Chapitre 0 : Mise au point sur les nombres et le calcul

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1 Lycée Jules Fil, Crcssonne Clsse de 2 nde Chpitre 0 : Mise u point sur les nombres et le clcul D. Zncnro C. Aupérin Téléchrger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modifiction : 7 septembre

2 Fiche rppels : Clcul numérique Définition 1. Soient un nombre et n un nombre entier positif. Si n 1, lors n = {{... En prticulier 1 =. n fois Si n = 0 et 0 lors 0 = 1 Si de plus 0, on définit le nombre n comme l inverse du nombre n : n = 1 n Propriété 1. Quels que soient les nombres et b, et les entiers reltifs n et m, les églités suivntes sont vérifiées, si elles sont définies : n m = n+m ( n ) m = nm n (b) n = n b n ( b ) n = n b n m = n m Définition 2. Si est un nombre positif lors est l unique nombre positif dont le crré vut. Propriété 2. Si et b sont des nombres positifs et n un entier reltif, lors on : b = b b = b si b 0 n = n Attention!!. En générl + b + b Cs prticulier : 2 n = ± n suivnt le signe de. Exemples : 5 4 = = 1 ( 3) 2 = = = = = ( 5 6 ) =

3 Fiches Rppels : Clcul littérl Proposition 1. Pour tous nombres, b et c on : (b + c) = b + c. Développer une expression contennt des produits, c est l écrire en trnsformnt les produits en sommes. Ici c est écrire le membre de guche sous l forme du membre de droite : produit somme. Réduire une expression développée c est l écrire sous forme de sommes contennt le moins de termes possible. Fctoriser une expression c est l écrire sous forme d un produit. Ici c est écrire le membre de droite sous l forme du membre de guche : produit somme. Identités Remrqubles : Pour tous nombres et b on ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 ( b) 2 = 2 2b + b 2 ( + b)( b) = 2 b 2 Définition 3. Une éqution est une églité dns lquelle figure une quntité inconnue (ou plusieurs). On désigne ces quntités pr des lettres (x, y,...) Une solution de l éqution, c est une vleur que prend l (ou les) quntités inconnues pour lquelle l églité est vérifiée. On note l ensemble des solutions S = {solution1, solution2,.... Résoudre une éqution c est trouver toutes ses solutions (il est possible qu il n y en it ps) Proposition 2. Pour tous nombres, b et c, vec 0, on : x + b = c x = c b x = c b Proposition 3. Un produit est nul si et seulement si l un des fcteurs est nul. Soient A et B des expressions : AB = 0 A = 0 ou B = 0

4 1 Mettre en éqution Introduction ux nombres Dns l ntiquité, les mthémtiques étient surtout utilisées pour les besoins quotidiens, tels que des clculs d ires de chmps cultivbles, d impôts lors des crues du Nil, de constructions... Cependnt, ils servient ussi à résoudre des problèmes dns lesquels figurit une ou plusieurs quntités inconnues à trouver. Les mthémticiens prlient de chose et tentient de résoudre leurs problèmes en suivnt un discours logique mis prlé, et peu clir pour nous ujourd hui. De plus, ils ne cherchient qu à résoudre leur problème prticulier, sns essyer de générliser une méthode, et devient recommencer depuis le déprt à chque nouveu problème. Ce n est qu u V III e siècle, vec l introduction de l numértion positionnelle, des chiffres rbes et du zéro, que l théorie prit plce peu à peu. Le point de déprt fut de désigner dns des clculs l inconnue pr un symbole (ujourd hui souvent l lettre x) puis de mettre en éqution les problèmes. Rpidement, on comprit l intérêt d une méthode générle de résolution d équtions plutôt que de fire du cs pr cs, et c est Al-Khwrizmi qui le premier s intéress à cel. C est de lui que vient le mot lgorithme qui désigne ujourd hui une procédure à suivre, à prtir d un élément donné, pour rriver à une solution unique. Grâce à ce principe, il suffisit de trouver l lgorithme à suivre pour résoudre son problème et de svoir interpréter l (les) solutions trouvées. Jusqu u début du XIX e siècle, trouver des lgorithmes de résolutions d équtions constituent l préoccuption principle des lgébristes. Ils développèrent l nottion symbolique et l conventionnèrent. Pr exemple, u XV I e siècle Viete sépr l lphbet en deux, le début désignnt plutôt les prmètres, l fin les inconnues, ce qui est encore utiliser de nos jours. On ctégoris les équtions suivnts leurs prmètres, leur degré et leur nombre d inconnus, fin de générliser le plus possible leur résolution déqutions. A trvers cette recherche, on fut contrint de s intéresser à l nture des nombres, et même d en introduire de nouveux. Au déprt, les gens connissient les nombres entiers positifs et les qutre opértions. Ils se retrouvient donc confrontés à des équtions dont les prmètres étient des entiers positifs mis des solutions qui ne l étient ps forcément... Observons cel plus en détils.

5 Trvil de l élève : x 1. 3 x = 1 = 5 2x + 3 = 5 3x = 0 (x 3) (3x 6) = De quelle nture sont les nombres solutions des équtions précédentes? 3. Si on dditionne deux entiers nturels, obtient-on un entier nturel? 4. Si on soustrit deux entiers nturels obtient-on un entier nturel? 5. Si on multiplie deux entiers nturels obtient-on un entier nturel? 6. Si on divise deux entiers nturels obtient-on un entier nturel? Définition 4. L ensemble des nombres entiers nturels se note N et désigne l ensemble des nombres entiers positifs ou nul : N = {0; 1; 2; 3; 4;... Remrque : Le N vient de l nglis Nturl. Trvil de l élève : 1. Résoudre les équtions suivntes : 3 x = 5 x = 5 (2x + 3)(x + 1) + (2x + 3)(x 1) = 0 4 2x + 4 3x 12 = 9 (x 3) (3x 6) = 0 6x 2 = 0 x2 1 = 0 Rppel : Pour résoudre une éqution produit, on utilise l règle : A B = 0 A = 0 ou B = 0 2. De quelle nture sont les nombres solutions des équtions précédentes? 3. Si on dditionne deux entiers reltifs, obtient-on un entier reltif? 4. Si on soustrit deux entiers reltifs obtient-on un entier reltif? 5. Si on multiplie deux entiers reltifs obtient-on un entier reltif? 6. Si on divise deux entiers reltifs obtient-on un entier reltif? Définition 5. L ensemble des entiers reltifs se note Z et représente l ensemble des nombres entiers positifs et négtifs. Z = {... ; 4; 3; 2;0;1;2;3;... Remrque : Le Z vient de l llemnd Zhl. Propriété 3. Tous les entiers nturels sont des entiers reltifs. On dit que Z contient N, ou encore que N est inclus dns Z. On note N Z.

6 Trvil de l élève : 1. Résoudre les équtions suivntes : 3 2x = 5 x 4 = 2 (2x + 3)(x + 1) + (2x + 3)(3x 7) = 0 2x + 1 6x 2 = 0 2. De quelle nture sont les nombres solutions des équtions précédentes? 3. Si on dditionne deux nombres rtionnels, obtient-on un nombre rtionnel? 4. Si on soustrit deux nombres rtionnels obtient-on un nombre rtionnel? 5. Si on multiplie deux nombres rtionnels obtient-on un nombre rtionnel? 6. Si on divise deux nombres rtionnels obtient-on un nombre rtionnel? Définition 6. L ensemble des nombres rtionnels se note Q{ et représente l ensemble des nombres pouvnt s écrire comme le quotient de deux entiers : Q = b où Z et b Z Remrque : b Z cr on ne peut ps diviser pr 0. Remrque : Le Q vient du ltin Quotiente Propriété 4. Tous les entiers reltifs peuvent s écrire =, donc sont des rtionnels. On 1 N Z Q. Q est stble pour toutes les opértions. On urit pu s rrêter là, cependnt, les mthémticiens connissent d utres nombres comme π (grâce ux cercles) et 2 (grâce u théorème de Pythgore) et il déjà été démontré que 2 ne pouvit ps s écrire sous l forme d un quotient de deux entiers (donc encore moins sous l forme d un entier!). De plus, il restent des équtions telles que x 2 5 = 0 dont les solutions ne font ps prtie de cet ensemble. Exemples : Π et 2 n pprtiennent ps à Q. On dit qu ils sont irrtionnels. Définition 7. L ensemble des nombres réels se note R et représente l ensemble des nombres rtionnels et des nombres irrtionnels. Il contient tous les nombres connus en clsse de seconde. Remrque : Le R vient de l nglis Rel Propriété 5. Tous les nombres rtionnels sont réls. On N Z Q R.

7 Exemples : Donner tous les ensembles de nombes uxquels pprtiennent les nombres suivnts : π 2 5 Remrque : R n est encore ps ssez grnd pour résoudre toutes les équtions. Pr exemple x 2 = 1 n ps de solutions dns R, on note S =. Cet ensemble s ppelle l ensemble vide et ne contient ucun élément. Cette éqution pourtnt une solution dns un ensemble contennt R, noté C et ppelé l ensemble des nombres complexes, étudié en clsse de terminle S. C = { + ib/ R ; b R et i 2 = 1 Il été démontré que C contenit l ensemble des solutions des équtions construites à prtir de cet ensemble. Question : À quel ensemble pprtiennent les nombres décimux? Résumé : L ensemble des nombres entiers positifs ou nuls se note N. On N = {0;1;2;3;4;5;... Les éléments de N sont les entiers nturels. L ensemble des entiers positifs et négtifs se note Z. On Z = {... ; 4; 3; 2;0;1;2;3;... Les élémlents de Z sont les entiers reltifs. L ensemble { des nombres pouvnt s écrire comme le quotient de deux entiers se note Q. On Q = b où Z et b Z. Les éléments de Q sont les nombres rtionnels. L ensemble des nombres connus en seconde (rtionnels et irrtionnels) s ppelle l ensemble des nombres réels. On note R cet ensemble. N Z Q R

8 Intervlles Définition 8. Soient et b deux réels tels que < b. L ensemble des réels x tels que x b est ppelé intervlle fermé de R. On le note [;b]. et b sont les bornes de l intervlle [;b]. Remrque : On dit qu un intervlle est borné si et seulement si ses deux bornes sont finies (ie réels). Inéglité Représenttion grphique Intervlle borné Dénomintion x b Intervlle ouvert Intervlle semi-ouvert à droite Intervlle semi-ouvert à guche Inéglité Représenttion grphique Intervlle Dénomintion x [; + [ Intervlle fermé ]; + [ Remrque : On note : R + = [0;+ [ R =] ;0] R = R 0 R + =]0;+ [ R =] ;0[ R =] ;+ [ Exemples : 1. Donner les intervlles correspondnt ux inéglités suivntes : 6 x 7 5 < x x 3 2. Donner les inéglités correspondnt ux intervlles suivnts : ] 1 3 ; ] [ 7 [ 5;+

9 Résumé : L ensemble des nombres entiers positifs ou nuls se note N. On N = {0;1;2;3;4;5;... Les éléments de N sont les entiers nturels. L ensemble des entiers positifs et négtifs se note Z. On Z = {... ; 4; 3; 2;0;1;2;3;... Les élémlents de Z sont les entiers reltifs. L ensemble { des nombres pouvnt s écrire comme le quotient de deux entiers se note Q. On Q = b où Z et b Z. Les éléments de Q sont les nombres rtionnels. L ensemble des nombres connus en seconde (rtionnels et irrtionnels) s ppelle l ensemble des nombres réels. On note R cet ensemble. N Z Q R Inéglité Représenttion grphique Intervlle borné Dénomintion x b Intervlle ouvert Intervlle semi-ouvert à droite Intervlle semi-ouvert à guche Inéglité Représenttion grphique Intervlle Dénomintion x [; + [ Intervlle fermé ]; + [

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