Calcul littéral. Calcul littéral et géométrie. Exercice 1. Exercice 2

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1 Calcul littéral Calcul littéral et géométrie Eercice 1 On considère la figure codée ci-dessous D 4 5 A Eercice 2 C B 1. Eprimer l aire du rectangle ABCD de deu façons différentes en utilisant les distances codées sur le dessin 2. Que peut alors dire de (3 + 4)(4 + 5) et de ? 3. Comment appelle t on la manipulation algébrique qui passe de (3 + 4)(4 + 5) à ? 4. Comment appelle t on la manipulation algébrique qui passe de à (3 + 4)(4 + 5)? 5. Démontrer par un calcul que : (3+4)(4+ 5) = Eiste-t-il une valeur de permettant d obtenir un rectangle dont l aire vaut 20? Dans un carré de côté 10 on dessine 4 carrés coins de côté a. 1. Eprimer de deu manières différentes l aire de la partie grisée en fonction de a 2. Vérifier par un calcul algébrique que les deu epressions trouvées sont bien égales. 3. En découpant les 4 coins, on obtient le patron d un pavé ouvert sur le dessus. Eprimer en fonction de a le volume de la boite ainsi obtenue a Remarque : Plus tard dans l année,on poura s intéresser à la boîte de plus grand volume que l on peut obtenir Hervé Gurgey 1 3 octobre 2011

2 Eercice 3 On considère la figure codée ci-dessous. ABCD est un rectangle tel que AB = 7 et AD = 4 a A F B E = = G Eprimer en fonction de a l aire puis le périmétre du quadrilatère ABCD. D H C Eercice 4 On considère la figure codée ci-dessous où AMNP et MRQB sont des carrés R Q P N Eprimer en fonction de la longueur de la ligne polygonale APNRQB A M B 7 Eercice 5 Développer les epressions suivantes : 1. A() = (3 2) 2. B() = (7 6)(2 1) 3. C() = ( ) ( ) 9 4. D() = (50 20) 5. E() = ( + 5) 2 6. F () = (2 5) 2 7. G() = (5 3y) 2 ( 5 8. H() = ) I() = ( 12)( + 12) 10. J() = (2 3)(2 + 3) ( ) ( ) K() = Eercice 6 1. Pour chacune des epressions suivantes, dire s il s agit d une somme, d une différence, d un produit ou d un quotient. ( En ce qui concerne la dernière opération mise en oeuvre) Hervé Gurgey 2 3 octobre 2011

3 a b. (3 + 1)(4 3) (3 + 1)( 4) c. 4( + 2) d. (4 3) e. f. g. (2 3)(4 + )( 1) h. 4 ( 7) associer à chaque phrase l epression algébrique qui lui correspond : Eercice 7 a. Le quotient du produit de 2 et de par la somme de 3 et de b. Le produit de la somme de 2 et de et de la différence de 3 et de c. La somme dun produit de 2 et de et du quotient de 3 par 3. (2 + )(3 ) 2 d. La différence du quotient de 2 par et de la somme de 3 et de e. Le quotient de la différence de 2 et de par le produit de 3 et de 5. (3 + ) Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : 1. Pour tout nombre réel a, (a + 3) 2 = a Il eiste un nombre réel a tel que : (a + 3) 2 = a Pour tout réel, 9 2 = ( + 3)( 3) 4. Pour tout réel, 3 4 = ( + 2)( 2) 5. Pour tout réel n, (n 1) 2 = n 2 1 ( 6. Pour tout réel non nul, + 1 ) 2 = L ensemble des solutions de l équation 2 = 9 est S = {3} 8. L ensemble des solutions de l équation = 0 est S = { 2; 2} 9. Pour tout nombre réel, (2) 2 = Pour tout nombre réel, ( 3) 2 = Pour tous nombres réels a et b, a 2 + b 2 est un nombre strictement positif. 12. L opposé d une somme est la somme des opposés. 13. L opposé d un produit est le produit des opposés. 14. L opposé d une somme est la somme des opposés. 15. L inverse de la somme de deu nombres est égal à la somme des inverses de ces nombres. 16. Le carré du double d un nombre est égal au double du carré de ce nombre. 17. Le double du produit de deu nombres est le produit du double de ces nombres Pour tous nombres réels a et b, a 2 + b 2 = a + b 19. Pour tous nombres réels a et b, a 2 b 2 = a + b Pour tout nombre réel, = Pour tout réel 3 2, = Pour tous nombres réels a et b non nuls, 1 a + 1 b = 2 a + b Hervé Gurgey 3 3 octobre 2011

4 Eercice 8 Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse : = 5 1 3( = + 1 ) = = ( 4) 2 = 2( 2) a 2 + b 2 = a + b = = Eercice 9 Reconnaître la forme d une epression algébrique (somme, produit, carré, différence) et y étant deu nombres non nuls. Ecrire : Phrase La somme de leurs inverses L inverse de la somme de leurs carrés La différence du carré de et de son inverse Le quotient du double de par l inverse de y Eercice 10 Cocher la bonne réponse : Epression algébrique 2 y 2 1. L écriture réduite et ordonnée de est : Aucune de ces réponses 2. L écriture réduite et ordonnée de est : Aucune de ces réponses 3. L écriture réduite et ordonnée de 2 ( 3 2) (1 2) est : Eercice Aucune de ces réponses Cocher la bonne réponse : est égal à : (3 7)(3 + 7) (3 7) 2 (3 + 7) est égal à : (2 3)(2 + 3) (2 3) 2 (2 + 3) est : ( 6)( + 6) ( + 6) 2 Aucune de ces réponses 4. ( 1) 2 36 est : ( 7)( + 5) ( 7) 2 ( + 5) 2 5. (2 3) 2 ( + 1) 2 est : ( 4)(3 2) ( 4) 2 (3 2)( 2) Hervé Gurgey 4 3 octobre 2011

5 Eercice 12 Reconnaître différentes écritures d une même epression et choisir la forme la plus adaptée au travail demandé (forme réduite, factorisée,...) : On pose f() = (3 + 1) Développer et réduire f(). 2. Factoriser f(). 3. En choisissant pour f() la forme la plus adaptée : ( (a) Calculer f(0), f(2), f 1 ) et f ( 2 ) 3 (b) Résoudre l équationf() = 8. (c) Résoudre l équation f() = 0. (d) Résoudre l équation f() = 9. Hervé Gurgey 5 3 octobre 2011

6 Cours Règles d écriture et priorités opératoires En Mathématiques, les nombres avec lesquels on calcule sont souvent remplacés par des lettres. Eemple : Si on note la longueur du côté d un carré, le périmètre du carré dépend donc de et est donné par l epression P () = = 4 Le signe de la multiplication est souvent omis, et les deu termes de la multiplication accolés Dans l eemple précédent, on notera donc : P () = 4 On effectue les opérations en respectant l ordre de priorité : Les parenthèses en commençant par celles qui sont le plus intérieures en cas de parenthèses imbriquées Les puissances Les produits et quotients Les sommes et différences Développement et factorisation Une epression factorisée est une epression pour laquelle le dernier calcul effectué est une multiplication Une epression développée est une epression pour laquelle le dernier calcul effectué est une somme (ou différence) Soient a, b et k trois nombres on a les formules de développement ci-dessous k(a + b) = ka + kb et k(a + b) = ka + kb Formule du double développement : (a + b)(c + d) = ab + ad + bc + bd Identités remarquables Pour tous nombres réels a et b on a : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Ainsi le carré d une somme n est en général pas la somme des carrés (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a b)(a + b) = a 2 b 2 Ces formules doivent être connues et appliquées à bon escient. Eemple : 2 25 = ( 5)( + 5) ( 11) 2 = = (2 + 5) 2 Eercice 5 Développer les epressions suivantes : 1. A() = (3 2)= B() = (7 6)(2 1)= C() = ( )= ( ) 9 4. D() = (50 20)= E() = ( + 5) 2 = F () = (2 5) 2 = Hervé Gurgey 6 3 octobre 2011

7 7. G() = (5 3y) 2 = y + 9y 2 8. ( 5 H() = ) I() = ( 12)( + 12)= J() = (2 3)(2 + 3)= ( ) ( ) K() = Hervé Gurgey 7 3 octobre 2011

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