. x 4 0 j O i (C f ) ) Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la fonction h admet pour asymptote la droite d équation : Réponse A : y = ; Réponse B : y = ; Réponse C : y = + ln(). ) Parmi les expressions suivantes de h(x), l une d elles est fausse, laquelle? Réponse A : h(x) = + ln(x + ) ln(x ) ; ( Réponse B : h(x) = + ln + 7 ) ; ( x ) x Réponse C : h(x) = ln. x + D. LE FUR / 7 Amérique du sud novembre 008

2 Exercice ( points) uite à une panne technique, un distributeur de boissons ne tient aucun compte de la commande faite par le client. Cette machine distribue soit un expresso, soit du chocolat, soit du thé en suivant une programmation erronée. Chaque boisson peut être sucrée ou non. La probabilité d obtenir un expresso est. La probabilité d obtenir un thé sucré est. i l on obtient un expresso, la probabilité qu il soit sucré est. i l on obtient un chocolat, la probabilité qu il soit sucré est. La probabilité d obtenir une boisson sucrée est On pourra considérer les évènements suivants : T : «On a obtenu un thé». E : «On a obtenu un expresso». C : «On a obtenu un chocolat». : «La boisson obtenue est sucrée». ) Construire un arbre probabiliste modélisant la situation. T E 4 C ) Calculer la probabilité d obtenir un expresso sucré. p(e ) = p(e) p E () = = 8. ) Démontrer que la probabilité d obtenir un chocolat sucré est 8. T, E et C forment une partition. D après la formule des probabilités totales, p() = p(t ) + p(e ) + p(c ) = + + p(c ) 8 p(c ) = 8. D. LE FUR / 7 Amérique du sud novembre 008

3 4) En déduire la probabilité d obtenir un chocolat. p(c ) = p(c) p C () p(c) = p(c ) p C () = 8 = 6. ) Une personne obtient une boisson sucrée. Quelle est la probabilité que cette boisson soit un thé? p (T ) = p(t ) p() = =. D. LE FUR / 7 Amérique du sud novembre 008

4 Exercice ( points) Depuis 7, une collectivité territoriale s intéresse à la quantité annuelle de déchets recyclés, en particulier l aluminium. En 008, cette collectivité dispose des données suivantes : Année Rang de l année x i Aluminium recyclé (en tonnes) y i ) On a représenté ci-dessous le nuage de points associé à la série statistique (x i ; y i ) dans un repère orthogonal du plan M M M 800 M M a) À l aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d ajustement affine de y en x, obtenue par la méthode des moindres carrés. D après la calculatrice, l équation est : y = x b) À l aide de cet ajustement, estimer la quantité d aluminium qui sera recyclée en correspond à x = : y = = 4 La quantité d aluminium recyclé serait d environ 0 tonnes. ) Un responsable affirme que l augmentation annuelle moyenne entre 00 et 00 a été d environ,8 %. a) Justifier ce taux de,8 %. Appelons CM le coefficient multiplicateur annuel moyen. CM = CM, 08 Or,, 08 = 0, 8 = +, 8%. 00 L augmentation annuelle est bien de, 8 %. D. LE FUR 4/ 7 Amérique du sud novembre 008

5 b) En utilisant ce taux, estimer, à une tonne près, la quantité d aluminium qui sera recyclée en CM = 400, 08 = 477 La quantité d aluminium recyclé serait d environ 477 tonnes. c) Avec cette méthode, en quelle année peut-on estimer que plus de 600 tonnes d aluminium seront recyclées? oit n le nombre d années écoulées depuis 00. Résolvons l inéquation : 400, 08 n > 600, 08 n > ( ) 8 n ln, 08 > ln 7 ( ) 8 ln 7 n > ln, 08 D après la calculatrice, n > 7, 4. Il faudra attendre 8 années, c est-à-dire 0. ) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. En janvier 008 sont publiés les résultats de l année 007. La quantité d aluminium recyclé en 007 est de 00 tonnes. Lorsque ce résultat paraît, une réunion des responsables de la collectivité est organisée pour ajuster les prévisions. Lequel des deux modèles précédents semble-t-il le plus adapté? Le premier modèle donnait une estimation de 0 tonnes contre 477 pour le second modèle. Ce dernier est donc le plus adapté. D. LE FUR / 7 Amérique du sud novembre 008

6 Exercice 4 (6 points) Partie A On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par : f(x) = (8x + 6)e 0,8x. On admet que la dérivée f de f est donnée pour tout x de l intervalle [0 ; + [ par : f (x) = ( 6, 4x +, )e 0,8x. ) Déterminer la limite de la fonction f en +. Donner une interprétation graphique de cette limite. lim (8x + 6) = + x + lim x + e 0,8x = 0 D après les croissances comparées, lim f(x) = 0. x + L axe des abscisses est asymptote horizontale en +. ) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. On a f (x) = ( 6, 4x +, )e 0,8x. Pour tout x, e 0,8x > 0. Résolvons l inéquation : 6, 4x +, > 0 6, 4x >, x < [. ur 0 ; ], f (x) 0. [ ] ur ; +, f (x) 0. Dresser son tableau de variation. x 0 f (x) f(x) 0e 0,4 6 0 ) Montrer que l équation f(x) = admet une unique solution α sur l intervalle [0 ; + [ et donner un encadrement de α d amplitude 0. [ ur 0 ; ], f est croissante et f(x) 6. L équation f(x) = n admet pas de solution sur cet intervalle. [ ] ur ; +, f est définie, continue et décroissante. De plus est comprise entre 0 et 0e 0,4. D après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation f(x) = admet donc une solution unique α sur cet intervalle. D après la calculatrice, 4, 7 < α < 4, 8. D. LE FUR 6/ 7 Amérique du sud novembre 008

7 4) Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle [0 ; + [ par F (x) = 0(x + )e 0,8x est une primitive de la fonction f. Partie B Dérivons F. F (x) = 0 e 0,8x + ( 0)(x + )( 0, 8)e 0,8x = ( 0 + 8x + 6)e 0,8x = (8x + 6)e 0,8x = f(x). F est une primitive de f. Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. L objet de cette partie est d étudier les ventes d un nouveau baladeur numérique. On considère que le nombre de baladeurs numériques vendus par un fabricant à partir du début des ventes jusqu au temps t est donné par B(t) = t 0 f(x) dx. Le temps t est exprimé en année, le début des ventes (correspondant à t = 0) étant le er janvier 000. Le nombre de baladeurs numériques est exprimé en centaines de milliers. À l aide de la partie A, décrire l évolution du rythme des ventes au cours des années. On a B(t) = F (t) F (0) et B (t) = f(t). Les ventes vont continuer d augementer mais avec un rythme de plus en plus lent. En quelle année le nombre de baladeurs vendus dans le courant de l année est-il devenu inférieur à 00000? Le nombre de baladeurs vendus en une année est B(t) B(t ) = F (t) F (t ). D après la calculatrice, B(6) B() <. C est en 00 que le nombre de baladeurs vendus est devenu inférieur à D. LE FUR 7/ 7 Amérique du sud novembre 008