Rappels sur le calcul Littéral

Transcription

1 Première prtie Rppels sur le clcul Littérl I Clculer vec les frctions, les puissnces, les rdicux I.1 les frctions I.1.1 générlités Bon, il est temps que je rppelle quelques règles de bse concernnt le clcul vec les frctions : 1. Lorsque b est non nul, pour tout nombrecnon nul on : 2. Lorsque b est non nul, 3. Lorsque b et d sont non nuls, 4. Lorsque b, c, d sont non nuls, b = b = b b = c d équivut à Addition, soustrction (même dénominteur) : Multipliction : Division : b c d = c bd b c d = b d c = d bc réduction u même dénominteur : d = bc b + c d = d+bc bd b = c bc b + c b = +c b et b c b = c b I.1.2

2 I.2 Les puissnces I.2.1 générlités Définition : Soit n un entier nturel, soit un nombre non nul quelconque : lors n =... }{{} nfcteurs Pr convention, on pose 0 = 1 n = 1 n = 1... }{{} nfcteurs Opértions sur les puissnces : Si et b sont des nombres réels non nuls ; m et n sont des entiers reltifs quelconques (positifs ou négtifs), lors : m n = m+n m n = m n ( m ) n = m n ( b) n = n b n ( b) n = n b n I.2.2 ttention : L somme n + m ne se simplifie ps, on ne peut donc les jouter, en effet : A = n est sûrement ps égl àb = Il suffit de constter que A = 12 et que B = 27. mis lors que fire si l on pr exemplex 2 +3x 3? et bien, surtout on n invente ps de théorie révolutionnire pour tenter d jouter ces deux termes, on lisse l expression insi. I.2.3

3 I.3 Les rdicux I.3.1 générlités Définition : Soit un nombre positif ; l rcine crrée du nombre, notée, est le nombre positif dont le crré est égl à. On donc ( ) 2 = 2 = Opértions sur les rdicux : Lorsque etbsont positifs, Multipliction : b = b Division : si b est non nul, = b b I.3.2 ttention : il n existe ps de règle pour l ddition ou l soustrction des rdicux : Ce qui signifie que si et b sont deux réels non nuls, +b est différent de + b. Tu veux un exemple PUBLIC? et bien 4+9 = 13..., mis 4+ 9 = 2+3 = 5! I.3.3 comment fire dispritre des rcines crrées u dénominteur d une frction? Si 0, ou si b 0 : 1 = 1 = c + b = c ( b) ( + b)( b) = c c b b I.3.4

4 II II.1 II.1.1 svoir développer une expression littérle les techniques principe de bse Distribuer, c est trnsformer un produit de FACTEURS, en une somme de TERMES Tout repose sur les principes de bse suivnts : A (B +C) = A B +A C (A+B) (C +D) = A C +A D+B C +B D REMARQUE : pour contrôler le nombre de termes du résultt, il suffit de multiplier le nombre de termes du premier fcteur pr celui du second Pr exemple : (x 3 +2x 2 +x+3)(2x 1) comporter à l issue 4 2 = 8 termes vnt réduction de l écriture, c est à dire vnt d jouter tous les copins ensembles pour réduire un peu le résultt. II.1.2 les identités remrqubles Développer (+b)(+b) =... (+b) 2 = Développer ( b)( b) =... ( b) 2 = Développer (+b)( b) =... (+b)( b) = III III.1 svoir fctoriser une expression en utilisnt un fcteur commun FACTORISER, c est trnsformer une somme de TERMES en un produit de FACTEURS. L première technique consiste à utiliser le principe de distributivité : A B +A C = A (B +C) On dit dns ce cs que l on trouvé un fcteur commun entre les deux termes, et qu on l mis en FACTEUR. Sur un exemple on verr mieux non? On donne A = (2x+1)(x 1) (2x+1)(3x 5) Ne voyez-vous ps un fcteur commun entre les deux termes (2x+1)(x 1) et(2x+1)(3x 5)? mis si, regrdez bien : A = (2x+1) (x 1) (2x+1) (3x 5), lors? heureux? Une fois repéré le fcteur commun (2x+1), on le met en fcteur en utilisnt encore une fois le principe de distributivité rppelé plus hut : A = (2x + 1) [(x 1) (3x 5)], et près simplifiction dns le grnd crochet on obtient : A = (2x + 1)( 2x + 4) qui l expression FACTORISÉE de A.

5 III.2 en fisnt intervenir une identité remrquble

6 Deuxième prtie Les résolutions d équtions IV Les équtions du premier degré IV.1 Définition Soient et b deux réels donnés. On ppelle éqution du premier degré d inconnue x, toute éqution pouvnt se rmener àx+b = 0. IV.2 IV.3 Exemples Rppels sur les églité Soient,b, c et d qutre réels : = b +c = b+c, ou encore = b c = b c ; = b c = b c, pour c 0 ; = b c = b c pour c 0 ; b = c d d = bc, pour b 0, et d 0. IV.4 Principe de résolution si 0, l éqution x+b = 0 dmet comme solution x = b { et l on noters = b } IV.5 si = 0 lors l équtionx+b = 0 devientb = 0, qui n ps de solutions sib 0, et une infinité si b = 0. Résoudre dnsr: 1. 3x+1 = 5x 5 2x = 2x 3 3 x = 2x x = V VI VI.1 Rppels des principes de développement et de fctoristion Les équtions de degré supérieur à 1 : Rppels des principes de seconde Le cdre générl Ce sont des équtions fisnt intervenir l inconnue x élevée à une certine puissnce, du type polynomile, et que l on tâcher de résoudre en utilisnt dns l pluprt des cs une fctoristion fin de se rmener à un produit de fcteurs nuls. On les ppelle ussi équtions produit. L puissnce l plus grnde intervennt dns l éqution est le degré de celle-ci.

7 VI.2 1. x 2 x(x 3) = 0 est une éqution priori de degré 2, mis en fit elle est équivlente à 3x = 0 qui est donc de degré 1 ; 2. x 3 3x 2 = 0 est une éqution de degré3 ; 3. (x+1)(x+3) 1 = 0 est une éqution de degré2, cr en developpnt un terme enx 2 pprit ; VI.3 VI.3.1 Principes de Résolution Les rppels lgébriques Les identités remrqubles : (x+y) 2 = x 2 +2xy +y 2 ; (x y) 2 = x 2 2xy +y 2 ; x 2 y 2 = (x y)(x+y) Produit de fcteurs nul : Soient A(x) et B(x) deux expressions lgébriques. On lors A(x) B(x) = 0 A(x) = 0 ou B(x) = 0 ; VI.3.2 Se rmener à une comprison à 0 Pour résoudre une éqution de degré supérieur à 1, on se rmène dns l mjorité des cs à une comprison à0. Ainsi si l éqution est du typea(x) = B(x), on écrir lors A(x) B(x) = 0. VI.3.3 Les cs où l on peut utiliser directement un fcteur commun : Certines équtions de degré supérieur à 1, peuvent se résoudre en fctorisnt pr un fcteur commun, puis en se rmennt à un produit de fcteurs nul Les : Résoudre dns R les équtions suivntes 1. (3x 1)(x+2) = (3x 1) 2 2. x 2 3x = 0 3. x(3x+1) x 2 = 0 4. (x 1)(x 2)(3x+5) = (x 1)(x 2)(2 5x) VI.3.4 Les cs où l on peut fire ppritre un fcteur commun : Résoudre dnsr, les équtions suivntes : 1. (3x 1)(x+2) = 9x x 2 1+(1 x)(2x+1) = 0 3. x 2 +4x+4 = (x+2)(x 3) 4. (x+1)(2x 3)+x(3 2x) =

8 VI.3.5 le cs où les identités remrqubles sont prépondérntes Étude d un cs prticulier : l résolution dex 2 =, vec un réel donné. 1. si < 0, lors l éqution n ps de solutions. 2. si = 0, lors X 2 = 0 X = 0, puis conclure. 3. si > 0, lors X 2 = X = ou X =, puis conclure. On rppelle que pour tout positif, est l unique réel vérifint = 2 = ( ) 2 Les énoncés clssiques : résoudre dns R, les équtions : 1. (x+2) 2 = (4x 1) 2 2. (4x 5) 2 = 0 3. x 2 +4 = 0 4. x 2 +4x+4 = 0 5. x 2 +4x+3 = 0 6. x 2 +8x+19 = 0