SERIE DE TD N 4 BIOSTATISTIQUE 2014/2015 CALCUL DES PROBABILITES

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1 SERIE DE TD N 4 BIOSTATISTIQUE 2014/2015 CALCUL DES PROBABILITES (1 ère année médecine) Exercice n 01 : Pour contrôler un lot de médicament (amoxicilline) on prélève simultanément 5 comprimés d un bocal contenant 40 comprimés de mêmes dimensions et de couleurs différentes : 12 rouges, 8 jaunes, 10 blancs et 10 gris. Quelle est la probabilité que : 1) Les 5 comprimés soient jaunes? 2) Au moins un comprimé soit rouge? Solution de l exo n 1 : Du bocal de 40 comprimés (12 R ; 8 J ; 10 B ; 10 G), on tire simultanément 5 comprimés. Les évènements élémentaires (comprimés dans le bocal) sont équiprobables ; le nombre de cas possibles de 5 5 comprimés est C résultats différents. a) Le nb de cas favorables «5 J» est C résultats différents et la probabilité que les 5 comprimés tirés soient jaunes est le rapport p (5 jaunes) x 10 5 Autre méthode : En utilisant le théorème des probabilités composées, on peut écrire : P (5 jaunes) p(j J J J J) p(j)*p(j/j)*p(j/j J)*p(J/J J J)*p(J/J J J J) x 10 5 b) P (au moins 1 rouge) est : p(1r 2R 3R 4R 5R) p(1r) + p(2r) + p(3r) + p(4r) + Exercice n 02 : p(5r) car ces évènements sont incompatibles (évènements exclusifs). Le nombre de cas favorables à l évènement «au moins 1 rouge» est : C C 28 + C C 28 + C C 28 + C C 28 +C C 28 12x x x x Ce qui donne la probabilité cherchée : p (au moins 1 rouge) Autre méthode : par le complémentaire. P (au moins 1R) 1 p (aucun rouge) 1 C C 28 C % %. Trois résidents en médecine A, B et C se présentent au DEMS. La réussite peut échapper à un, deux ou aux trois candidats. On suppose que les probabilités pour que les résidents ratent l examen sont respectivement de 0.12, 0.25 et Quelle est par deux méthodes différentes la probabilité qu il n y ait pas d échec total? Solution de l exo n 2 : Probabilités que les résidents ratent le DEMS sont données d où les probabilités de réussite à l examen : P(A) ; P(B) ; P(C)

2 Pour qu il n y ait pas d échec total, il faut qu il y ait au moins une réussite ; c est-à-dire : p (A B C)? Les évènements en étude sont indépendants, et on aura : p (A B C) p(a) + p(b) + p(c) p (AB) p (AC) p (BC) + p (ABC) p(a) + p(b) + p(c) p (A) * p (B) p (A) * p (C) p (B) * p (C) + p (A) * p (B) * p (C) Autre méthode : par le complémentaire : p (A B C) 1 p (A ) B C 1 p(a B C ) 1 p (A ) p(b ) p(c ) Exercice n 03 : On place dans une boite vingt gélules d un médicament de mêmes dimensions mais de couleurs différentes ; dix sont jaunes et dix vertes. On tire successivement six gélules, chaque gélule tirée est remise dans la boite après qu on ait examiné sa couleur. Calculer la probabilité : 1) D avoir tiré quatre gélules jaunes et deux gélules vertes dans cet ordre. 2) D avoir tiré six gélules vertes. 3) Que les six gélules tirées ne soient pas toutes de même couleur. Solution de l exo n 3 : C est un tirage successif (l une après l autre) avec remise (non exhaustif) de 6 gélules d un médicament d une boîte contenant 20 gélules ; c est donc un arrangement avec répétition dont la formule est R p n R cas possibles. a) Probabilité d avoir 4 gélules jaunes et 2 gélules vertes : P (4J + 2V) p (J J J J VV) p(j)*p(j)*p(j)*p(j)*p(v)*p(v) (0.5) 4 * (0.5)² Autre méthode : P (4J + 2V) nombre de cas favorables nombre de cas possibles b) Probabilité d avoir 6 gélules vertes : P (6V) p (V V V V VV) p(v)*p(v)*p(v)*p(v)*p(v)*p(v) c) Probabilité qu elles ne soient pas toutes de même couleur? On procède par l évènement complémentaire ; probabilité qu elles soient toutes de même couleur c est-à-dire ou bien jaunes ou bien vertes. Cette probabilité est égale à deux fois la probabilité de 6 gélules vertes calculée en b) Exercice n 04 : Probabilité (6 de couleur différente) 1 Probabilité (même couleur) 1 2* d où la probabilité cherchée Le dépistage de l hyperthyroïdie s effectue par un test basé sur le dosage de la THS. Les résultats sont les suivants : chez les malades, 95% des tests sont positifs et chez les non malades, 99 % des tests sont négatifs. Sachant que la prévalence des hyperthyroïdiens dans la population est de 1.5 %. Trouver : 1) La probabilité d être malade sachant que le test est positif. 2) La probabilité d être non malade sachant que le test est négatif. 2

3 Solution de l exo n 4 : Soient les évènements suivants : M : «être malade» M : «être non malade» T : «test positif» T : «test négatif». Soient les données suivantes : P(M) 1.5 % ; P(TM) 95 % ; P (T M ) 99 %. En utilisant le théorème des probabilités totales, des probabilités conditionnelles et la formule de Bayes P(T) P(M) * P(TM) + P (M ) * P(TM ) * * % P(MT) P(M) P(TM) P(T) % P(M T) P(M ) P(TM ) P(T) % Ces 2 Prob donnent 100%. P (T ) P(M) * P( T M) + P (M ) * P (T M ) 0.015* * % P (M T ) P(M ) P ( T M ) P (T ) P (M T ) P(M) P ( T M) P (T ) % % Ces 2 prob 100 %. Le diagramme arborescent : Tableau de Contingence : Maladie \ Test T Non T Total % M Non M Total % Exercice n 05 : Dans une population de nouveau-nés, la probabilité de naissance d un garçon est de Dans cette population, 3 % des filles et 2 % de garçons présentent un ictère du nourrisson. 1) Calculer la probabilité qu un nourrisson présente un ictère. 2) Quelle est la probabilité qu un nouveau-né présentant un ictère soit une fille? Solution de l exo n 5 : Utilisation des probabilités composées, conditionnelles, totales et formule de BAYES. Les symboles sont : G garçon, F fille, I ictère. Les données sont : P(G) 0.52 ; P (IF) 0.03 ; P (IG) 0.02 ; on tire P(F) 0.48 P(I) P ((FI) (GI)) P(F)*p (IF) + P(G)*P (IG) 0.48* * a) Probabilité qu un nourrisson présente un ictère est b) P (FI) P(F I) P(I) c) P (GI) p(g I) p(i) P(F) P( I F) P(I) P(G) P( I G) P(I) % %

4 Le diagramme arborescent : Tableau de Contingence : Sexe \ Ictère I Non I Total % Garçon Fille Total % Exercice n 06 : On s intéresse à une population de femmes atteintes d un cancer du sein. Le taux de survie 5 ans après la découverte du cancer est de 65 %. Lors de la découverte du cancer, on peut définir la gravité du cancer par son stade (1 à 4). 45 % des femmes sont de stade 1, 30 % de stade 2, 15 % de stade 3 et 10 % de stade 4. La probabilité qu une femme de cette population soit de stade 4 et survive au moins 5 ans est de ) Calculer le pourcentage des femmes de stade 4 qui décèdent dans les 5 ans après la découverte de leur cancer. 2) En cas de décès dans les 5 ans, quelle est la probabilité que la femme ait été de stade 4? Solution de l exo n 6 : Utilisation des probabilités composées, conditionnelles, totales et formule de BAYES. Les symboles : Q stade 4, T stade 3, D stade 2 et U stade 1 ; S { 5} au moins 5 ans survie de 5 ans et plus. S {< 5} dans les 5 ans. Les données : P (Q { 5}) 0.03 P(Q) 0.1 P(T) 0.15 P(D) 0.3 P(U) 0.45 P(S) P ({ 5}) 0.65 et donc par le complémentaire on a : P (S ) P({< 5}) ) Il faut calculer la probabilité des femmes qui décèdent dans les 5 ans sachant qu elles sont de stade 4. P ({ 5} Q) 1 P({ 5}Q) 1 P(Q { 5}) P(Q) % 2) Il faut calculer la probabilité que la femme ait été de stade 4 sachant qu elle est décédée dans les 5 ans (le décès est survenu dans les 5 premières années après la découverte du cancer). P (Q { 5}) P(Q {<5}) P({<5}) P(Q) P(Q { 5}) P({<5}) En faisant un diagramme de Venn, on a : A AB + AB P(AB ) p(a) P (AB) % 4

5 Exercice n 07 : Les cultures des tissus végétaux peuvent être infectées soit par des champignons, soit par des bactéries. La probabilité d une infection par un champignon est 0.15 et la probabilité d une infection par une bactérie est Quelle est la probabilité d une infection simultanée par champignons et bactéries, a) Dans le cas où les infections sont indépendantes. b) Dans le cas où les champignons secrètent un antibiotique auquel sont sensibles les bactéries. La présence des champignons empêchent alors le développement des colonnes bactériennes dans 50 % des cas. Solution de l exo n 7 : Soient les évènements suivants : B «la culture est infectée de bactéries» ; C «infectée de champignons» Les données : % B B Total C P (B C) C Total Probabilité d infection simultanée par champignons et bactéries. a) Infections indépendantes On cherche la probabilité de l évènement BC. Par définition de l indépendance en probabilité, on a : P (B C) P(B) * P(C) 0.08 * b) Champignon secrétant un antibiotique. On a une probabilité conditionnelle : P (B C) ½ * P(B) 0.04 P (B C) P (BC) * P(C) 0.04 * Exercice n 08 : Un milieu biologique risque d être pollué par 2 bactéries B1 et B2. Ces 2 sources de pollution sont indépendantes mais compatibles entre elles. Au cours d une journée, la probabilité que le milieu soit pollué par la bactérie B1 est de 0.08 et la probabilité qu il le soit par la bactérie B2 est de Déterminer la probabilité pour que le milieu soit pollué : Au cours d une journée Au bout de 2 jours Après n jours Quelle est la valeur de n à partir de laquelle la probabilité que le milieu soit pollué devient supérieure à 50 %? Solution de l exo n 8 : Les données : P(B1) 0.08 et P(B2) 0.04 ; Les symboles : P0 évènement «polluer au cours d une journée» ; P0 B1B2 ; 5

6 P (B1B2) 0 (car par hypothèse les évènements sont compatibles). P (B1B2) P(B1) * P(B2) (car par hypothèse les évènements sont indépendants). a) On calcule P(P0) P (B1B2) P(B1) + P(B2) P (B1B2) P(B1) + P(B2) P(B1) * (B2) * P(P0) Donc le milieu biologique est pollué soit par B1, soit par B2, ou encore par les 2 bactéries à la fois et on retient que la probabilité que ce milieu soit pollué au cours d une journée est : P (pollution en 1 jour) P(P0) P (B1 B2) P (J1) ; où j1 est la journée n 1. b) La probabilité que le milieu soit pollué au bout de 2 jours : E2 évènement «polluer au bout de 2 jours». J1 évènement «polluer au cours du 1 er jour». J2 évènement «polluer au cours du 2 ème jour». P (P0) P (J1) P (J2) Les évènements «pollution en 1 jour» et «pas de pollution en 1 jour» sont complémentaires P(J1) 1 P ( J 1 ) P ( J 1 ) ; J1 J 1 et P (J1J2) P(J1) * P(J2). P (pollution au bout de 2 jours) P(E2) P (J1(J 1 J2)) P(J1) + P (J 1 J2) P (J1(J 1 J2)) P(J1) + P(J 1 J2) P (J1 J 1 J2) P(J1) + P ( J 1 ) * P(J2) P(J1) + (1 P(J1)) * P(J2) P(J1) + P(J2) P(J1) * P(J2) P (J1 J2) * c) La probabilité que le milieu soit pollué au bout de 3 jours : On écrira : P(E3) P (J1 J2 J3) 3 * * (0.1168)² d) La probabilité que le milieu soit pollué au bout de 4 jours On écrira : P(E4) P (J1J2 J3J4) 4*(0.1168) 6*(0.1168)² + 4 * La probabilité de pollution au cours de n jours est : P (n jours) P(En) n k1 C n k p k ( 1) k 1 Où p probabilité de pollution en une journée P (J1) P (5 jours) P(E5) P (6 jours) P(E6) P (7 jours) P(E7) ,.. AUTRE METHODE : On sait que P(J1) P(J2) Probabilité (qu il y ait pollution au bout d une journée et n importe laquelle, la 1 ère, la 2 ème, la 3 ème,, c est un seul jour). De P(E2) P(J1) + P ( J 1 ) * P(J2) et ici on comprend que la pollution a eu lieu au cours d un jour qui est soit J1 soit J2 et par conséquent et en négligeant les indices des jours : P(E2) P(J) + P ( J ) * P(J) P(J) [1+ P ( J )] * ( ) Considérons les évènements : E2 et son complémentaire E 2 P(E2) + P (E ) 2 1 où : 6

7 E2 J1(J 1 J2) et E 2 J 1 (J 1 J 2 ) J 1 J 1 2 J 1 (J1 J 2 ) (J 1 J1) (J 1 J 2 ) J 1 J 2 P(E2) 1 P (E ) 2 1 P (J 1 J 2 ) 1 P (J 1 ) * P (J 2 ) 1 [P ( J )] ² ² De même si on prend : P(E3) 1 P (E ) P(E4) 1 P (E ) P(E5) 1 P (E ) P(E6) 1 P (E ) P(E7) 1 P (E ) P(En) 1 P (E ) n n x [0 ; 1]. Valeur à donner à n pour que la probabilité de pollution devienne supérieure à 50%. P(En) n 50 % n et en passant aux logarithmes décimaux, on a : Log (0.5) n * log (0.8832) n * ( ) ; on sait qu en multipliant les 2 membres de cette inégalité par 1, on change l ordre de l inégalité n Vérification : P(E ) %. P(E6) %. Organigramme de la résolution d un problème en analyse combinatoire 7