CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS

Transcription

1 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 1. INTRODUCTION a. Les systèmes automatisés Un système automatisé est un système qui réalise, de manière autonome, des opérations du processus de transformation de la matière d œuvre. L intervention de l homme est alors limitée à la programmation, la mise en marche et aux réglages de certains paramètres. Les buts d un système automatisé sont : - De réaliser des tâches complexes ou dangereuses pour l homme ; - D effectuer des tâches pénibles ou répétitives ; - De gagner en efficacité et en précision. Parmi les systèmes automatisés, on distingue : Les SYSTEMES LOGIQUES COMBINATOIRES : la grandeur de sortie du système est élaborée à partir d une combinaison des grandeurs d entrées. Les SYSTEMES LOGIQUES SEQUENTIELS : la grandeur de sortie est élaborée à partir d une combinaison des grandeurs d entrée, mais prend également en compte la chronologie des évènements et l état précédent du système. Les SYSTEMES CONTINUS : les grandeurs d entrée et de sortie évoluent de manière continue en fonction du temps. Ce dernier type de système offre en sortie une réponse à la demande faite en entrée. Lorsqu on demande à un four de chauffer à 200 C, on attend en sortie qu il respecte cette consigne, en étant le plus performant possible. Une question se pose : comment? b. Qu est-ce que l automatique? Historique Le mot AUTOMATIQUE provient du mot automate apparu au XVIIIème siècle. Le Nouveau Petit Robert définit l automatique comme : L ensemble des disciplines scientifiques et des techniques utilisées pour la conception de la commande et du contrôle du processus. Le développement de l automatique s est fait par étapes successives. Tout d abord les ingénieurs ont cherché des formes d énergie pour remplacer les tâches les plus fastidieuses. Par exemple, l énergie hydraulique ou éolienne ont permis l invention des moulins. Cette énergie transformée en énergie mécanique peut alors être utilisée pour moudre du blé, scier du bois, etc. La partie dite «opérative» n est plus d origine musculaire, mais c est toujours l homme qui a la responsabilité de la partie commande. 1/19

2 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Les ingénieurs ont ensuite cherché à s affranchir de la tâche de l homme pour la partie commande. Par exemple, l évolution de la scie permet de limiter aujourd hui le rôle de l homme à l approvisionnement, à la programmation et à la maintenance de la machine. Aujourd hui, l automatisation est dans une situation paradoxale. Les systèmes automatisés occupent et contrôlent l ensemble des secteurs de l économie à travers les industries : une défaillance du système de contrôle d un quelconque procédé peut entraîner la mise hors service de toute la chaîne. En même temps, l automatique génère une image négative, puisqu elle est associée à la mise hors circuit d un certain nombre d opérateur. Buts de l automatique Dans de nombreux processus industriels, il est indispensable de maîtriser un certain nombre de grandeurs physiques : - Le courant ou la tension en sortie d une source - La vitesse de rotation d un moteur - La température d un local - Etc. On rencontre deux types de systèmes : SYSTEMES NON BOUCLES : systèmes commandés SYSTEMES BOUCLES : systèmes asservis 2/19

3 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Exemple : Prenons l exemple du contrôle de la température d un four à gaz. Un utilisateur règle la température en tournant un potentiomètre gradué. Ce potentiomètre agit directement sur le débit de gaz dans le four. Il est très difficile de contrôler précisément par cette méthode la température, car l utilisateur n a aucune information sur la température réelle dans le four (aucune mesure n est effectuée). Boucle ouverte Pour certaines applications, il est important de contrôler précisément la température. Une autre méthode consiste alors à mesurer la température dans le four, puis à comparer cette mesure à la consigne et agir ensuite sur le débit de gaz. On parle de SYSTEME BOUCLE ou de SYSTEME A RETRO- ACTION. Système bouclé L objectif de l automatique est de s affranchir de la tâche de l homme (qui n a plus qu à indiquer la consigne), et de remplacer l homme par un système. L automatique aujourd hui L automatique intervient aujourd hui dans tous les domaines de notre quotidien. Il serait impossible de citer tous les exemples de développements de ces dernières années. 3/19

4 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Mais c est sans doute dans le domaine de l automobile que la régulation s est le plus imposé ces dernières années. En 1980, l électronique représentait 0,5% du prix de la voiture. En 2010, il représente le quart du prix de la voiture. 4/19

5 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 5/19

6 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 2. PERFORMANCES DES SYSTEMES CONTINUS Afin de répondre aux mieux aux besoins de l utilisateur, un système continu doit présenter des performances (précision, rapidité, stabilité) les plus proches possibles de celles définies dans le cahier des charges. Pour vérifier ces performances et déterminer les réglages permettant de les optimiser, on utilise différents critères (erreur, temps de réponse, dépassement). La PRECISION, caractérisée par l erreur statique ou l erreur de poursuite La précision qualifie l aptitude du système à atteindre la valeur visée. On définit l erreur ou écart à l instant notée par : Avec l entrée, et la sortie. La précision est alors caractérisée en régime permanent par : On parlera d ERREUR STATIQUE (ou erreur de position), l erreur en régime permanent pour une entrée en échelon. On parlera d ERREUR DE POURSUITE (ou erreur de suivi), l erreur en régime permanent pour une entrée en rampe. La RAPIDITE, caractérisée par le temps de réponse La rapidité caractérise la vitesse avec laquelle le système peut passer d une position à une autre. La rapidité est caractérisée généralement par le temps de réponse à 5% noté %. Le temps de réponse à 5% est le temps mis par la sortie pour atteindre la valeur finale à ±5%. Ce n est pas le temps mis pour atteindre la valeur souhaitée (consigne) à 5% mais bien la valeur finale. Le temps de réponse à 5% est atteint lorsque la sortie rentre dans le «tube des 5%» et n en sort plus! Le temps de réponse à 5% peut être déterminé uniquement pour une entrée en échelon. 6/19

7 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS La STABILITE, caractérisée premier dépassement Pour la grande majorité des systèmes, il est nécessaire qu à consigne constante et en absence de perturbation la grandeur de sortie converge vers une valeur constante. La stabilité est caractérisée généralement par le nombre de dépassements et/ou la valeur du premier dépassement (le plus critique), noté par rapport à la valeur finale. On définit le dépassement absolu par : On définit le dépassement relatif par : % Ce ne sont pas les dépassements par rapport à la valeur souhaitée (consigne), mais bien par rapport à la valeur finale. Lors d une étude de stabilité, il faut faire abstraction de l entrée! par le nombre de dépassements et/ /ou la valeur du d ordre k L analyse d un système continu est menée en deux étapes : 1 ère étape : observation des CRITERES tels que l erreur, le temps de réponse, le dépassement, etc. 2 ème étape : conclusion sur les PERFORMANCES que la précision, la rapidité et la stabilité. Etudier les systèmes continus, c est essayer d améliorer ces différentes caractéristiques! 7/19

8 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 3. MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS a. Consigne, réponse et modèle Pour répondre correctement au besoin pour lequel il a été conçu, un système doit «produire» une réponse (sortie) qui respecte au mieux la consigne (entrée). Exemple : étuve thermique Ces deux grandeurs sont liées entre elles par une loi physique, traduite par une équation mathématique plus ou moins complexe, qui est le MODELE du système : On parlera de : MODELE DE CONNAISSANCE lorsque le modèle est théorique MODELE DE COMPORTEMENT lorsque ce dernier est déterminé expérimentalement. Etant donné que le modèle traduit la relation entre l entrée et la sortie, la connaissance de deux d entre eux doit permettre la détermination du troisième. 8/19

9 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS L étude des systèmes continus peut donc conduire à rencontrer 3 types de problèmes : b. Limites d études : systèmes linéaires, continus et invariants (SLCI) Nous nous limiterons à l étude des systèmes pour lesquels les grandeurs d entrée et de sortie évoluent de manière continue dans le temps. Nous ferons l hypothèse que le modèle, qui traduit la manière dont se comporte le système, est invariant, c est-à-dire qu il reste identique et valable à chaque instant. Enfin, nous restreindrons nos études aux cas des systèmes linéaires. Un système est LINEAIRE s il possède les propriétés suivantes : Si est la sortie obtenue en appliquant et celle obtenue en appliquant, alors R, R, en appliquant à l entrée, le système génère la sortie. Dans la majorité des cas, le modèle de connaissance du système est alors une équation différentielle à coefficients constants de la forme : "!! "! "!# "!# "!# " % " ' & ' " ' & " '# " '# " '# & & " % Une équation différentielle est un outil mathématique puissant pour la modélisation et la simulation d un système monovariable : lorsque l entrée et les n conditions initiales sont connues, elle permet de calculer la sortie. Les systèmes réels étudiés impliquent ( * ; * est appelé ORDRE DU SYSTEME. 9/19

10 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Avec la tension, + l intensité, - la résistance,. l inductance et / la capacité. Dans certains cas, en général des constituants des systèmes, il existe simplement une relation de proportionnalité entre la sortie et l entrée. Ce coefficient de proportionnalité sera appelé GAIN du constituant. Lors de l étude des Systèmes Linéaires Continus Invariants (SLCI), en particulier pour les problèmes de prédiction, on sera amené à manipuler et résoudre ces équations. Même si les équations différentielles à coefficients constants (d ordre 1 ou 2) figurant parmi les plus simples à appréhender, il est intéressant de disposer d outils adaptés permettant d effectuer rapidement et efficacement les études systématiques : le plus efficace dans les cas étudiés est la TRANSFORMATION DE LAPLACE. c. Résolution de l équation différentielle par la transformée de Laplace Techniques de résolution de l équation différentielle 10/19

11 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Définition mathématique de la transformée de Laplace La transformée de Laplace 01 de la fonction 2, est : La variable 1 appartient au corps des complexes C. 9: #78." Fonctions causales La cause précède l effet. L ingénieur a pour pratique d étudier l effet d une cause qu il situe à la date 0. En automatique, on utilisera donc la transformée de Laplace restrainte : #78." %# Qui ne s applique qu aux FONCTIONS CAUSALES. 9: Pour rendre une fonction mathématique 2 qui n est pas nulle quand <0 causale, on la multiplie par la fonction d Heaviside : 0 si <0 > 1 si 0 C Propriétés de la transformée de Laplace #: D EF Linéarité.2.G.01.H1 Dérivation 1 ère Par itération, cette formule peut être étendue à une dérivation 2 I d ordre quelconque. Intégration 8 5 2J."J % 01 1 Par itération, cette formule peut être étendue à une intégration d ordre quelconque. Fonction retardée 2K #L7.01 Multiplication d une fonction par une fonction 2.G 01.H1 Théorème de la valeur initiale Théorème de la valeur finale 20 lim 2 lim lim %9 7 9: 7 9: 2 lim 2 lim lim : 7 %9 7 %9 11/19

12 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Transformées usuelles de fonctions causales Nous ne chercherons pas à déterminer 01 par la définition (car cela reviendrait à résoudre l équation différentielle). Les transformées de Laplace les plus usuelles, qu il faut connaître sont : 12/19

13 C ASSERVISSEMENT I1.1 SI1 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS Détermination de la Transformée de Laplace inverse Pour déterminer la transformée de Laplace inverse de P1, donc. # 3P14, il faut : 1. Mettre l ordre du polynôme du numérateur inférieur à celui du dénominateur Polynôme A d I ordre * Polynôme B d I ordre * 1Polynôme C di ordre *1 Polynôme B d I ordre * Exemple : 1²1 1²312 1² ² Rechercher les racines du dénominateur Soit : %.1 P1 `%`.1`.1 Supposons que le dénominateur ait deux racines réelles et &, tel que : `%`.1`.1 `.1.1& 3. Factoriser le dénominateur ²312 P1 %.1 `.1.1& 4. Décomposer af en éléments simples P1 %.1 `.1.1& b 1 c 1& 5. Identifier la valeur de d et de e par analogie P1 %.1 `.1.1& b.1&c.1 1.1& b.&.cbc.1 1.1& On en déduit que : b.&.c % ` f bc ` 6. Identifier des transformées usuelles. # b g 1 h b.i8. et. # c g 1& h c.k8. On trouve la transformée inverse : b. i8.c. k8. 13/19

14 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS d. Modélisation schématique d un système asservi : le schéma fonctionnel Pour représenter graphiquement la structure d un système asservi, on utilise un diagramme fonctionnel ou schéma fonctionnel. Cette technique de représentation utilise 4 éléments de base : Le rectangle qui regroupe un élément ou groupe d éléments du système. La flèche qui désigne une grandeur physique en entrée ou en sortie d un élément. Le comparateur ou sommateur. Le branchement pour le prélèvement d information (même information dans chaque branche). A partir de ces éléments de base, la structure schématique d un asservissement peut être définie sous la forme suivante : Avec : : grandeur d entrée appelée CONSIGNE ou référence, qui définit la grandeur de sortie à atteindre. P : grandeur de sortie qui est la variable caractéristique de l état (vitesse, position, température, etc.). P : mesure de la sortie. Cette grandeur est fournie par la CHAÎNE DE REACTION. Elle doit impérativement être de même nature physique que la consigne pour pouvoir lui être comparée. m : ERREUR ou ECART. Elle est fournie par le comparateur. Le diagramme comporte deux chaînes : Une CHAÎNE D ACTION ou CHAÎNE DIRECTE assurant la fonction de commande et de puissance. Une CHAÎNE DE CONTRE-REACTION ou CHAÎNE DE RETOUR assurant la fonction de mesure. Notion de perturbations Des phénomènes physiques intérieurs ou extérieurs au processus étudié peuvent influencer son comportement. On considère en général que seuls les actionneurs et le processus (qui forment la partie opérative) sont soumis à des perturbations. Fonction de correction Afin d améliorer les performances du système asservi, un organe correcteur est souvent introduit dans l asservissement. Dans le cas d une correction dite série, comme celle envisagée ici, le correcteur est placé en amont de l amplificateur. 14/19

15 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS On peut maintenant envisager la structure générale d un asservissement. e. Représentation des systèmes asservis par fonction de transfert Existence de la fonction de transfert si les conditions initiales sont nulles On a vu précédemment que le modèle traduisant la relation entre l entrée et la sortie était représenté dans la majorité des cas, une équation différentielle : "!! "! " " ' " % & ' " ' & " & " % En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de cette équation et en considérant les conditions initiales nulles, on a : Soit : D où :!.1!.P1.1.P1 %.P1 & '.1 '.1 &.1.1& %.1 3!.1!.1 % 4.P1 3& '.1 ' &.1& % 4.1 P1 1 3& '.1 ' &.1& % 4 3!.1!.1 % 4 Cette fraction rationnelle de deux polynômes de variable 1 est appelée FONCTION DE TRANSFERT du système. Elle est notée : n1 P1 1 Forme canonique : gain statique, ordre et classe, pôles et zéros Si n1 est une fonction de transfert alors : n1 caractérise le système indépendamment de l entrée appliquée. Les valeurs de p qui annulent le numérateur sont appelées les ZEROS du système. Les valeurs de p qui annulent le dénominateur sont appelées les PÔLES du système. Le degré * du polynôme du dénominateur est appelé ORDRE DU SYSTEME. o est appelé le GAIN STATIQUE (il caractérise le régime permanent). n1 P1 1 o. 1p '1p '# 1p % 11! 11!# 11 % 15/19

16 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS f. Représentation des systèmes asservis par schéma bloc Un système asservi peut être représenté de deux manières : SCHEMA FONCTIONNEL : les blocs sont complétés par le nom de l élément qui intervient. SCHEMA BLOC : les blocs sont complétés par la fonction de transfert de l élément qui intervient. La représentation externe d un composant de la chaîne fonctionnelle du système peut être faite par un bloc représentant sa fonction de transfert : 1 n1 P1 Avec : P1 n SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS ET INVARIANTS ASSERVIS a. Insuffisance des systèmes en boucle ouverte (BO) Un système continu peut, dans une première approche, être représenté de la façon suivante : Perturbation Entrée Système Sortie Un système non bouclé (en BOUCLE OUVERTE) est un système qui ne contrôle par la manière dont la consigne imposée en entrée a été respectée. Il ne prend pas en compte la réaction du système à une éventuelle cause externe qui pourrait modifier la relation entrée/sortie. Un évènement extérieur (PERTURBATION) peut alors modifier la sortie attendue du système. Exemple : Fenêtre ouverte Consigne de température Chauffage d immeuble Température du logement Pour qu un système réponde correctement aux besoins de l utilisateur, il est important que la sortie ne varie pas quels que soient les phénomènes extérieurs qui pourraient la perturber. b. Les systèmes asservis ou en boucle fermée (BF) Systèmes régulateurs et systèmes suiveurs On parle d un SYSTEME REGULATEUR lorsque l on désire que la sortie prenne une valeur précise et égale à une consigne d entrée fixe. On parle d un SYSTEME SUIVEUR lorsque l on désire que la sortie suive une consigne d entrée qui varie au cours du temps et dont l évolution n est pas toujours connue à l avance. 16/19

17 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS c. Représentation par schéma-bloc d un système asservi élémentaire On note la CHAINE DIRECTE, la CHAINE DE RETOUR, le COMPARATEUR sur ce schéma-bloc fonctionnel. m I I représente l IMAGE DE L ERREUR. d. Simplification de schémas-blocs élémentaires Les schémas blocs ne sont pas toujours de structure simple. Des manipulations permettent de réduire leur complexité et ainsi de déterminer la fonction de transfert globale. Fonction de transfert de blocs en série Fonction de transfert de blocs en parallèle Fonction de transfert de blocs en Boucle Fermée : FTBF Avec 1 la fonction de transfert de la chaîne directe et -1 la fonction de transfert de la chaîne de retour. 17/19

18 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS On peut retrouver cette formule : P1 1.m1 P1 1.3 I 1P I 14 P1 1.3 I 1-1.P14 P I 1 On obtient : 0rc01 P Ne pas confondre avec la simplification de blocs en parallèle ci-dessus. Attention au signe dans le comparateur. Déplacements de jonctions L objectif est de déplacer une jonction vers une autre jonction de façon à faire disparaître une jonction gênante d une boucle fermée. Le déplacement peut se faire vers la gauche ou vers la droite. Il faut faire attention au bloc rajouté dans la branche déplacée. Déplacements de sommateurs Le déplacement peut se faire vers la gauche ou vers la droite. Il faut faire attention au bloc rajouté dans la branche déplacée. Fonctions de transfert de systèmess à n entrées, principe de superposition Suppose que toutes les entrées sont nulles sauf une. On calcule alors la sortie en fonction de cette 1 ère entrée. On fait la même chose pour toutes les autres entrées. Puis, on détermine la sortie lorsque toutes les entrées sont présentes par la principe de superposition en additionnant toutes les réponses précédentes. 18/19

19 CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS e. Détermination de l erreur statique ou de l erreur de poursuite Fonction de transfert de systèmes en Boucle Ouverte : FTBO On appelle par abus de langage la fonction de transfert ci-dessous, Fonction de Ouverte : Transfert en Boucle 0rcy1 P I 1 m1-1.1 La FTBO n est pas le fonction de transfert du système s il était en boucle ouverte, c est-à-dire s il n y avait pas de chaîne de retour avec un capteur! Détermination de l erreur statique ou de l erreur de poursuite à partie de la fonction de transfert du système tf af uf 1. Calculer u F, l erreur dans le domaine de Laplace 1 1P1 11.n1 1.1n1 2. Calculer uf, la transformée de Laplace de l entrée du système 1 w x 7 si %. (fonction échelon) OU 1 i si 7². (fonction rampe) 3. Calculer, l erreur en régime permanent dans le domaine temporel En utilisant le théorème de la valeur finale : lim 8 : lim 7 % /19

20 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 1. MODELISATION DE SYSTEMES a. Modélisation de systèmes électriques (modèle de connaissance) Un système électrique passif fait intervenir trois éléments de base : la résistance, l inductance, et la capacité. Pour chacun de ces éléments, l intensité du courant électrique, notée (), et la tension à ses bornes, notée (), vérifient les lois de base suivantes : Loi de Kirchhoff Loi d Ohm, pour une résistance R Loi de Henry, pour une inductance L Loi de Faraday, pour une capacité C Loi de conservation de la charge ; à chaque nœud on a : Loi de conservation de l énergie ; à chaque boucle on a : () =.() ()= () () = 1 (). () =.() () =0 () =0 Question : Etablir l équation différentielle entre () et (), pour les différents exemples suivants. Exemple 1 : Exemple 2 : 1/8

21 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS b. Modélisation de systèmes mécaniques (modèle de connaissance) Une masse est soumise à une force (), à une force de rappel du ressort.() et à une force de viscosité =.() s opposant à la vitesse (). Question : Etablir l équation différentielle entre () et la force (). 2. ETUDE DE SIGNAUX Exercice 1 : Soit la fonction () =. avec > 0. Représenter les fonctions : FONCTIONS VALEURS REPRESENTATIONS ( ) ( ) ().() ( ).( ) ().( ) ( ).() 2/8

22 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS En déduire quelle est la bonne écriture du signal ().() retardé de τ secondes? Exercice 2 : Donner la transformée de Laplace des signaux ci-dessous : 3/8

23 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 3. TRANSFORMEE DE LAPLACE Exercice 1 : Soit un système de fonction de transfert : 2! (!+1).(!+4) On soumet le système à une entrée (), où () est un échelon unitaire. Questions : 1. Montrer que la sortie $(!) peut se mettre sous la forme % + ' + + et calculer les valeurs de & ()* (), A, B et C. En déduire l expression de la réponse temporelle -(). 2. En utilisant les propriétés de la transformée de Laplace, déterminer les valeurs de -(0) et -( ). 3. Calculer la dérivée - / () et déterminer la valeur de la pente de la tangente à l origine. En déduire la valeur 0 qui l annule. Calculer -( 0 ). Déduire des résultats précédents qu il existe une valeur de (différente de 0) qui annule à nouveau -(). Calculer -(0,6). En déduire le graphe de -(). On représentera sur la même figure () et -(). En comparant () et -(), que pensez-vous du comportement du système dont la réponse à un échelon positif en -()? Exercice 2 : Soit l équation différentielle : 3 4 () () ² +2 () +() =2 () +() On pose comme conditions initiales : 7 ²() ² 8 =0 ; = () > =0,5 ;(0)=2 9:0 9:0 On suppose que les conditions initiales du signal () sont nulles. Questions : 1. En déduire l en fonction de (!) et des conditions initiales. A ce stade on a remplacé une équation différentielle par une équation algébrique, mais on ne peut toujours pas en connaissant seulement (!). On va donc supposer que toutes les conditions initiales sont nulles. 2. Dans ces conditions, en déduire : (!) (!) 3. Complétez le schéma bloc suivant : Exercice 3 : 4/8

24 Application Soit l équation différentielle : CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 2 () +() =5.() () est la fonction échelon unitaire et (0) =0. Questions : Faire la décomposition en éléments simples et en déduire (). 4. SCHEMA FONCTIONNEL Exercice 1 : L ascenseur Les premiers modèles d ascenseurs étaient actionnés par la vapeur et l énergie hydraulique. Les ascenseurs électriques sont apparus vers Dans la majorité des cas, le moteur électrique, associé à un réducteur à engrenage, actionne une poulie qui entraîne des câbles auxquels sont suspendus la cabine et son contrepoids. 5/8

25 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS L AUTOMATE élabore le signal de commande () vers le préactionneur, à partir de la consigne () et du signal de mesure de la position de la cabine A (). Le VARIATEUR fournit la tension () au moteur électrique, en fonction d une consigne () et d une information A () sur la vitesse du moteur. La DYNAMO TACHYMETRIQUE (DT) délivre une tension A () en fonction de la vitesse de rotation du moteur B A (). Le MOTEUR ELECTRIQUE fournit l énergie mécanique nécessaire à l entraînement du réducteur de vitesse. On dispose en sortie du moteur électrique d une vitesse de rotation B A (). Le REDUCTEUR DE VITESSE est monté en sortie d arbre moteur et réduit la vitesse de rotation et augmente le couple dans les mêmes proportions. On dispose en sortie du réducteur d une vitesse de rotation B C (). La POULIE transforme le mouvement de rotation à la sortie du réducteur en mouvement de translation de la cabine. La CABINE a une position notée () et une vitesse notée (). Le CAPTEUR DE POSITION DE LA CABINE mesure la position () de la cabine et délivre un signal A (). Question : Faire le schéma bloc fonctionnel de l ensemble de commande de l ascenseur avec en entrée la consigne de l étage () et pour sortie la position de l ascenseur (). 6/8

26 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 5. APPLICATION DE SYNTHESE Exercice 1 : Régulation de température dans un four On considère le système suivant : L actionneur comprend une résistance chauffante alimentée à travers un triac dont on peut commander le nombre d impulsions de gâchette par un système approprié, sensible à la tension de commande D E (). Nous admettons que la puissance F() en Watts est proportionnelle à D E () avec un coefficient G * =1H/D. Le capteur est une thermistance décrit par l équation différentielle : 0,1 D J() +D J () =0,002.K() A =0, D J (0) =D 0. K 0 : température à l extérieur du four et dans le four à =0. Le système part du repos et donc : D 0 =0,002.K 0. Le four est à la température K() à l instant. Il reçoit pendant le temps une énergie LH =F().. Cette énergie reçue sert à élever la température de K, et une partie est perdue en rayonnement. La capacité calorifique du four est M. avec M =0,1 N et =100 O/(N. Q). L énergie interne du four varie alors pendant un laps de temps selon la loi : R =M..K. La chaleur perdue pendant une durée vaut : LS = 5.(K K 0 ).. On rappelle le principe de conservation de l énergie (premier principe) : R =LH+LS Questions : 1. Ecrire l équation différentielle liant K() et F(). 2. Montrer que par un changement de variable D J ()=D J () D 0 et K ()=K() K 0, on peut se ramener à des conditions initiales nulles. En déduire la fonction de transfert du four. 3. Déterminer la fonction de transfert de l ensemble : U(!)= D J (!) D E (!) 7/8

27 Application CHAPITRE 3 : MODELISATION DES SYSTEMES ASSERVIS 6. SIMPLIFICATION DE SCHEMA BLOC Exercice 1 : Déterminer la fonction de transfert du système représenté par le schéma-bloc ci-dessous : Exercice 2 : Exprimer pour les cas ci-dessous la fonction de transfert : V(() W((). Exprimer la sortie en fonction des 3 entrées. 8/8

28 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 1. SOLLICITATIONS TEST PERMETTANT D EVALUER LES PERFORMANCES Dans le cas général, les sollicitations d entrée ont une forme quelconque et inconnue, mais afin d étudier les performances des systèmes (précision, rapidité, stabilité), on étudier leur réponse à des sollicitations (ou entrées) types. Ces entrées seront causales. IMPULSION DE DIRAC () ECHELON.() RAMPE..() Pour : < 0,() = 0 Pour : 0, () = 1/ Pour : >, () = 0 Pour : < 0,() = 0 Pour : 0,() = Où constante. Pour : < 0,() = 0 Pour : 0,() =. Où constante. 2. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES PROPORTIONNELS : a. Définition Un système est dit à ACTION PROPORTIONNELLE ou de GAIN PUR si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : () = () () = Où est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si () et () de même nature). Ainsi : b. Réponse à un échelon.().!()" = () = ().() =. La réponse temporelle a donc pour expression : () =..!(). 1/13

29 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 3. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DERIVATEURS :.# a. Définition Un système est dit DERIVATEUR si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : () = () () =. Où est le GAIN STATIQUE du système (en $% si () et () de même nature). b. Réponse à une rampe..()..!()" = ² Ainsi : () = ().() =.. ² =. La réponse temporelle a donc pour expression : () =..!(). 4. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES INTEGRATEURS : /# a. Définition Un système est dit INTEGRATEUR si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : () = () () = Où est le GAIN STATIQUE du système (en si () et () de même nature). Ainsi : b. Réponse à un échelon.().!()" = () = ().() =. =. ² La réponse temporelle a donc pour expression : () =...!(). 2/13

30 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 5. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DU 1 ER ORDRE a. Définition Un système est dit du 1 er ORDRE si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : () = () () = 1+. Où est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si () et () de même nature) ; et est la CONSTANTE DE TEMPS (en ). Ainsi : b. Réponse à une impulsion ().(()" =.1 () = ().() = 1+.. Caractéristiques de cette réponse (ordonnée en +, tangente à l origine) : Ordonnée en + : (+ ) = lim () = lim.() = 0 - /0 1 2 D où : (+ ) = 0 Calcul de la réponse temporelle : () =.. = 1+..(+ 1 ) La réponse temporelle a pour expression : () = $6 7 8.!(). c. Réponse à un échelon.() NB : si l amplitude vaut 1, la réponse est appelée REPONSE INDICIELLE..!()" = Ainsi : () = ().() = 1+.. Caractéristiques de cette réponse (ordonnée en +, tangente à l origine) : Ordonnée en + : D où : (+ ) =. Tangente à l origine : 9 (0 / ) = ; (0 / ).( 0 / ) Or : D où : (+ ) = lim () = lim.() =. - /0 1 2 ; (0 / ) = lim ;. () = lim /0..() (0/ )" = lim ².() = 1 /0 9 =.. La tangente à l origine coupe l asymptote finale < =. en = =. 3/13

31 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Calcul de la réponse temporelle : () = (1+.). = = (décomposition en éléments simples) La réponse temporelle a donc pour expression : () = 3.. $ !() Pour =, () = ( $% +1).. () = 0,63.. Donc () = 0,63.(+ ). Temps de réponse à 5% (défini uniquement pour une entrée en échelon) : On cherche J K% tel que. (J K% ) = 0,95%.(+ ) Donc J K% $-O P% Q +. = 0,95.. $-O P% Q +1 = 0,95 J K% = ln0,05 Bilan : Le GAIN STATIQUE caractérise le comportement du système en régime permanent : (+ ) =.. La CONSTANTE DE TEMPS caractérise le comportement en régime transitoire : () = 0,63.(+ ). Le TEMPS DE REPONSE à 5% caractérise la fin du régime transitoire : J K% 3.. d. Réponse à une rampe..()..!()" = ² Ainsi : () = ().() = (1+.). ² Caractéristiques de cette réponse (ordonnée en +, tangente à l origine) : Ordonnée en + : (+ ) = lim () = lim.() = + - /0 1 2 D où : (+ ) = + Tangente à l origine : Or : ; (0 / ) = lim - 2 ; () = lim 1 /0..() (0/ )" = lim 1 /0 ².() = 0 La tangente à l origine a donc une pente nulle (droite horizontale). 4/13

32 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Calcul de la réponse temporelle : () = (1+.). ² = =.. 8.² ².. La réponse temporelle a donc pour expression : () = 3... $ !() Etude asymptotique : Lorsque +,().... L asymptote est donc 9() =..( ). Cette asymptote a donc une pente., et elle coupe l axe des abscisses en =. Remarques : Pour < 1, l erreur entre l entrée et la sortie augmente. Pour = 1, le système ne rejoint jamais la consigne, cependant sa variation est parallèle à l entrée retardée de une fois la constante de temps. Pour > 1, l erreur entre l entrée et la sortie diminue, s annule, puis augmente. 5/13

33 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 6. COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES DU 2 ND ORDRE a. Définition Un système est dit du 2 ème ORDRE si sa fonction de transfert peut se mettre sous la forme : () = () () = 1+ 2T U U 2 ².² Où est le GAIN STATIQUE du système (sans unité si () et () de même nature) ; U 2 (notée parfois U V ) est la PULSATION PROPRE non amortie (en JW/) ; T (noté parfois X ou Y) est le FACTEUR D AMORTISSEMENT (sans unité). Ainsi : b. Réponse à une impulsion () (()" = 1.U 2 ² () = ().() = 1+ 2T U = 2 U 2 ².² ²+2.T.U 2.+U 2 ² Détermination de l allure de la réponse : Recherche des pôles de la fonction de transfert : Discriminant : = 4T².U 2 ² 4.U 2 ² = 4U 2 ².(T \ 1) T > 1 T = 1 T < 1 2 racines réelles simples ( % et \ ) 1 racine réelle double (`) 2 racines complexes conjuguées ( = f ±h.w) () = ] % + ] \ () = (] % %. 4^.- +] \. 4 _.- ).!() Réponse \ non () = a b () = ca. oscillatoire `+ d.- +b.. d.- e.!() ( `)² () () = i.+ ( f) \ +W² = ji..-.cos(w.) + i.f +..-.sin(w.)k.!() W Réponse oscillatoire 6/13

34 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES c. Réponse à une rampe..() L étude exhaustive de la réponse à une rampe donne lieu à des calculs longs et fastidieux en fonction du facteur d amortissement T. On retrouve cependant les résultats fondamentaux vus dans le cas du 1 er ordre, c est-à-dire que si le gain statique est unitaire, la limite, lorsque tend vers l infini, de la réponse reste parallèle à la consigne avec un retard (qui dépend de T et de U 2 ). En fonction de T, la réponse présente des oscillations autour de cette asymptote. Ainsi : d. Réponse à un échelon () = ().() =.!()" = 1+ 2T.+ 1. U 2 U 2 ².² =.U 2 ² ²+2.T.U 2.+U 2 ². Caractéristiques de cette réponse (ordonnée en +, tangente à l origine) : Ordonnée en + : (+ ) = lim () = lim.() =. - /0 1 2 D où : (+ ) =.. Le régime établi ne dépend que du gain statique. l et m n interviennent seulement dans le régime transitoire. Tangente à l origine : ; (0 / ) = lim ; () = lim.() (0)" = lim /0 1 /0 \.() = 0 La tangente à l origine a donc une pente nulle (droite horizontale), ce qui diffère des systèmes du 1 er ordre. Détermination de l allure de la réponse : En plus du pôle = 0, on recherche les autres pôles de la fonction de transfert : T > 1 T = 1 T < 1 2 racines réelles simples ( % et \ ) 1 racine réelle double (`) 2 racines complexes conjuguées ( = f ±h.w) () = ] 2 + ] % % () = ] 2 + `+ a () + ] \ \ b ( `)² = ] 2 + i.+ ( f) \ +W² () () = (] 2 +] %.4^.- +] \.4_.- ).!() () = c] 2 +a. d.- +b.. d.- e.!() = j] 2 +i..-.cos(w.) + i.f +..-.sin(w.)k.!() W Réponse non oscillatoire Réponse oscillatoire 7/13

35 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Temps de réponse : Le temps de réponse à 5%, durée au-delà de laquelle la réponse reste comprise entre 0,95 et 1,05 fois la réponse finale (+ ), varie suivant la valeur du facteur d amortissement : Si T 1, l amortissement est faible, les oscillations sont mal amorties, le temps de réponse est grand. Si T = 0,69, le système présente un dépassement faible, égal à 5%, avec le temps de réponse le plus faible. Si T = 1, le système ne présente pas de dépassement au sens mathématique, il ne correspond pas au minimum absolu du temps de réponse, il s agit cependant du système sans dépassement le plus rapide. Si T 1, il n y a pas de dépassement, mais le système est hyper amorti, donc le temps de réponse est grand. Temps de réponse réduit q r%.m n : Il n y a pas d expression simple pour déterminer la valeur exacte de J K%. Un abaque (voir ci-dessous) donne la valeur du TEMPS DE REPONSE REDUIT q r%.m n, en fonction du facteur d amortissement. NB : le temps de réponse réduit n a pas d unité, contrairement au temps de réponse. Il faut retenir que : Pour T = 0,69, on a J K%.U 2 3 donc J K% s t u. Pour T = 1, on a J K%.U 2 5 donc J K% K t u. On remarque que pour un facteur d amortissement constant, le temps de réponse réduit J K%.U 2 est constant. Par conséquent, pour un même T, plus U 2 augmente, plus J K% diminue, et donc plus le système est rapide. 8/13

36 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENTT TEMPOREL DES SYSTEMES Dépassement absolu v w et dépassement relatif v w% pour l < 1 : On définit le dépassement absolu d ordre x par : i y = ( y ) (+ ) On définit le dépassement relatif d ordre x par : i y% = { (+ ) { Les dépassements relatifs ne dépendent que du facteur d amortissement T. On utilise le plus souvent un abaque (voir ci-dessous) pour les déterminer. i y 9/13

37 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Calcul des 3 types de réponses temporelles : Cas 1 : T > 1, le dénominateur possède 3 racines réelles simples, le système est hyper amorti (réponse apériodique) Notons ses 3 racines 2, % et \. On a 2 = 0 et % = \ = U 2.c T± T \ 1e < 0. Donc : Avec : () =.U 2 ². ( % )( \ ) = ] 2 + ] % % + ] \ \ ] 2 =.U 2 \. =. ; ] %. % =.U 2 \..U \ 2. = \ ( % \ ). % 2. %.U 2. T \ 1 ] \ =.U 2²..U 2 ². = ( \ % ). \ 2. \.U 2.~T² 1 Pôles négatifs ou nul donc sortie stable (ne diverge pas) 10/13

38 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES La réponse temporelle a donc pour expression : () =..U. 4_.- 4^.- 2.!() 2 T \ 1 \ % En posant % = % et \ = % où Q^ Q % et \ sont des constantes de temps : _ () =.. % %. $ - Q^ \. $ - Q _.!() \ Le système est ainsi équivalent à la superposition de deux systèmes du premier ordre. Cas 2 : T = 1, le dénominateur possède 1 racine réelle double et 1 racine réelle simple (réponse critique) Notons ces 2 racines 2 et `. On a 2 = 0 et ` = T.U 2 = U 2 < 0 Donc : Pôles négatifs ou nul donc sortie stable (ne diverge pas) () =.U 2². (+U 2 ) \. = ] 2 + a + +U 2 b (+U 2 )² =...U 2. +U 2 (+U 2 )² La réponse temporelle a pour expression : () = (... $t u.-..u 2.. $t u.- ).!() Cas 3 : T < 1, le dénominateur possède 2 racines complexes conjuguées et 1 racine réelle simple, le système est oscillatoire (réponse pseudo-périodique) Notons ces 3 racines 2, % et \. On a 2 = 0 et % = \ = U 2.( T±h. 1 T \ ). Partie réelle négative ou nulle donc sortie stable. Posons % = \ = f ±h.w avec f = T.U 2 et W = U 2.~1 T². NB : f²+w² = U 2 ². () se décompose sous la forme :.U \ 2. () =.(( f) \ +W \ ) = ] 2 + i.+ ( f) \ +W \ Avec : ] 2 =.U 2². f²+w² ;i =.U 2². f²+w² ; = 2.U 2²..f f²+w² Rappel pour déterminer i et : Multiplier par ( f) \ +W² Faire tendre vers f+h.w Identifier les parties réelles et imaginaires En remarquant que : i.+ ( f) \ +W² = i.( f)+i.f+ ( f) \ +W² ( f) = i. ( f) \ +W² +i.f+ W. W ( f) \ +W² La réponse dans le domaine temporel s écrit donc : () = ƒ]+i.cos(w.)..- i.f + +.sin(w.)..-.!() W En réinjectant f,w,] 2,i et : () =..ƒ1 $.tu.- T.cos3U 2.~1 T \.8 u.-.sin3u 1 T \.$.t 2.~1 T \.8.!() 11/13

39 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES () =..1 $.t u.- 1 T \( ~1 T \.cos3u 2.~1 T \.8 T. $.tu.-.sin3u 2.~1 T \.8).!() En posant cos = T et sin = 1 T \ et en utilisant sin(+`) = sin.cos`+cos.sin`. La réponse s écrit : () =..1 $.t u.- 1 T \sin3u 2.~1 T \. + 8.!() Notions de pulsation amortie m et de pseudo-période pour l < 1 : La réponse présente des oscillations amorties dont la PULSATION AMORTIE (en JW/) est : U 4 = U 2.~1 T² La période, appelée PSEUDO-PERIODE (en ) est : ˆ4 = 2 2 = U 4 U 2. 1 T \ Ainsi, U 2 est bien la pulsation du système s il n était pas amortie (T = 0). Temps w lorsque les dépassements s effectuent : Š ; ( w ) = n pour l < 1 : Les dépassements sont données pour les instants y tels que ; ( y ) = 0. Soit en dérivant () : ; () =. T.U 2. $.t u.- 1 T \.sin3u 2.~1 T \. + 8 $.t u.- 1 T \.U 2.~1 T \.cos3u 2.~1 T \.+ 8.!() ; () =..U 2. $.t u.- 1 T \ T.sin3U 2.~1 T \.+ 8 ~1 T \.cos3u 2.~1 T \. + 8Œ.!() Donc ; () = 0 T.sincU 2. 1 T \. + e 1 T \.coscu 2. 1 T \.+ e = 0 Soit en posant cos = T et sin = 1 T \ et en utilisant sin( `) = sin.cos` cos.sin`, on obtient : ; () = 0 sin(u 2. 1 T \.) = 0 U 2. 1 T \. = x. On trouve donc : y = x. U 2. 1 T² = x. = x.ˆ4 U 4 2 avec k entier Ainsi les dépassements s effectuent toutes les demi-périodes. Temps lorsque Š( ) =. pour l < 1 : ( ) =. sin3u 2.~1 T \.+ 8 = 0 U 2.~1 T \.+ =. U 4.+ =. =. =.ˆ4 U 4 U 4 2 U 4 12/13

40 CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Expression des dépassements relatifs v w% si l abaque n est pas donné, pour l < 1 : y. t u %$ _ $.tu. x. ( y ) =....sin(u 2 ~1 T \. 1 T \ U 2. 1 T + ) \ $.y. %$ _ =... 1 T \.sin(x. + ) En utilisant sin(+`) = sin.cos`+cos.sin`, on obtient : sin(x. + ) = 0+cos(x. ).sin = ( 1) y.sin Et comme sin = ~1 T², on obtient : Or (+ ) =. Donc : ( y ) =...( 1) y. $.y. ~%$ ² i y i y% = { (+ ) { = ( y) (+ ) = $.y. ~%$ ² (+ ) On remarque que le dépassement relatif ne dépend que du facteur d amortissement. 13/13

41 Application CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 1. MODELE DU 1ER ORDRE Exercice 1 : La réponse à un échelon d un système assimilé à un premier ordre est donnée ci-dessous. Identifier les paramètres et de ce système. Exercice 2 : On applique une tension () à un moteur à courant continu. La vitesse angulaire () de l arbre vérifier alors l équation différentielle (conditions initiales nulles) : 0,2.()+() = 5.() On note () la position angulaire de l arbre. Faire le schéma-bloc de ce moteur avec () comme variable de sortie. 1/3

42 Application CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES Exercice 3 : Commande d un moteur Un petit moteur est supposé polarisé autour du point de fonctionnement (3,5, 800 /), et fonctionne en régime linéaire. Son entrée () est la tension de commande, sa sortie () est la vitesse de rotation. Il entraîne en direct une charge qui le freine, représentée par un couple () perturbateur. Le fonctionnement simplifié est matérialisé par le circuit de l induit du moteur à courant continu ci-dessous : et désignent respectivement la résistance et l inductance du circuit induit. désigne l inertie totale (arbre + charge). est le coefficient de frottement visqueux produisant un couple proportionnel à la vitesse de rotation. () est la tension d alimentation de l induit et () la vitesse de rotation du moteur. () est le courant dans l induit et!() est la force électromotrice (f.e.m) induite. " () et () désignent respectivement le couple moteur et le couple résistant (considéré comme une perturbation). Les équations du moteur sont : " ()=#.()!() =#.() ()=!()+.()+. $() $ " () ().() =. $() $ Dans tout le problème, on négligera l inductance &. Questions : 1. On suppose () nul. En appliquant la transformée de Laplace (conditions initiales nulles), trouver la fonction de transfert '(()= )(*) de ce processus. +, (*) Mettre '(() sous la forme normalisée d un système du premier ordre. Donner les expressions du gain statique - et de la constante de temps Maintenant () n est plus nul. Exprimer Ω(() en fonction de / (() et de ((), en utilisant le principe de superposition. Déterminer le gain statique 0 et la constante de temps 0 de la fonction de transfert relative à la perturbation. 3. Application numérique : - =10 2$/(.3), 0 = 252$/(3..4) et = 0,23. Soit ()=0. On applique un échelon de tension d amplitude / 5 = 1,5. Calculer la valeur en régime permanent de la variation de vitesse (). Quelle sera la vitesse atteinte par le moteur? Soit ()=0. On applique un couple résistant d amplitude 5 = 0,24.. Calculer la valeur de la variation de vitesse. Que signifie cette valeur négative? On applique désormais simultanément l échelon de tension / 5 et le couple en échelon 5. Quelle sera la vitesse atteinte par le moteur en régime permanent? 2/3

43 Application CHAPITRE 4 : COMPORTEMENT TEMPOREL DES SYSTEMES 2. MODELE DU 2EME ORDRE Exercice 4 : Soit la fonction de transfert : '(() = 6(() 7(() = 2 1+5(+6(² Calculer, : et 5. Que peut-on dire des racines? Que vaut 6(() si 7(() est un échelon de module 2? Faire une décomposition en éléments simples de 6((). En déduire 3(). Calculer la valeur de 3() en régime permanent ainsi que la pente à l origine. Tracer l allure de 3(). Exercice 5 : On donne ci-dessous la réponse d un second ordre à un échelon unitaire. Lire sur la courbe la valeur du dépassement en %, du temps de montée, du temps de pic et du temps de réponse à 5%. Trouver la forme canonique du second ordre. Retrouver le temps de réponse à 5% à l aide de l abaque. 3/3

44 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES Le signal réel en entrée d un système est rarement un signal simple (échelon, rampe). La théorie développée par Fourier permet de considérer que tout signal (périodique ou non) résulte de la sommation d un ensemble de composantes sinusoïdales de fréquences et d amplitudes différentes. Par conséquent, pour déterminer la réponse d un système linéaire à un signal quelconque, il est nécessaire de déterminer l ensemble des réponses de ce système à des signaux sinusoïdaux répartis dans une plage de fréquence adaptée au signal quelconque. Cette étude s appelle l analyse fréquentielle. 1. REPONSE HARMONIQUE DES SLCI Soit un système linéaire continu et invariant d entrée () et de sortie () régi par une équation différentielle à coefficients constants : () () () ()= + + () + () Lorsque l entrée d un SLCI est un signal sinusoïdal du type ()=.sin(ω.) où est la pulsation propre du signal, il faut rechercher une sortie en régime permanent sous la forme : ()=.sin(ω.+) On appelle REPONSE HARMONIQUE, la sortie () en régime permanent d un système soumis à une entrée () périodique (sinusoïdale par exemple). 1/11

45 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES On peut caractériser l effet du système avec deux grandeurs qui sont : Le rapport des amplitudes appelé GAIN du système et qui représente l AMPLIFICATION du système. Le déphasage appelé PHASE et qui représente le DECALAGE de () par rapport à (). Les courbes () et () dessinées ne sont valables que pour la pulsation du signal d entrée. L objet d une étude fréquentielle d un système est d étudier l évolution du gain et de la phase, en fonction de la variation de la valeur de la pulsation du signal d entrée, sur la réponse harmonique du système. Comme déjà constaté dans les chapitres précédents, la principale difficulté lors de l étude des SLCI vient de l équation différentielle du système qui est généralement trop complexe. Par conséquent, pour réaliser l étude fréquentielle d un système, on exploite aussi la fonction de transfert du système (). On montre par la méthode des complexes que : Le GAIN du système est égal au MODULE du nombre complexe (). La PHASE du système est égale à l ARGUMENT du nombre complexe ().! Soit = () et =()=arg(()) où () correspond à la fonction de transfert du "! système dans laquelle la variable de Laplace a été remplacée par. () représente donc le comportement fréquentiel du système (). L interprétation des variations de gain et de phase en fonction de la fréquence du signal (ou de la pulsation) est fondamentale tant en électronique qu en automatique, c est pourquoi le tracé graphique de ces variations est étudié à l aide de différents diagrammes. 2. DIAGRAMME DE BODE, LIEU DE TRANSFERT POUR LES ETUDES FREQUENTIELLES a. Définitions On appelle LIEU DE TRANSFERT toute représentation graphique du comportement fréquentiel de () à l aide de diagrammes. Les diagrammes les plus connus portent le nom de leur inventeur : Bode, Nyquist, Black. L un des plus utilisés est le diagramme de Bode. 2/11

46 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES Les diagrammes les plus connus portent le nom de leur inventeur : Bode, Nyquist, Black. L un des plus utilisés est le diagramme de Bode. Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes tracées sur une ECHELLE LOGARITHMIQUE : Courbe du module de () en fonction de la fréquence (ou de la pulsation ). Le module () '(, notée ) '(, est exprimé en décibel, c est-à-dire : ) '( =20.log () Courbe de la phase de () en fonction de la fréquence (ou de la pulsation ). La phase est exprimée en général en degrés. Les deux courbes sont tracées sur la même feuille, l une en dessous de l autre. L interprétation des résultats nécessite toujours une étude simultanée des deux courbes. Les tracés sont effectués sur du papier à graduations spéciales. On retrouve une graduation logarithmique en base 10 sur 3 ou 4 décades en abscisse, et une graduation millimétrée en ordonnée. Sur l échelle logarithmique en base 10, il n y a pas d origine des abscisses. Le tracé ne concerne qu une bande de pulsation qu il faut judicieusement choisir. b. Tracé du diagramme de Bode Le principe de tracé d un diagramme de Bode consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur de () suivant la nature des pôles et des zéros. Cette technique permet de décomposer () en un produit de fonctions de transfert élémentaires bien connues et faciles à tracer dans Bode. () = / ( 7 89é;619<56 E6F'529 ' G 2H<6I<I '< <6 F6'6< ABBBBCBBBBD Π (1+@.) ) =. Π (1+@.) JKKKKLKKKKM E6F'529 '< INI9è< '< <6 F6'6< E6F'529 ' G 2H<6I<I '< Wè< F6'6< ABBBBBBBBBCBBBBBBBBBD W X Π P Q1+ 2.z S.jω+U 1.jωV ω S ω S. Π Y Q1+ 2.z Y ω.jω+z 1 Y W ω.jω[ Y JKKKKKKKKKLKKKKKKKKKM \]^_`ab _c dedbèfc _c Wèfc ^]_]c Le module de g(hi) est alors le produit des modules de chaque fonction de transfert élémentaire. L argument est la somme des arguments de chaque fonction de transfert élémentaire. X 3/11

47 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES argj()k=argz. () =[+l arg(1+@ n P.)+l argm1+2..+z 1 W.[ o P P Pour rappel : l arg (1+@.) l argq P n 4 1 argz 1+T t.jω [= arg(1+@.) 4.+m 1 4.o Si ()= (). W () alors 20.log () =20.log () +20.log W (). L échelle en db permet de transfrormer le produit des modules en une somme. On peut alors tracer séparément les diagrammes de Bode de chaque fonction de transfert élémentaire qui compose (), puis faire la somme des modules et des arguments afin d obtenir le diagramme de Bode final qui correspondra au comportement fréquentiel du système (). 3. REPONSES HARMONIQUES DES SYSTEMES ELEMENTAIRES Il faut connaître le diagramme de Bode de toutes les fonctions de transfert élémentaires suivantes : W r Gain pur ()=. Intégrateur ()=. Premier ordre () = 1 1+@. Inverse du premier ordre Second ordre Inverse du second ordre ()=1+@. 1 ()= n W.² n ()= W.² 4/11

48 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES a. Réponse harmonique des systèmes simples Gain pur : ()=. ()=. Gain en db : Phase en degrés : ) '( =20.log(.) ()=0 Intégrateur : ()=. ()=. Gain en db : ) '( =20.logZ. [=20.log(.) 20.log() Phase en degrés : ()= 90 b. Réponse harmonique du système du 1 er ordre Le système du 1 er ordre a pour fonction de transfert :. ()= 1+@. ()=. 1+@. Gain en db : Phase : ) '( =20 log () =20log. 20logy1+@².² =arg(())= arg(1+@.)= arctan(@.) 5/11

49 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES Asymptotes du diagramme de Bode : Pour 0, (). (équivalent à un comportement de gain pur) ) '( =20 log () 20.log. =arg(()) 0 Pour, () ~ (équivalent à un comportement d intégrateur). ) '( =20.log () 20.log ~ 20.log (droite de pente 20 /é ) =arg(()) 90 Valeurs particulières : La PULSATION DE CASSURE du diagramme de Bode vaut : = ) '( =20log ( ) =20log ~ W =20log. 3 =argj()k= arctan(1)= 45 6/11

50 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES c. Réponse harmonique du système du 2 ème ordre Le système d ordre 2 a pour fonction de transfert :.. ()= n ()= W.² n W.()² Cas >1 ou = : La fonction de transfert présente 2 pôles réels et W, distincts ou confondus. Pour n>1, le système peut être considéré comme le produit de deux système de 1 er ordre de constantes de = 4 Ž W = 4 : 1 ()=.. (1+@.). 1 (1+@ W.) Pour = Ž., la courbe de phase passe toujours par 90. Le tracé asymptotique se construit en ajoutant les tracés du gain des deux systèmes du premier ordre construits séparément dans un premier temps. Pour n=1, la fonction de transfert devient un carré parfait : ()= (. )²! NB : seul son tracé asymptotique est représenté en pointillés sur la courbe ci-dessus. ~ 7/11

51 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES Cas <1 : Dans ce cas, les pôles sont complexes conjugués. Le module de la réponse harmonique est donné par :. () = Z1 U V W [²+4.n².U V W Et son argument par : = arctan 2n. Z1 W W [ La courbe de gain peut présenter un maximum suivant les valeurs de n. Ce maximum, s il existe, est obtenu pour la pulsation, telle que '0 ( ' )=0, soit : Q (( W W ) W +4n W!W W ) X =0 Ou encore : On obtient si n< 2/2 : 4 ( W W )+8n² ² =0 =.y1 2n² Cette pulsation est appelée PULSATION DE RESONANCE. Ce maximum est alors caractérisé par le COEFFICIENT DE SURTENSION : œ= ( ) 1 = (0) 2n.y1 n² 8/11

52 CHAPITRE 5 : ANALYSE FREQUENTIELLE DES SYSTEMES Synthèse sur les comportements temporels et fréquentiels du 2 ème ordre : d. Réponse harmonique d un retard pur Dans tout système, l information de sortie est fournie par un capteur. Il se peut que, pour des raisons d accessibilité, d entretien ou d encombrement, le capteur ne puisse pas être placé à l endroit où l on souhaiterait observer le système. Cela introduit un retard entre l instant où le signal est disponible (prêt à être mesuré) et l instant où il est effectivement mesuré. Si () représente le signal à mesurer, l introduction d un retard donnera lieu au signal ( ). D après les propriétés de la transformation de Laplace, si la transformée de Laplace de () s écrit (), alors la transformée de Laplace de ( ) s écrira ž4ÿ.(). La fonction de transfert s écrit donc pour ()=1 : ()= žÿ4 ()= žÿ Le module est constant et égal à 1. L argument est une fonction linéaire de : Exemple : ()= žÿ 1+ Il s agit d un retard pur associé à un système du premier ordre. Seule la courbe de phase du système est affectée par le retard pur. 9/11